高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

映照與函數(shù)一、會(huì)合會(huì)合觀點(diǎn)會(huì)合(簡(jiǎn)稱(chēng)集):會(huì)合是指擁有某種特定性質(zhì)的事物的整體.用A,B,C.等表示.元素:構(gòu)成會(huì)合的事物稱(chēng)為會(huì)合的元素.a是會(huì)合M的元素表示為aM.會(huì)合的表示:列舉法:把會(huì)合的全體元素一一列舉出來(lái).比如A{a,b,c,d,e,f,g}.描繪法:若會(huì)合M是由元素?fù)碛心撤N性質(zhì)P的元素x的全體所構(gòu)成,則M可表示為A{a1,a2,,an},M{x|x擁有性質(zhì)P}.比如M{(x,y)|x,y為實(shí)數(shù),x2y21}.幾個(gè)數(shù)集:N表示全部自然數(shù)構(gòu)成的會(huì)合,稱(chēng)為自然數(shù)集.N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.R表示全部實(shí)數(shù)構(gòu)成的會(huì)合,稱(chēng)為實(shí)數(shù)集.Z表示全部整數(shù)構(gòu)成的會(huì)合,稱(chēng)為整數(shù)集.Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.Q表示全部有理數(shù)構(gòu)成的會(huì)合,稱(chēng)為有理數(shù)集.p且p與q互質(zhì)}Q{|pZ,qNq子集:若xA,則必有xB,則稱(chēng)A是B的子集,記為AB(讀作A包括于B)或BA.假如會(huì)合A與會(huì)合B互為子集,AB且BA,則稱(chēng)會(huì)合A與會(huì)合B相等,記作AB.若AB且AB,則稱(chēng)A是B的真子集,記作AB.比如,NZQR.不含任何元素的會(huì)合稱(chēng)為空集,記作.規(guī)定空集是任何會(huì)合的子集.2.會(huì)合的運(yùn)算設(shè)A、B是兩個(gè)會(huì)合,由全部屬于A或許屬于B的元素構(gòu)成的會(huì)合稱(chēng)為A與B的并集(簡(jiǎn)稱(chēng)并),記作AB,即AB{x|xA或xB}.設(shè)A、B是兩個(gè)會(huì)合稱(chēng)交),記作AB,即

,由全部既屬于

A又屬于

B的元素構(gòu)成的會(huì)合稱(chēng)為

A與

B的交集(簡(jiǎn)AB{x|xA且xB}.設(shè)A、B是兩個(gè)會(huì)合,由全部屬于稱(chēng)差),記作AB,即

A而不屬于

B的元素構(gòu)成的會(huì)合稱(chēng)為

A與

B的差集(簡(jiǎn)AB{x|xA且xB}.集.

假如我們研究某個(gè)問(wèn)題限制在一個(gè)大的會(huì)合I中進(jìn)行,所研究的其余會(huì)合C此時(shí),我們稱(chēng)會(huì)合I為全集或基本集.稱(chēng)I\A為A的余集或補(bǔ)集,記作A.

A都是

I的子會(huì)合運(yùn)算的法例:設(shè)A、B、C為隨意三個(gè)會(huì)合,則(1)互換律ABBA,ABBA;(2)聯(lián)合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分派律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);CCCCCC(4)對(duì)偶律(AB)AB,(AB)AB.CCC的證明:(AB)ABx(AB)CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以(AB)CACBC.直積(笛卡兒乘積):設(shè)A、B是隨意兩個(gè)會(huì)合,在會(huì)合A中隨意取一個(gè)元素x,在會(huì)合B中隨意取一個(gè)元素y,構(gòu)成一個(gè)有序?qū)?x,y),把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略?它們?nèi)w構(gòu)成的會(huì)合稱(chēng)為會(huì)合A與會(huì)合B的直積,記為AB,即AB{(x,y)|xA且yB}.2比如,RR{(x,y)|xR且yR}即為xOy面上全體點(diǎn)的會(huì)合,RR常記作R.區(qū)間和鄰域有限區(qū)間:設(shè)a<b,稱(chēng)數(shù)集{x|a<x<b}為開(kāi)區(qū)間,記為(a,b),即(a,b){x|a<x<b}.近似地有[a,b][a,b)

{x|axb}稱(chēng)為閉區(qū)間,{x|ax<b}、(a,b]{x|a<xb}稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間

.此中a和b稱(chēng)為區(qū)間(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端點(diǎn),ba稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度.無(wú)窮區(qū)間:[a,){x|ax},(,b]{x|x<b},(,){x||x|<}.區(qū)間在數(shù)軸上的表示:鄰域:以點(diǎn)設(shè)是一正數(shù),

a為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為點(diǎn)則稱(chēng)開(kāi)區(qū)間(a,a)為點(diǎn)a的U(a,){x|a<x<a}{x||xa|<}.

a的鄰域鄰域,

,記作U(a).記作U(a,),

即此中點(diǎn)a稱(chēng)為鄰域的中心,稱(chēng)為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,):U(a,){x|0<|xa|<}二、映照映照的觀點(diǎn)定義設(shè)X、Y是兩個(gè)非空會(huì)合,假如存在一個(gè)法例f,使得對(duì)X中每個(gè)元素x,按法例f,在Y中有獨(dú)一確立的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f為從X到Y(jié)的映照,記作f:XY,此中y稱(chēng)為元素x(在映照f(shuō)下)的像,并記作f(x),即yf(x),而元素x稱(chēng)為元素y(在映照f(shuō)下)的一個(gè)原像;會(huì)合X稱(chēng)為映照f(shuō)的定義域,記作Df,即Df

X;X中全部元素的像所構(gòu)成的會(huì)合稱(chēng)為映照

f的值域

,

記為

Rf,

或f(X),

即Rf

f(X)

{f(x)|x

X}.需要注意的問(wèn)題:(1)構(gòu)成一個(gè)映照一定具備以下三個(gè)因素

:會(huì)合

X,

即定義域

D

f

X;

會(huì)合

Y,

即值域的范圍:RfY;對(duì)應(yīng)法例f,使對(duì)每個(gè)xX,有獨(dú)一確立的yf(x)與之對(duì)應(yīng).(2)對(duì)每個(gè)xX,元素x的像y是獨(dú)一的;而對(duì)每個(gè)yRf,元素y的原像不必定是獨(dú)一的;映照f(shuō)的值域Rf是Y的一個(gè)子集,即RfY,不必定RfY.例1設(shè)f:RR,對(duì)每個(gè)xR,f(x)x2.明顯,f是一個(gè)映照,f的定義域DfR,值域Rf{y|y0},它是R的一個(gè)真子集.對(duì)于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是獨(dú)一的.如y4的原像就有x2和x2兩個(gè).例2設(shè)X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,對(duì)每個(gè)(x,y)X,有獨(dú)一確立的(x,0)Y與之對(duì)應(yīng).明顯f是一個(gè)映照,f的定義域DfX,值域RfY.在幾何上,這個(gè)映照表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間[1,1]上.(3)f:[,][1,1],對(duì)每個(gè)x[,],f(x)sinx.2222f是一個(gè)映照,定義域Df[2,],值域Rf[1,1].2滿(mǎn)射、單射和雙射:設(shè)f是從會(huì)合X到會(huì)合Y的映照,若RfY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱(chēng)f為X到Y(jié)上的映照或滿(mǎn)射;若對(duì)X中隨意兩個(gè)不一樣元素x1x2,它們的像f(x1)f(x2),則稱(chēng)f為X到Y(jié)的單射;若映照f(shuō)既是單射,又是滿(mǎn)射,則稱(chēng)f為一一映照(或雙射).上述三例各是什么映照？逆映照與復(fù)合映照設(shè)f是X到Y(jié)的單射,則由定義,對(duì)每個(gè)yRf,有獨(dú)一的xX,合適f(x)y,于是,我們可定義一個(gè)從Rf到X的新映照g,即g:RfX,1,其定義域?qū)γ總€(gè)yRf,規(guī)定g(y)x,這x知足f(x)y.這個(gè)映照g稱(chēng)為f的逆映照,記作fDf1Rf,值域Rf1X.按上述定義,只有單射才存在逆映照.上述三例中哪個(gè)映照存在逆映照？設(shè)有兩個(gè)映照g:XY1,f:Y2Z,此中Y1Y2.則由映照g和f能夠定出一個(gè)從X到Z的對(duì)應(yīng)法例,它將每個(gè)xX映照成f[g(x)]Z.明顯,這個(gè)對(duì)應(yīng)法例確立了一個(gè)從X到Z的映照,這個(gè)映照稱(chēng)為映照g和f構(gòu)成的復(fù)合映照,記作fog,即fog:XZ,(fog)(x)f[g(x)],xX.應(yīng)注意的問(wèn)題:映照g和f構(gòu)成復(fù)合映照的條件是:g的值域Rg一定包括在f的定義域內(nèi),RgDf.不然,不可以構(gòu)成復(fù)合映照.由此能夠知道,映照g和f的復(fù)合是有次序的,fog存心義其實(shí)不表示gof也存心義.即便fog與gof都存心義,復(fù)映照f(shuō)og與gof也未必同樣.例4設(shè)有映照g:R[1,1],對(duì)每個(gè)xR,g(x)sinx,映照f(shuō):[1,1][0,1],對(duì)每個(gè)u[1,1],f(u)1u2.則映照g和f構(gòu)成復(fù)映照f(shuō)og:R[0,1],對(duì)每個(gè)xR,有(fg)(x)f[g(x)]f(sinx)1sin2x|cosx|.三、函數(shù)1.函數(shù)觀點(diǎn)定義設(shè)數(shù)集DR,則稱(chēng)映照f(shuō):DR為定義在D上的函數(shù),往常簡(jiǎn)記為yf(x),xD,此中x稱(chēng)為自變量,y稱(chēng)為因變量,D稱(chēng)為定義域,記作Df,即DfD.應(yīng)注意的問(wèn)題:記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)其余,前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法例,爾后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.但為了表達(dá)方便,習(xí)慣上常用記號(hào)“f(x),xD”或“y=f(x),xD”來(lái)表示定義在D上的函數(shù),這時(shí)應(yīng)理解為由它所確立的函數(shù)f.函數(shù)符號(hào):函數(shù)yf(x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的記號(hào)f也可改用其余字母,比如“F”,“”等.此時(shí)函數(shù)就記作y(x),yF(x).函數(shù)的兩因素:函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映照,其值域總在R內(nèi),所以構(gòu)成函數(shù)的因素是定義域Df及對(duì)應(yīng)法例f.假如兩個(gè)函數(shù)的定義域同樣,對(duì)應(yīng)法例也同樣,那么這兩個(gè)函數(shù)就是同樣的,不然就是不一樣的.函數(shù)的定義域:函數(shù)的定義域往常按以下兩種情況來(lái)確立:一種是對(duì)有實(shí)質(zhì)背景的函數(shù),依據(jù)實(shí)質(zhì)背景中變量的實(shí)質(zhì)意義確立.求定義域舉例:求函數(shù)y1x24的定義域.x要使函數(shù)存心義,一定x0,且x240.解不等式得|x|2.所以函數(shù)的定義域?yàn)镈{x||x|2},或D(,2][2,]).單值函數(shù)與多值函數(shù):在函數(shù)的定義中，對(duì)每個(gè)xD,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y老是獨(dú)一的,這樣定義的函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù).假如給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法例,按這個(gè)法例,對(duì)每個(gè)xD,總有確立的y值與之對(duì)應(yīng),但這個(gè)y不老是獨(dú)一的,我們稱(chēng)這類(lèi)法例確立了一個(gè)多值函數(shù).比如,設(shè)變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法例由方程x2y2r2給出.明顯,對(duì)每個(gè)x[r,r]，由方程x2y2r2,可確立出對(duì)應(yīng)的y值,當(dāng)xr或xr時(shí),對(duì)應(yīng)y0一個(gè)值;當(dāng)x取(r,r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí),對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值.所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù).對(duì)于多值函數(shù),常常只需附帶一些條件,就能夠?qū)⑺癁閱沃岛瘮?shù),這樣獲得的單值函數(shù)稱(chēng)為多值函數(shù)的單值分支.比如,在由方程x222給出的對(duì)應(yīng)法例中,附帶“y0”的條yr件,即以“x2y2r2且y0”作為對(duì)應(yīng)法例,便可獲得一個(gè)單值分支yy1(x)r2x2;附加“y0”的條件,即以“x222且y0”作為對(duì)應(yīng)法例,便可獲得另一個(gè)單值分支yryy2(x)r2x2.表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、分析法(公式法),這在中學(xué)里大家已經(jīng)熟習(xí).此中,用圖形法表示函數(shù)是鑒于函數(shù)圖形的觀點(diǎn),即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{P(x,y)|yf(x),xD}稱(chēng)為函數(shù)yf(x),xD的圖形.圖中的Rf表示函數(shù)yf(x)的值域.函數(shù)的例子:xx0例.函數(shù)y|x|xx0.稱(chēng)為絕對(duì)值函數(shù).其定義域?yàn)镈(,),值域?yàn)镽f[0,).1x0例.函數(shù)ysgnx0x0.1x0稱(chēng)為符號(hào)函數(shù).其定義域?yàn)镈(,),值域?yàn)镽f{1,0,1}.例設(shè)x為任上實(shí)數(shù).不超出x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分,記作[x].函數(shù)y[x]稱(chēng)為取整函數(shù).其定義域?yàn)镈(,),值域?yàn)镽fZ.51,[3.5]4.[]0,[2]1,[]3,[1]7分段函數(shù):在自變量的不一樣變化范圍中,對(duì)應(yīng)法例用不一樣式子來(lái)表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).2x0x1例。函數(shù)yxx1.1這是一個(gè)分段函數(shù),其定義域?yàn)镈[0,1](0,)[0,).當(dāng)0x1時(shí),y2x;當(dāng)x>1時(shí),y1x.比如f(1)212;f(1)212;f(3)134.222.函數(shù)的幾種特征(1)函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集XD.假如存在數(shù)K1,使對(duì)任一xX,有f(x)K1,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有上界,而稱(chēng)K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界.圖形特色是yf(x)的圖形在直線yK1的下方.假如存在數(shù)K2,使對(duì)任一xX,有f(x)K2,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界,而稱(chēng)K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界.圖形特色是,函數(shù)yf(x)的圖形在直線yK2的上方.假如存在正數(shù)M,使對(duì)任一xX,有|f(x)|M,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界;假如這樣的M不存在,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.圖形特色是,函數(shù)yf(x)的圖形在直線yM和yM的之間.函數(shù)f(x)無(wú)界,就是說(shuō)對(duì)任何M,總存在x1X,使|f(x)|>M.比如(1)f(x)sinx在(,)上是有界的:|sinx|1.(2)函數(shù)f(x)1在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)上界的.或許說(shuō)它在(0,1)內(nèi)有下界,無(wú)上界.x這是因?yàn)?對(duì)于任一M>1,總有x1:0x111,使M1f(x1)M,x1所以函數(shù)無(wú)上界.函數(shù)f(x)1在(1,2)內(nèi)是有界的.x(2)函數(shù)的單一性設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間ID.假如對(duì)于區(qū)間I上隨意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)<f(x2),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單一增添的.假如對(duì)于區(qū)間I上隨意兩點(diǎn)x1及x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)>f(x2),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單一減少的.單一增添和單一減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單一函數(shù).函數(shù)單一性舉例:函數(shù)yx2在區(qū)間(,0]上是單一增添的,在區(qū)間[0,)上是單一減少的,在（,）上不是單一的.(3)函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(即若xD,則xD).假如對(duì)于任一xD,有f(x)f(x),則稱(chēng)f(x)為偶函數(shù).假如對(duì)于任一xD,有f(x)f(x),則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng),奇函數(shù)的圖形對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),奇偶函數(shù)舉例:yx2,ycosx都是偶函數(shù).yx3,ysinx都是奇函數(shù),ysinxcosx是非奇非偶函數(shù).(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.假如存在一個(gè)正數(shù)l,使得對(duì)于任一xD有(xl)D,且f(xl)f(x)則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù),l稱(chēng)為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特色:在函數(shù)的定義域內(nèi),每個(gè)長(zhǎng)度為l的區(qū)間上,函數(shù)的圖形有同樣的形狀.3．反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù):設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映照f(shuō)1:f(D)D,稱(chēng)此映照f(shuō)1為函數(shù)f的反函數(shù).按此定義,對(duì)每個(gè)yf(D),有獨(dú)一的xD,使得f(x)y,于是有f1x.(y)這就是說(shuō),反函數(shù)f1的對(duì)應(yīng)法例是完整由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法例所確立的.一般地,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf1(x),xf(D).若f是定義在D上的單一函數(shù),則f:Df(D)是單射,于是f的反函數(shù)f1必然存在,并且簡(jiǎn)單證明f1也是f(D)上的單一函數(shù).相對(duì)于反函數(shù)yf1(x)來(lái)說(shuō),本來(lái)的函數(shù)yf(x)稱(chēng)為直接函數(shù).把函數(shù)yf(x)和它的反函數(shù)1,這兩個(gè)圖形對(duì)于直線yx是對(duì)稱(chēng)的.這是因?yàn)榧偃鏟(a,yf(x)的圖形畫(huà)在同一坐標(biāo)平面上b)是yf(x)圖形上的點(diǎn),則有bf(a).按反函數(shù)的定義,有af1(b),故Q(b,a)是yf1(x)圖形上的點(diǎn);反之,若Q(b,a)是yf1(x)圖形上的點(diǎn),則P(a,b)是yf(x)圖形上的點(diǎn).而P(a,b)與Q(b,a)是對(duì)于直線yx對(duì)稱(chēng)的.復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映照的一種特例,依據(jù)往常函數(shù)的記號(hào),復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)可以下表述.設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由下式確立的函數(shù)yf[g(x)],xD稱(chēng)為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱(chēng)為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)往常記為fg,即(fg)f[g(x)].與復(fù)合映照同樣,g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)fg的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.不然,不可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).比如,yf(u)arcsinu,的定義域?yàn)閇1,1],ug(x)21x2在D[1,3][3,1]上22有定義,且g(D)[1,1],則g與f可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)yarcsin21x2,xD;但函數(shù)yarcsinu和函數(shù)u2x2不可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù),這是因?yàn)閷?duì)任xR,u2x2均不在arcsinu的定義域[1,1]內(nèi).多個(gè)函數(shù)的復(fù)合:4.函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域挨次為D1,D2,DD1D2,則我們能夠定義這兩個(gè)函數(shù)的以下運(yùn)算:和(差)fg:(fg)(x)f(x)g(x),xD;積fg:(fg)(x)f(x)g(x),xD;商f:(f)(x)f(x),xD\{x|g(x)0}.ggg(x)例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l,l),證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)g(x)h(x).剖析假如f(x)g(x)h(x),則f(x)g(x)h(x),于是g(x)1f(x)],h(x)1f(x)].[f(x)[f(x)22證作g(x)1[f(x)f(x)],h(x)1[f(x)f(x)],則f(x)g(x)h(x),22且1g(x)[f()f(x)]g(x),2xh(x)1x)f(x)]1f(x)]h(x).[f([f(x)22初等函數(shù)基本初等函數(shù):冪函數(shù):yx指數(shù)函數(shù):y

(ax(a

R是常數(shù));0且a1);對(duì)數(shù)函數(shù):y三角函數(shù):y反三角函數(shù)初等函數(shù):

logax(a0且a1,特別當(dāng)ae時(shí),記為yl