角平分線的性質和判定

關于角平分線的性質和判定第一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三什么叫角平分線？2.畫∠AOB平分線OC，在OC上任取一點P，過P向角的兩邊作垂線段PD、PE，你能得出什么結論？思考題AOBPED第二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三開啟智慧定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.如圖,已知:OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE(平分線上的點到這個角的兩角邊距離相等).COB1A2PDE第三頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三證明:

因為PD⊥OA，PE⊥OB（已知），所以∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定義）．OCB1A2PDE在△PDO和△PEO中，因為∠DOP＝∠EOP（已知），∠PDO＝∠PEO（已證），PO＝PO（公共邊），｛∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．第四頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三四問答：1、如圖，在Rt△ABC中，做完本題后，你對角平分線,又增加了什么認識?

思考

角平分線的性質，為我們證明兩線段相等又提供了新的方法與途徑。ABCBD是∠B的平分線，DE⊥AB，垂足為E，EDE與DC

相等嗎？D答：DE=DC?！連D是∠ABC的平分線（D在∠ABC的平分線上）

又∵DE⊥BA，垂足為E，∴DE=DC。為什么？DC⊥BC，垂足為C，第五頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三

反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：

PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，在Rt

△PDO與Rt

△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即點P在∠AOB的平分線上第六頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三于是就有定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上第七頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三思考分析命題:三角形三個角的平分線相交于一點.如圖,設△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,過點P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,∴△ABC的三條角平分線相交于一點P.基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個交點.要想證明三條直線相交于一點,只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.這時可以考慮前面剛剛學習的內容.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).第八頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三1、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________)ACDEB12DC=DE角平分線上的點到角的兩邊的距離相等2、判斷題（）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC，

()角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等?！琳n時訓練隨練習堂第九頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三練習1．如圖，在直線l上找出一點P，使得點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．提示：作∠AOB的平分線，交直線l于P就是所求的點第十頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三2、如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD變式訓練：若已知AD是△ABC的角平分線。求證：BE＝CF。第十一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三3、已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交