第102-105課時(shí)解析幾何問題的題型與方法

102

--幾問的型與法

1.

2.

.3

握求

.4握準(zhǔn)(x2

y)

r

＞0中字母圓心坐半徑圓準(zhǔn)圓準(zhǔn)求圓心半握般x2y2

DxEy

該充要般待系求圓參置系判.

xyrsin

為參字圓位5橢雙物明焦焦橢圓雙拋物準(zhǔn)圓拋物各準(zhǔn)橢雙拋物準(zhǔn)握橢雙拋物心準(zhǔn)橢雙拋物握ce系橢圓拋物橢圓拋物準(zhǔn)橢圓雙拋物橢圓雙拋物位系判要求(和方程1握握般2握3456握準(zhǔn)(圓曲方

位置系坐般參圓參1握準(zhǔn)橢圓2握準(zhǔn)雙3握準(zhǔn)拋物--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．--．解圓曲初應(yīng)用。三教學(xué)程：高考解析幾何試題有題(2個(gè)選題個(gè)填空,個(gè)答題)計(jì)分右，考查的知識點(diǎn)約為左右。一緊課，重，面查選題填空題查線圓、錐線參方程極標(biāo)中的礎(chǔ)識解題重考圓錐曲線的要識點(diǎn)通知的組與接使識形網(wǎng)，重查直與錐曲線的位置關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識和量的本方得強(qiáng)化。(一直的程1.點(diǎn)式：(x)；2.截距：kx；xy3.兩點(diǎn)：；截式：；5.一式：By，其中、B不同為(二兩直位關(guān)系兩直線l，l有三種位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)（且有個(gè)共；重合（有無數(shù)個(gè)公點(diǎn).三種位置關(guān)系中我點(diǎn)研究平行與相交設(shè)直線l：=x+b線l：=k+b，則l∥l的充要條件是=，且b=b；⊥l的要條件是=-1.(三線性劃問題1題涉及如下概念：存在一定的限制條件，這些約束條件如果由y的一次不等式（或方）組成的不等式來表示，為線性約束條件.都一個(gè)標(biāo)求，是x、的個(gè)數(shù)稱標(biāo)數(shù)）到值或值，是y析，標(biāo)數(shù).求線性標(biāo)數(shù)在線約條件下的值或值問題，稱為線規(guī)劃題線束條件（x，）行解有行解成合，行.使標(biāo)數(shù)得值或值的行，這個(gè)問題的解2線規(guī)劃題下本定：⑴規(guī)劃問有行解，一一個(gè)形⑵形點(diǎn)個(gè)是限.是解的性規(guī)問題一定形的點(diǎn)中到3.線性規(guī)題一般法.(四圓的關(guān)問題1.圓的方程)

y)

r

（0為的方，其圓坐為a為，圓在點(diǎn)（0，為時(shí)圓方程為y

r

.2.圓的一般方程

y

DxEy

（

F

）為的一方，----D其圓心坐標(biāo)為（，徑為r22

2

.當(dāng)2F

D=0時(shí)方表一點(diǎn)（，；22當(dāng)

＜時(shí)，方程不表任何圖形3.圓的參程圓普通程數(shù)程之有關(guān)：

r

xyrsin

（θ為參數(shù)）)

y)

r

xcosysin

（θ參數(shù)）(五橢圓及標(biāo)方1.圓定圓定面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)F的距離的和大||12這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)離之和小|F|則這樣不在；距離之和等12|FF則點(diǎn)的軌跡段FF.1212y2.橢圓的準(zhǔn)程：a

2x（＞b＞0，（＞b＞0）.a3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)分母大于

項(xiàng)的分母，則橢圓在x軸反，焦在y軸.4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程法⑴確斷焦點(diǎn)的⑵設(shè)準(zhǔn)方程后運(yùn)待法.(六橢的幾性質(zhì)y1.橢圓幾性質(zhì)設(shè)圓程為a

（b＞0）⑴范圍：≤a-b≤x≤b，所以橢圓位于直x=和y=所成矩形.⑵對稱性分別關(guān)于軸y軸成軸稱，關(guān)于原中心對.對稱中橢圓的中心.⑶頂：有個(gè)（-a，（，0）（，-bB（0，b）1線AA、分別叫做橢圓和短軸它們的長別等于2a和2b，a和b分112別叫做橢圓的長半軸長和短半軸.所以橢和它對稱四點(diǎn)為的點(diǎn)c⑷離率的與軸長比做圓的離心率.它值示圓扁平a程.0＜e＜越近1時(shí)，橢圓越扁；，越接近于時(shí)，橢圓越接近于圓2.橢的定義c⑴義：平面動(dòng)點(diǎn)與個(gè)頂離和一條線的距比是數(shù)a（＜＝，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓y⑵準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓對稱性，a2

（＞b＞0準(zhǔn)有兩條，的程--2121--ayx為.于圓＞b＞0準(zhǔn)線方程，只把換成就了，cab2即

ac

.3.橢圓的徑由橢圓上一與其焦點(diǎn)的段叫做這焦.x2y設(shè)F（，F(xiàn)（c，）分別為圓a2b

（＞＞）、焦，M（x，）圓一，則條徑分別為MF，a2橢圓涉焦徑時(shí)用半知識題往

.橢的四主素bc、中有2=b2

+

c

c、e兩個(gè)關(guān)系，定橢圓的a標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)件.(七橢的方程x2y2acos橢圓（＞＞）數(shù)程為θ為參）.a2說明里參θ叫橢離角.圓點(diǎn)離心θ與直線的斜角α不：

ba

；x2y⑵程a

與三角等式2

相較而，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是角代換(八雙線標(biāo)方程1.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的的絕對值等常數(shù)小于12||的點(diǎn)的跡做雙曲線這定義中，要意件＜||，這條121件以“形邊差小第加理.若F|則動(dòng)的軌是條12射；若|FF|，則無跡.12若MF＜MF動(dòng)點(diǎn)的軌跡僅為雙線的一個(gè)分支又若MF＞MF時(shí)，1212軌為雙曲線一.而曲由個(gè)分支組，在定義中“的絕對值.b

2

x2yy2x22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（＞0b＞）.里ab2b2中FF注這里的、c它之間的關(guān)系與橢圓中的異.123.雙曲線的準(zhǔn)方判方是：果的數(shù)數(shù)，則焦點(diǎn)在；果項(xiàng)的系數(shù)是數(shù)則焦點(diǎn)在上.對雙線a不一于因不橢，比分的小判焦點(diǎn)在一標(biāo)上.4.曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注兩個(gè)：⑴判焦點(diǎn)；⑵設(shè)標(biāo)方程，運(yùn)用定數(shù)法解.(九雙曲線單何性質(zhì)----1.

xa

yb

2b

a

1e.2.

xyab

byxa

xyab

.

y

x

mx

m

x

y

k3.1.

xyab

-cc

x

ac

x

ac

.bc

a

()何性1FFllFly

ypx

x

xpy

.；前正號向正向前負(fù)向負(fù)向3幾性y2=2px例范x0；y=0由圖像均可看；頂O0亦錐因無；由e狀由p；----p（）線程；2（）半式拋物線上點(diǎn)x1，y1為拋物線的點(diǎn)，于四種物的焦半公分為（＞：ypx:PFx2:

p;y2:PF2p;x:PF2（）焦點(diǎn)長公：對過拋線焦的弦，可用焦徑公導(dǎo)長。設(shè)拋物線（＞的點(diǎn)的為，x1y1（x2y2的傾為則①+x+p以兩公式只過點(diǎn)的弦長法對于其它，能用“弦式來求。（）直線拋物的關(guān)：直與拋線方聯(lián)立后得一元方：x+bx+c=0，當(dāng)a≠0時(shí)兩者的位置關(guān)系判定和橢圓、曲線相同，用判別式法即可；但果a=0是物線對或和對軸的線時(shí)拋線相，但只一公點(diǎn)。(一軌跡方曲上的的都這個(gè)程；以個(gè)方的坐的點(diǎn)是上點(diǎn)那，個(gè)程做線方；條叫方的線圖或跡.（二）意項(xiàng)1⑴直的率一個(gè)非常重要的概，斜率反了直相對于軸的傾斜度斜率k時(shí)線通常點(diǎn)斜或斜式表，當(dāng)率不在時(shí)直線為（∈）因用直線式或斜程解題時(shí)，斜率k存與否，要考慮⑵直的截距式是式ab別直線在軸軸上的截距因?yàn)?，b≠0以當(dāng)直行于軸、于軸直線經(jīng)過原點(diǎn)不能用截距式出它的方程，而選擇其它求.求解直方程的后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫一.當(dāng)線或l的斜率不存在時(shí)，可以通過圖條直線是否平行直12在有關(guān)圓的題了合選擇的方程，圓的對稱的用這可以--222...

--xyabe

.

x2yab

byxa

xya2b

.

yxn

mx0

m

x

y

k

x2yab

y2x2ab2

0b.b

|FF|=ca.12

p.

相道相道就他2004１年全國卷文科Ⅰ22

xa

ya直l:x

相交于AI離率取范圍5II直l交且PA

PB.

ICt相交于故組2

2

x.實(shí).消去整2

+22x2

4212)0

0

且a.離率--12于112于121a2

--2且且e2即離率的取范圍為(2,（II設(shè)(xy),(x,y),P()121

512

PB,

(x,y1

512

(x,y).2

5得xx12由都是程①的根，且2≠0，1722所以,12

52ax121

2a2消去x得12

60由所以a說明：本題主要考直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。2年考浙文（21）雙曲線的中在原點(diǎn)，頂為（，）點(diǎn)、Q在雙線右上支M（）到線的距為（Ⅰ）若直線的率為，且

]

，實(shí)的值范圍；（Ⅱ）

2

時(shí)，的內(nèi)恰是點(diǎn)，求雙的程.解:(由條得直線的方程(x----即y0因點(diǎn)線的距為∵

即

2

112

.∵[

]∴23解得3

.∴的值范是[

3

][1

3

3y()可設(shè)雙線方程為2b2

(b0

由M(2,0),得

.又為是的內(nèi)心,M到距為所直線是∠PAQ,M到PQ的離為因2AP直線為x.

,k

AQ

設(shè)直線程∴解得的是2+2P點(diǎn)

x2

yb

得2

----(2)所所求雙曲程為2即22

說明：本要考查直線、曲線方程和性質(zhì)基礎(chǔ)知識，解析幾何的基本想方法和在和解題能力。3年考湖卷文（20）l:雙曲線:2

的支交于不同的兩點(diǎn)AB.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取范圍；數(shù)使以段AB為徑圓雙線的焦點(diǎn)在，出的值；若，說明由解將線l的程kx入曲線的方程k2)2220.……①依題意，直線與雙曲線的支于不兩點(diǎn)故

整得

k022(2kk

2

)

2

2

.k的取范圍.（）AB點(diǎn)的標(biāo)分為)11

、)2

，則由①式得

122

2k2222

……②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得以段為直的經(jīng)雙線的右焦點(diǎn)（c,0）--ll--則由⊥得：(2()()kx

0.

0整理得k

)

k

0

……③把式

c

代③式化簡得k

6k.6解得k或k()(舍去).可知

使以AB直徑的經(jīng)過曲線C右焦點(diǎn)說明：本題主要考查線雙曲線方和性質(zhì)曲線與方程的關(guān)系，及綜應(yīng)用能。14年考福文21）如，是物：=一，直線l過P并2與物在點(diǎn)P的切線垂直，與拋物線C相另點(diǎn)Q.（）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，直線l的程（）當(dāng)點(diǎn)P拋線上動(dòng)，求線段PQ中M的方，并點(diǎn)M到軸的最短距離.解把代入

2

，得=2，∴坐標(biāo)（2，2）.由

2

，①

得

，∴點(diǎn)P切的斜率k=2，直l的斜率k=－

k切

=

12

1∴線l方為2=－－2)，2--00l02000000110000l020000001100--即+2y－6=0.（）(

0

,

0

),則

0

20

.∵過點(diǎn)的斜率k，當(dāng)時(shí)不合題意0.

∴直線l的斜率k－k切0

，直線l方為

1

(

).

②方一：聯(lián)立消y，

2+－2－2=0.設(shè)Q(0

1

M(∵M(jìn)是PQ中，∴

01,201()2000

消，得y2+

2

(≠0)就求跡程.由≠0知

,

1222

2上式等號僅

1,即時(shí)立點(diǎn)到的短距是2

2方二設(shè)Q

(

1

1

),M(

則由y=

2y=

21

，=

∴y－y=

0

2

1－2

(+)(－)=(－，--ll--∴01

1

,

∴0

1

,將上式代入②并整，得

2

(≠0)就所的軌方由≠知

2

2上式等號僅當(dāng)

1,即時(shí)立點(diǎn)M到軸短是2說明：本要考查直線、物線、不等式等礎(chǔ)知識，求方程的方法，解幾何的基思想和綜題力。5年高考國Ⅱ文理）線：y2，是的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于AB兩。（）設(shè)的率為，求與OB的角的??；（）設(shè)FB，若λ∈[4,9]求在y軸上截距變范解）C的點(diǎn)為（1，0線的斜為，以的方程為將

代方程24，整得.設(shè)(,1

1

B(

2

2

有

,.11

)

)2

)|OA||

2212

[

(

)]

OAOB)

OA|||

41

所以與夾角的大小為

31441

.（Ⅱ）由題設(shè)得2

2

)

1

1

),--2mmxy2mmxy--x),①即y②2.由②得yy2，x,yx22聯(lián)①、③解得x題有2

∴xx1

③∴(或(

又（1，0直線方為(

y2x或yx當(dāng)9

2，l在方程軸上距為由

,

2可知，4∴,4

44直線在軸上截的變化范圍[][].33說明：本要考查拋物線性質(zhì)，直線與拋線的關(guān)系以析幾何的基本方、思想和綜合解題能力。例分析例直線3x+4y+12=0平與的三角形面積是直線的。分析：滿兩個(gè)條件才能確一條直線。般地，求線方程有兩解法，即其中一條件列出定數(shù)的方程用一個(gè)條件此數(shù)。解一：先用平行”這個(gè)條件設(shè)出的方程為3x+4y+m=0①再用面積”條件求m∵直線交x軸于A(

)

，y軸B,

由

，得，入①得所求直線的：xy解法二先用面積個(gè)條件列出的設(shè)l在軸距在上距，有

，為的角角所以、同，=ab，l的式為，aa即48x+a2y-48a=0又直線與3x+4y+2=0平∴4--

∴②得所12條斜為112BC5行直412條斜為112BC5行直412線l直直可線經(jīng)--求線的方程為說：直線Ax+By+C=0平行直線寫成Ax+By式與Ax+By+C=0垂直直線方表為的形。例、若直線+y+2=0與段有交點(diǎn)，其中A(-2,3)，B(3,2)，實(shí)數(shù)的值范。解線+y+2=0過定點(diǎn)-2)，直線mx+y+2=0實(shí)上示是定(0,-2)的直線系，因?yàn)橹倍斡悬c(diǎn)直只落ABC內(nèi)，設(shè)、CA這兩直的別、則斜率的義可知直線+y的率應(yīng)足≥或≤，∵A(-2,3)B(3,2)y∴12A545∴≥即≤或≥2

o

B

x說明：此例典的用數(shù)形結(jié)的想來解題問，這要清直線mx+y的率應(yīng)為角的正切，而當(dāng)角(0°或°°內(nèi)的正切函數(shù)都是此直在ACB內(nèi)變化時(shí)應(yīng)大于等于，或k或于k，當(dāng)B點(diǎn)化要出m的范圍。例已知、滿約束條x≥1，x-3y≤-4，3x+5y≤，求標(biāo)函數(shù)最值和小.

y

l2解：據(jù)、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界.作直線：2x-y=0，再作一組平的：0

C

l0:

l

2x-y=tt∈3可，當(dāng)在右方時(shí)直線上的（，y）滿足＞，即而且線往右平移，t1

A

B

隨之增當(dāng)?shù)?，過行上點(diǎn)，時(shí)應(yīng)的大當(dāng)在的上方時(shí)，直線上的點(diǎn)x，）滿足＜0，即

1

23

4

5

6

x＜，而且直線往平時(shí)，隨減直線平至l的置時(shí)直經(jīng)過行域上2的點(diǎn)此對的最小.x-3y+4=0，由解得點(diǎn)的坐為5，3；3x+5y-30=0，x=1，由3x+5y-30=0，

解得點(diǎn)坐標(biāo)1，5----所以，=2×5-3=7；最大值

=2×1-小值

17=.5例4某運(yùn)輸司10輛載為噸的A型卡與載重量為8噸B型卡車，有11名駛員.在段高速，該公包了每搬480噸瀝青的任務(wù)已每輛車每往次為A型車次B型卡車7次；每輛車天成本費(fèi)A型車350元，型400元問派出A車與B型多輛，司的本費(fèi)低低為多？解：每派出型車與B型各x、y輛并司天成為z元由，得x≤10，y≤5，x+y≤11，48x+56y≥60，

yx，∈N，且≤10，≤5，即x+y≤11，

l0

1210864

A

6x+7y≥55，x，∈N，

2O2468

B1012

x作出可行域，線7x+8y=0.

l

：350x+400y=0，

l1作出組行線：7x+8y=t中（為數(shù)經(jīng)可行內(nèi)點(diǎn)原點(diǎn)離近直線此直經(jīng)6x+7y=60和y=5交點(diǎn)A（，于A的坐標(biāo)不是整數(shù)，而x，∈N，6所以可行域內(nèi)的A（

6

，不是最優(yōu)解為出優(yōu)，須行量析因?yàn)?8×5≈69.2所以經(jīng)過行域的整橫標(biāo)縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）6且原點(diǎn)最小線7x+8y=10在行內(nèi)足方的數(shù)只x=10，y=0，所以（10，）是最優(yōu)，即當(dāng)l通過B點(diǎn)，z=350×10+400×0=3500為小.答每天派出A型10輛派B型的成本費(fèi)最低為3500元.例、點(diǎn)是半圓直徑一，、OT=t<1)，以AB為腰直梯形A使A且于使B且等于BT，于、Q兩點(diǎn)建立圖的角坐系.(1寫直

的程計(jì)出點(diǎn)、的坐標(biāo)；證明：由點(diǎn)發(fā)的線經(jīng)，線點(diǎn)Q.解:(1)A'

B

線

的程y；--211PT22222211PT22222--212t（）由程組解出1)、(,,t

1t1t

22

)；（）0tt

,k

tttt

0t

tt1t

)

t

.由線的斜率和直線QT的斜率互為數(shù)由點(diǎn)發(fā)的光經(jīng)點(diǎn)反反光線過點(diǎn)說：需要注意的,點(diǎn)式有趣嗎?例設(shè)圓：2動(dòng)，于A(9,0)對稱為，把繞原點(diǎn)依逆針方旋轉(zhuǎn)°點(diǎn)，求的最值解：設(shè)則Q(18-x,-y)，記P點(diǎn)的數(shù)為，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(x+yi)·i=-y+xi，∴

|18

22

22

22

(

2

2其中

2

可是點(diǎn)到定點(diǎn)的離，最大值為|MB|

小為|MB|53

，則|的值為22，的最小值為21062例、⊙：),Q是軸的動(dòng)QAQB分切M于，B兩）果|

43

，直線的；（2）動(dòng)AB的中點(diǎn)方解:（由|

，可|||MA2

||)2

2

2112)3

由射影定理，|2

MP|MQ得|MQ,

在eq\o\ac(△,Rt)MOQ中，|

||

|MO2

3

5

，故

5

，所直線AB程是

2

;（2）接MB，MQ，設(shè)(,Q(,0),點(diǎn)M，PQ在直線，得

由2

,(*)

由射影定理||MP|即

)

(**)

把*）及**消，--12足142112足1421--并意

y

，得

x

2

y

74

)

2

116

(y說：應(yīng)用平知識，這是快速解的要害。例8l過拋物線y20)的點(diǎn)物相交于A(,y)和(x,y)122兩（）證4x;2（線的任意給定的一條弦CD，線l是的直平分解:

（1）求拋線焦點(diǎn)P(,0)2若l⊥軸則l的程

P

顯然

.若l不直x軸，可

(x

P2

)

,代拋物線方理x

1

),則k4

.綜可

x2

.（2）設(shè)

C

cp

,Dd)dp

則的直平分ly

(

p

)假

l

過F，

c24

)

整得(c)(p

)

pp0

，c

.這

l

的程

l

與拋物線

2

只相交于原點(diǎn).而l與拋物線有兩個(gè)的，此

l

與l不合l不是CD垂平分.說明：題課題化課是考題生點(diǎn)復(fù)要課。例、知橢圓

y4

，能在橢位y軸左側(cè)部分上找到點(diǎn)M使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦、F距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不能到，請說由1解假在滿設(shè)Mxya2=3∴，b3c=1∴，2||MF)()a2121

1

2

4

14

x

1

2

，M到圓左線離dx

axc

1，∴4x212

x

1

)

2

，∴5x4801

∴1

或1

5

，這與x∈，相矛盾∴足條件的點(diǎn)M存。--22--2例已橢圓心點(diǎn)焦點(diǎn)在y上，距為，為，3（Ⅰ求圓程；（Ⅱ圓在軸軸上焦為點(diǎn)和點(diǎn)橢圓且M分向線段AB所的比為，求段AB所直線方程。yx2解）圓程為a

由得c=2又a3故，ba2

yx2∴求的圓為95

AM（）若不，則直線的程：y=kx+2又設(shè)(xy)11

B(x,y)2y由y

得

x

kxxx

k9K

①x

9

②∵點(diǎn)坐為（）AM,2y)1

MBx,y)22由2MBMB

∴x2y)(xy)122∴xx12

k代入①、②得x…9k

2x2

9k

④20由、得)9k2

259k

1∴2k3

33∴段所直線的方為：y

x

。說明：向線段成的比線段的比分點(diǎn)概念，本身就解析何研究一類重要問題。向量概念的引入使這問題的解顯簡潔而流。求這類問可用比分點(diǎn)公，也可直接用有向線段的比解題。另，向長，點(diǎn)平移等與析何都有千絲萬縷的系向量與解幾何的，為解決這些問題開辟了新的解途徑。x2y2例、知線與圓a

(a0)

有且僅有一個(gè)交點(diǎn)與x軸軸別交于R、S以段為角矩形的個(gè)頂點(diǎn)軌跡程．解：線l所位置設(shè)出線的方,由已知，直線不圓的四個(gè)點(diǎn)，所以直線的方程為ykx().--m解得①理c2原線y點(diǎn)到1m解得①理c2原線y點(diǎn)到1--代入橢圓方程bxy，得x(kx)化后，得關(guān)于x的一元次方程(

k

)x

ka

mx

m

b

于是其判別式m()(amb)ab(ak).由已知，即a

.

①線程ykx，令，=0，得(,S().yx,k令點(diǎn)坐標(biāo)（，y，得xymy代入整得b,x

即為所求頂點(diǎn)軌跡程．說明方程形橢的準(zhǔn)程你能畫出它形?xyx2y2例已曲線a2b

2的心率過(a,0(0直線到原點(diǎn)的距3離是方程；（2）直線y()交雙線不同點(diǎn)，D且，D都以為的圓上求的值.解（）a

直的距離b

.

.1,a故雙曲程為y

1.（2）把ykx5入3y

3

去，整理得k)x

kx0.x

設(shè)C(x,yDxyCD中點(diǎn)是(x,y則1122xx5yx131y11k.xkxky5k即3k21

2

k

0,又

,

2

--kk122kk122--故求k=±7.說明：了求出的值需要通過消元想設(shè)法構(gòu)的方程例、過點(diǎn)

(0)

線

l

與圓3x2+4y2=12相于AB兩，為坐標(biāo)點(diǎn)eq\o\ac(△,求)OAB

面的最值時(shí)線傾角切。分析：直用斜設(shè)l的為

k()

，則要

求l的斜率定存在但在里l斜率有可能不存在，因此

討斜率存情了避討我們以設(shè)線l的方程為，樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡

運(yùn)。：設(shè)A（，y（x，

l

：

AOB

|OP|

1

|

|OP|

2

3(|

1

||

2

)

3(

1

)把

代入橢圓方程得

(3)420

，(m)30

，

1

2

6m2

，

12

m

32

|

1

2

108m(3m)

2

123mm

2

4m43m332

3m(m2

3

2

4m33m2

43223∴

32

，時(shí)

m

3m

m

63令直線的傾角為，則

即△OAB面積大為

，此時(shí)直線傾斜角的正切值

62

。例江考）已常數(shù)0向量

ci經(jīng)原以

c

為方向向量的直線與經(jīng)過定A（0以

i

為方向向量的直相于P，中

試問：是否存在兩定E、使+|PF|為定值在求出、的；不存在，說明理由解i（0=（0，a∴cλi=（λ，ai－2c=（，－a）.因此，直線AP的方程分別

和

.--1a方表，程示焦OMAB（2）設(shè)(2)11a方表，程示焦OMAB（2）設(shè)(2)1--消參λ，得點(diǎn)(x,)的坐標(biāo)滿足方程(y(y)整得…①.()2因?yàn)樗裕?/p>

.（i）當(dāng)

22

時(shí)方①圓程故存合題的點(diǎn)和；ii）當(dāng)02程示圓點(diǎn))22

和(

a,)2

的；（iii當(dāng)時(shí)，也圓a

和((aa

))為合乎題的兩個(gè)點(diǎn)說明：由向量可以一條有向線來表示，有線段的方向以決定解幾何中直線的斜率，故線的方向何的直線著天然的聯(lián)系。解此類問題的關(guān)是：根據(jù)直線的方向方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決。例、已橢圓a

(a0)

的、短軸端別為、B從圓一點(diǎn)向軸作線，好橢的左點(diǎn)F，量AB與OM是共線量。1求橢的離心率；設(shè)是上一，F(xiàn)、分別是、右焦點(diǎn)，求∠QF的取范圍；121解∵F(0),MM

b2a

b，∴。bb∵,與是線，∴，∴故。aacaFFQr222r,FFc,12

rc2(r)2rra222rr2rrrrr1222當(dāng)僅當(dāng)rr時(shí)cosθ=0，∴[,12

2

]

。說明：由線量解幾中行線、點(diǎn)共等具異同的作因，析幾何中與行、三共等相的問題可向共線的情下計(jì)題求此類問題的關(guān)是正確解量線解析幾何平行三點(diǎn)共等的關(guān)系，把關(guān)量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾。--2112222232222222例知的原點(diǎn)1112|PF12112222232222222例知的原點(diǎn)1112|PF1|PFe--2x2y例一條斜為的直線與離為：2

（0

）交于Q，兩點(diǎn)直線l與Y軸交點(diǎn)，且RQ圓的方程。

，求直線l和橢：為a2

，22y2為l：，(x,y),Q(xy)b2b22由2

消去得xb

m22b2)(b02(*)x

12

43

21）()1

2）OP所以xy12而()(x)xx()21244以xmx(m)33

2

2

以b…()，PRRQ()(,y11而…）14得3m…）1（3）解b，合(*)，

2

)以線l方：

或

x橢圓的方程為6

y3

說明：向量的標(biāo)示構(gòu)起量與解析幾何密關(guān)，向解幾融為體求此類問題的關(guān)是：利用向量數(shù)積的坐標(biāo)表示，通向量與解析幾的聯(lián)系。體了向量的性。17、已心在焦在上，點(diǎn)為圓的一動(dòng)，且∠的值為°，直線過焦點(diǎn)與于、點(diǎn)，eq\o\ac(△,兩)ABF的面積最大為．（1）橢圓C的心率；（2）橢圓C的程解一）設(shè)

|r2

,|F1

F

|2

,對

F,1

弦理,得PF

rcrr

r

rrrr

crr

r()

，出22（2）慮直線l的率存在，兩情況：--xy1xyx12高橢的方程為xyhxy1xyx12高橢的方程為xyh--i)當(dāng)存時(shí)，設(shè)的方程為y(x…………①橢方程為(xyB(xy)b2由2得a2c2.于橢圓方程化為

……………將①代入②，消y

x

2

(x)

0

,整理為方程得(12)x

xc

(k

0

.則x、x是述方程的．|xx|

21k

，|

1

|xx|

2c(1)1

，邊的|sinBFF

||

S

c

)

|k|

c2c

11k

||

1

4

1

1

2c

ii)當(dāng)不存時(shí)，直x入橢圓方程22yc,|,221由②S的最值為題意得2c

所以

6a故ABF面積最大時(shí)橢圓的方為xy2.法：設(shè)過左焦線方程：xmy………①(xyB(xyb由

得：

a

2

,

c

,

于橢圓方程為xy0

……②把代入②并得)y2mcy0于yy是上述方程兩2|

(x

)

y

)

|

|

1

4()

22c)

,邊的c1

,從

12c||h2

)1

1(m)

2c

--22222222--當(dāng)僅當(dāng)取，即

2由意知2,于是

a

.eq\o\ac(△,故)積最大時(shí)橢圓的程為：

.例2002年天津高考題）已知點(diǎn)（，N（1，）且點(diǎn)使,

成公差小于零的等，（）點(diǎn)軌跡什線？（）若點(diǎn)坐標(biāo)為(xy，為PM與PN的夾，求。0解）P由M-1，）（，）得PMMN2,)所

()PM

y

(1)，,

是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于

1xy[(1)1x)]221)(1)0

即x所，點(diǎn)軌跡以為心，徑右圓（）點(diǎn)的坐為x,。PM00

2

0

。PM

(1)2yx)2x)x)20000所以

2

因?yàn)閤

3

，

cos

3

,sin

2

1

14x0

tan

sin

1

14x201

3x0

y.04x20說明在引向的坐標(biāo)示后，可以向量算代數(shù)化這樣就以“”數(shù)”緊密地合一。向量夾問題融入解析幾問中，也就得分自然。求解這類問題的關(guān)鍵：先把向量用坐表示，再用解析何知識結(jié)合向量夾角公式使問題解也以把兩向角題轉(zhuǎn)化為線成角的問用形結(jié)合方問獲解。--12直C212直C2--、強(qiáng)化訓(xùn)練x2y2、已知以F、為焦點(diǎn)的橢圓a

點(diǎn)若PFF11

圓的離心為（）1（A）2

2（B）3

1（）3

5（D）3已ABC的點(diǎn)A(3,-1)，AB邊的中線所直線的方程為+10y，∠的平分線所在直線的方程為-4y，邊所直線的方程、+4=0l：的平線方程。y4、已知三種食P、、R維生含量與成如下所示

B食P食食維素（位kg）400維素（位kg）400

To

A

M

x成（元kg）54現(xiàn)將xkg的物P和ykg的物及zkg物R混合，制成的合.果這100kg的中少含生素A44000位維生B48000單，么，yz為何值時(shí)，混合物的成本最小5人有樓一幢室內(nèi)面共擬分隔成兩類房間房.大房間面為，可游客5名，每游每住為元小間間積為m，可住游3名，每游客每天宿費(fèi)為.裝修大房間每間需1000，修小間每間需600元果他只能款8000于裝修客能住，他應(yīng)大房間房間多少間，獲得大收益ABC三邊所在直方程AB-6=0BC-2y-8=0CA求此三角形外接圓的方程、知圓2+2y=12A是正向的定，若過點(diǎn)A斜為的線橢13圓得的弦長為xy2已橢圓ab

（＞＞上點(diǎn)、，線l:yx上兩點(diǎn)D，且ABCD是方此方形接為-8=0，圓程和線l的方程。求直線l:x準(zhǔn)線，為應(yīng)焦的圓軸點(diǎn)的軌方程。若橢圓的對稱在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)與兩短軸點(diǎn)正好是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)又焦點(diǎn)到同側(cè)長軸端點(diǎn)為求圓的方程。x2y2已直線y與圓a的中點(diǎn)在直線l:xy上.（）求此橢圓的；

(a0)--

相于AB點(diǎn)，線設(shè)1橢點(diǎn)12設(shè)1橢點(diǎn)12--（2）若橢圓點(diǎn)關(guān)于線l的稱在圓24上求橢的程x、y）為橢圓上點(diǎn)A作一線為，2y1又設(shè)為原點(diǎn)到線l距離,r、別點(diǎn)A橢圓兩焦點(diǎn)的距。求證：為2定。、某工將線公路一石，通過公路上的兩個(gè)道口A和，道路AP、往路另一側(cè)的處，PB=150m，∠°試明運(yùn)石??？2已橢圓a＞＞為端的一為橢ab圓兩個(gè)焦點(diǎn)）若FPF1212

，證：離心率）2若PF12

，證：PF面積為1

。在ABC，∠，AB=2，AC=

。⊥于點(diǎn)，OA=OB，DO=2曲線過點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，保|PA|+|的不.（1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線的方；（過點(diǎn)線與線交不同的點(diǎn)且M在之設(shè)，試定實(shí)數(shù)取值范．北京春高考知點(diǎn)2(x，y)，C，)在拋物線22px12，重心與此拋線的焦點(diǎn)重（圖）yBAO

F

xC--222解設(shè)一線為2解1l與點(diǎn)Q交19由得222解設(shè)一線為2解1l與點(diǎn)Q交19由得11法到為所角解設(shè)二2tg或--（）寫出該拋線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（II）求段BC中點(diǎn)M坐標(biāo)）求BC所在直的方。、參考答案1解設(shè)為∵PF∴PF212又PFF12

PFPF2)1∴PFPFa1PFPF1

2c解得：()a

59

e

ca

53

選（D。說明：垂直向量的引入為解決解析幾何問題開辟了新思路。求解此類問題的關(guān)鍵是利用向量垂直的充要條件a使問轉(zhuǎn)化然后用數(shù)結(jié)合決問題。2解：設(shè)b)B在線上，①中點(diǎn)M

在直線上，∴點(diǎn)坐標(biāo)足程+10y-59=0

∴

②、②成的程得∴B(10,5)又角分定可直線BC到的角k等直線到線的角又k∴BABTAB1kBTBCBTBC在線的程為()即

∴

∴3、法：l角平分率=-1，k=71∴，或，2k∴k=-3又解的，

y斜得

即+2y

ox4：則1，為，k22由二倍角公式可知銳角，32--122l1122l1--

tg

21k

l(7x-y+4)=0(1+7)x+(1-

1

lll||||6x+2y-3=0lll50k<0l6x+2y-3=0.4x+y+z=100z=100-x-yxy.kk=6x+5y+4100-x-y=2x+y+400..x

yyx+y100400x+600y+400100-x-y44000800x+200y+400100-x-y48000.

8060

l1

G

x+y2x-y40.x+y=100

4020O

EF204060800:

x.kk=6x+5y+4100-x-y=2x+y+400.l2x+y=0ll01最此2x+y值從而值小2x-y=40x=30

E30y=20y=20=2×30+20+400=480z=100-30-20=50.小值答取x=30最最小值480.5隔大間x間小房y間收益zy滿1808000xy∈6040xy∈

14121086

y(3,8)

B及l(fā)200x+150y=0

l0--

42O

24

6

8

1012ll2

14

x、分直與線）于（）211設(shè)Ax，0011x、y，、分直與線）于（）211設(shè)Ax，0011x、y，得222322000--即4x+3y=0.（如圖）線l至l點(diǎn)離最.此時(shí)，z=200x+150y取大.但解6x+5y=60與聯(lián)立的方程得到（，由77點(diǎn)的標(biāo)是整，而，N，所以可行內(nèi)的點(diǎn)不最解.為出優(yōu)，樣須行量析因?yàn)?3×7

260=≈37.1，該的負(fù)數(shù)1，）7不在可行域取樣驗(yàn)域內(nèi)滿足上述（0，12）（3，）.時(shí)取最大值元、：程得-3)B(6,-1)、2)設(shè)程22+Dx+Ey+F=0，：DE2DE解得D=

，E=4，所以所求的外接圓方為22

y析若線y=kx+b圓錐曲f（x，兩點(diǎn)x（xy，則弦的長度計(jì)公式為|PQ

1

|

1

1k

|

2

|而|1

2

(x)12

2

x1

，因此只要把直線y=kx+b的方代圓曲線（，y）方程消去（或x合元二次與系數(shù)系即可長解線l的程為，設(shè)直線l與橢圓相交于x，，Q（可x+2x2-12=0，x22=12x12

4x3

0

2，12

，則|

1

2

(x

1

)2

2

x1

16x0093

36x

0

2∴

2

2|即x2∴

又x＞，∴x=2∴A（，0、：方程x2即+(y-1)2的圓O徑r=3。設(shè)正形的邊長為則pr∴2

又正形ABCD的心＇32到線y=x+k的距等正方邊長的一即到2

D

y直的距公知k=-2或k=4

--

C

AOB

x解：在，若圓如圖且AF2解：在，若圓如圖且AF2--（設(shè)：由CD：y=x+4x+y22得（3，）（，-2點(diǎn)B橢圓ab22為。124

上∴2，2，橢圓的方（）設(shè)AB：y=x+4，理得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別0，1）代橢圓方程得a

2

5

,

b

2

，時(shí)b＞（去綜所述，直l方程為橢圓方為

22124

。9、析已知橢圓的焦及相應(yīng)準(zhǔn)線，常需要運(yùn)橢圓第二定義圓的點(diǎn)到焦距與到相應(yīng)的離A比等于離心e，而該中端點(diǎn)也是橢圓上動(dòng)因此只

y

M(x,y)要用第定合、、的何義即可。

O

O

x解：設(shè)（，yM作MAA，|

2

2

，|MA

，∴

，過M

軸于，因點(diǎn)為軸，則O＇必橢圓中心，∴

|O

|MO

ca

2

2

2

2

2化得，軸端點(diǎn)方程為y2（≠010、橢點(diǎn)上，正，

2

，由橢圓幾何意義可知，2ba

2

解之得：2b，此橢圓的方程為2

2，理焦點(diǎn)可以在軸上，上述，橢圓的方程為2