組合優(yōu)化模型

關(guān)于組合優(yōu)化模型1第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三2第一章模型§1關(guān)于模型§2數(shù)學模型§3組合優(yōu)化模型第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三3第一章組合優(yōu)化模型

模型（model）是所研究的系統(tǒng)、過程、事物或概念的一種表達形式.

§1關(guān)于模型一、模型的概念

模型不是研究對象本身，而是對研究對象的一種抽象，它反映現(xiàn)實中對象系統(tǒng)的主要特征，但它又高于現(xiàn)實，因而具有同類問題的共性.

由于研究目的的不同，對于同一個對象系統(tǒng)，可以建立完全不同的模型，分別反映該系統(tǒng)的不同側(cè)面；出于相同的研究目的，對于同一個對象系統(tǒng)，也可能建立不同的模型，反映不同的研究角度、考察因素和價值取向.第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三4§1關(guān)于模型二、模型的本質(zhì)

從系統(tǒng)概念上看，模型是系統(tǒng)中各種關(guān)系的表達形式.因此，建立模型要從狀態(tài)和過程兩個方面去尋找、把握和描述各系統(tǒng)要素之間的相互關(guān)系.狀態(tài)：事物在某個時刻所處的狀況或表現(xiàn)形態(tài)

過程：事物狀態(tài)的變化在時間上的持續(xù)和空間上的延伸

過程和狀態(tài)兩者緊密聯(lián)系、不可分割，狀態(tài)決定和影響過程，過程又決定和影響新的狀態(tài).

狀態(tài)和過程是相對的.第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三5

從認識論上看，模型是作為認識與實踐活動的中介.現(xiàn)實世界認識（信息）

模型實踐活動概念化用信息載體表達決策（行動方案）產(chǎn)品和服務模型化過程示意圖模型既是認識的表達，又是實踐活動的先導.

模型參與認識世界和改造世界的不斷的循環(huán)往復過程，既是認識不斷深化的體現(xiàn)，又是實踐活動不斷拓展的體現(xiàn).第一章組合優(yōu)化模型第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三6§1關(guān)于模型

從信息論上看，模型和認識之間存在密切的反饋關(guān)系.從已知信息可以通過模型加工產(chǎn)生出新的信息，相關(guān)信息的積累可以從量變產(chǎn)生質(zhì)變，形成新的概念，促使認識深化.

因此，模型的建立和完善不僅要注重對系統(tǒng)物質(zhì)形態(tài)和能量形態(tài)的認識、把握和描述，而且也依賴于對系統(tǒng)相關(guān)信息不斷的采集、積累和加工，這就是用模型研究問題的現(xiàn)實活動.第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三7三、模型的分類1、原樣模型

原樣模型是在工程開發(fā)末期建立的一種具象實體，是具有實物形態(tài)的模型.它與目的工程在結(jié)構(gòu)和過程方面基本相同.

原樣模型經(jīng)過試驗改進和完善后便是所要開發(fā)的目的工程.新產(chǎn)品的樣機、新著作的原稿…第一章組合優(yōu)化模型第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三8§1關(guān)于模型2、相似模型

相似模型是根據(jù)不同系統(tǒng)間的相似規(guī)律（包括幾何相似、邏輯相似和過程相似等）而建立的用于研究的模型.3、圖形模型

地球儀、船體放樣模型、飛機風洞實驗模擬模型等等圖形模型可以表達非常豐富的內(nèi)容，主要有：①圖畫

——一種可以示形的圖形；②草圖

——一種可以示意的圖形；③框圖

——一種可以表示系統(tǒng)的部分之間或部分與整體之間聯(lián)系的圖形；

稱為不嚴格圖（沒有嚴格的規(guī)范）

系統(tǒng)分析和設(shè)計人員常常借助于這些圖形模型來開發(fā)、構(gòu)建一個新系統(tǒng)的想象力和創(chuàng)造力，逐步引申出與之有關(guān)的問題和需要進一步探索的問題，使所要開發(fā)的系統(tǒng)變得越來越清晰、越來越具體.第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三9④邏輯圖

——一種可以反映因素或?qū)ο箝g邏輯關(guān)系的圖形；

如：程序流程圖、控制關(guān)系圖etc.⑤工程圖

——一種可以反映物體確定的結(jié)構(gòu)和順序關(guān)系的圖形；

如：建筑工程圖、鐵路站場配置圖etc.⑥圖論圖

——包括圖論所定義的無向圖G(V，E)、有向圖G(V，A)、加權(quán)有(無)向圖G(V，A(E)，w).關(guān)系

稱為嚴格圖（有嚴格確定的結(jié)構(gòu)形式和規(guī)范）4、數(shù)學模型

數(shù)學模型是指運用數(shù)學符號和公式來表達、研究對象系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或過程的模型.數(shù)學模型是用數(shù)學的語言、方法去近似地刻畫實際,是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學符號組成的，描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學公式、圖形或算法.

是對現(xiàn)實對象本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略.Goback第一章組合優(yōu)化模型第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三10§2數(shù)學模型Example1七橋問題

18世紀的德國有個哥尼斯堡城，在流貫全城的普雷爾河兩岸和河中兩個島之間架設(shè)了七座橋，把河的兩岸和兩島連接起來，能否有這樣一種走法，它通過每座橋一次且僅一次.該問題由Euler在1736年解決Solution:第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三11ABCD

顯然，解決該問題時，兩岸和島的大小、形狀以及橋的長短曲直都無關(guān)，重要的是什么？每塊陸地間有幾座橋?qū)栴}進行數(shù)學抽象：

把兩岸和兩島都看做頂點，將連接這些頂點的橋當作邊，于是得到一無向圖.

則七橋問題就成為無向圖中是否存在通過每一邊一次且僅一次的路（即一筆畫）問題.第一章組合優(yōu)化模型第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三12§2數(shù)學模型ABCDEuler

在他的論文中證明：

一個圖中存在一筆畫的充要條件是同時滿足：1、圖是連通的；2、與圖中每一頂點（可能有兩點例外）相連的邊（線度）必須是偶數(shù)條.這是關(guān)于圖論的第一篇論文

見圖可知，與四個頂點相連的邊都是奇數(shù)條，因而不可能存在通過每條邊一次且僅一次的畫法，即一筆畫不存在.故七橋問題不可能有解

.問題原型七橋問題數(shù)學模型一筆畫問題無解(一次過七座橋不可能)無解(一筆畫不可能)數(shù)學抽象邏輯推理翻譯回去有無解？這是利用數(shù)學模型分析和解決問題的一個成功范例第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三13一、數(shù)學模型的特點1、高度的抽象性

數(shù)學方法不僅要拋開事物的次要屬性，突出事物的本質(zhì)屬性，而且要舍棄事物的物質(zhì)和能量方面的具體內(nèi)容，只考慮其數(shù)量關(guān)系和空間形式，同時還要把這些數(shù)量關(guān)系和空間形式作進一步的抽象，加以形式化和符號化，以便能夠進行邏輯推理和數(shù)值運算.

這種高度的抽象性，實質(zhì)是對事物認識上的高度概括和深化，對同類問題包含更多的經(jīng)驗和理解.第一章組合優(yōu)化模型第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三14§2數(shù)學模型2、高度的精確性數(shù)學方法的高度精確性表現(xiàn)在三個方面：

一是表達各種因素、變量和它們之間的關(guān)系相當明確、清楚；二是邏輯推演和運算規(guī)則十分嚴密；三是結(jié)論非常確定.

數(shù)學方法可以處理多變量、關(guān)系復雜的問題，可在有意義的范圍內(nèi)獲得令人滿意的計算精度.

特別適合于揭示事物的量的規(guī)定性，成為定量研究的有力工具.第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三153、應用的普適性

數(shù)學方法的高度抽象和精確，使之比任何一種科學方法的應用范圍都更為廣泛.

只存在尚未運用數(shù)學方法的領(lǐng)域而不存在不能運用數(shù)學方法的領(lǐng)域.

許多相同形式的數(shù)學模型可用于不同的實際問題，具有重要類比和借鑒意義.數(shù)學方法的形式化和公理化，使模型本身、計算過程和計算結(jié)果都便于交流，數(shù)學模型易變動，便于修改和改變計算關(guān)系，分析和求解問題速度快，求解成本低.數(shù)學模型缺乏直觀性、形象性和實時感第一章組合優(yōu)化模型第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三16§2數(shù)學模型二、數(shù)學模型分類數(shù)學模型分類的方法很多，如：1、按所研究問題的性質(zhì)分類⑴靜態(tài)模型與動態(tài)模型⑵確定型模型與隨機型模型⑶連續(xù)模型與離散模型⑷線性模型與非線性模型⑸宏觀模型與微觀模型第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三172、按模型的解的特征分類解析模型與數(shù)值模型3、按模型所用的數(shù)學方法分類初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等4、按模型研究的實際范疇分類人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、基因模型等5、按對實際問題了解的程度分類

白箱模型、灰箱模型、黑箱模型第一章組合優(yōu)化模型第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三18§2數(shù)學模型三、數(shù)學建模的基本步驟

數(shù)學模型因問題不同而異，對同一問題，從不同角度、不同要求出發(fā)，甚至問題的解表示結(jié)構(gòu)不同，都可以建立不同的數(shù)學模型.建立數(shù)學模型也沒有固定的方法、標準.不同的實際問題，建模模式千差萬別.在此介紹通常的幾個步驟：

數(shù)學建模問題直接來源各領(lǐng)域?qū)嶋H，往往含糊不清（目的、條件、類型etc.）.首先，要對該問題進行全面的、深入細微的調(diào)查和研究.明確所解決問題的性質(zhì)，著手收集數(shù)據(jù)；1、明確問題合理地、有目的地注意精度第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三192、合理假設(shè)

現(xiàn)實問題錯綜復雜，涉及面非常之廣.一個數(shù)學模型面面俱到、無所不包地反映一個現(xiàn)實是不可能的，即使可能，也因其過于復雜而很難求解，也是沒有必要的.

所以，要作合理的假設(shè).1、簡化問題2、限定適用范圍但也不能忽略實質(zhì)相關(guān)的因素

作假設(shè)的依據(jù)通常是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識,或來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合.善于辨別問題的主次，抓住主要因素，通過合理假設(shè),使問題簡化以便進行數(shù)學描述.

假設(shè)是在模型的建立、求解和分析過程中完善.通常開始讓問題盡可能簡化第一章組合優(yōu)化模型第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三20§2數(shù)學模型3、建立模型

建模時，要分清問題的類型恰當使用數(shù)學工具；抓住問題的本質(zhì)簡化變量之間的關(guān)系.

用什么樣的方法建立數(shù)學模型，沒有絕對的標準；數(shù)學模型的形式可以是多種多樣，數(shù)學公式、表格、圖形、算法.

模型的優(yōu)劣在于是否采用了恰當?shù)姆椒?，合理地描述了實際問題，而不在于是否用到了高深的數(shù)學工具.數(shù)學建模是一個過程.第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三214、模型求解

不同的模型要用到不同的數(shù)學工具求解.這就要求從事實際工作者對相應的數(shù)學分支知識有一定的了解.可借助計算機，特別是利用數(shù)學工具軟件.5、模型分析

對模型求出的解進行數(shù)學上的分析，有助于對實際問題的解決.如：①結(jié)果的誤差分析誤差是否在允許的范圍內(nèi)分析誤差來源：建模假設(shè)的誤差；數(shù)據(jù)測量的誤差；近似求解方法的誤差；計算工具的舍入誤差.②

結(jié)果的統(tǒng)計分析結(jié)果是否符合特定的統(tǒng)計規(guī)律③模型對數(shù)據(jù)的靈敏度分析模型的結(jié)果是否會因數(shù)據(jù)的微小改變而發(fā)生大的變化④對假設(shè)的魯棒性分析模型的結(jié)果是否對某一假設(shè)非常依賴⑤不同模型間的對比分析robustness第一章組合優(yōu)化模型第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三22§2數(shù)學模型6、模型檢驗

將求解結(jié)果和分析結(jié)果翻譯回到實際問題之中，與實際現(xiàn)象、實際數(shù)據(jù)進行比較，檢驗是否與實際吻合.如果吻合較好，則模型及其結(jié)果可以應用于實際問題；如果吻合不好，則需要對模型進行修正.7、改進模型

吻合不好，問題常常出現(xiàn)在模型假設(shè)上.可能由于假設(shè)了過于苛刻的條件，或者忽略了一些不該忽略的因素.所以,要對實際問題中的主次因素再次分析,對模型進行修改、補充、完善.需要多次反復才能達到比較滿意的程度。第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三238、模型應用

數(shù)學建模最終的目的是為了解決問題.一方面可以解釋以前的實踐成果；另一方面可以為現(xiàn)在的實際問題提供解決方案，甚至可以對一些不確定的現(xiàn)象或規(guī)律作出預測.現(xiàn)實問題簡化、假設(shè)建立模型求解模型檢驗分析模型模型應用觀察、分析收集數(shù)據(jù)確定主要因素及相互關(guān)系Goback第一章組合優(yōu)化模型第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三24§3組合優(yōu)化模型Example2

某商場根據(jù)客流量統(tǒng)計得出一周中每天所需要的營業(yè)員數(shù)如表：營業(yè)員配置問題時間周一周二周三周四周五周六周日所需營業(yè)員數(shù)677278768510698

如果規(guī)定每個營業(yè)員每周連續(xù)工作5天，休息2天，求總?cè)藬?shù)最少的營業(yè)員排班方案.Solution:

設(shè)xj

為從周j開始連續(xù)工作5天的營業(yè)員人數(shù)，j=1,…,7(其中

x7

為周日開始連續(xù)工作5天的營業(yè)員數(shù))，則可行解集是有限集第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三25Example3

旅行商問題（Traveling

Salesman

Problem）TSP

:

有一位旅行售貨員，欲到城市v1，v2,…，vn

進行商品銷售，已知：的距離為

wij.(,).他從其中某個城市出發(fā)，需訪問每一個城市一次而回到出發(fā)的城市.問應如何計劃他的旅行路線，使他所走路線的總長度最短？TSP可分為：對稱（dij=dji)和非對稱（dij≠dji）距離兩種第一章組合優(yōu)化模型第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三26§3組合優(yōu)化模型Hamilton

回路：不含平行邊及自環(huán)

這是1856年，Hamilton

首先提出的所謂環(huán)球航行問題而得名。它的存在性遠比Eular回路的存在性復雜得多。最優(yōu)

Hamilton

回路：在賦權(quán)圖中，權(quán)和最小的

Hamilton

回路.過簡單圖G

的每一個頂點一次且僅一次的回路.第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三27最優(yōu)旅行商問題與最優(yōu)Hamilton回路一樣嗎？

如果不滿足三角不等式，則可通過求最短路方法，構(gòu)造新圖，使之滿足三角不等式.所以以下僅討論最優(yōu)的

Hamilton

回路.2523Theorem

如果賦權(quán)圖滿足三角不等式（歐氏距離），則它的最優(yōu)旅行商回路與最優(yōu)Hamilton

回路相同（Hamilton回路存在時）.第一章組合優(yōu)化模型第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三28§3組合優(yōu)化模型TSP

問題的數(shù)學模型（非對稱的）：v6v4v5v3v2v1Note：條件(1)，(2)表示每個城市經(jīng)過一次，但不能保證它可行.

要求局部不構(gòu)成圈，條件(3)就是為了約束這一點.第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三29共同特點：可行方案是有限的

——組合優(yōu)化問題

Definition1

組合優(yōu)化問