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文檔簡介
第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用
高等數(shù)學(xué)(上)BTS總體方案設(shè)計報告微分中值定理的特點條件:滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]
上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)可導(dǎo);(3)結(jié)論:第一節(jié)微分中值定理
在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)至少有一點,使小>一、函數(shù)的極值及其必要條件定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,如果對于任意的,都有則稱在x0
處取得極大值.極大值與極小值統(tǒng)稱為的極值.取得極值的點x0稱為的極值點.極值與最值的區(qū)別:極值是局部性的概念;而最值是整體性的概念.有時極小值比極大值要大.極值(極值點)的比較是雙向的;而最值的比較可以在一側(cè).最值一旦在區(qū)間內(nèi)部取到,就一定是極值.反
之未必.Fermat定理(取極值的必要條件)注
定理的條件缺一不可.設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,如果滿足幾何意義若函數(shù)在x0處取極值,且曲線在(x0,f(x0))處有切線,則切線一定平行于x
軸.證不妨設(shè)為極大值點,則所以.例1證明達布(Dubu)
定理:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo),若,則存在c∈(a,b)使得證不妨設(shè)即有注意和零點定理比較,不要求連續(xù)。由局部保號性,存在δ>0,當(dāng)x∈(a,a+δ)時,有而,從而取x1∈(a,a+δ)?(a,b),有同理,存在x2∈(a,b),使得由f(x)在[a,b]上連續(xù),因此有最小值f(c).c
一定在(a,b)內(nèi)取到,即f(c)也是極小值,由Fermat引理,可得二、微分中值定理(一)羅爾(Rolle)定理若滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]
上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)可導(dǎo);(3)則在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)至少有一點,使每點有不垂直于x軸的切線.注定理的條件缺一不可.0.Rolle定理的幾何意義在兩個相同高度的點之間的一段連續(xù)曲線上,若除端點外,每一點都有不垂直于x軸的切線,則至少有一條切線平行于x軸.xy(1)若,則(常數(shù)),此時可取(a,b)
內(nèi)任意一點,都有
則由Fermat引理得證∴例1
證明方程的任意兩根之間必有的根.證設(shè),為方程的任意兩根,則而函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在區(qū)間內(nèi)(a,b)
可導(dǎo).由羅爾定理知在(a,b)內(nèi)至少有一點,使即性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)的任意兩個零點之間至少有導(dǎo)函數(shù)的一個零點.(用于證惟一性)例2證由介值定理即方程有一個小于1的正實根.矛盾.Rolle定理的適用范圍:有關(guān)方程的根.用Rolle定理解題的常見步驟:首先引進輔助函數(shù),其次驗證定理條件,最后據(jù)Rolle定理得結(jié)論,存在方程的根.例3證明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c(a,b,c為常數(shù))至少有一個小于1的正實根.
作輔助函數(shù)F(x)=ax4+bx3+cx2
-(a+b+c)x例4設(shè)f(x)可導(dǎo),證明f(x)的任意兩個零點之間一定有的零點.自己做:設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=f(1)=0,則存在ξ,η∈(0,1),使得
此類:輔助函數(shù)F(x)=ekxf(x)例5設(shè)f,g在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),
且f(a)=f(b)=0.證明:例6設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo).f(0)=1,f(1)=0.證明:至少存在一點
ξ∈(0,1),使得
此類:輔助函數(shù)F(x)=xλ
f(x)更狡猾些,改為:(二)拉格朗日(Lagrange)中值定理
若滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]
上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)可導(dǎo);則在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)至少有一點,使
若f(a)=f(b),則是Rolle定理.Lagrange是
Rolle的推廣.Lagrange定理的幾何意義在一條連續(xù)曲線上,若除端點外,每一點都有不垂直于x軸的切線,則至少有一條切線平行于曲線兩端點的弦.分析弦AB方程為作輔助函數(shù)證令則所以有故函數(shù)滿足羅爾定理條件,因而有定理得證.例7設(shè)驗證在[0,2]上f(x)滿足Lagrange定理的條件.在[0,2]上求一點ξ,使得Lagrange定理的其它形式:(3)f(x)在[x,x+△x]上由Lagrange定理得亦稱有限增量定理優(yōu)點:精確成立;缺點:不能確定.一般用于理論推導(dǎo).優(yōu)點:能夠確定;缺點:不能精確成立.一般用于近似計算.(4)不論a,b的大小,都有*拉格朗日中值定理的應(yīng)用:
性質(zhì)1
如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零,
則在區(qū)間上是一個常數(shù).證在區(qū)間上任取兩點,.則由Lagrange定理由、的任意性,知在區(qū)間上有拉格朗日中值定理的適用范圍:
有關(guān)函數(shù)的改變量拉格朗日中值定理的推論的適用范圍:
有關(guān)恒等式例證例8.若在開區(qū)間內(nèi)滿足:證一般證a=b的兩種方法:1)令f=a-b,證f=0;2)令f=a/b,證f=1.例10
設(shè),證明證取,則在[a,b]
上連續(xù),在(a,b)
內(nèi)可導(dǎo).由
Lagrange中值定理,
存在ξ∈(a,b),使得例9證明對于任意的x1,x2∈R,都有
|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.因為所以自己做
證明當(dāng)e<x1<x2時,有提示作性質(zhì)2設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若x0∈[a,b),且則有若x0∈(a,b],且有則有注意不同:證由Lagrange定理
,我們有所以性質(zhì)2可精簡為:設(shè)函數(shù)在x0連續(xù),則有據(jù)此,得:導(dǎo)函數(shù)沒有可去間斷點.
例如
設(shè),求.解:所以又在R上連續(xù).而所以不存在.所以(三)柯西(Cauchy)中值定理且在(a,b)內(nèi)的每一點處均不等于零,則在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)至少有一點,使若,滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]
上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)
內(nèi)可導(dǎo);注當(dāng)時,Cauchy
定理
Langrange定理Cauchy定理的幾何意義設(shè)平面曲線L為
,由L-定理的幾何意義證構(gòu)造函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]
上連續(xù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).
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