高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo) (第06講) 直線的傾斜角和斜率

高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和斜率高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（講）線的傾斜角和斜率一、本進(jìn)度7.1直的傾斜角和斜率二、本主要內(nèi)容

課本第34頁(yè)第38頁(yè)1、初步理解“直線的方程”與方程的直線”兩個(gè)概念；2、掌握直線的傾斜角和斜率的念，能熟悉運(yùn)用斜率的定義式和坐標(biāo)式解題。三、學(xué)指導(dǎo)1、從本講開始，同學(xué)們開始接數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支——《平面解析幾何研究對(duì)象是平面幾何中的圖形，研究方法是通過(guò)代數(shù)的有關(guān)知識(shí)（方程組，不等式等）去解決平面圖形的位置關(guān)系及幾何性質(zhì)，最基本的研究工具是坐標(biāo)系。這種處理問(wèn)題的思路稱為解析法。通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，建立了平面圖形的最基本元素——點(diǎn)與實(shí)數(shù)集中——對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)xy）之間的一一對(duì)應(yīng)系。在此基礎(chǔ)上，建立了圖形與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而將形的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為數(shù)的問(wèn)題，如圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為方程特征，圖形之間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解，等等。例如，直線與二元一次方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由作函數(shù)圖象的描點(diǎn)法可知，當(dāng)某點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式（橫、縱坐為對(duì)應(yīng)的原象與象）時(shí)，該點(diǎn)一定在該函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象上；盡管描點(diǎn)法指的是特殊點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上我們知道，該圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該圖象對(duì)應(yīng)的解析式。借助于函數(shù)與方程的思想，用解析幾何的語(yǔ)言可敘述為：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；同時(shí)，這條直線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是該方程的解。此時(shí)稱該方程為“直線的方程直線是“方程的直線因?yàn)橛羞@樣對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以可簡(jiǎn)說(shuō)成“直線y=kx+b上述概念體現(xiàn)了形與數(shù)互相轉(zhuǎn)化的兩個(gè)方面點(diǎn)線上坐滿足方程有序數(shù)對(duì)是方程的解點(diǎn)線上。2、解析法研究幾何問(wèn)題的一步驟是：①建立坐標(biāo)系；②設(shè)出必需的點(diǎn)的坐標(biāo)；③代數(shù)運(yùn)算得到問(wèn)題的代數(shù)解；④代數(shù)解回到幾何解。在用代數(shù)方法求解過(guò)程中，除未知數(shù)、已知量外，有時(shí)還需引入適當(dāng)參數(shù)。3、傾斜角與斜率之間的關(guān)系實(shí)上是正切函數(shù)性質(zhì)的體現(xiàn)。（）知傾斜角為，求斜率α

0

（，

）

（

k

0

（，∞不在（∞，）（）知斜率k，求傾斜角α?xí)r法一：≥時(shí)，α=arctank時(shí)，α=π+arctank法二：k=0時(shí)，α=0≠時(shí)α=arccot

k

高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和4、率的坐標(biāo)公式是借助于向工具推導(dǎo)的。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程也應(yīng)注重對(duì)已學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)及運(yùn)用。由教材P方向量的定義，PP的向向量為λPP（λ∈中一個(gè)1特殊的方向向量為（，直線PP斜率它在后面研究直線位置關(guān)系時(shí)仍會(huì)用到。四典例例1、試用解析法證明：△中M為BC中，則AB+AC=2(AM+MC)。解題思路分析：第一步是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，所謂適當(dāng)，是指借助于圖形的對(duì)稱性，或使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，或盡可能將圖形置于第一象限，等等。就本題來(lái)講，可以如圖建立坐標(biāo)系，也可以把點(diǎn)作為點(diǎn)BC所直為x等。第二步是設(shè)出必要的已知量。本題ABC確，可設(shè)0，（，，，同時(shí)確定與已知量相關(guān)的量，如本題M(

2

，0)。第三步是借助于代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，利用兩點(diǎn)間距離公式可求出欲證等式中相關(guān)量的長(zhǎng)度。|AB|=b+c，=(b-a)+c∴|AB|+|AC|=a+2C-2abaa|AN|=(b-)+c，|MC|=(a-)=4∴2(|AM|+|MC|)=2(b+c+

a2

)=a+2b+2c-2ab∴|AB|+|AC|=2(|AM|+|MC|)最后寫出原命題需證的結(jié)論：AB+AC=2（+MC）注：本題結(jié)論是很有用的一個(gè)結(jié)論，同學(xué)們最好能夠記住它。若不用解析法，這道題該怎么解，請(qǐng)同學(xué)們思考。例2、已知M(-42)N(2，15)，若直的斜角是直線的傾角的一半，求直斜率。解題思路分析：思路一：直接法思路。按照題目的邏輯關(guān)系，應(yīng)先求出傾斜角，再求的斜角。當(dāng)然只需求出相關(guān)角的三角函數(shù)值即可。設(shè)直線MN傾斜角為α，則tan=

152

=2∵tanα>0∴∈（，

）∴sinα=

25

，cosα=

15

則直線α傾斜角為

高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和斜率∴tan

12

1

2

15

525∴k

思路二：間接法思路，即利用解方程思想，設(shè)直傾角α，則直線MN傾角為α。下找關(guān)于tanα的等量關(guān)系。∵tan2α=k2tan∴=21tan∴tanα+tan-1=0∴tanα=

∵2∈[0π∴α∈[0)2∴tanα=

例3、已知P（，（，-3,傾斜角范圍。

3過(guò)點(diǎn)，求滿足下列條件的（）線與段MN相；（）線與段MN的長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）相交；解題思路分析：可首先求出直線的率范圍，畫出示意圖幫助分析?？紤]臨界狀態(tài)：k=1，=-

（）≤≤

，即1≤tan≤在∈，)遞增，由1≤tan得≤α<4235在（，π）遞增，由α-得326當(dāng)=

時(shí)，仍MN相綜上所述，傾角范圍為[

56或直接看示意圖得到α[

5,6

AP高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和斜率AP（）路一：借助于集合的補(bǔ)集思想k=

2363

15333當(dāng)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)，π]時(shí)，∈當(dāng)∥MN時(shí)k與是直相交。

3

，直線與線MN無(wú)點(diǎn)；否則，直與線段MN相，或∴k<1，或>-

15，且k≠33∴傾α≤α

，或

α<π，且α≠arctanα

思路二：從運(yùn)動(dòng)的角度，研α在0～π之變化時(shí)，直與MN的置關(guān)系。例4、若直線的斜率k=1-m（∈直線的斜α范。解題思路分析：首先求出斜率k的范，將等量關(guān)系即1。

看成是k關(guān)的次函數(shù)，則k≤，其次利用正切函數(shù)的單調(diào)性0tanα1，≤≤

；tanα<0時(shí)，>。2∴α∈[0

]∪（，π）2注：由tanα范圍α范圍，也可利用單位圓或正切函數(shù)圖象例5、過(guò)P（，）的直與x軸、軸分別交于A、點(diǎn)，若P分有向線段所1成的分比λ=，直的斜率和傾斜角。2解題思路分析：由斜率的坐標(biāo)公式，只需求出A或坐標(biāo)即可。利用解方程的思想。思路一：設(shè)A（，（，）x1a由分比公得：，a=9（，）xPkAB

，AB傾解或利用分比λ公λ=

yyAyyP

BB

得：13，b=3，（，323b下略思路二：利用定比分點(diǎn)公式：

xPyPB、C、、高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和斜率xPyPB、C、、∴∴

xAByABa22下同思路一。五同練（一）選擇題1、若直線過(guò)點(diǎn)1，此線傾斜角為：A、

432、設(shè)有斜率的直線一定是：A、過(guò)原點(diǎn)的直線B垂直于軸的線C、垂直于y的線、垂直于坐標(biāo)軸的直線3、下列命題中正確的是：A、直線傾斜角α，些直線的斜率為αB、直線的斜率為tan，則此直線傾斜角為C、直線的傾斜角為α，sinα≥0D、直線的斜率為0，則此直線傾斜角為或π4、若點(diǎn)A（，（，（，）共線，則a值為：A、0B、、或5、或55、直y=kx+6沿軸負(fù)向平移3個(gè)位，再沿軸向平移個(gè)單，回到原位置，則k等：A、-

B、-3C、

、6、已知直線的傾斜α滿足sinα=

35

，則直線的斜率是：A、

43B、C、或D或347、過(guò)點(diǎn)A（，（，）直線傾斜角π-arctan

，則實(shí)數(shù)m的值是：A、10B、2C、0D-8

高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和斜率8、如圖直線、的斜率分別為kk、k，則：A、k<k<k

、<k<kC、k<k<k

D、<k<k9、若是直線的傾斜角，則sin()值屬于：22A，）B、[-1，C，）、[-，）10、過(guò)兩點(diǎn)A（，（，）直線傾斜角是y等于：A、-1、、、5（二）填空題11、直線的傾斜α∈

）∪（,，則率k∈________________。212之點(diǎn)知率y=________。13、直線AB過(guò)A（，-5（，B（，斜α，（）線CD的傾斜角為2α，則=__________；（）線EF的傾斜角為，則=__________14αβ，AB斜率k=__________傾斜角α。15、如圖，△ABC為正三角形，CDE=45，則三條直線、BC、的斜分別是：k=________k=________k=________（三）解答題16、過(guò)點(diǎn)P（，3）的直與y軸半軸無(wú)公共點(diǎn)，求直線的傾解角范圍。17、已知A（m，m+1（，直AB傾角的。18、已知（-3-3-2線點(diǎn)（）且與線段MN相，求直斜率范圍。19、用解析法證明：四邊平方和于兩對(duì)角線平方和的四邊形是平行四邊形。20、求函數(shù)f(x)x

2

34

2

最值。

a6高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（第講）直線的傾斜角和斜率a6六參答（一）選擇題1、A。k

3，tan，，3

。62、B。3、C。4、C。，=，代入=k得a-5a=0，，或a=5。5、A。思路一：考慮方程特征，平移后直線方程為，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b，3k+1=0，。思路二慮線上的點(diǎn)設(shè)P上任一點(diǎn)x平移后為’(x-3y+1)。yy1由已知P，’(x-3)，y+1)，由已知P’∈，k。x36、D。α∈(0π)，sinα=，∴α