高中數(shù)學必修2立體幾何考題 2

僅供個人參考高中數(shù)學必修2立幾何．如圖所示，正方體ABCDBC中、N分是A，B的中點．問：1111(1)AM和CN否是異面直線？說明理由；(2)B和是否是異面線？說明理由．11解析：由于M、分是AB和的中點，可證明AC因此AM與CN不11是異面直線(2)由空間圖形可感D和CC為面直線可能性較大，判斷的方法可用11反證法．探究拓展解這類開放型問題用的方法有直接(即由條件入手，經(jīng)過推理、演算變形等，如第1)，還有假設法，特例法，有時證明兩直線異面用直線法較難說明問題，這時可用反證法，即假設兩直線共面，由這個假設出發(fā)，來推證錯誤，從而否定假設，則兩直線是異面的．解：(1)是異面直線．理由如下：∵、分是B、C的中點，∥1111又∵A∥DD，而D綊，111∴A綊CC，∴四邊形AACC為平行四邊形．11∴∥，得到MN，1∴、、、在一個平面內，故AM和CN不異面直線．(2)是異面直線．理由如下：假設B與在同一個平面D內，11則B平面D，∈面CC11∴BC平CCD，與在正方體中⊥平面CC相盾1111∴假設不成立，故D與是面直線1．如下圖所示在長為正方體ABCD－BD中為的點為111的中點O面BCC的心．11

1(1)過作直線與交，與CM交Q(寫作法，不必證明)；(2)求的不必證)．解析(1)ON∥知定一個平面.OM三確定一個平面(下圖所示．∵三個平面α，和ABCD兩相交，三條交線CMDA其中交線與交CM不行共面．∴必交，記交點為Q∴OQ是α與β的交線．連結與AN交，與CM交Q，故即所作的直線．(2)解三角形APQ可PQ.如在三棱柱ABCAB中AB＝B＝a∠ABC＝90°D1111不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考E分為、AC的點．1(1)求異面直線BB與所的角的正切值；1(2)證明：DE為面直線與AC的公垂線；1(3)求異面直線BB與的離．1解析：(1)于直三棱柱－中，∥BB，以AAC就是異111面直線BB與AC所成的角．1又＝＝B＝，ABC，1所以C＝2，tan∠A＝，11即異面直線BB與AC所成的角的正切值為1(2)證明：解法一：如圖，在矩形中過點作的行線11分別交ACC于點、M，連結BM，M，則BB綊111又、E分是BB、的點，11可得DE綊.在直三棱柱ABCC中，1由條件ABBC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC，1故DE⊥平面ACC，所以⊥AC，⊥BB，1即DE異面直線BB與的垂線．1解法二：如圖，延長、CB交于點F連結，由條件易證D1是C的中點B是CF中點，又E是AC的中點，所以DE.1在△ACF，由AB＝＝BF知AF在直三棱柱ABCC中⊥平面，1所以⊥，AF平面ACCA，11故DE⊥平面ACC，所以⊥AC，⊥BB，1即DE異面直線BB與的垂線．1(3)由(2)知線段DE的長就是異面直線與的離，由于AB＝aABC＝1190°，所以DEa．如圖所示，在正方體－CD中OM別是BD，的點．1111(1)求證：MO是面直線AA和BD的公垂線；11(2)求異面直線AA與BD所的角的余弦值；1(3)若正方體的棱長為a求異面直線與的距離．1解析：(1)明：∵O是BD的點，1∴O是方體的中心，∴OA＝，1又M為的點，1即OM是段的直平分線，1故OM⊥.1連結MDBM，則可得MBMD1同理由點O為BD的點知MOBD，11即MO是面直線和BD的垂線．1(2)由于∥BB，1所以∠B就異面直線和所的角．1111在eq\o\ac(△,Rt)D中設BB＝1，則＝，11所以∠BD＝，113不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考故異面直線AA與BD所成的角的余弦值等于.13(3)由(1)知，所求距離為線段的長，．如下圖在四棱－ABCD中底ABCD是方形，側棱⊥底面ABCDPD＝.過BD與平行的平面，交側棱于，又作DFPB，交PB于F(1)求證：點是的點；(2)求證：⊥平面EFD證明：(1)結，交，為AC的點，連EO.∵PA∥平面BDE，平面∩平面BDE＝，PA.∴點是PC的中點；(2)∵PD底面ABCDDC?面，∴⊥DC，△是腰直角三角形，而DE是斜邊PC的線，∴⊥PC①又由PD⊥平面ABCD得PD⊥.∵底面ABCD是正方形CD⊥，∴BC平面而DE平面∴⊥.由①和②推得DE平面PBC而PB?平面PBC，∴⊥，又DF⊥PB且DEDF，所以PB⊥平面EFD．如圖，l、l是互相垂直的異面直線，MN是們的公垂線段．點、B在l上，C121在l上，＝＝2(1)求證⊥；(2)若∠ACB＝，求與面ABC所角的余弦值．證明如圖由已知l⊥MNl⊥MNl＝M可得l⊥221面ABN由已知MNlAM＝＝，知AN且⊥.1又為在面ABN內的射影，∴⊥.(2)∵eq\o\ac(△,Rt)≌△CNB∴＝BC又已知∠ACB＝，因此ABC為三形．∵eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)，∴＝＝，因此N在面ABC的射影H是三角形的中心．連結BH∠NBH為與面所成的角．在eq\o\ac(△,Rt)NHB中，ABHB6∠＝＝＝NB23AB不得用于商業(yè)用途

22221僅供個人參考22221．如圖，在四棱錐P－中底面邊長為正方形⊥面，且＝.(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角－PC－的弦值．解析：(1)明：∵⊥面ABCD，∴PA⊥BD.∵為方形，ACBD∴⊥平面PAC，又BD在平BPD內∴平面⊥平面BPD(2)在平面內⊥PC垂足為，連結DN，∵eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)PDC由BN⊥得⊥；∴∠為二面角－－D的面角，在△中＝DN＝，BDa，＋－a∴∠＝＝.5如已－BCD是長為正方體點在上11點在上，G在BB上，且＝＝BG1，是BC的中點．111(1)求證：E、、、四共；1(2)求證：平面GH∥面F.11證明：(1)結FG∵AEBG＝1∴＝AE＝21∴BG綊AE，∴A綊BE11∵綊BG，1∴四邊形C是行四邊形．11∴CB綊D，11∴四邊形GFD是行四邊形．11∴綊D，∴DF綊，1故EB、、D四點共面．1(2)∵是BC的中點，H＝11B又，∴＝1BH21FC又＝，∠＝∠H，BC31∴eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)∽CBF，1∴∠GH＝∠CFB＝∠FBG1∴HG.又由(1)知BE且HGAG，1∩BE＝B，∴平面GH平面F19．在三棱錐P－ABC中PA⊥面，△為三角形，D、E分為BCAC的點，設＝＝(1)求證：平面⊥平面PAC(2)如何在BC上一點F，使AD平面，請說明理由；(3)對于(2)中的點F，求三棱錐B－的體積．解析：(1)明：∵⊥ABC，BE面ABC，∴PA⊥∵△ABC是三形為的點，不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考∴BE，又PA與相，∴BE平面，∴平面⊥平面.(2)解：取DC的點F則點即為所求．∵，F(xiàn)分是，中點，∴EF∥AD又AD平面，EF平面，∴∥平面PEF113(3)解：V＝＝＝××××＝BBEF3eq\o\ac(△,S)34天19)如圖所示在五面ABCDEF中⊥面ABCD∥∥FE，⊥，MCE的點，＝AB＝FE＝AD.(1)求異面直線BF所的角的大小；(2)求證：平面AMD⊥面；(3)求二面角－CD－的弦值．解答：(1)解由題設知，BFCE，所以∠CED(或補為異面直線BFDE所的角設為中點連EPPC因為綊AP，所以綊EP.理AB綊PC.⊥面以EP平面而，都平面內，故EP⊥PC，⊥AD由ABAD，可得⊥AD設＝a，則EP＝＝aCDDE＝2故∠＝所以異面直線BFDE所成的角的大小為(2)證明：因為＝且M為的點，所以DM連結MP則MP⊥CE又MP∩＝，CE平面.而CE?平面，所以平面⊥平面.(3)設Q為CD的點，連結，EQ.因為＝DE，所以⊥CD因為＝PD所以PQ⊥CD，故∠EQP為二面角A－E的面角．由(1)可得，⊥，EQa，PQ2PQ3于是在eq\o\ac(△,Rt)EPQ中cos∠＝＝.EQ3所以二面角A－－的弦值為11(2009·重)如圖所示四錐P中⊥ADADDCPA⊥底面ABCD1＝＝DC＝＝1M為PC的點N點AB上AN＝.3(1)求證：∥面；(2)求直線MN與面所成的角．解析：(1)明：過點M作ME∥點，連結.∵＝，∴＝＝＝EM又EM∥DC∥，∴EM綊，∴為行四邊形，∴∥，∴∥平面(2)解：過N點NQ交BP于⊥CB于點F連結QF，過作NH⊥，結，易知QN⊥面ABCD∴⊥，而NF⊥，不得用于商業(yè)用途

QN＋2211僅供個人參考QN＋2211∴⊥面，∵⊥NH，而NH，∴NH⊥平面PBC∴∠為線與面PCB所的角．3通過計算可得＝，＝＝，4QNNF·NF6∴NH＝＝，QF3∴sin∠NMH＝，∠＝，MN∴直線MN與面所的角為60°.．如圖，已知正方體－ABC中為的點．111(1)求直線C與DE所的角的余弦值；1(2)求證：平面EBD⊥平面CD；1(3)求二面角－－的弦值．1解析(1)結A則AD∥BC知B與DE所的角即為AD與DE所的角．11連結由方體ABCD－BCD可其棱長為則D2＝＝11111

，∴∠DE1A＋－10＝＝.DDE51∴直線CDE所角的余弦值是1

(2)證明取C的點，D的點G，連結BF，EG，GF.1∵CD平面BCC，1且BF?面BCCB，⊥11又∵⊥CCD∩BC＝，1∴BF⊥平面CD.11又∵CD，CD，2∴，∴四邊形是行四邊形，∴BF∥，∴⊥平面1∵GE?平面D，1∴平面D⊥平面CD.11(3)連結EF∵CD⊥BC∥CD，∴⊥B.1又∵GE平面BCD，1∴EF⊥，∴∠是面角E－C－的平面角．11設正方體的棱長為，則在EFG中＝，EF，2FG3∴∠EFG＝，3∴二面角－D的弦值為1

不得用于商業(yè)用途

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