習(xí)題word版：期末復(fù)習(xí)

期末復(fù)習(xí)(一)整式的乘除01知識結(jié)構(gòu)圖02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1整式的乘除【例1】計算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y.【思路點(diǎn)撥】先算括號內(nèi)的乘法，再合并同類項，最后算除法即可．【解答】原式＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2)÷x2y＝(2x3y2－2x2y)÷x2y＝2xy－2.方法指導(dǎo)本題考查了整式的混合運(yùn)算，主要考查學(xué)生的計算和化簡能力．注意在帶括號的混合運(yùn)算中，要按照先括號內(nèi)，再括號外的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．變式訓(xùn)練1．計算：(a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2.解：原式＝a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝－2b2.重難點(diǎn)2整式的化簡與求值【例2】已知x2－2x－1＝0，求代數(shù)式(x－1)2＋x(x－4)＋(x－2)(x＋2)的值．【思路點(diǎn)撥】先化簡(x－1)2＋x(x－4)＋(x－2)(x＋2)，然后把x2－2x－1＝0代入化簡后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】當(dāng)x2－2x－1＝0時，(x－1)2＋x(x－4)＋(x－2)(x＋2)＝x2－2x＋1＋x2－4x＋x2－4＝3x2－6x－3＝3(x2－2x－1)＝3×0＝0.方法指導(dǎo)解答化簡求值題的關(guān)鍵是要明確：先按運(yùn)算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值，或?qū)⒁阎阶诱w帶入求值．變式訓(xùn)練2．先化簡，再求值：(x－y2)－(x－y)(x＋y)＋(x＋y)2，其中x＝3，y＝－eq\f(1,3).解：原式＝x－y2－x2＋y2＋x2＋2xy＋y2＝x＋2xy＋y2.當(dāng)x＝3，y＝－eq\f(1,3)時，原式＝3－2＋eq\f(1,9)＝1eq\f(1,9).重難點(diǎn)3乘法公式的應(yīng)用【例3】利用乘法公式計算：(1)×；(2)1022.【思路點(diǎn)撥】在(1)中，因為eq\f＋,2)＝60，所以×＝(60－×(60＋，根據(jù)平方差公式即可簡便計算；在(2)中，因為1022＝(100＋2)2，根據(jù)完全平方公式即可簡便計算．【解答】(1)原式＝(60－×(60＋＝3600－＝3.(2)原式＝(100＋2)2＝1002＋400＋4＝10404.方法指導(dǎo)在有理數(shù)的乘法或乘方計算中，當(dāng)數(shù)值不易計算時，應(yīng)考慮是否能利用乘法公式進(jìn)行簡便計算．變式訓(xùn)練3．利用乘法公式計算：(1)51×49；解：原式＝(50＋1)×(50－1)＝2500－1＝2499.(2)19992.解：原式＝(2000－1)2＝20002－4000＋1＝3996001.思想方法整體思想【例4】已知x2＋x＝2，求(x＋2)2－x(x＋3)＋(x＋1)(x－1)的值．【解答】原式＝x2＋4x＋4－x2－3x＋x2－1＝x2＋x＋3.因為x2＋x＝2，所以原式＝2＋3＝5.變式訓(xùn)練4．已知x2－3x－4＝0，求代數(shù)式(x＋1)(x－1)－(x＋3)2＋2x2的值．解：原式＝x2－1－x2－6x－9＋2x2＝2x2－6x－10＝2(x2－3x－4)－2，當(dāng)x2－3x－4＝0時，原式＝－2.03復(fù)習(xí)自測一、選擇題(每小題4分，共32分)1．計算：a2·a4＝(A)A．a(chǎn)6 B．a(chǎn)8 C．2a6 D．a(chǎn)22．(2022·濰坊)生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了某種花粉的直徑約為0036毫米，數(shù)據(jù)0036用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是(C)A．×10－5 B．×10－5 C．×10－6 D．×10－63．(2022·廣西)下列運(yùn)算正確的是(D)A．a(chǎn)(a＋1)＝a2＋1 B．(a2)3＝a5 C．3a2＋a＝4a3 D．a(chǎn)5÷a2＝a34．下列計算中，正確的是(D)A．a(chǎn)0＝1 B．32÷3－2＝1 C．m6÷m2＝m3 D．3－2＝eq\f(1,9)5．下列計算錯誤的有(D)①(2x＋y)2＝4x2＋y2；②(3b－a)2＝9b2－a2；③(－3b－a)(a－3b)＝a2－9b2；④(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2；⑤(x－eq\f(1,2))2＝x2－2x＋eq\f(1,4).A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，從邊長為(a＋1)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形(不重疊無縫隙)，則該長方形的面積為(C)A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．(a2－1)cm27．對于任意的整數(shù)n，下列能整除(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)的整數(shù)是(C)A．4 B．3 C．5 D．28．已知(x－2017)2＋(x－2019)2＝34，則(x－2018)2的值是(D)A．4 B．8 C．12 D．16二、填空題(每小題4分，共24分)9．(2022·泰州)計算：eq\f(1,2)x·(－2x2)3＝－4x7．10．若102·10n－1＝106，則n的值為5．11．把(6×105)2的結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為×1011．12．若(x＋3)(x－4)＝ax2＋bx＋c，則a＝1，b＝－1，c＝－12．13．已知A＝2x，B是多項式，在計算B＋A時，小馬虎同學(xué)把B＋A看成了B×A，結(jié)果得x2＋eq\f(1,2)x，則B＋A＝eq\f(5x,2)＋eq\f(1,4).14．定義運(yùn)算：a?b＝a(1－b)，下列給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾個結(jié)論：①2?(－2)＝6；②a?b＝b?a；③若a＋b＝0，則(a?a)＋(b?b)＝2ab；④若a?b＝0，則a＝0或b＝1，其中正確結(jié)論的序號是①③④．三、解答題(共44分)15．(10分)計算：(1)(x＋5)(x－5)－x(x＋25)；解：原式＝x2－25－x2－25x＝－25－25x.(2)(x－y)2－(8x2y2－4xy3)÷4xy.解：原式＝x2－2xy＋y2－2xy＋y2＝x2－4xy＋2y2.16．(10分)小操找來一張掛歷紙包數(shù)學(xué)課本．已知課本長為a厘米，寬為b厘米，厚為c厘米，小操想將課本封面與封底的每一邊都包進(jìn)去2厘米．問小操應(yīng)在掛歷紙上剪下一塊多大面積的長方形？解：需要在掛歷紙上剪下一塊長為(2b＋c＋4)厘米，寬為(a＋4)厘米的長方形．所以面積為(2b＋c＋4)·(a＋4)＝(2ab＋ac＋4a＋8b＋4c＋16)平方厘米．17．(10分)數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一道題：先化簡，再求值：(2x＋y)(2x－y)－(2x－y)2＋2y2，其中xy＝2019.小亮一看，題中沒有給出x和y的值，只給出了xy的值，所以小亮認(rèn)為根據(jù)題中條件不可能求出題目的值．你認(rèn)為小亮的說法正確嗎？請說明理由．解：不正確．理由如下：因為(2x＋y)(2x－y)－(2x－y)2＋2y2＝4x2－y2－4x2＋4xy－y2＋2y2＝4xy.所以，當(dāng)xy＝2019時，原式＝4×2019＝8076.18．(14分)我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了(a＋b)n(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展開式中的系數(shù)等等．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(a＋b)5的展開式；(2)利用上面的規(guī)律計算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.

期末復(fù)習(xí)(二)相交線與平行線01知識結(jié)構(gòu)圖02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1相交線中的角【例1】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥CD于點(diǎn)O，OA平分∠MOE，∠BOD＝28°，求∠COE的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直和對頂角的性質(zhì)得到∠AOM＝90°－∠AOC＝90°－28°＝62°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠AOE＝∠AOM＝62°，然后由角的和差關(guān)系得到∠COE的度數(shù)．【解答】因為∠AOC＝∠BOD＝28°，OM⊥CD，所以∠AOM＝90°－∠AOC＝90°－28°＝62°.因為OA平分∠MOE，所以∠AOE＝∠AOM＝62°.所以∠COE＝∠AOE－∠AOC＝62°－28°＝34°.方法指導(dǎo)解決此類問題一般是運(yùn)用“對頂角相等”實現(xiàn)角度的轉(zhuǎn)化，借助垂直和角平分線的性質(zhì)進(jìn)行角度的計算．變式訓(xùn)練1．(2022·廣州)如圖，直線AD，BE被直線F和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯角分別是(B)A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠42．若∠A和∠B是對頂角且互補(bǔ)，則它們的兩邊所在直線(A)A．互相垂直 B．互相平行C．既不垂直也不平行 D．不能確定3．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD，OC，OF分別平分∠AOE和∠BOD.若∠AOC＝20°，則∠BOF的度數(shù)為35°．重難點(diǎn)2平行線的性質(zhì)與判定【例2】如圖，∠1＝∠2，∠3＝40°，則∠4等于(C)A．120° B．130° C．140° D．40°【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得a∥b，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3＝∠5，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠4的度數(shù)．方法指導(dǎo)此類題目一般會綜合考查平行線的性質(zhì)與判定，即“由形推角”或“由角判形”，所以解決時要明確條件和結(jié)論，不要產(chǎn)生混淆，性質(zhì)是由“形”得到“角”，判定是由“角”得到“形”．4．如圖，直線a，b被直線c所截，下列條件能使a∥b的是(B)A．∠1＝∠6 B．∠2＝∠6 C．∠1＝∠3 D．∠5＝∠75．(2022·金華)如圖，已知l1∥l2，直線l與l1，l2相交于C，D兩點(diǎn)，把一塊含30°角的三角尺按如圖位置擺放．若∠1＝130°，則∠2＝20°．重難點(diǎn)3用尺規(guī)作角【例3】如圖，利用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)A作直線l的平行線AB，并說明你的作圖根據(jù)．【思路點(diǎn)撥】先過點(diǎn)A任意作一條直線，再用尺規(guī)作出一對相等的同位角即可作平行線．【解答】直線AB即為所求．作圖依據(jù)：同位角相等，兩直線平行．方法指導(dǎo)這里借助“同位角相等，兩直線平行”作已知直線的平行線，在運(yùn)用尺規(guī)作圖過程中，需要操作規(guī)范，保留作圖的痕跡．變式訓(xùn)練6．要在一張不規(guī)則的四邊形紙上，過點(diǎn)M畫一條直線平行于AB，你能用尺規(guī)完成這個任務(wù)嗎？(保留作圖痕跡)解：如圖所示，MN為所求直線，即MN∥AB.思想方法構(gòu)造法【例4】(2022·威海改編)如圖，直線l1∥l2，∠1＝20°，求∠2＋∠3的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】過∠2的頂點(diǎn)作l1的平行線l，則∠2轉(zhuǎn)化為∠4與∠5的和，再利用平行線的性質(zhì)求解．【解答】過∠2的頂點(diǎn)作l1的平行線l，因為l∥l1，l1∥l2，所以l∥l1∥l2.因為l∥l1，所以∠4＝∠1＝20°.因為l∥l2，所以∠5＋∠3＝180°.所以∠2＋∠3＝∠4＋∠5＋∠3＝20°＋180°＝200°.方法指導(dǎo)當(dāng)兩條平行線不是被第三條直線所截，而是被一條折線所截時，平行線的性質(zhì)則不能直接應(yīng)用，因此需過折線的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”作一條平行線，利用“平行于同一直線的兩條直線平行”得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質(zhì)解決問題．變式訓(xùn)練7．如圖，直線AB∥CD，∠C＝36°，∠E為直角，則∠1等于(C)A．36° B．44° C．54° D．64°03復(fù)習(xí)自測一、選擇題(每小題3分，共30分)1．圖中，∠1，∠2是對頂角的為(C)ABCD2．(2022·衢州)如圖，直線a，b被直線c所截，那么∠1的同位角是(C)A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠53．一個角的余角是(B)A．一定是鈍角 B．一定是銳角 C．可能是銳角，也可能是鈍角 D．以上答案都不對4．(2022·濱州)如圖，直線AB∥CD，則下列結(jié)論正確的是(D)A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°5．如圖，已知直線a∥b，若∠ACB＝90°，∠1＝35°，則∠2等于(C)A．65° B．50° C．55° D．60°6．如圖，直線a，b被直線c所截，下列說法正確的是(D)A．當(dāng)∠1＝∠2時，一定有a∥bB．當(dāng)a∥b時，一定有∠1＝∠2C．當(dāng)a∥b時，一定有∠1＋∠2＝90°D．當(dāng)∠1＋∠2＝180°時，一定有a∥b7．一只因損壞而傾斜的椅子，從背后看到的形狀如圖所示，其中兩組對邊的平行關(guān)系沒有發(fā)生變化．若∠1＝75°，則∠2的大小是(D)A．75° B．115° C．65° D．105°8．已知在△ABC中，BC＝6，AC＝3，CP⊥AB，垂足為P，則CP的長可能是(A)A．2 B．4 C．5 D．79．如圖，直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，直線l4∥l1.若∠1＝124°，∠2＝88°，則∠3的度數(shù)為(B)A．26° B．36° C．46° D．56°10．如圖，結(jié)合圖形作出了如下判斷或推理：①如圖甲，如果CD⊥AB，D為垂足，那么點(diǎn)C到AB的距離等于C，D兩點(diǎn)間的距離；②如圖乙，如果AB∥CD，那么∠B＝∠D；③如圖丙，如果∠ACD＝∠CAB，那么AD∥BC；④如圖丁，如果∠1＝∠2，∠D＝120°，那么∠BCD＝60°.其中正確的有(B)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題(每小題4分，共20分)11．如圖，從書店到公路最近的是①號路線，數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．12．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，則∠2與∠3的關(guān)系是相等，理由是同角的余角相等．13．如圖，作一個角等于已知角，其尺規(guī)作圖的原理是SSS．(填“SAS”“ASA”或“SSS”)14．如圖，小島B在小島A的北偏東35°的方向，小島C在小島B的北偏西65°的方向，連接AB，BC，AC，則∠ABC的度數(shù)是80°．15．如圖1是我們常用的折疊式小刀，圖2中刀柄外形是一個長方形挖去一個小半圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動刀片時會形成如圖2所示的∠1與∠2，則∠1與∠2的度數(shù)和是90度．三、解答題(共50分)16．(8分)如圖，已知直線a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，試說明：a∥c.解：因為∠1＝∠2，所以a∥b.又因為∠3＋∠4＝180°，所以c∥b.所以a∥c(平行于同一直線的兩條直線平行)．17．(10分)如圖，已知∠ACD＝75°，點(diǎn)E在AB上．(1)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不必寫作法)：以點(diǎn)E為頂點(diǎn)，EB為一邊作∠FEB＝∠A，EF交CD于點(diǎn)F；(2)在(1)的條件下，求∠CFE的度數(shù)．解：(1)如圖，∠FEB即為所求．(2)因為∠FEB＝∠A，所以AC∥EF.所以∠ACD＋∠CFE＝180°.因為∠ACD＝75°，所以∠CFE＝180°－75°＝105°.18．(10分)如圖，∠B＝∠C，B，A，D三點(diǎn)在同一直線上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分線，試說明：AE∥BC.解：因為AE是∠DAC的平分線，所以∠DAE＝∠CAE.所以∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝2∠CAE.因為∠B＝∠C，所以∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠C.所以2∠CAE＝2∠C，即∠CAE＝∠C.所以AE∥BC.19．(10分)如圖，已知∠B＝43°，∠BDC＝43°，∠A＝∠1，試說明：∠2＝∠BDE.解：因為∠B＝43°，∠BDC＝43°，所以∠B＝∠BDC.所以AB∥CD.所以∠A＝∠C.因為∠A＝∠1，所以∠C＝∠1.所以AC∥DE.所以∠2＝∠BDE.20．(12分)如圖，AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H，GM⊥EF，HN⊥EF，交AB于點(diǎn)N，∠1＝50°.(1)求∠2的度數(shù)；(2)試說明：HN∥GM；(3)求∠HNG的度數(shù)．解：(1)因為AB∥CD，所以∠EHD＝∠1＝50°.所以∠2＝∠EHD＝50°.(2)因為GM⊥EF，HN⊥EF，所以∠MGH＝∠NHF＝90°.所以HN∥GM.(3)因為HN⊥EF，所以∠NHF＝90°.所以∠NHC＝∠NHF－∠2＝90°－50°＝40°.因為AB∥CD，所以∠HNG＝∠NHC＝40°.

期末復(fù)習(xí)(三)變量之間的關(guān)系01知識結(jié)構(gòu)圖02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1用表格表示的變量間的關(guān)系【例1】下面的表格列出了一個試驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，表示皮球從高處落下時，彈跳高度b與下降高度d的關(guān)系，下面能表示這種關(guān)系的式子是(C)d5080100150b25405075A．b＝d2B．b＝2d C．b＝eq\f(d,2) D．b＝d＋25【思路點(diǎn)撥】這是一個用圖表表示的關(guān)系，可以看出d是b的2倍，即可得關(guān)系式．方法指導(dǎo)利用表格表示兩個變量之間的關(guān)系，其對應(yīng)值清晰明了，但它們之間的關(guān)系不夠明朗，要結(jié)合數(shù)據(jù)加以分析才能發(fā)現(xiàn)潛在的規(guī)律．從表示自變量與因變量的表格中辨識自變量與因變量，一般第一欄為自變量，第二欄為因變量．變式訓(xùn)練1．某校一課外小組準(zhǔn)備進(jìn)行“綠色環(huán)?！钡男麄骰顒?，需要制作宣傳單，校園附近有一家印刷社，收費(fèi)y(元)與印刷數(shù)量x(張)之間的關(guān)系如表：印刷數(shù)量x(張)…100200300400…收費(fèi)y(元)…15304560…(1)上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2)從上表可知：收費(fèi)y(元)隨印刷數(shù)量x(張)的增加而增加；(3)若要印制1000張宣傳單，收費(fèi)多少元？解：(1)上表反映了印刷數(shù)量和收費(fèi)兩個變量之間的關(guān)系，印刷數(shù)量是自變量，收費(fèi)是因變量．(3)由上表可知：印刷數(shù)量每增加100張，收費(fèi)增加15元，所以每張的價格是元．所以收費(fèi)y(元)與印刷數(shù)量x(張)之間的關(guān)系式為y＝.當(dāng)x＝1000時，y＝×1000＝150(元)．故要印制1000張宣傳單，收費(fèi)150元．重難點(diǎn)2用關(guān)系式表示的變量間的關(guān)系【例2】如圖所示，圓柱的高為10cm，當(dāng)圓柱的底面半徑變化時，圓柱的體積也發(fā)生變化．(1)在這個變化過程中，圓柱的底面半徑是自變量，圓柱的體積是因變量；(2)請你求出圓柱的體積V(cm3)與圓柱的底面半徑R(cm)之間的關(guān)系式；(3)R的值能為負(fù)值嗎？為什么？(4)當(dāng)圓柱的底面半徑從2cm變化到5cm時，圓柱的體積變化了多少？(最后結(jié)果保留π)【思路點(diǎn)撥】(1)題目中有兩個變量，主動變化的量是圓柱的底面半徑，隨之變化的是圓柱的體積；在(2)中，根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，即可求出V與R之間的關(guān)系式；由于R為圓柱的底面半徑，所以(3)中R不能為負(fù)值；在(4)中，分別求出R1＝2cm和R2＝5cm時圓柱的體積，其差值即為體積的變化量．【解答】(2)因為圓柱的體積＝底面積×高，所以V＝πR2×10＝10πR2.(3)因為R為圓柱的底面半徑，所以R>0，因此R不能為負(fù)值．(4)因為10πReq\o\al(2,2)－10πReq\o\al(2,1)＝10π×52－10π×22＝10π×(52－22)＝210π，所以圓柱體積增加了210πcm3.方法指導(dǎo)當(dāng)變量之間的關(guān)系以圖形形式表示時，可根據(jù)圖形特點(diǎn)尋找有關(guān)變量的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出關(guān)系式．值得注意的是，為使實際問題有意義，在求出變量之間的關(guān)系式后，要根據(jù)具體的題目要求，確定自變量的取值范圍．變式訓(xùn)練2．一張長方形餐桌的四周可以坐6人用餐，現(xiàn)把若干張這樣的餐桌按照如圖方式進(jìn)行拼接．(1)設(shè)四周所坐人數(shù)為y，餐桌的張數(shù)為x，試寫出這種拼接方式中y與x之間的關(guān)系式；(2)若用餐人數(shù)有90人，則這樣的餐桌需要多少張？解：(1)y＝4x＋2.(2)由題意，得90＝4x＋2，解得x＝22.故用餐人數(shù)有90人，則這樣的餐桌需要22張．重難點(diǎn)3用圖象表示的變量間的關(guān)系【例3】下列四幅圖象近似刻畫兩個變量之間的關(guān)系，請按圖象順序?qū)⑾旅嫠姆N情景與之對應(yīng)排序(D)①一輛汽車在公路上勻速行駛(汽車行駛的路程與時間的關(guān)系)；②向錐形瓶中勻速注水(水面的高度與注水時間的關(guān)系)；③將常溫下的溫度計插入一杯熱水中(溫度計的讀數(shù)與時間的關(guān)系)；④一杯越來越?jīng)龅乃?水溫與時間的關(guān)系)．A．①②④③ B．③④②① C．①④②③ D．③②④①方法指導(dǎo)解決此類題重在觀察圖象并對圖象上的數(shù)量關(guān)系和走勢進(jìn)行分析，抓住圖象的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這些轉(zhuǎn)折點(diǎn)往往是運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變或者相互的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變的地方．3．海水受日月的引力而產(chǎn)生潮汐現(xiàn)象，早晨海水上漲叫做潮，黃昏海水上漲叫做汐，合稱潮汐．潮汐與人類的生活有著密切的聯(lián)系．如圖所示，是某港口從0時到12時的水深情況，下列說法不正確的是(C)A．時間是自變量，水深是因變量B．3時時水最深，9時時水最淺C．0時到3時港口水深在增加，3時到12時港口水深在減少D．圖象上共有3個時刻水深恰好為5米03復(fù)習(xí)自測一、選擇題(每小題3分，共30分)1．小亮以每小時8千米的速度勻速行走時，所走路程s(千米)隨時間t(小時)的增大而增大，則下列說法正確的是(C)A．8和s，t都是變量 B．8和t都是變量C．s和t都是變量 D．8和s都是變量2．已知三角形ABC的面積為2cm2，則它的底邊a(cm)與底邊上的高h(yuǎn)(cm)之間的關(guān)系為(D)A．a(chǎn)＝4h B．h＝4a C．a(chǎn)＝eq\f(h,4) D．a(chǎn)＝eq\f(4,h)3．某日上午，小華同學(xué)接到通知，他的作文通過了《我的中國夢》征文選拔，需盡快上交該作文的電子文稿．接到通知后，小華立即在電腦上打字錄入這篇文稿，錄入一段時間后因事暫停，過了一小會，小華繼續(xù)錄入并加快了錄入速度，直至錄入完成．設(shè)從錄入文稿開始所經(jīng)過的時間為x，錄入字?jǐn)?shù)為y，下面能反映y與x之間關(guān)系的大致圖象是(C)4．已知某山區(qū)平均氣溫與該山區(qū)海拔的關(guān)系如下表所示：海拔/m…0100200300400…平均氣溫/℃…2221a20…則表中a的值為(B)A． B． C．21 D．5．趙先生手中有一張記錄他從出生到24周歲期間的身高情況表(如下)：年齡x/歲03691215182124身高h(yuǎn)/cm48100130140150158165170下列說法中錯誤的是(C)A．趙先生的身高增長速度總體上先快后慢B．趙先生的身高在21歲以后基本不長了C．趙先生的身高從0歲到12歲平均每年增高cmD．趙先生的身高從0歲到24歲平均每年增高cm6．圖①～④分別表示甲、乙兩輛汽車在同一條路上勻速行駛中速度與時間的關(guān)系，小明對4個圖中汽車運(yùn)動的情況進(jìn)行了描述，其中正確的是(D) A．圖①：乙的速度是甲的2倍，甲、乙的路程相等B．圖②：乙的速度是甲的2倍，甲的路程是乙的一半C．圖③：乙的速度是甲的2倍，乙的路程是甲的一半D．圖④：甲的速度是乙的2倍，甲、乙的路程相等7．如圖是北京懷柔醫(yī)院一位病人在4月8日6時到4月10日18時的體溫記錄示意圖，下列說法中，錯誤的是(C)①護(hù)士每隔6小時給病人量一次體溫；②這個病人的體溫最高是攝氏度，最低攝氏度；③他的體溫在4月9日18時到4月10日18時比較穩(wěn)定；④他的體溫在4月8日18時到4月9日18時下降最快．A．① B．②④ C．④ D．③④8．(2022·紹興)均勻地向一個容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示(圖中OABC為折線)，這個容器的形狀可以是(D)ABCD9．甲、乙兩人進(jìn)行慢跑練習(xí)，慢跑路程y(米)與所用時間t(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是(D)A．前2分鐘，乙的平均速度比甲快 B．5分鐘時兩人都跑了500米C．甲跑完800米的平均速度為100米/分鐘 D．甲、乙兩人8分鐘各跑了800米10．如圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第②個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成，…，設(shè)第(n是正整數(shù))個圖案是由y個基礎(chǔ)圖形組成的，則y與n之間的關(guān)系式是(D)…①②③A．y＝4n B．y＝3n C．y＝6n D．y＝3n＋1二、填空題(每小題4分，共20分)11．一蠟燭高20cm，點(diǎn)燃后平均每小時燃掉4cm，則蠟燭點(diǎn)燃后剩余的高度h(cm)與燃燒時間t(時)之間的關(guān)系式是h＝20－4t．12．如圖是某個計算y值的程序，若輸入x的值是eq\f(3,2)，則輸出的y值是eq\f(1,2)．13．已知－列有規(guī)律的數(shù)：1，4，9，16，25，…，記第n個數(shù)是y，則y關(guān)于n的表達(dá)式是y＝n2，當(dāng)n＝25時，y＝625．14．(易錯題)火車勻速通過隧道時，火車在隧道內(nèi)的長度y(米)與火車行駛時間x(秒)之間的關(guān)系用圖象描述如圖所示，有下列結(jié)論：①火車的長度為120米；②火車的速度為30米/秒；③火車整體都在隧道內(nèi)的時間為25秒；④隧道長度為750米．其中正確的結(jié)論是②③(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)．15．如圖反映的過程是：媽媽帶小米從家去附近的動物園玩，他們先去鱷魚館看鱷魚，又去熊貓館看熊貓，然后回家．如果鱷魚館和熊貓館的距離為m千米，小米在熊貓館比在鱷魚館多用了n分鐘，那么m＝，n＝8．三、解答題(共50分)16．(8分)青春期男、女生身高變化情況不盡相同，下圖是小軍和小蕊青春期身高的變化情況．(1)上圖反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？自變量是什么？因變量是什么？(2)A，B兩點(diǎn)表示什么？(3)小蕊10歲時身高多少？17歲時呢？(4)比較小軍和小蕊青春期的身高情況有何相同與不同．解：(1)反映了身高隨年齡的變化而變化的關(guān)系，自變量是年齡，因變量是身高．(2)A點(diǎn)表示小軍和小蕊在11歲時身高都是140厘米，B點(diǎn)表示小軍和小蕊在14歲時身高都是155厘米．(3)小蕊10歲時身高130厘米，17歲時身高160厘米．(4)相同點(diǎn)：進(jìn)入青春期，兩人隨年齡的增長而快速長高，并且在11歲和14歲時兩人的身高相同；不同點(diǎn)：11歲至14歲間小蕊的身高變化比小軍的快些，14歲后小軍的身高變化比小蕊的快些．17．(10分)如圖所示，在三角形ABC中，底邊BC＝8cm，高AD＝6cm，E為AD上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動時，三角形BEC的面積發(fā)生了變化．(1)在這個變化過程中，自變量和因變量各是什么？(2)若設(shè)DE長為x(cm)，三角形BEC的面積為y(cm2)，求y與x之間的關(guān)系式．解：(1)ED長度是自變量，三角形BEC的面積是因變量．(2)y與x的關(guān)系式為y＝4x.18．(10分)新成藥業(yè)集團(tuán)研究開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果兒童按規(guī)定劑量服用，那么服藥2小時后血液中含藥量最高，接著逐步衰減，每毫升血液中含藥量y(微克)隨時間x(小時)的變化如圖所示．當(dāng)兒童按規(guī)定劑量服藥后：(1)何時血液中含藥量最高？是多少微克？(2)A點(diǎn)表示什么意義？(3)每毫升血液中含藥量為2微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效期是多長？解：(1)服藥后2小時血液中含藥量最高，最高是4微克．(2)A點(diǎn)表示血液中含藥量為0.(3)有效期為5小時．19．(10分)春天來了，小穎要用總長為12m的籬笆圍一個長方形花圃，其一邊靠墻(墻長9m)，另外三邊是籬笆，其中BC不超過9m．設(shè)垂直于墻的兩邊AB，CD的長均為xm，長方形花圃的面積為ym2.(1)判斷x＝1是否符合題意，并說明理由；(2)求y與x之間的關(guān)系式；(3)根據(jù)關(guān)系式補(bǔ)充表格：x(m)…234…y(m2)…161816…觀察表中數(shù)據(jù)，寫出y隨x變化的一個特征：y隨x的增大先增大后減小．解：(1)x＝1不符合題意，因為當(dāng)x＝1時，BC＝12－2＝10＞9，所以x＝1不符合題意．(2)y＝AB·BC＝x(12－2x)＝－2x2＋12x.20．(12分)一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)．設(shè)慢車行駛的時間為x(h)，兩車之間的距離為y(km)，圖中的折線表示y與x之間的關(guān)系．根據(jù)圖象解答下列問題：(1)甲、乙兩地之間的距離為900km；(2)請解釋圖中點(diǎn)B的實際意義；(3)求慢車和快車的速度．解：(2)圖中點(diǎn)B的實際意義是：當(dāng)慢車行駛4h時，慢車和快車相遇．(3)由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為eq\f(900,12)＝75(km/h)．當(dāng)慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為eq\f(900,4)＝225(km/h)，所以快車的速度為225－75＝150(km/h).

期末復(fù)習(xí)(四)三角形01知識結(jié)構(gòu)圖02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1三角形的邊及有關(guān)線段【例1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝8cm2，則S陰影＝(C)A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2方法指導(dǎo)遇到線段的中點(diǎn)，求三角形的面積，一般會用到“等底等高的三角形的面積相等”．變式訓(xùn)練1．有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數(shù)為(C)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，過點(diǎn)E作垂線交BC于點(diǎn)F，已知BC＝10，△ABD的面積為12，則EF的長為(B)A． B． C． D．重難點(diǎn)2三角形中有關(guān)角的求值【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC.若CD平分∠ADE，則∠BCD的度數(shù)為(B)A．20° B．25° C．30° D．35°方法指導(dǎo)解答與求角有關(guān)的問題，?？紤]三角形的內(nèi)角和定理、角平分線、高線、平行線的性質(zhì)，確立已知角與所求角之間的數(shù)量關(guān)系．變式訓(xùn)練3．如圖，AD是∠BAC的平分線，CE是△ADC邊AD上的高．若∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，則∠B的度數(shù)為(C)A．40°B．35°C．25°D．65°4．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，將△ADC沿直線AD折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處．若DE∥AB，則∠ADC的度數(shù)為110°．重難點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)與判定【例3】如圖，已知CA＝CB，點(diǎn)E，F(xiàn)在射線CD上，滿足∠BEC＝∠CFA，且∠BEC＋∠ECB＋∠ACF＝180°.(1)試說明：△BCE≌△CAF；(2)試判斷線段EF，BE，AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】(1)因為∠BEC＋∠ECB＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠ACF＋∠FAC＝180°，又因為∠BEC＝∠CFA，所以∠BCE＝∠FAC.在△BCE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠CFA，,∠BCE＝∠CAF，,BC＝CA，))所以△BCE≌△CAF(AAS)．(2)AF＋EF＝BE，理由如下：因為△BCE≌△CAF，所以AF＝CE，CF＝BE.因為CE＋EF＝CF，所以AF＋EF＝BE.方法指導(dǎo)(1)判定兩個三角形全等的三個條件中，“邊”是必不可少的；(2)證明兩條線段相等或者兩個角相等時，常用的方法是證明這兩條線段或者這兩個角所在的三角形全等，當(dāng)所證的線段或者角不在兩個全等的三角形中時，可通過添加輔助線的方法構(gòu)造全等三角形，它的步驟是：先證全等，再利用全等的性質(zhì)求解；(3)探究兩條線段的關(guān)系時，一般也可先利用全等的性質(zhì)證明線段或角相等，進(jìn)而通過線段的轉(zhuǎn)換或角的轉(zhuǎn)換判斷線段的等量關(guān)系與位置關(guān)系．變式訓(xùn)練5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則下列結(jié)論錯誤的是(D)A．DE＝DC B．∠ADE＝∠ABC C．BE＝BC D．∠ADE＝∠ABD6．如圖，∠CAB＝∠DAE，要使△ABD≌△ACE，需加的兩個條件是答案不唯一，如AB＝AC，AD＝AE．7．(2022·溫州)如圖，在五邊形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.試說明：△ABC≌△AED.解：因為AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC.又因為∠BCD＝∠EDC＝90°，所以∠ACB＝∠ADE.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝ED，,∠ACB＝∠ADE，,AC＝AD，))所以△ABC≌△AED(SAS)．思想方法1分類討論思想【例4】已知等腰三角形的兩邊長是8cm和4cm，那么它的周長是(D)A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm方法指導(dǎo)在三角形中，往往會遇到三角形的形狀或邊不確定的情況，此時就要進(jìn)行分類討論，綜合各類結(jié)果得出答案，注意分類時不要重復(fù)或遺漏．8．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，則∠BAC的度數(shù)是90°或50°．思想方法2方程思想【例5】在△ABC中，∠A＝eq\f(1,3)∠B＝eq\f(1,5)∠C，則△ABC是(A)A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定方法指導(dǎo)運(yùn)用方程思想在三角形中求角度，先利用題目中角度之間的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再利用“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”列方程求解．變式訓(xùn)練9．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，∠B＝2∠C－6°，則∠C的度數(shù)為(D)A．90° B．58° C．54° D．32°思想方法3整體思想【例6】如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B，C.若∠A＝50°，則∠ABD＋∠ACD的度數(shù)為(C)A．60° B．50° C．40° D．30°方法指導(dǎo)在求解與三角形有關(guān)的角度問題時，局部求解有時比較困難，可利用“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”，應(yīng)用整體思想求解．變式訓(xùn)練10．如圖，∠A＝70°，BD，CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，BD，CD相交于點(diǎn)D.則∠D＝125°．03復(fù)習(xí)自測一、選擇題(每小題3分，共30分)1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥CA于點(diǎn)E，則AC邊上的高是(D)A．AD B．AB C．DC D．BE2．已知三角形兩邊的長分別是2和6，則此三角形第三邊的長不可能是(D)A．5 B．6 C．7 D．83．在△ABC中，∠A＝48°，∠B＝42°，則△ABC的形狀是(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．任意三角形4．小方畫了一個有兩邊長為3和5的等腰三角形，則這個等腰三角形的周長為(D)A．11 B．13 C．8 D．11或135．如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，DF是△CDE的中線．如果△DEF的面積是2，那么△ABC的面積為(C)A．12 B．14 C．16 D．186．如圖，已知△ABC的高AD，角平分線AE，∠B＝24°，∠ACD＝56°，那么∠AED的度數(shù)是(D)A．45° B．42° C．41° D．40°7．如圖，AB＝CD，AB∥CD，判定△ABC≌△CDA的依據(jù)是(B)A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．如圖，點(diǎn)A，D，C，E在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，則CD的長為(B)A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌DEC，不能添加的一組條件是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D10．已知Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，EF∥AC，F(xiàn)E的延長線交AB于G，下列結(jié)論一定成立的是(A)A．AB＝BF B．AE＝ED C．AD＝DC D．∠ABE＝∠DFE二、填空題(每小題4分，共20分)11．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC延長線上的一點(diǎn)，∠A＝70°，∠ACD＝105°，則∠B＝35°．12．如圖，要測量池塘AB的寬度，在池塘外選取一點(diǎn)P，連接AP，BP并各自延長，使PC＝PA，PD＝PB，連接CD，測得CD長為25m，則池塘寬AB為25m.13．如圖，△BAE≌△BCE，△BAE≌△DCE，則∠D＝30°．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC＝BC，過點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長線于點(diǎn)F.若EF＝5cm，則AE＝3cm.15．在△ADB和△ADC中，下列條件：①BD＝CD，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ABD≌△ACD的條件的序號是①②④．三、解答題(共50分)16．(8分)如圖，已知△ABC.求作△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC.(不寫作法，保留作圖痕跡)解：如圖所示：17．(10分)如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，并且BF＝CE，∠B＝∠E.(1)請你只添加一個條件(不再加輔助線)，使△ABC≌△DEF，你添加的條件是AB＝DE(答案不唯一)；(2)添加了條件后，試說明：△ABC≌△DEF.解：若添加AB＝DE，因為BF＝CE，所以BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠B＝∠E，,BC＝EF，))所以△ABC≌△DEF(SAS)．18．(10分)如圖，在△ABC中，三個內(nèi)角的平分線AD，BM，CN交于點(diǎn)O，OE⊥BC于點(diǎn)E.∠BOD與∠COE是否相等？請說明理由．解：∠BOD＝∠COE，理由如下：因為∠ABO＋∠BAO＋∠BOA＝180°，∠BOD＋∠BOA＝180°，所以∠BOD＝∠ABO＋∠BAO＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠BAC)＝eq\f(1,2)(180°－∠ACB)＝90°－eq\f(1,2)∠ACB.因為OE⊥BC，所以∠COE＋∠BCO＝90°.所以∠COE＝90°－∠BCO＝90°－eq\f(1,2)∠ACB.所以∠BOD＝∠COE.19．(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A，D重合，連接BE，EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，請說明理由．解：BE＝EC，BE⊥EC.理由：因為AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以AB＝AD＝DC.因為∠EAD＝∠EDA＝45°，所以∠EAB＝∠EDC＝135°.在△EAB和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠EAB＝∠EDC，,EA＝ED，))所以△EAB≌△EDC(SAS)．所以∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.所以∠BEC＝∠AED＝90°.所以BE⊥EC.所以線段BE和EC的數(shù)量關(guān)系為BE＝EC，位置關(guān)系為BE⊥EC.20．(12分)如圖，點(diǎn)B，E分別在AC，DF上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D.(1)試判斷∠A與∠F的關(guān)系，并說明理由；(2)若AG＝FH，試問：AB＝FE嗎？為什么？解：(1)∠A＝∠F.理由如下：因為∠AGB＝∠DGF，∠AGB＝∠EHF，所以∠DGF＝∠EHF.所以BD∥CE.所以∠C＝∠ABD.又因為∠C＝∠D，所以∠D＝∠ABD.所以AC∥DF.所以∠A＝∠F.(2)AB＝FE.理由如下：由(1)知∠A＝∠F，∠AGB＝∠FHE.在△ABG和△FEH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠F，,AG＝FH，,∠AGB＝∠FHE，))所以△ABG≌△FEH(ASA)．所以AB＝FE.

期末復(fù)習(xí)(五)生活中的軸對稱01知識結(jié)構(gòu)圖02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1軸對稱及其性質(zhì)【例1】(2022·重慶B卷)下列圖形中，是軸對稱圖形的是(D)方法指導(dǎo)本題考查軸對稱圖形的定義．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，其中這條直線叫做對稱軸．軸對稱圖形是針對一個圖形本身而言，成軸對稱是對兩個圖形而言，注意它們的本質(zhì)區(qū)別．變式訓(xùn)練1．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中錯誤的是(D)A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC與△A′B′C′的面積相等 D．直線AB，A′B′的交點(diǎn)不一定在MN上重難點(diǎn)2等腰三角形的軸對稱性【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)C作CN∥AB且CN＝AC，連接AN交BC于點(diǎn)M.說明：BM＝CM.【思路點(diǎn)撥】通過CN∥AB且CN＝AC，可得出∠BAM＝∠CAM，即AM為∠BAC的平分線．再由等腰三角形“三線合一”即可得出結(jié)論．【解答】因為CN＝AC，所以∠N＝∠CAN.又因為AB∥CN，所以∠BAM＝∠N.所以∠BAM＝∠CAM.又因為AB＝AC，所以BM＝CM.方法指導(dǎo)等邊對等角是等腰三角形的性質(zhì)定理，注意與等腰三角形的判定定理區(qū)分開；判定線段相等有多種方法，利用等腰三角線“三線合一”，通過判定線段是等腰三角形頂角的角平分線或者底邊上的高，即可得到線段是等腰三角形底邊上的中線，從而得到線段相等．變式訓(xùn)練2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝40°．重難點(diǎn)3線段及角的軸對稱性【例3】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF＝48°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線定義求出∠DBC＝∠ABD＝24°，∠ABC＝2∠ABD＝48°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案．方法指導(dǎo)本題借助角平分線實現(xiàn)了角度間的倍分計算，借助線段的垂直平分線得到相等的線段，最后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)得到問題的答案．變式訓(xùn)練3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE是斜邊AB的垂直平分線，那么：(1)DE＝CD，為什么？(2)AD＝BD，為什么？(3)如果DE＝1cm，BD＝2cm，求AC的長．解：(1)因為BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，所以DE＝CD.(2)因為DE是斜邊AB的垂直平分線，所以AD＝BD.(3)因為DE＝CD＝1cm，AD＝BD＝2cm，所以AC＝AD＋CD＝3cm.重難點(diǎn)4根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫圖【例4】如圖，有一條小船及A，B兩點(diǎn)，如果該小船先從點(diǎn)A航行到達(dá)岸邊l的點(diǎn)P處補(bǔ)貨后，再航行到點(diǎn)B，且要求航程最短，試在圖中畫出點(diǎn)P的位置．【思路點(diǎn)撥】題目要求航程最短，就是在岸邊l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A，B的距離之和最短．只要找出A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，A′B與l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．【解答】①作出點(diǎn)A′，使點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線l成軸對稱；②連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，如圖所示．方法指導(dǎo)由軸對稱性質(zhì)可知AP＝A′P，要使AP＋PB的和最小，即A′P＋PB的和最小，于是求作點(diǎn)P的位置的問題，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題．變式訓(xùn)練4．把圖中(實線部分)補(bǔ)成以虛線l為對稱軸的軸對稱圖形，你會得到一只美麗的蝴蝶圖案．解：如圖．5．請作出圖中四邊形ABCD關(guān)于直線a的軸對稱圖形，要求：不寫作法，但必須保留作圖痕跡．解：如圖所示，四邊形A′B′C′D′即為所求．思想方法1轉(zhuǎn)化思想【例5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，△BCE的周長是8，AB－BC＝2，求△ABC的周長．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝BE，結(jié)合三角形的周長求出AB＋BC的值，再與等式AB－BC＝2分別相加減，可求得AB和BC，即可求出△ABC的周長．【解答】因為DE是AB的垂直平分線，所以AE＝BE.因為△BCE的周長為8，AB＝AC，所以BE＋EC＋BC＝(AE＋EC)＋BC＝AC＋BC＝AB＋BC＝8.又因為AB－BC＝2，所以AB＝AC＝5，BC＝3.所以△ABC的周長為AC＋AB＋BC＝5＋5＋3＝13.方法指導(dǎo)本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于將△BCE的周長轉(zhuǎn)化AB＋BC的長．轉(zhuǎn)化思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時，采用某種方式，借助某些圖形的性質(zhì)、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而準(zhǔn)確、快速地解決出問題．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.若△ABC與△EBC的周長分別是40cm，24cm，則AB＝16cm.思想方法2分類討論思想【例6】已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，∠AEB＝70°，求∠BAC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】因為題目中沒有給出圖形，所以AB的垂直平分線與AC的交點(diǎn)可能在線段AC上，也可能在線段CA的延長線上，故需要我們分情況畫出圖形進(jìn)行分析．【解答】如圖1，因為DE垂直平分AB，所以AE＝BE.所以∠BAC＝∠ABE.因為∠AEB＝70°，所以∠BAC＝∠ABE＝eq\f(1,2)×(180°－70°)＝55°；如圖2，因為DE垂直平分AB，所以AE＝BE.所以∠BAE＝∠ABE.因為∠AEB＝70°，所以∠BAE＝∠ABE＝eq\f(1,2)×(180°－70°)＝55°.所以∠BAC＝180°－55°＝125°.綜上所述，∠BAC的大小為55°或125°.方法指導(dǎo)對于沒有畫出圖形的幾何問題，要特別注意是否有多種情況，需要我們分情況進(jìn)行分析，在分類討論、分情況證明時，我們必須認(rèn)真審題，全面考慮，做到不重不漏，一次分類必須按同一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，分出的每一部分都是互相獨(dú)立的，但解題方法往往是類似的．變式訓(xùn)練7．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．解：分兩種情況討論：①若∠A＜90°，如圖1所示．因為BD⊥AC，所以∠A＋∠ABD＝90°.因為∠ABD＝36°，所以∠A＝90°－36°＝54°.因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－54°)＝63°.②若∠A＞90°，如圖2所示．同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，所以∠BAC＝180°－54°＝126°.因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－126°)＝27°.綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為63°或27°.03復(fù)習(xí)自測一、選擇題(每小題3分，共30分)1．(2022·邵陽)下列圖形中，是軸對稱圖形的是(B)2．如圖所示的軸對稱圖形中，對稱軸最多的是(B)3．若等腰三角形的頂角為50°，則它的底角是(C)A．20°B．50°C．65°D．80°4．如圖，∠3＝30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證∠1的度數(shù)為(C)A．30° B．45° C．60° D．75°5．關(guān)于線段的垂直平分線有以下說法：①一條線段的垂直平分線的垂足，也是這條線段的中點(diǎn)；②線段的垂直平分線是一條直線；③一條線段的垂直平分線就是這條線段的對稱軸，其中正確的有(D)A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．如圖，已知五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1關(guān)于直線MN對稱，點(diǎn)B到直線MN的距離是3，則下列說法中正確的是(B)A．點(diǎn)A1到MN的距離是3 B．點(diǎn)B1到MN的距離是3C．點(diǎn)C1到MN的距離是3 D．點(diǎn)D1到MN的距離是37．如圖，將長方形紙片的一角折疊，使頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，BC為折痕．若BE是∠A′BD的平分線，則∠CBE的度數(shù)為(C)A．65° B．115° C．90° D．75°8．下列說法不正確的是(D)A．角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等C．圓有無數(shù)條對稱軸D．等腰三角形的對稱軸是底角平分線所在直線9．如圖，在四邊形ABDC中，∠A＝110°.若點(diǎn)D在AB，AC的垂直平分線上，則∠BDC為(D)A．90°B．110°C．120°D．140°10．已知△ABC的周長是l，BC＝l－2AB，則下列直線一定為△ABC的對稱軸的是(C)A．△ABC的邊AB的垂直平分線 B．∠ACB的平分線所在的直線C．△ABC的邊BC上的中線所在的直線 D．△ABC的邊AC上的高所在的直線二、填空題(每小題4分，共20分)11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，∠BAD＝20°，則∠C＝70°．第12題圖12．如圖，將一副七巧板拼成一只小貓，則圖中∠AOB＝90°．13．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，大于eq\f(1,2)BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，則∠ACB的度數(shù)為105°．14．如圖，△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別為45，50，60，其中三條角平分線相交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝9∶10∶12．15．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找點(diǎn)M，N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)是120°．三、解答題(共50分)16．(10分)如圖，作出△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形．解：如圖，△A′B′C′即為所求作圖形．17．(12分)某中學(xué)七(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，BO桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C處，請你在圖上幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短．解：①分別作點(diǎn)C關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)M，N；②連接MN，分別交OA于點(diǎn)D，OB于點(diǎn)E，則C→D→E→C為所求的行走路線．如圖．18．(12分)如圖，AB∥DC，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝BE，CD＝CE.試說明：AE⊥DE.解：因為AB∥DC，所以∠B＋∠C＝180°.因為AB＝BE，CD＝CE，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4.因為∠B＋∠1＋∠2＝∠C＋∠3＋∠4＝180°，所以∠2＋∠3＝eq\f(1,2)(180°－∠B＋180°－∠C)＝eq\f(1,2)[360°－(∠B＋∠C)]＝90°.所以∠AED＝180°－∠2－∠3＝90°.所以AE⊥DE.19．(16分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AB邊的垂直平分線EF交BD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接AE.(1)比較∠AED與∠ABC的大小關(guān)系，并說明理由；(2)若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度數(shù)．解：(1)∠AED＝∠ABC，理由如下：因為EF垂直平分AB，所以EA＝EB.所以∠EAB＝∠EBA.所以∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝180°－2∠EBA.所以∠AED＝180°－∠AEB＝180°－(180°－2∠EBA)＝2∠EBA.因為BD平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠EBA.所以∠AED＝∠ABC.(2)設(shè)∠DBC＝x°，則∠ABD＝∠DBC＝∠BAE＝x°.所以∠ABC＝2x°.因為△ADE是等腰三角形，所以∠EAD＝∠AED.所以∠EAD＝∠ABC＝2x°.所以∠CAB＝∠BAE＋∠EAD＝3x°.因為∠ABC＋∠CAB＝90°，所以2x°＋3x°＝90°.解得x＝18.所以∠CAB＝3x°＝54°.

期末復(fù)習(xí)(六)概率初步01知識結(jié)構(gòu)圖02重難點(diǎn)突破重難點(diǎn)1頻率的穩(wěn)定性【例1】某批足球的質(zhì)量檢測結(jié)果如下：抽取足球數(shù)n1002004006008001000合格的數(shù)量m93192384564759950合格的頻率eq\f(m,n)(1)填寫表中的空格(結(jié)果保留；(2)畫出合格的頻率的折線統(tǒng)計圖；(3)從這批足球中任意抽取一個足球是合格品的概率估計值是多少？并說明理由；(4)若某工廠計劃生產(chǎn)10000個足球，試估計生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有9__500個．【解答】(2)如圖所示．(3)從這批足球中任意抽取一個足球是合格品的概率估計值是.理由如下：因為從折線統(tǒng)計圖中可知，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)附近，所以從這批足球中任意抽取一個足球是合格品的概率估計值是.方法指導(dǎo)在大量重復(fù)試驗中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會在一個常數(shù)附近波動，這個常數(shù)就是事件發(fā)生概率的估計值．1．(2022·宿遷)如圖，為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域(圖中的陰影部分)的面積，畫一個邊長為2m的正方形，使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內(nèi)，現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲小石子(假設(shè)小石子落在正方形內(nèi)每一點(diǎn)都是等可能的)，經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)附近，由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積是1m2.重難點(diǎn)2等可能事件的概率【例2】(2022·通遼)毛澤東在《沁園春·雪》中提到五位歷史名人：秦始皇、漢武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小紅將這五位名人簡介分別寫在五張完全相同的知識卡片上，小哲從中隨機(jī)抽取一張，卡片上介紹的人物是唐朝以后出生的概率是eq\f(2,5)．【思路點(diǎn)撥】在秦始皇、漢武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗這5人中，唐朝以后出生的有2人，即宋太祖、成吉思汗．根據(jù)概率公式即可得出抽出的卡片上人物是唐朝以后出生的概率．等可能事件中隨機(jī)事件A的概率P(A)＝eq\f(事件A的所有結(jié)果數(shù),所有可能的結(jié)果數(shù))，列舉所有可能的結(jié)果數(shù)時要做到不重不漏．變式訓(xùn)練2．如果小王將飛鏢隨意投向如圖所示的正方形木板，那么飛鏢落在陰影部分的概率為(C)\f(1,6) \f(1,8) \f(1,9) \f(1,12)03復(fù)習(xí)自測一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列事件發(fā)生的概率