熱力統(tǒng)計(jì)學(xué)第一章答案

熱力統(tǒng)計(jì)學(xué)第一章答案用時(shí)可以刪除 (V)(p2)p第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律T為V|(aT)|=pV=T,p1(ap)nR1p|(aT)|=pV=T,VT Tp的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由TlnV=j(αdT–κdp)TT如果a=1,K=1，試求物態(tài)方程。TTp解：以T,p為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為全式除以V，有dV1(aV)1(aV)dV1(aV)1(aV)根據(jù)體脹系數(shù)a和等溫壓縮系數(shù)K的定義，可將上式改寫為TVT.VT. 上式是以T,p為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有T若a=1,K=1，式(3)可表為TTp選擇圖示的積分路線，從(T,p)積分到(T,p)，再積分到000(T,p)，相應(yīng)地體 積由V最終變到V，有0VTpVTpVVTp000pVpV0=pVpVTT0或式(5)就是由所給=1,K=1求得的物態(tài)方程。確定常量C需要TTpnnT(a)壓強(qiáng)要增加多少p才能使銅塊的體積維持不變(b)若壓nn解：(a)根據(jù)題式(2)，有V 在鄰近的兩個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差dV，溫度差dT和壓dpdT.KT在和K可以看作常量的情形下，將式(2)積分可得Tpp=T 將式(2)積分得到式(3)首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式(3)。但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要初態(tài)(V,T)和終態(tài)(V,T)是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就2滿足式(3)。這是因?yàn)?，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式(3)。TT強(qiáng)622pn(b)題式(4)可改寫為(4)(4)1V1nn簡單固體和液體的體脹系數(shù)a和等溫壓縮系數(shù)K數(shù)值都很小，在T一定溫度范圍內(nèi)可以把a(bǔ)和K看作常量.試證明簡單固體和液體的物T解:以T,p為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為根據(jù)習(xí)題式(2)，有V 將上式沿習(xí)題圖所示的路線求線積分，在a和K可以看作常量的情T(2)(2)V0T0V0或考慮到a和K的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準(zhǔn)確到a和K的線性TT如果取p=0，即有 是f(J,L,T)=0n線脹系數(shù)定義為JT范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由T降至T時(shí)，其張力的增加212為21(?L)(?T)(?J)|(?T)||(?J)||(?L)|=-1.JLT(?J)(?L)(?J)|(?T)|=-|(?T)||(?L)|LJTL=-aAY. 1.1.冷卻過態(tài)的張力差21就滿足式(4)，與經(jīng)歷的過程無關(guān)。(LL2)0(a)等溫?fù)P氏模量為bT(L2L2)bT(L2L2)A(L0L2)0A(b)線脹系數(shù)為L30TL30其中a=1dL0.0LdT0(c)上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)0L0J,Y,a值，并畫出J,Y,a對(duì)L的曲線.L0解:(a)根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為LLL20 (?J)(LL2)(L(?J)(LL2)(L2L)dL||=b|-0|+bT|--0|0, (?T)(LL2)(L2L2)dT1(LL2)(L2L2)dT1dL1L3aL(?J)L(12L2)bT(L2L2)A(?LL(?J)L(12L2)bT(L2L2)A(?L)A(LL2)A(LL2)T00 00A(b)線脹系數(shù)的定義為JLT而L00(?J)(12L2)(?J)(12L2)T0(LL2(LL2)(L2L)dLL3=-00=0-0L(12L2)LdTTL3. 1000.W=p1000.(c)根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，J,Y,a對(duì)L的曲線分別如圖1-2(a)，L0(b)，(c)所示。開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)p時(shí)將活門關(guān)上，試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交0換熱量之前，它的內(nèi)能U與原來在大氣中的內(nèi)能U之差為00000解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能U與其原來在大氣中的內(nèi)能U由式(1.5.3)00 Q所做的功可以分為W和W兩部分來考慮。其在大氣中的體積由V變?yōu)榱恪?由于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過程中大氣壓強(qiáng)p可以認(rèn)為沒0有變化，即過程是等壓的(但不是準(zhǔn)靜態(tài)的)。過程中大氣對(duì)系統(tǒng)另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻2因此式(1)可表為如果氣體是理想氣體，根據(jù)式(1.3.11)和()，有00V0Y-10 式中n是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式(2)即有可看作p，其物態(tài)方程為0與式(3)比較，知p0T(6)(7)(6)(7)滿足pVn=C的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量C為n解：根據(jù)式(1.6.1)，多方過程中的熱容量nnn(aU)|(aT)|=CV,n(2)(2)n的過程方程式pVn=C與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)p可得TVn-1=C(常量)。1n代入式(2)，即得n 試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量Cn如果是常數(shù)，該過nVVn因此式(1)可表為CCdTpdVnVpV(C-C)dT=(C-C)dV.(3)nVTpVV，有dpdVpVT.式(3)與式(4)聯(lián)立，消去dT，有TdpdV(C-C)+(C-C)dpdVnVpnpVdpdVdpdVpV如果C,C和pVpVnpVn=C(常量)。式(7)表明，過程是多方過程。 常量，試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能u和焓h可由聲速及Y給出：Y解：根據(jù)式(1.8.9)，聲速a的平方為 mpV=RT, pv m+m代入式(1)得+以u(píng),h表示理想氣體的比內(nèi)能和比焓(單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓)。由式(1.7.10)—()知+mu=+m+u,y10m+h=yRT+m+h(4)y10.將式(3)代入，即有u=a2+u,a2a 式(5)表明，如果氣體可以看作理想氣體，測(cè)定氣體中的聲速和y處與高處之絕解：取z軸沿豎直方向(向上)。以p(z)和p(z+dz)分別表示在dp(z+dz)=p(z)+p(z)dz,代入式(1)，得dp(z)=p(z)g.(1)(2)式(2)給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。T(z)是豎直高度為z處的溫度。代入式(2)，消去p(z)得dm+g由式(1.8.6)易得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為|(?p)|=yp.S綜合式(4)和式(5)，有S y是雙原子分子)，平(7)(7)km低10K。這結(jié)果是粗略的。由于假設(shè)理想氣體的C和C之比y是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱解：根據(jù)式(1.8.1)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中滿足1Q=RTln2,VV用物態(tài)方程pV=nRT除上式，第一項(xiàng)用nRT除，第二項(xiàng)用pV(1)得CdTV+dV=0.nRTV利用式(1.7.8)和()，pVCCV可將式(2)改定為lnF(T)+lnV=C(常量)，1或F(T)V=C(常量)。 式(6)給出當(dāng)y是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中Tn=1T2.T1式(1.9.4)—()仍然成立，即仍有V11V VQ=RTln3,22V4VVW=QQ=RTln2RTln3.21V2V4 根據(jù)題式(6)，對(duì)于§中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程(二)和(四)，有232411從這兩個(gè)方程消去F(T)和F(T)，得2VV2=3VV4故VW=R(TT)ln2,12V1 QT11解：假設(shè)在pV圖中兩條絕熱線交于C點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一兩條絕熱線分別交于A點(diǎn)和B點(diǎn)(因?yàn)榈葴鼐€的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總是存在的)，則在循環(huán)過程ABCA中，系統(tǒng)在等溫過程AB中從外界吸取熱量QQQi0,，而在循環(huán)過程中對(duì)外做功W，其數(shù)值等于三條線所圍面積(正值)。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定吸熱并將之完全轉(zhuǎn)吸收熱量的T機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱1為T，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過1T2.2T1解：根據(jù)克勞修斯不等式(式(1.13.4))，有Tii 式中Q是熱機(jī)從溫度為T的熱源吸取的熱量(吸熱Q為正，放熱Qiiii為負(fù))。將熱量重新定義，可將式(1)改寫為QjQk0,TTjjkk 式中Q是熱機(jī)從熱源T吸取的熱量，Q是熱機(jī)在熱源T放出的熱jjkk量，Q，Q恒正。將式(2)改寫為jkQjQk.(3)TTjjkk假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為T，在熱機(jī)1向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為T，必有2V1121QQj,TjT1jjjQk1Q,TTkkk2k故由式(3)得(4)TjTk.(4)TjTk.1j2k1j的總熱量則式(4)可表為kk12TT12或22TTQ nWQT)QQT理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程，溫度由T升至T12解：根據(jù)式(1.15.8)，理想氣體的熵函數(shù)可表達(dá)為(1)(2)(3)(1)(2)(3)p0S12pTS=Cln2.ppT1根據(jù)式(1.15.8)，理想氣體的熵函數(shù)也可表達(dá)為V0(4)(4)VVT1 VV與過程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從0C升至100C已系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)不可逆過程中的同樣源，其溫度分布在0C與100C之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由0C水273Tp273273水從0C升溫至100C所吸收的總熱量Q為 pQ。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)闊嵩?73由于熱源的變化相同，式(2)給出的熵變也就是原來的不可逆過程總水熱源應(yīng)令水與溫度分布在0C與 100C之間的一系列熱源吸熱。水的熵變編S仍由式(1)給出。這一水系列熱源的熵變之和為熱源273T總水熱源 (a)若電阻器保持為室溫27C，試求電阻器的熵增加值。(b)若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為27C，電阻器的p解：(a)以T,p為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過程是在大氣壓下溫27C不變，則電阻器的熵(b)如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱Q將全部被電阻器吸收而使其溫度由T升為T，所以有ifpfi故pTTpT300ii均勻桿的溫度一端為T，另一端為T，試計(jì)算達(dá)到均勻溫度212lL2端溫度為T，溫度梯度為T一T12(設(shè)T>T)。1L12T+T+Tc「(T-T)(T-T)(T-T)]L的熱傳導(dǎo)過程，最終達(dá)到具有均勻溫度1(T+T)的平衡狀態(tài)。為求這一過程的熵變，我們將12桿分為長度為dl的許多小段，如圖所示。位于l到l+dl的小段，初溫為T-T2L.T-T2L. 這小段由初溫T變到終溫1(T+T)后的熵增加值為12(2)dS=cdljT1T2dT=cdlln122,(2)lpTTlpTTpT-T2Lc勻桿單位長度的定壓熱容量。p根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為lLnTTTp2T-T112212(3)式中C=cL是桿的定壓熱容量。ppsls和C都可看作常量.在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點(diǎn)為T，相變潛熱為l0QCClnTTslT01Q.求在溫度為T(T<T)時(shí)，過冷液體與同溫度下固體的摩爾熵110差.假設(shè)過冷液體的摩爾熱容量亦為C.l解:我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算.以T,p為狀態(tài)參量.在討論固0差為(略去摩爾熵S的下標(biāo)m不寫)mbaTTsT110QcbT01dcTTlT00dadccdba=Cln1=Cln1+0+Cln0TTTlsTTTl000 物體的初溫T，高于熱源的溫度T，有一熱機(jī)在此物體與熱源2之間工作，直到將物體的溫度降低到T為止，若熱機(jī)從物體吸取的2max21212abc熵變?yōu)閍bcminminp(T22i)abc以S,S分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?2a1為bcTT22將式(2)—(4)代入式(1)，即有2max212.max212.式(6)相應(yīng)于所經(jīng)歷的過程是可逆過程。 有兩個(gè)相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為T。今令一i制冷機(jī)在這兩個(gè)物體間工作，使其中一個(gè)物體的溫度降低到T為2試根據(jù)熵增加原理i21p為pT2iT=i1p1i2pi2經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為12p12i由此可知，對(duì)于給定的T和T，T愈低所需外界的功愈小。 i213個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)?23TpTiT2pTi3TT或TTTTTTTi對(duì)于給定的T和T，最低的T為i21T2代入(3)式即有minp(T22i)式(7)相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個(gè)過程是可逆過程。 程相對(duì)應(yīng)。試在圖過程的曲線，并利用TS圖求可逆卡諾循環(huán)的(一)等溫膨脹過程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過程(溫度為T)由狀態(tài)Ⅰ到達(dá)狀態(tài)Ⅱ。1SS量為12SS1(二)絕熱膨脹過程中工作物122(三)等溫壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)Ⅲ經(jīng)等溫壓縮過程(溫度為T)到達(dá)狀態(tài)Ⅳ。2工作物質(zhì)在過程中放出熱量，熵由S變?yōu)镾，放出的熱量為21Q=T(SS),()22221WQWQT(SS)TQ(四)絕熱壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)Ⅳ經(jīng)絕熱壓縮過程回到狀態(tài)Ⅰ。溫度由T升為21的功為2111211 上面的討論顯示，應(yīng)用TS圖計(jì)算(可逆)卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。實(shí)際上TS圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式(1.14.4)給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中ABCDA的(可逆)循環(huán)過程，則在過程ABC所包的面積。由此可見(可逆)循環(huán)過程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接=RTln=RTlnBVVppBCnn解：將氣體的膨脹過程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。根據(jù)式(1.4.2)，在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中氣體體積由V膨脹到V，外界對(duì)氣VVAAAdVdVVB代入，得pB根據(jù)熱力學(xué)第一定律(式(1.5.3))，氣體在過程中吸收的熱量Q為nnn nn為Vp23Vp23AA