【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】江蘇高考數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)演練1.2平面向量、推理證明與復(fù)數(shù)(含答案解析)

第2講平面向量、推理證明與復(fù)數(shù)5i1．(2013·重慶)已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________.分析|z|＝5i＝|5i|＝5＝5.1＋2i|1＋2i|5答案5→2．(2013·遼寧改編)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量AB同方向的單位向量為_(kāi)_______.分析→，－－＝，－，(41)(34)(1,3)→→3，－4AB.∴與AB同方向的單位向量為＝→55|AB|4答案5，－53．設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝________.分析∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.所以a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)，則|a＋b|＝10.答案101＋2i4.1－i2＝________.1＋2i1＋2ii－21分析－i2＝－2i＝2＝－1＋2i.11答案－1＋2i→→5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，則BC＝________.→→分析∵AB·BC＝1，且AB＝2，→→∴1＝|AB||BC|cos(－πB)，→1∴|BC|cosB＝－2.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|·cosB，即9＝4＋|BC|2－12×2×－2.∴|BC|＝3.答案36．(2013·山東)復(fù)數(shù)z＝2－i2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________.分析z＝3－4i＝－4－3i，i|z|＝－42＋－32＝5.答案57．(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.分析∵c＝ta＋(1－t)b，且〈a，b〉＝60°，2∴c·b＝ta·b＋(1－t)·bt×1×1×cos60＋°(1－t)×12＝0，1則1－2t＝0，∴t＝2.答案28．(2013·陜西高考)察看以下等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)_______．分析左側(cè)共n項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)為(－1)n＋1，通項(xiàng)為(－1)n＋1·n2.等式右側(cè)的值符號(hào)為(－1)n＋1，各式為(－1)n＋1(1＋2＋3＋＋n)＝(－1)n1nn＋1，＋22222n12n1nn＋1∴第n個(gè)等式為1－2＋3－4＋＋(－1)＋·n＝(－1)＋·2.答案2222n＋12＝(－1)n＋1nn＋11－2＋3－4＋＋(－1)n·21知足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·29．已知復(fù)數(shù)zz是實(shí)數(shù)，求z2.解∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，1－i1－i2∴z1＝1＋i＋2＝2＋2＝2－i，設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)，則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.又z1·z2是實(shí)數(shù)，∴a＝4，進(jìn)而z2＝4＋2i.π10．(2013·遼寧)設(shè)向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.π1又x∈0，2，進(jìn)而sinx＝2，π所以x＝6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x311＝2sin2x－2cos2x＋21sin2x－6＋2，πππ5當(dāng)x∈0，2時(shí)，－6≤2x－6≤6π，∴當(dāng)2x－ππ6＝2時(shí)，π－π即x＝時(shí)，sin取最大值1.32x63所以f(x)的最大值為2.an＋bn11．(2012·江蘇)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}知足：an＋1＝an2＋bn2，n∈N*.n*bn2(1)設(shè)bn＋1＝1＋，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；n，n∈Na(2)設(shè)bn＋1＝bn*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．2·，n∈Nanbn(1)證明∵bn＋1＝1＋an，∴an＋1＝a22＝b.n＋bnn＋1an＋bnbn21＋an∴b＝1＋b2.n＋1nan＋1an∴bn＋12bn21＋bn22bn2*)．n＋1－＝n－＝1(n∈Naa∴數(shù)列bn2是以1為公差的等差數(shù)列．na(2)解∵an＞0，bn＞0，2an＋bn222∴≤an＋bn＜(an＋bn).an＋bn2.(*)∴1＜an＋1＝n2＋bn2≤a設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，由n＞0，知q＞0，下邊用反證法證明q＝1.qaa2若q＞1，則a1＝q＜a2≤2，∴當(dāng)n＞logq2n2，與(*)矛盾．a(chǎn)1時(shí)，an＋1＝a1q＞a2若0＜q＜1，則a1＝q＞a2＞1，1n∴當(dāng)n＞logq時(shí)，an＋1＝a1q＜1，與(*)矛盾．∴綜上所述，q＝1.∴an＝a1∈*)，∴＜1≤2.(nN1a又∵bn＋1＝bn2·n∈*，2·＝N)aab(nn12∴{bn}是公比是a1的等比數(shù)列．2若a1≠2，則a1＞1，于是b1＜b2＜b3.an＋bn又