平行四邊形·矩形·菱形·正方形解答題與答案(中考必備)

(1)如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC=a(0°＜a＜90°)，2.正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線l、l、l、l上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次1234123123(1)求證：h=h；AF頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.1213ABEOFDABEPFDCABEPFDC(3)若h+h=1，當(dāng)h變化時(shí)，說(shuō)明正方形ABCD的面積S2121隨h的變化情況．1.AAFDMEOFNEBCBC 形？并證明你的結(jié)論。DFDE圖2，則可得：=，因?yàn)镈E=EP，所以DF=FC.可求出EF和EG的值，進(jìn)而可求得EMFCEPN確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)若∠1=70°，求∠MNK的度數(shù)．1(2)△MNK的面積能否小于？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說(shuō)明理由．2(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值．.EAFEA四邊形AECF是平行四邊形；CDEAEOCBDCB(1)求證：DE∥BF；(2)若∠G＝90，求證四邊形DEBF是菱形．求證：(1)AD=EC;(2)當(dāng)三BAC=Rt三時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形；(3)在(2)的條件下，若AB=AO，求tan三OAD的值.AEDOBFC14.(2011甘肅蘭州，27，12分)已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB)，將紙片折疊一次，(1)求證：四邊形AFCE是菱形；AEcmABFcm△ABF的周長(zhǎng)；.ACPACPAEACAP在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若16.(2011XX蘇州，28,9分)(本題滿分9分)如圖①，小慧同學(xué)吧一個(gè)正三角形紙片(即△OAB)放在2(1)△ABC與△FOA相似嗎？為什么？(2)試判定四邊形AFCE的形狀，并說(shuō)明理由．請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問(wèn)題.小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處(即點(diǎn)B處)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)OO動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O.yADOElBDPFBCOAxBD(1)當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);AEDOBCBF(2)寫(xiě)出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍．頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．.P段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求PE－PF的值.2ADEBCADBCFE(1)探究AE′與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2)當(dāng)α＝30°時(shí)，求證：△AOE′為直角三角形.B(1)求證：AC＝AD；(2)若∠B＝60°，求證：四邊形ABCD是菱形；.(1)求證：EF＝EG；(2)如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變．(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，將(2)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，其EF他條件不變，若AB＝a,BC＝b，求的值．[來(lái)源:ZXXK]EG(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；(2)如果DE2＝BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形．ADBECF寫(xiě)出m的取值范圍．(1)求證：△ADE≌△BCE；(5分)(2)求∠AFB的度數(shù)．(5分).(1)求證：△BEC≌△DEC；(2)延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB＝140o，求∠AFE的度數(shù)．DCFAFEBADOEBC32.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若∠ACB＝30o，菱形OCED的面積為83，求AC的長(zhǎng)．(1)求證：∠(1)求證：∠ADP＝∠EPB；(2)求∠CBE的度數(shù)；3)當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，△PFD∽△BFP？并說(shuō)明理由.GAA32BF(第(第25題)①DECABDECFADEBF(第(第25題)③⑵方法遷移：如圖②，將RtABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且22試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想(不必說(shuō)明理由)．.DCABDDA'ABDA(A')CB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.EPPQABGCF拓展延伸37.(20011XX鎮(zhèn)江,25,6分)已知:如圖1,圖形①滿足:AD=AB,MD=MB,∠A=72°,∠M=144°.圖形②與圖形(1)圖中①中∠B=___度,圖中②中∠E=____度.[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)](2)小明有兩種紙片各若干張,其中一種紙片的形狀與大小與圖形①相同,這咱紙片稱(chēng)為“風(fēng)箏一號(hào)”另一種紙片的形狀與大小與圖形②相同,這種紙片稱(chēng)為“飛鏢一號(hào)”.邊長(zhǎng)為b的正十邊形,需要這種紙片____張;∠P=72°,∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.莊股你在圖窮匕見(jiàn)中畫(huà)出拼接線并保留畫(huà)圖痕跡.(本題中均為無(wú)重疊、無(wú)縫隙拼接).⑴說(shuō)明四邊形ACEF是平行四邊形；⑵當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說(shuō)明理由．(2)尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG(要求：只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明)；(3)連接(2)中的KF，猜想并寫(xiě)出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想；CE1S (4)當(dāng)=時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出正方形ABCD的值.正方形DEFGGADKBEC.AA(D)lB(E)ABDHElCF連接EB，問(wèn)△ABE是什么特殊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.DAECBP矩形、菱形與正方形解答題GHHAEaABHADEABHAEHADEABBAD－(180°－a)＝90°＋a．22CD22∴∠DHA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．[來(lái)源:ZXXK]由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，∵HE=HG(已證)，∴GH=GF=FG=FE，∴四邊形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG(已證)，∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG∵l∥l，∴∠2=∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°,BA=DC，23121221.22422的增大而增大.②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AFCFxcm,則BF(8x)cm在RtABF中,AB4cmQ所述,a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是ab12(ab0)ABPFEQDABCEPFDQCABEPFQDCAPBEFDQC4.【答案】∵四邊形ABCD為菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF(SAS)證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵M(jìn)N∥BC,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°分DFDE則，F(xiàn)CEPEMEF11PEMEF11ENEG22EMEF31EGGFEF12315.∴.ENEG155(2)證明：作MH∥BC交AB于點(diǎn)H，.(2)不能．過(guò)M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為點(diǎn)E，則ME=AD=1,由(1)知∠KNM=∠KMN．∴MK=NK．又1111MK≥ME,∴NK≥1．∴S=NK.ME．∴△MNK的面積最小值為，不可能小于．MNK2222(3)分兩種情況：情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合．1∴S=S=12.6=1.3．(情況一)MNKACK2情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC．1即MK=NK=2.6．∴S=S=12.6=1.3．MNKACK2四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，(2)∵四邊形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°12∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)∴DF＝2DC，BE＝2AB∴DF∥BE，DF＝BE1DEC.11OD1則OD=AB∵AB=AO∴OD=AO∴在Rt△AOD中，tan11OD122OA21解法2∵四邊形ADCE是菱形∴AO=CO=AC，AD=CD，∠AOD=90°，∵AB=AO∴AB=AC22AC22OAEOCFO(2)由(1)得AF=AE=10設(shè)AB=a，BF=b，得a2+b2=100①，ab=48②PAEPAOAE∴=，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP又AC=2AO∴2AE2=AC·APAEAP15.【答案】(1)證明：四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，2)解法一：PD=8-t∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，mODAD5877∴△ODP∽△ADB，∴=，即=，解得t=,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形.PDBD8t104477∴t2+62=(8t)2，解得t=,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD7744.頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為22(2)四邊形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△22222⊿APB中，PA＝AB＝a?！帱c(diǎn)P22222222 (3)a＜h≤2a。當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為a，然后頂點(diǎn)A在x軸正半軸上向左222時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最大為2a，然后又逐漸減小到a，∵x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O，22∴點(diǎn)P到x軸的距離的取值范圍是a＜h≤2a。22.111EBBFFCCG122t4t222EBBF84t2t333GCCF即=，解得t＝，又t＝滿足0≤t84t2t333GCCF122t4t3332 32D2ABCDACBDPFBDPFACPE/BD.2∴PE－PF=OF－BF=OB=acos45o=a.21∴CE=AD=BCDE=AC∴DE=CE=BC∴DE=BE2在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴⊿ABF≌⊿ECF．(2)解法一：∵AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴AF=EF，BF=CF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．FAFEFBFCAEBC．∴□ABEC是矩形．解法二：∵AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．BF(2)作△AOE′的中線AM，如圖3.則OE′＝2OM＝2OD＝2OA∴OA＝OM25.【解】(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，D(2)證明：∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，GEBBEFDEF∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB，∴∠IEF＝∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF＝EG．EMCEENEMCEENABCAADEMABaENADb∴＝＝,∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FENENADb.EFENbEGEMa案】(1)連接BD．∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BFEGEMa案】(1)連接BD．∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，CD=CF．ADBEFCEFCE (2)∵DE2=BE·CE，EF=DE，∴EF2=BE·CE．∴=．BEEFC由(1)知四邊形ABFC是平行四邊形，∴證四邊形ABFC是矩形．(OB=OC|OE=OFPBBC又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴=，DAAPAP4∴=，∴AP=2或8，∴存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，出此時(shí)AP的長(zhǎng)2或8．4APABBCm416∴△ABC∽△DAP，∴=，即=，∴AP=．DAAP4APmABABBCm4.22(3)由已知PQ⊥PD，所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí)，△PQD為等腰三角形(如圖)，QBP2222(2)∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．31.【答案】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形∴CD＝CB，32.【答案】解：(1)證明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四邊形OCED是平行四邊形．DADOEFBC圖2FC(2)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠EGP＝∠A＝90°···3分DAPCFBEGA213BF(第34題)②解得圖DEEMCBPHQFANGC(3)方法一：當(dāng)AP=1時(shí)，△PFE∽△BFP.AB2∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF設(shè)AD＝AB＝a，則AP＝PB＝1a，∴BF＝BP·AP=1a2AD424PDPF5又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP方法二：假設(shè)△ADP∽△BFP，則PB=BF.∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPFPDPFPFBFBF