2013年高考理科數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷1試題與答案解析版

2013年數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(新課 卷5551．5

A．A∩B＝ C．B D．A若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為 B．

抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()．簡單隨機(jī)抽樣B．按分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣D．系統(tǒng)抽22

=1(a＞0，b＞0)的離心率525

C

14

13

12

執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬于 8cm，器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 3 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則 設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值b.若13a＝7b，則 2已知E2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交EA，B兩點(diǎn)．若AB的點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為

22

22

22

x22x，x

設(shè) 的面積為Sn，n＝1,2,3，….若＝a

＝cnan

＝bnan，則

2

2 二、填空題已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則 S2a 3，則{an}的通項(xiàng)是 設(shè)當(dāng)x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cos 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟3(本小題滿分12如圖，在△ABC3

，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)PB＝2

若∠APB＝150°，求(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦通過檢驗(yàn)如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)若為優(yōu)質(zhì)品則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)其他情況下12

100XX的分布列及數(shù)學(xué)期望．(本小題滿分12已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1N：(x－1)2＋y2＝9，動圓PM外切并且與圓內(nèi)切，圓心P的軌跡為C的方程lP，圓M都相切的一條直線，lC交于A，B兩點(diǎn)P的半徑最長時，求(本小題滿分12設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋dy＝f(x)和曲線y＝g(x)都過P(0,2Py＝4x＋2.a，b，c，d的值x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍2B如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為BC在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D.3 ，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑3x45cosC1的參數(shù)方程為y55sint(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，xC2ρ＝2sin把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程C1C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)當(dāng)a＝－2時，求不等式f(x)＜g(x)的解集a＞－1，且當(dāng)xa,1時，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍222013年數(shù)學(xué)理工(新課標(biāo)卷I)答答案解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或∴集合AB可用圖象表示為由圖象可以看出A∪B＝R，故選解析 ∴z i3 (34i)(3 4z的虛5答案

解析：因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣答案5 a2 5解析：∵e ，∴e

∴a＝4ba

= 2 ya

x x2答案解析：t∈[－1,1)，則執(zhí)行s＝3ts∈[－3,3)．t∈[1,3s＝4t－t2t＝2.故當(dāng)t＝2s取得最4t＝13s取得最小值3s∈[3,4]．s∈[－3,4A.答案RR－2OBAR2＝(R－2)2＋42R＝5，4π53500π(cm3 答案解析

mm m×1＝0，∴a m又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴ m32∴m＝5.故選答案解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r＝2，長為4，長方體中，長為4，寬為2，高為2，所以幾何體的體積為πr2×4×2，b＝m，b＝m

解析：由題意可知，a＝

2m1又 2m

=7

2m， m

.解得m＝6.故選答案解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在橢圓上x y111, ∴x y221, x1x2x1x2y1y2y1y2=0 yyyy = 2 xxxx ∵AB的中點(diǎn)為y

0

而 2 x

3

22Exy=1.故選22

解析：由y＝|f(x)|的圖象知①當(dāng)x＞0y＝axa≤0才能滿足|f(x)|≥ax，可排除②當(dāng)x≤0y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥axx2－2x≥ax.x＝00≥0二、填空題：本大題共4題，每小題5分解析又∵|a|＝|b|＝1，且ab夾角為∴0＝t|a||b|cos10＝t2 解析：Sn3an3 n≥2Sn13an13 an3an3an1即an

∵a1＝S1＝3a13 ∴{a}是以1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，a 25解析：f(x)＝sinx－2cos1525＝5 sinx 1525 55令cos ，sinα＝ 555則 55π5當(dāng)x＝2kπ＋－α(k∈Z)時，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大 2π

225所以cosθ＝cos2kπ+π＝cosπ＝sinα＝ 2525 解析：∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝－2對稱∴f(x)滿足b15164a即0893aa解得bf′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，5555得 55555，f(x)在5

5555函數(shù)，在 ，＋∞)上為減函數(shù)555555

5＝(－8－45)(8－ 555

5555＝(－8＋45)(8＋ 5555f(x)的最大值為解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所 在△PBA中，由余弦定理得PA＝3 23 cos30 7故 72(2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sin3在△PBA中，由正弦定理

sin sin(303化簡 cosα＝4sin33tan34

，即 343證明：取ABO，連結(jié)CA＝CBOC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1C平面OA1C，故又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，OCAA1B1B，OA，OA1，OC兩兩相互垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，|OA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系33A(1,0,0)，A1(0，333

3BC3

)，BB1＝AA1

，0)，A1C＝(0， 333n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量333 則 即 x

3z3y

nnn故cos〈n，A1C〉 所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值 5解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以 (2)X可能的取值為400,500,800，

4

，P(X＝800)＝ 所以X的分布列XP114EX＝40011+5001+8001 解：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切所以3由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長 3x2x其方程

y=12 2對于曲線C上任意P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，R≤2P的圓心為(2,0)時，R＝2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為3若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝ 3|QPl的傾斜角不為90°，由r1≠Rl不平x軸，設(shè)lx軸的交點(diǎn)為Q，

RQ(－4,0)，所以可設(shè)

|QM 1kl與圓1k

|3k|=1解得k＝22

.4y

x x

2y=12222 2224461k1k

7|xx|18 2當(dāng)k 時，由圖形的對稱性可知|AB|＝18243綜上，|AB|＝3

或 7f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.設(shè)函數(shù)F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，F(xiàn)′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．F(0)≥0k≥1.F′(x)＝0x1＝－ln ①若1≤k＜e2，則－2＜x≤0.從而當(dāng)x∈(－2，x)時，F(xiàn)′(x)＜0x∈(x，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＞0.即 1在(－2x1x1Fx2，＋∞)F1)．Fx1)2＋2－x2－4x12＝－x(x120.1故當(dāng)x≥－2時，F(xiàn)(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成②若k＝e2x＞－2F′(x)＞0，F(xiàn)(x)在(－2，＋∞)單調(diào)遞增．而F(－2)＝0，故當(dāng)x≥－2時，F(xiàn)(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2從而當(dāng)x≥－2時，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．綜上，k的取值范圍是[1，e2]．2B證明：連結(jié)DEBC而∠ABE＝∠CBE，故DB＝DC.3故DG是BC的中垂線，所以 32DE的中O，連結(jié)BO，則∠BOG＝60°.3所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等 32x45cos解：(1)將y55sin

消去參數(shù)t，化為普通方程1C1xcos將y

代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0ρ2－8ρcosθ－10ρsin所以C1的極坐標(biāo)方程ρ2－8ρcosθ－10ρsin2(2)C的普通方程為2x2y28x10y16由x2y22yx x解得y