能被2、3、4、5、6、7、8、9等數(shù)整除的數(shù)的特征

能被2、3等數(shù)整除數(shù)的特征性質(zhì)：如果數(shù)a、b都能被c整除，那么它們的（a+b）或差(a也能被c整除。性質(zhì)：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被這個(gè)數(shù)整除。能被除的數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是0、4、8、的數(shù)能2整除（偶數(shù)都能被2整除），那么這個(gè)數(shù)能被2整除能被除的數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能3整除那么這個(gè)數(shù)能被3整除能被除的數(shù)個(gè)位和十位所組成的兩位數(shù)能被4除那么這個(gè)數(shù)能被4整除如果一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被或25整，那么，這個(gè)數(shù)就一定能4或25整除．例如：4675＋75由于100能25整，100倍數(shù)也一定能被25整除4600和75均能被25除，它們的和也必然能被25整．因此，一個(gè)數(shù)只要末兩位數(shù)能被25整除，這個(gè)數(shù)就一定能被25整除．又如：832由于100能4整除，100的倍數(shù)也一定能被除，80032均能被4整除，它們的和也必然能被4整除．因此，因此，一個(gè)數(shù)只要末兩位數(shù)字能被除，這個(gè)數(shù)就一定能4整除．能被除的數(shù)，個(gè)位上的數(shù)都能5整除（即個(gè)位0或5）那么這個(gè)數(shù)能被5整除能被除的數(shù)，個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能被3整除的偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3除，那么這個(gè)數(shù)能被6整除能被除的數(shù)，若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍如果差是7的倍數(shù)則原數(shù)能被7整除如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：613＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。能被除的數(shù)百位個(gè)位和十位所組成的三位數(shù)能被8整除那么這個(gè)數(shù)能被8整除能被除的數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能9整除那么這個(gè)數(shù)能被9整除能被10除的數(shù)，如果一個(gè)數(shù)既能被2整除又能5整除，那么這個(gè)數(shù)能被10整除（即個(gè)位數(shù)為零）能被11除的數(shù)，奇數(shù)位（從左往右數(shù)）上的數(shù)字和和偶數(shù)位上的數(shù)字和之差（大數(shù)減小數(shù)）能被整除，則該數(shù)就能11整除。倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7割法理程唯一不同的是數(shù)不是2而是1！能被除的數(shù)若一個(gè)整數(shù)能3和4整除則個(gè)數(shù)能被12整除能被13除的數(shù)，若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍如果差是13的倍數(shù)則原數(shù)能被13整除如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。能被17除的數(shù)，若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍如果差是17的倍數(shù)則原數(shù)能被17整除如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。另一種方法若一個(gè)整數(shù)的末三位和倍的前面的隔出數(shù)的差能被整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除能被19除的數(shù)，若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍如果差是19的倍數(shù)則原數(shù)能被19整除如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。另一種方法：若一個(gè)整數(shù)的末三位和7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除能被23整的數(shù)個(gè)整數(shù)的末四位和前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除能被25除的數(shù)，十位和個(gè)位所組成的兩位數(shù)能被25整除。能被整除數(shù)，百位、十位和個(gè)位所組成的三位數(shù)能125整除。公式指排列從N個(gè)元取R進(jìn)行排。公式指組合從N個(gè)元取R，不進(jìn)排列。N-素的總個(gè)R和選擇的元素個(gè)！-階乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n（n-r+1)＝r舉例：Q1:

有從到9共計(jì)個(gè)號(hào)碼球請(qǐng)問(wèn)，以組多少個(gè)位數(shù)？A1:123和213兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。上問(wèn)題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)之類的組合，我們可以這么看百位數(shù)有9種可能十位數(shù)則應(yīng)該有9-1可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)計(jì)算公式＝（3，9)＝9*8*7,(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）Q2:有從1到共計(jì)9號(hào)碼球請(qǐng)問(wèn)，果三個(gè)一組代表“國(guó)聯(lián)盟”，以組合成多個(gè)“三聯(lián)盟”？A2:213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。上問(wèn)題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組的概念和公典型例題分例1

設(shè)有3名學(xué)生和4課外小組（1）每學(xué)生都只加一個(gè)課小組；）每名學(xué)生都只參一個(gè)課外組，而且個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加．各有少種不同法？（1由于名學(xué)生都以參加4個(gè)課小組中的任何一個(gè)而不限每個(gè)課外組的人數(shù)，因共有不同方法（2由于每名生都只參一個(gè)課外組而且每小組至有一名學(xué)生加，因此共有種同方法．點(diǎn)評(píng)

由于要讓3名學(xué)逐個(gè)選課外小組故兩問(wèn)都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算．少種？解

例2排成一，其中排第一，不第二，不排三，不排第的不同排法共有多依題意，符要求的排可分為第個(gè)排、、中的某一個(gè)共類，一類中不同排法可采畫“樹圖的方式逐排出：∴合題的不同排法共有種．點(diǎn)評(píng)

按照分“類的思路，題使用了法原理．為把握不同排法的規(guī)律，樹圖”是一種具有觀形象的效做法，是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型．例

判斷下列問(wèn)是排列問(wèn)還是組合題？并計(jì)算出結(jié)果．高三年級(jí)學(xué)會(huì)有11人①每?jī)扇嘶ヒ环庑牛餐硕嗌俜庑?？②每?jī)苫ノ樟艘淮问?，共握多少次手高二年?jí)數(shù)課外小組人①中選一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)共有少種不同的選法？②中選名加省數(shù)學(xué)競(jìng)，有多少不同的選？有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)①?gòu)闹腥蝺蓚€(gè)數(shù)求們的商可以有多少種不同的商②從中任兩個(gè)求它積，可以得到多少個(gè)不同的積？有8盆花：從中選出2盆分別給甲兩人每人一盆，有多少種不同的選？②從中選出2放在教有多少種同的選法？分析（1①由于每互通一封，甲給乙的信和乙給甲的信是不同兩封信，以和順序有關(guān)是排②由于兩人互握次手甲和乙手和甲握手是一次握手順序無(wú)關(guān)所以是組合題．其他似分析．①是排列問(wèn)，共用了封信；是組合問(wèn)題共需握手（）．①是排列問(wèn)，共有（種不同的選；②是組合問(wèn)題，共有種同的選法．①是排列問(wèn)，共有種不的商；②組合問(wèn)題，共有種不同積．①是排列問(wèn)，共有種不的選法；是組合問(wèn)題，共有不同的選．排列組、二項(xiàng)式定一、考要求掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題二、知結(jié)構(gòu)三、知點(diǎn)、能力點(diǎn)示(一)加法原理乘法原理說(shuō)明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問(wèn)題提供了理論根據(jù).例5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種?解：5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說(shuō)明排列排列數(shù)公式及解排列的使用題中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特研究的對(duì)象以及研究問(wèn)題的方法都和前面掌握的知識(shí)不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的使用題，都是選擇題或填空題考查例由數(shù)字1、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有()A.60個(gè)B.48個(gè)C.36個(gè)D.24個(gè)解因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或的排法有P1；小于50的五位2數(shù)，萬(wàn)位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有1;在首末兩位數(shù)排定后，3中間3個(gè)位數(shù)的排法有P3，得P1P3P1＝36(個(gè))3332由此可知此題應(yīng)選C.例將數(shù)字