高中數(shù)學(xué)-線性規(guī)劃知識(shí)復(fù)習(xí)

PAGEPAGE1用心愛(ài)心專(zhuān)心高中必修5線性規(guī)劃最快的方法簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一、知識(shí)梳理1.目標(biāo)函數(shù):Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一個(gè)含有兩個(gè)變量ｘ和ｙ的函數(shù)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)．2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱(chēng)為可行域.3.整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．4.線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題．只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決．5.整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱(chēng)為整數(shù)線性規(guī)劃．二、疑難知識(shí)導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門(mén)研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問(wèn)題的專(zhuān)門(mén)學(xué)科.主要在以下兩類(lèi)問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù).1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫(huà)成虛線．2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域．若直線不過(guò)原點(diǎn)，通常選擇原點(diǎn)代入檢驗(yàn)．3.平移直線ｙ＝－kｘ＋Ｐ時(shí)，直線必須經(jīng)過(guò)可行域．4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)．5.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無(wú)論此類(lèi)題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.積儲(chǔ)知識(shí)：一．1.點(diǎn)P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上，則點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程，即Ax0+By0+C=02.點(diǎn)P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），則當(dāng)B>0時(shí)，Ax0+By0+C>0;當(dāng)B<0時(shí)，Ax0+By0+C<03.點(diǎn)P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0下方（左下或右下），當(dāng)B>0時(shí)，Ax0+By0+C<0;當(dāng)B<0時(shí)，Ax0+By0+C>0注意：（1）在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,（2）在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的兩點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)相反,即：1.點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)在直線Ax+By+C=0的同側(cè)，則有（Ax1+By1+CAx2+By2+C)>02.點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)，則有（Ax1+By1+CAx2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面區(qū)域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.不包括邊界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域且包括邊界;注意：作圖時(shí),不包括邊界畫(huà)成虛線;包括邊界畫(huà)成實(shí)線.三、判斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法:方法一:取特殊點(diǎn)檢驗(yàn);“直線定界、特殊點(diǎn)定域原因:由于對(duì)在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地,當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時(shí)，可用（0，1）或（1，0）當(dāng)特殊點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)代入適合不等式則此點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)樾璁?huà)的區(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域?yàn)樾璁?huà)區(qū)域。方法二：利用規(guī)律： 1.Ax+By+C>0,當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），當(dāng)B<0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）當(dāng)B<0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上）。四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件：②線性目標(biāo)函數(shù)：③線性規(guī)劃問(wèn)題：④可行解、可行域和最優(yōu)解：典型例題一畫(huà)區(qū)域1.用不等式表示以，，為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域．分析：首先要將三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線方程寫(xiě)出，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應(yīng)怎樣表示。解：直線的斜率為：，其方程為．可求得直線的方程為．直線的方程為．的內(nèi)部在不等式所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)又在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖）．所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組表示．說(shuō)明：用不等式組可以用來(lái)平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線．2畫(huà)出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解．解：原不等式等價(jià)于而求正整數(shù)解則意味著，還有限制條件，即求．依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，知表示的區(qū)域如下圖：對(duì)于的正整數(shù)解，容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為、、、、．3設(shè)，，；，，，用圖表示出點(diǎn)的范圍．分析：題目中的，與，，是線性關(guān)系．可借助于，，的范圍確定的范圍．解：由得由，，得畫(huà)出不等式組所示平面區(qū)域如圖所示．說(shuō)明：題目的條件隱蔽，應(yīng)考慮到已有的，，的取值范圍．借助于三元一次方程組分別求出，，，從而求出，所滿足的不等式組找出的范圍．4、已知x,y,a,b滿足條件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）試畫(huà)出（）的存在的范圍；（2）求的最大值。 典型例題二畫(huà)區(qū)域，求面積例3求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積．分析：關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來(lái)，判斷其形狀進(jìn)而求出其面積．而要將平面區(qū)域作出來(lái)的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個(gè)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形，如何變形？需對(duì)絕對(duì)值加以討論．解：不等式可化為或；不等式可化為或．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出四條射線：，，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，由于與、與互相垂直，所以平面區(qū)域是一個(gè)矩形．0ABC（圖1）根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長(zhǎng)度分別為和．所以其面積為0ABC（圖1）典型例題三求最值一、與直線的截距有關(guān)的最值問(wèn)題1.如圖1所示，已知中的三頂點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并討論以下問(wèn)題：①在點(diǎn)A處有最大值6，在邊界BC處有最小值1；②在點(diǎn)C處有最大值1，在點(diǎn)B處有最小值00ABC（圖2）0ABC2若、滿足條件求的最大值和最小值．分析：畫(huà)出可行域，平移直線找最優(yōu)解．解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示．作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當(dāng)它在可行域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，由圖可知，直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值．∴∴注：可化為表示與直線平行的一組平行線，其中為截距，特別注意：斜率范圍及截距符號(hào)。即注意平移直線的傾斜度和平移方向。變式：設(shè)x,y滿足約束條件分別求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。二、與直線的斜率有關(guān)的最值問(wèn)題表示定點(diǎn)P（x0,y0)與可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)連線的斜率.例2設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是__________．解析：畫(huà)出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC，表示兩點(diǎn)確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值．0ABC（圖1）可以看出直線OP的斜率最大，故P為0ABC（圖1）即A點(diǎn)．∴．故答案為．3.如圖1所示，已知中的三頂點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并討論以下問(wèn)題：若目標(biāo)函數(shù)是或，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何意義求得和？三、與距離有關(guān)的最值問(wèn)題（配方）的結(jié)構(gòu)表示定點(diǎn)Q（x0,y0)到可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)N(x,y)的距離的平方或距離。1.已知，．求的最大、最小值．分析：令，目標(biāo)函數(shù)是非線性的．而可看做區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和．所以的最大、最小值分別是50和．2.已知求的最小值解析：作出可行域如圖3，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)M（0，5）的距離的平方，過(guò)M作直線AC的垂線，易知垂足Ｎ在線段上，故z的最小值是．練習(xí)：1..給出平面區(qū)域如右圖所示，若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則a的值為（B）A.B.C.4D.2、在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3.三角形三邊所在直線分別為x-y+5=0，x+y=0，x-3=0，求表示三角形內(nèi)部區(qū)域的不等式組.4.．已知，求的最大值為。高中生貧困申請(qǐng)書(shū)范文高中生貧困助學(xué)申請(qǐng)書(shū)尊敬的院領(lǐng)導(dǎo)和各位老師：我是來(lái)自XX年紀(jì)XX班的學(xué)生XX，由于家庭條件比較艱難，所以向?qū)W校提出申請(qǐng)國(guó)家助學(xué)金。在學(xué)習(xí)上本人在校期間品行良好，成績(jī)優(yōu)良，遵紀(jì)守法，無(wú)違法違紀(jì)行為，誠(chéng)實(shí)守信，做事遵守承諾，在生活上，本人家庭經(jīng)濟(jì)困難，生活簡(jiǎn)樸，家庭貧困，家里僅靠父親退休金維持生活，但是人窮志不窮，本人在校能遵紀(jì)守法，沒(méi)有任何違規(guī)行為。假如能夠獲得國(guó)家助學(xué)金，我將在今后的學(xué)習(xí)生活中投入更多精力，來(lái)努力完成學(xué)業(yè)，爭(zhēng)取優(yōu)秀畢業(yè)。為班級(jí)為學(xué)院爭(zhēng)光。通過(guò)自己的不斷努力和不斷汲取知識(shí)的方法來(lái)為將來(lái)打好堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，為今后的學(xué)業(yè)做好儲(chǔ)備。我知道還有很多很多向我現(xiàn)在一樣的學(xué)生等著這筆錢(qián)去交學(xué)費(fèi)，也有更多的父母為兒女的學(xué)費(fèi)而辛苦工作著，甚至有的以賣(mài)血來(lái)湊夠這筆錢(qián)。想一想手中浸著鮮血的貸款，想想一個(gè)人承諾和信用的價(jià)值，任何人沒(méi)有理由不把這比貸款的歸還作為重中之重看待，請(qǐng)領(lǐng)導(dǎo)和各位老師相信我的人格，我一定好好學(xué)習(xí)。特此申請(qǐng)，望予批準(zhǔn)!此致敬禮高中生貧困補(bǔ)助申請(qǐng)書(shū)范本尊敬的校領(lǐng)導(dǎo)：我是高一(x)班的xx，因家庭原因，現(xiàn)申請(qǐng)獲得今年國(guó)家貧困生補(bǔ)助金，希望學(xué)校能予批準(zhǔn)。我家有6口人，年過(guò)60的爺爺奶奶、正在讀高中的我和一個(gè)正在讀小學(xué)四年級(jí)的妹妹。于是擔(dān)負(fù)起這個(gè)家的重任就落在爸爸和媽媽的身上。爸爸是修車(chē)工人，收入極不穩(wěn)定，有時(shí)能賺一些錢(qián)，有時(shí)卻只有空手而歸。爺爺是中共黨員，年輕時(shí)是村里的干部，本來(lái)有退休金，可近幾年，不知是何原因，退休金越來(lái)越少。好在媽媽剛找到一份工作，雖然很辛苦，媽媽還是很高興，因?yàn)槟鞘?/p>