優(yōu)選教案：高中數(shù)學(xué)人教A版 選擇性必修 第二冊(cè) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)內(nèi)容通對(duì)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的介紹，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的含義，同時(shí)提升學(xué)生對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解運(yùn)算能力，為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y=x2，B．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．1.數(shù)學(xué)抽象：導(dǎo)數(shù)的概念2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的幾何意義重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用難點(diǎn)：根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y=x2，y=多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)溫故知新由導(dǎo)數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一確定的。在必修第一冊(cè)中我們學(xué)過(guò)基本初等函數(shù)，并且知道，很多復(fù)雜函數(shù)都是通過(guò)對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后研究出導(dǎo)數(shù)的“運(yùn)算法則”，這樣就可以利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。本節(jié)我們就來(lái)研究這些問(wèn)題。二、新知探究1.求函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)的方法．(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)求極限的y′|eq\s\do10(x＝x0)＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2.怎樣求導(dǎo)函數(shù)？(1)求改變量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．(2)求比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).(3)求極限的y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).思考：導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？那么如何求幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？問(wèn)題1.

函數(shù)

y=f解：因?yàn)?y?x=所以y'=?x→0lim若y=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'問(wèn)題2.

函數(shù)

y=f解：因?yàn)?y?x=fx+?x-f(x)所以y'=?x→0lim若y=x表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'問(wèn)題3.

函數(shù)

y=f解：因?yàn)?y?x=fx+?x=x2+2x?x+(?x)2所以y'=?x→0lim

y'=2x表示函數(shù)y=x2的圖像，上點(diǎn)x,y處切線的斜率為2x,說(shuō)明隨著x變化，切線的斜率也在變化。另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，y當(dāng)x<0時(shí)，隨著x增加，y'越來(lái)越小，y=當(dāng)x>0時(shí)，隨著x增加，y'越來(lái)越大，y=若y=x2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y'=2x可解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝___0；αxα－1；cosx；－sinx；axlna；ex；eq\f(1,xlna)；eq\f(1,x)1.函數(shù)y＝eq\f(4,x2)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______．解析：法一(導(dǎo)數(shù)定義法)：∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1.法二(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)：∵Δy＝eq\f(4,x＋Δx2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx2x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)，∴y′＝eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\o(Δx→0,\s\up17(lim))eq\f(42x＋Δx,x2x＋Δx2)＝－eq\f(8,x3).∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝2))＝－eq\f(8,23)＝－1.答案：－12．常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說(shuō)明什么？提示：說(shuō)明常數(shù)函數(shù)f(x)＝c圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0，即每一點(diǎn)處的切線都平行(或重合)于x軸．3．對(duì)于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，則f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改為“α∈R”，公式是否仍然成立？提示：當(dāng)α∈R時(shí)，f′(x)＝αxα－1仍然成立．4．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()①若y＝eq\r(2)，則y′＝eq\f(1,2)×2＝1；②若f′(x)＝sinx，則f(x)＝cosx；③f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4).A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：只有③正確．答案：B5．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2D．若y=x12，則y′＝eq\f(1,2)x1答案：ABC6．若y＝coseq\f(2π,3)，則y′＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C．0D.eq\f(1,2)答案：C7．函數(shù)y＝eq\r(x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))處切線的傾斜角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)答案：B典例解析例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝eq\f(1,x5)；(2)y＝eq\f(x2,\r(x))；(3)y＝lgx；(4)y＝5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).[解](1)∵y＝eq\f(1,x5)＝x－5，∴y′＝－5x－6.2y=x(3)∵y＝lgx，∴y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝cosx.1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．2．對(duì)于不能直接利用公式的類(lèi)型，一般遵循“先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運(yùn)算失誤．3．要特別注意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\f(x,\r(x))(x＞0)；(2)y＝sin(π－x)；(3)y＝logx.[解](1)∵y＝eq\f(x,\r(x))＝eq\r(x)(x＞0)，∴y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).(2)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)x))′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).例2假設(shè)某地在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價(jià)P（單位：元）與時(shí)間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系p其中p0為t=0時(shí)的物價(jià)，假定某種商品的p解：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表有，p'所以；p'10所以，在第10個(gè)年頭這種商品的價(jià)格約以0.08元/年跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是S(t)＝sint，則質(zhì)點(diǎn)在t＝時(shí)的速度為_(kāi)_____；質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為_(kāi)____；解析：v(t)＝S′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度為eq\f(1,2).∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.[答案]eq\f(1,2)－sint例3已知曲線y＝eq\f(1,x).(1)求曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)Q(1,0)的曲線的切線方程．[解]∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)顯然P(1,1)是曲線上的點(diǎn)，所以P為切點(diǎn)，所求切線斜率為函數(shù)y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)P(1,1)的導(dǎo)數(shù)，即k＝f′(1)＝－1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即為x＋y－2＝0.(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝eq\f(1,x)上，則可設(shè)過(guò)該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么該切線斜率為k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2).則切線方程為y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)．①將Q(1,0)代入方程：0－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(1－a)．得a＝eq\f(1,2)，代入方程①整理可得切線方程為y＝－4x＋4.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題的兩種情況(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3當(dāng)常數(shù)k為何值時(shí)，直線y1＝x與曲線y2＝x2＋k相切？請(qǐng)求出切點(diǎn)．解：設(shè)切點(diǎn)為A(x0，xeq\o\al(2,0)＋k)．∵y′2＝2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝1，,x\o\al(2,0)＋k＝x0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)，,k＝\f(1,4)，))故當(dāng)k＝eq\f(1,4)時(shí)，直線y1＝x與曲線y2＝x2＋k相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).通過(guò)對(duì)上節(jié)導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)步驟的回顧，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)5個(gè)基本函數(shù)運(yùn)用定義求導(dǎo)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)對(duì)5個(gè)基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解，及其導(dǎo)函數(shù)的解釋。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)基本問(wèn)題解決，幫助學(xué)生熟悉基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生熟練掌握8個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))′＝()A．0B．1C．－1D．以上均不正確解析：注意此題中是先求函數(shù)值再求導(dǎo)所以導(dǎo)數(shù)是0答案：A2．下列各式中正確的是()A．(logax)′＝eq\f(1,x)B．(logax)′＝eq\f(ln10,x)C．(3x)′＝3xD．(3x)′＝3xln3解析：由(logax)′＝eq\f(1,xlna)，可知A，B均錯(cuò)；由(3x)′＝3xln3可知D正確．答案：D3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，則滿足f′(x)＋1＝g′(x)的x值為_(kāi)_______．解析：由導(dǎo)數(shù)的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因?yàn)閒′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)4．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴l(xiāng)na＝－1，即a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)5．求與曲線y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在點(diǎn)P(8,4)處的切線垂直，且過(guò)點(diǎn)(4,8)的直線方程．解：因?yàn)閥＝eq\r(3,x2)