晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)性

關(guān)于晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)性第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.宏觀對(duì)稱(chēng)性的數(shù)學(xué)描述

晶體的對(duì)稱(chēng)性有宏觀對(duì)稱(chēng)性和微觀對(duì)稱(chēng)性之分，前者指晶體的外形對(duì)稱(chēng)性，后者指晶體微觀結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性。本節(jié)我們主要學(xué)習(xí)晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)性。主要內(nèi)容：1.宏觀對(duì)稱(chēng)元素4.群/對(duì)稱(chēng)操作群5.宏觀對(duì)稱(chēng)性與物理性質(zhì)3.三種幾何體的對(duì)稱(chēng)操作1-5晶體的宏觀對(duì)稱(chēng)性第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體的對(duì)稱(chēng)性晶體外部形態(tài)的對(duì)稱(chēng)性，稱(chēng)為宏觀對(duì)稱(chēng)性。晶體外形具有有限的大小，所有的對(duì)稱(chēng)元素都必須相交于晶體內(nèi)部的某一點(diǎn)。因此，宏觀對(duì)稱(chēng)性又叫做點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性。（1.5，1.6節(jié)）晶體內(nèi)原子排列的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為微觀對(duì)稱(chēng)性，它是晶體內(nèi)部原子無(wú)限排列所具有的對(duì)稱(chēng)性。（1.7節(jié)）晶體宏觀對(duì)稱(chēng)性是微觀對(duì)稱(chēng)性的外在表現(xiàn)，晶體微觀對(duì)稱(chēng)性則是宏觀對(duì)稱(chēng)性的基礎(chǔ)。第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱(chēng)是指物體相同部分作有規(guī)律的重復(fù)。不改變物體/圖形中任何兩點(diǎn)的距離而能使圖形復(fù)原的操作叫對(duì)稱(chēng)操作。對(duì)稱(chēng)操作據(jù)以進(jìn)行的幾何要素叫做對(duì)稱(chēng)元素旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)操作：將物體繞通過(guò)其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度使物體復(fù)原的操作。能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角（0°除外）稱(chēng)為基準(zhǔn)角α；物體旋轉(zhuǎn)一周復(fù)原的次數(shù)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸的軸次n，n=360°/α；旋轉(zhuǎn)軸的符號(hào)為Cn；

晶體只存在C2,C3,C4,C6旋轉(zhuǎn)軸；晶體中可存在一條或多條旋轉(zhuǎn)軸。第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一鏡面與反映操作：通過(guò)物體中心的一個(gè)假想面，將物體平分成互為鏡面反映的兩個(gè)相等部分，稱(chēng)為反映操作；反映操作憑借的平面稱(chēng)為反映面或鏡面σ；晶體中可存在一個(gè)或多個(gè)鏡面。對(duì)稱(chēng)中心與反演操作：若物體中存在一點(diǎn)，使得物體中任意一點(diǎn)向此點(diǎn)引連線并延長(zhǎng)到反方向等距離處而能使物體復(fù)原，則這種操作就是反演，這一點(diǎn)稱(chēng)為反演中心i。晶體中最多可有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心。i第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱(chēng)軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱(chēng)素。如：1212345612反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個(gè)復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫(xiě)為In。第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一7ABDCEFGH正四面體既無(wú)四度軸也無(wú)對(duì)稱(chēng)心6=3+m1234566'1234第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個(gè)復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫(xiě)為In。恒等元素E與恒等操作：即物體不動(dòng)的操作。第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作。1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作。(3)中心反演：i。(4)鏡象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符號(hào)表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作：(2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作：(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作：

獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，?；駽1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一立方體對(duì)稱(chēng)性(1)立方軸C4：3個(gè)立方軸；4個(gè)3度軸；(2)體對(duì)角線C3：(3)面對(duì)角線C2：6個(gè)2度軸；第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一各種對(duì)稱(chēng)操作相當(dāng)于坐標(biāo)變換，可用坐標(biāo)變換矩陣表示對(duì)稱(chēng)操作保持圖形形狀和大小不變的幾何變換為正交變換。概括晶體宏觀對(duì)稱(chēng)性的方法是考察晶體在正交變換下的不變性——三維情況下，正交變換的表示——其中矩陣是正交矩陣宏觀對(duì)稱(chēng)性的數(shù)學(xué)描述第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一繞z軸轉(zhuǎn)角的正交矩陣

矩陣行列式等于＋1

中心反演的正交矩陣矩陣行列式等于－1

空間轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演，矩陣行列式等于－1第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱(chēng)操作：一個(gè)物體在某一個(gè)正交變換下保持不變的操作例1：立方體的對(duì)稱(chēng)操作

1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)——9個(gè)對(duì)稱(chēng)操作

物體的對(duì)稱(chēng)操作越多，其對(duì)稱(chēng)性越高第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一——共有6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作2)繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)——8個(gè)對(duì)稱(chēng)操作3)繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)4)

不動(dòng)操作第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一——立方體的對(duì)稱(chēng)操作共有48個(gè)5)以上24個(gè)對(duì)稱(chēng)操作加中心反演仍是對(duì)稱(chēng)操作第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2正四面體的對(duì)稱(chēng)操作

四個(gè)原子位于正四面體的四個(gè)頂角上，正四面體的對(duì)稱(chēng)操作包含在立方體操作之中

第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一1)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)——共有3個(gè)對(duì)稱(chēng)操作——8個(gè)對(duì)稱(chēng)操作2)繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)3)

不動(dòng)操作——1個(gè)對(duì)稱(chēng)操作注：立方軸、體對(duì)角線、面對(duì)角線都是參照立方體的體心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系來(lái)討論的第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一——6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作4)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演——6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作5)繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)加上中心反演正四面體的對(duì)稱(chēng)操作共有24個(gè)，包含在正方體中。第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3正六角柱的對(duì)稱(chēng)操作

1)繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)——5個(gè)——3個(gè)3)繞相對(duì)面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)

——3個(gè)4)

不變操作5)以上12個(gè)對(duì)稱(chēng)操作加中心反演仍是對(duì)稱(chēng)操作——正六面柱的對(duì)稱(chēng)操作有24個(gè)2)繞對(duì)棱中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)

——1個(gè)第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素：是指一個(gè)物體的旋轉(zhuǎn)軸或旋轉(zhuǎn)-反演軸，其簡(jiǎn)潔明了地概括了一個(gè)物體的對(duì)稱(chēng)性。n重旋轉(zhuǎn)軸：一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸2π/n以及它的倍數(shù)不變時(shí)，這個(gè)軸稱(chēng)為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作n。n重旋轉(zhuǎn)-反演軸：一個(gè)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸2π/n加上中心反演的聯(lián)合操作以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時(shí)，這個(gè)軸稱(chēng)為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作。第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一面對(duì)角線為2重軸，計(jì)為2例1：立方體立方軸為4重軸，計(jì)為4同時(shí)也是4重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為同時(shí)也是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為體對(duì)角線軸為3重軸，計(jì)為3同時(shí)也是3重旋轉(zhuǎn)－反演軸，計(jì)為第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2：正四面體體對(duì)角線軸是3重軸——不是3重旋轉(zhuǎn)－反演軸

立方軸是4重旋轉(zhuǎn)－反演軸——不是4重軸面對(duì)角線是2重旋轉(zhuǎn)－反演軸——不是2重軸第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一一個(gè)特殊的對(duì)稱(chēng)素

：先繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)π，再作中心反演A”點(diǎn)實(shí)際上是A點(diǎn)在通過(guò)中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像，即對(duì)稱(chēng)素實(shí)際是個(gè)鏡面操作，用表示。一個(gè)物體的全部對(duì)稱(chēng)操作的集合，構(gòu)成對(duì)稱(chēng)操作群第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

對(duì)稱(chēng)操作群群：代表一組“元素”的集合，G{E,A,B,C,D……}

這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，并且滿(mǎn)足下列性質(zhì)1)

集合G中任意兩個(gè)元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素

——若A,BG,則AB=CG.

叫作群的封閉性2)

存在單位元素E,使得所有元素滿(mǎn)足：AE=A3)對(duì)于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E4)

元素間的“乘法運(yùn)算”滿(mǎn)足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1：正實(shí)數(shù)群——所有正實(shí)數(shù)(0除外)的集合例2：整數(shù)群——所有整數(shù)的集合注意：一個(gè)物體全部對(duì)稱(chēng)操作的集合滿(mǎn)足上述群的定義，其運(yùn)算法則為連續(xù)操作。以普通乘法為運(yùn)算法則，1為單位元素，x的逆為1/x。以加法為運(yùn)算法則。一個(gè)物體的全部對(duì)稱(chēng)操作的集合，構(gòu)成對(duì)稱(chēng)操作群第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.單位元素——不動(dòng)操作2.任意元素的逆元素——繞轉(zhuǎn)軸角度，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度－；中心反演的逆操作仍是中心反演；3.連續(xù)進(jìn)行A和B操作

——相當(dāng)于C操作A操作——繞OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)/2

B操作——繞OC軸轉(zhuǎn)動(dòng)/2

S’上述操作中S和O沒(méi)動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到T’點(diǎn)

——相當(dāng)于一個(gè)操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動(dòng)2/3第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一上述操作中S和O沒(méi)動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到T’點(diǎn)

——相當(dāng)于一個(gè)操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動(dòng)2/3表示為——群的封閉性可以證明——滿(mǎn)足結(jié)合律S’第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.已知氯化鈉是立方晶體，其相對(duì)分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kg·m-3,試計(jì)算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣常數(shù)。2.硅、鍺半導(dǎo)體材料具有金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)其晶格常數(shù)為a。畫(huà)出（110）面二維格子的原胞，并給出它的基矢。3.對(duì)于六角密積結(jié)構(gòu)的晶體，其原胞基矢為試求1.倒格子基矢；2.晶面簇（210）的面間距。4.對(duì)于立方晶格，密勒指數(shù)為(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的兩個(gè)平面之間的夾角余弦為第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一【1】已知氯化鈉是立方晶體，其相對(duì)分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kg·m-3,試計(jì)算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣常數(shù)。【解】固體密度ρ=Zm/V，其中V是晶胞體積，Z是晶胞中的分子數(shù)，m為分子的質(zhì)量。每個(gè)分子的質(zhì)量m為

于是得到第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一宏觀對(duì)稱(chēng)性與物理性質(zhì)晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)也會(huì)在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)。介電常數(shù)表示為二階張量電位移☆對(duì)于立方對(duì)稱(chēng)的晶體，其為對(duì)角張量因此，介電常數(shù)可看作一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)量第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：立方對(duì)稱(chēng)晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明設(shè)對(duì)稱(chēng)操作對(duì)應(yīng)的正交變換且有介電常數(shù)——在坐標(biāo)變換下第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：立方對(duì)稱(chēng)晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明設(shè)對(duì)稱(chēng)操作對(duì)應(yīng)的正交變換且有介電常數(shù)——在坐標(biāo)變換下A為對(duì)稱(chēng)變換xyX’Y’繞z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一——對(duì)于立方晶體，選取對(duì)稱(chēng)操作A為繞Z軸旋轉(zhuǎn)/2代入第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一進(jìn)一步選取對(duì)稱(chēng)操作B為繞X軸旋轉(zhuǎn)/2，可得最后得到第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)于n階張量形式的物理量，系數(shù)用n階張量表示在坐標(biāo)變換下如果A為對(duì)稱(chēng)操作——