《高等數(shù)學(xué)一》教學(xué)大綱

PAGEPAGE1“高等數(shù)學(xué)一”課程教學(xué)大綱課程代碼：高等數(shù)學(xué)一（1）08041011高等數(shù)學(xué)一（2）08041012課程名稱：高等數(shù)學(xué)一/AdvancedMathematicsone學(xué)時：176學(xué)時學(xué)分：11適用專業(yè)：計(jì)算機(jī)類本科開課學(xué)期：第一、二學(xué)期開課部門：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院先修課程：初等數(shù)學(xué)考核要求：閉卷考試（考試成績和平時成績各占70％和30％）使用教材及主要參考書：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編，《高等數(shù)學(xué)》第六版，高等教育出版社，2007年四川大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)》第三版，高等教育出版社，1995年金路、童裕孫、於崇華等編，《高等數(shù)學(xué)（第三版）》，年一、課程的性質(zhì)和任務(wù)二、課程的目的與要求三、學(xué)時分配章節(jié)課程內(nèi)容學(xué)時高等數(shù)學(xué)一（1）總80學(xué)時1函數(shù)與極限142導(dǎo)數(shù)與微分163微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用164不定積分145定積分126定積分的應(yīng)用8高等數(shù)學(xué)一（2）總96學(xué)時7微分方程148空間解析幾何與向量代數(shù)189多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1810重積分1611曲線積分與曲面積分1612無窮級數(shù)14合計(jì)176四、教學(xué)中應(yīng)注意的的問題在教學(xué)中應(yīng)講練相結(jié)合，讓學(xué)生多做練習(xí)。在教學(xué)過程中增強(qiáng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力。五、教學(xué)內(nèi)容第一章函數(shù)與極限1、基本內(nèi)容：映射與函數(shù)，數(shù)列的極限，函數(shù)的極限，無窮小與無窮大，極限運(yùn)算法則，極限存在準(zhǔn)則，兩個重要極限，無窮小的比較，函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2、教學(xué)要求：理解確定函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，熟悉分段函數(shù)。了解函數(shù)的主要性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性)。了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。了解極限的概念，知道數(shù)列極限的“ε－Ｎ”定義和函數(shù)極限的描述性定義,會求左右極限。理解無窮小的概念,掌握無窮小的性質(zhì)，以及無窮小的比較等關(guān)系。掌握極限的四則運(yùn)算法則。理解夾逼定理，了解單調(diào)有界數(shù)列必有極限的原理，熟悉兩個重要極限，會用兩個重要極限計(jì)算函數(shù)的極限。理解高階、同階及低階無窮小的概念，掌握等價無窮小替代方法。理解函數(shù)連續(xù)性的定義,會求函數(shù)的間斷點(diǎn),會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。熟悉連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性。掌握求復(fù)合函數(shù)的極限的換元法。了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：理解函數(shù)、極限和連續(xù)性的概念，掌握極限運(yùn)算規(guī)律，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4.教學(xué)建議：建議安排一次求極限為主的習(xí)題課。第二章導(dǎo)數(shù)與微分1、基本內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的概念，函數(shù)的求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的微分。2、教學(xué)要求：理解導(dǎo)數(shù)的定義，能從定義出發(fā)判斷分段函數(shù)的可導(dǎo)性。熟練掌握函數(shù)的和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法。理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義。理解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系。掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法。熟練掌握隱函數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法。理解微分的定義及幾何意義。會用一階微分形式不變性及微分的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的微分。能用微分進(jìn)行近似計(jì)算。3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)與微分的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義；熟練掌握各種求導(dǎo)方法，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.教學(xué)建議：加強(qiáng)訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握求導(dǎo)公式，微分公式及初等函數(shù)的求導(dǎo)。對公式的建立不強(qiáng)求嚴(yán)格證明，應(yīng)把主要精力放在使用上。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、基本內(nèi)容：微分中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性，函數(shù)的極值與最大值最小值，函數(shù)圖形的描繪，曲率。2、教學(xué)要求：理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會用它們證明一些等式或不等式。了解泰勒中值定理的條件與結(jié)論，會用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算。熟練掌握洛必達(dá)法則。理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)號的關(guān)系。掌握利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的方法。掌握極值的概念及其求法。明確函數(shù)的最大（?。┲蹬c極大（小）值在概念上的區(qū)別，掌握最大（小）值的求法。了解函數(shù)的圖形的凹凸性與拐點(diǎn)的概念。會利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線等作函數(shù)的圖形。了解弧微分、曲率、曲率圓等概念。3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：用洛必達(dá)法則求未定式的極限以及用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。4.教學(xué)建議：教學(xué)上，本章理論性較強(qiáng)，學(xué)生往往難以理解，證明題學(xué)生常感到困惑，因此教學(xué)中注意放慢速度，注意證明過程中的分析及基本思路。第四章不定積分1、基本內(nèi)容：不定積分的概念與性質(zhì)，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分，積分表的使用。2、教學(xué)要求：理解原函數(shù)與不定積分的概念。掌握不定積分的性質(zhì)與積分基本公式。熟練掌握不定積分的兩類換元法。熟練掌握不定積分的分部積分法。能將一個有理真分式分解成幾個部分分式之各并積分。變量代換求三角函數(shù)有理式的積分。會求簡單無理函數(shù)的積分。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：換元法及分部積分法。4、教學(xué)建議：求不定積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算，是微積分學(xué)的重要組成部分，但積分較求導(dǎo)更具靈活性，需通過大量練習(xí)來熟悉各種積分方法。第五章定積分1、基本內(nèi)容：定積分的概念與性質(zhì)，微積分基本公式，定積分的換元法和分部積分法，反常積分。2、教學(xué)要求：理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義。了解可各函數(shù)類。掌握定積分的性質(zhì)。解變限函數(shù)及其性質(zhì)。熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式。熟練掌握定積分的換元法以及分部積分法。了解反常積分的概念，會求反常積分。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：定積分的定義和性質(zhì)、微積分基本定理，定積分的計(jì)算方法。4.教學(xué)建議：關(guān)于定積分的概念，抓住定義中的本質(zhì)內(nèi)容，分割、近似、求和、取極限來進(jìn)行闡述，并能解釋定義和有關(guān)性質(zhì)的幾何意義，幫助加深和理解。第六章定積分的應(yīng)用1、基本內(nèi)容：定積分的元素法，定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用。2、教學(xué)要求：掌握定積分元素法。掌握平面圖形面積的計(jì)算方法。掌握求旋轉(zhuǎn)體的體積公式以及求平行截面面積為已知的立體的體積。了解求平面曲線段的弧長及旋轉(zhuǎn)曲面的面積的方法。了解計(jì)算變力作功的方法。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：定積分在幾何上的應(yīng)用。4.教學(xué)建議：注意講練結(jié)合。第七章微分方程1、基本內(nèi)容：微分方程的基本概念，可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，全微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線微分方程。2、教學(xué)要求：了解微分方程的基本概念，能熟練識別變量可分離的方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利微分方程等四種類型的微分方程，并掌握它們的解法。理解全微分方程的通解公式，初步了解用微分方程解決實(shí)際問題的三個主要步驟。掌握高階微分方程的降階法，理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法以及二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（待定系數(shù)法）。3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：變量可分離的方程，一階線性微分方程，線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)線性微分方程。4.教學(xué)建議：二階常系數(shù)線性微分方程主要介紹齊次微分方程的解法，對于非齊次可稍作介紹。第八章空間解析幾何與向量代數(shù)1、基本內(nèi)容：向量及其線性運(yùn)算，數(shù)量積、向量積，曲面及其方程，空間曲線及其方程，平面及其方程，空間直線及其方程。2、教學(xué)要求：理解向量概念，理解向量在軸上的投影、向量的直角分解及向量的坐標(biāo)等概念，理解投影與坐標(biāo)的關(guān)系；會用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算；理解方向角、方向余弦的定義及其坐標(biāo)計(jì)算公式。理解兩向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算規(guī)律及其直角坐標(biāo)計(jì)算公式。理解兩向量向量積的定義、運(yùn)算規(guī)律及其直角坐標(biāo)計(jì)算公式。能由給出的條件，熟練地建立平面方程和直線方程。理解平面與平面、平面與直線、直線與直線之間平行、垂直的條件。會求點(diǎn)到平面、點(diǎn)到直線的距離，會求兩平行平面、兩平行直線、兩異面直線的距離。熟悉旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的圖形與方程，了解二次曲面的圖形與標(biāo)準(zhǔn)方程。熟悉空間曲線的投影柱面及在坐標(biāo)面上的投影。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：矢量的概念，矢量的坐標(biāo)，矢量的數(shù)量積，平面方程，直線方程，曲線和曲面方程概念。4.教學(xué)建議：向量的數(shù)量積和矢量積的分配律和結(jié)合律可不證。第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、基本內(nèi)容：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，區(qū)域二元函數(shù)的幾何表示，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，高階偏導(dǎo)數(shù)，全微分的幾何意義，全導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，混合偏導(dǎo)數(shù)，可交換求導(dǎo)秩序的條件，全微分存在的充分條件。2、教學(xué)要求：理解二元函數(shù)的定義，會求定義域。知道二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念。理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法。理解全微分的概念。了解多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微三者之間的關(guān)系，并注意與一元函數(shù)中連續(xù)、可導(dǎo)、可微三者之間關(guān)系的差別。熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的微分法。理解全微分形式的不變性。掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法。熟悉曲線的切線及法平面、曲面的切平面及法線的求法。熟悉方向?qū)?shù)的概念和計(jì)算公式。了解梯度的概念和計(jì)算方法以及梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系。掌握多元函數(shù)無條件極值和條件極值的求法。掌握多元函數(shù)最大（?。┲档那蠓?。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。4.教學(xué)建議：復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)只著重介紹求導(dǎo)法則，會求簡單函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)即可，不要求作繁難習(xí)題。第十章重積分1、基本內(nèi)容：二重積分的概念與性質(zhì)，二重積分的計(jì)算法，三重積分，重積分的應(yīng)用。2、教學(xué)要求：理解二重積分的概念，了解二重積分的幾何意義和物理意義。了解二重積分的性質(zhì)，并會用這些性質(zhì)簡化二重積分的計(jì)算。熟練掌握將二重積分化為二次積分的計(jì)算方法。能用二重積分的元素法解簡單的應(yīng)用題。能用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。知道三重積分的一些應(yīng)用。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：二重積分的計(jì)算方法。4.教學(xué)建議：二重積分化為累次積分公式、二重積分的面積元素以及從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的公式等，都只作幾何說明。第十一章曲線積分與曲面積分1、基本內(nèi)容：對弧長的曲線積分，對坐標(biāo)的曲線積分，格林公式及其應(yīng)用，對面積的曲面積分，對坐標(biāo)的曲面積分，高斯公式、通量與散度，斯托克斯公式、環(huán)流量與旋度。2、教學(xué)要求：理解兩類（平面）曲線積分的概念，掌握兩類曲線積分的計(jì)算法，知道兩類曲線積分的聯(lián)系，了解兩類曲線各分的性質(zhì)，會用曲線積分計(jì)算一些幾何上、物理上的應(yīng)用題。了解兩類曲面積分的概念，掌握兩類曲面積分的計(jì)算法，知道兩類曲面積分的聯(lián)系，會用曲面積分計(jì)算一些幾何問題與物理問題。熟悉格林公式。掌握曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件。會求全微分的原函數(shù)。掌握高斯公式，了解斯托克斯公式，了解散度和旋度的計(jì)算公式。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：對曲線積分的計(jì)算，對面積積分的計(jì)算，格林公式4.教學(xué)建議：注重習(xí)題課訓(xùn)練。第十二章無窮級數(shù)1、基本內(nèi)容：常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)，函數(shù)展開成冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用，傅里葉級數(shù)。2、教學(xué)要求：理解級數(shù)收斂、發(fā)散及收斂級數(shù)的和等概念，了解級數(shù)的性質(zhì)，熟悉幾何級數(shù)和p級數(shù)的收斂性。掌握判定正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較審斂法、極限審斂法、比值審斂法；會用根值審斂法。掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨審斂法，并能估計(jì)交錯級數(shù)的截?cái)嗾`差。了解級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念。了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念。熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。了解函數(shù)的泰勒級數(shù)展開，熟記一五個常用函數(shù)的麥克勞林展開式，會利用這些展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)。會運(yùn)用冪級數(shù)的運(yùn)算法