多體相互作用的量子體系

多體相互作用的量子體系第1頁/共266頁多粒子問題的一次量子化描述——N粒子態(tài)矢與力學量：缺點1：缺點2：對于粒子數(shù)不守恒的系統(tǒng)處理不方便！引入多粒子問題的二次量子化描述——態(tài)矢與力學量分別進行二次量子化的態(tài)矢空間(態(tài)空間)——Fock空間第2頁/共266頁其中：HN代表粒子數(shù)為N

的全同粒子系統(tǒng)的Hilbert空間1，F(xiàn)ock空間的基矢——占據(jù)數(shù)表示，F(xiàn)ock表示回憶：N粒子波函數(shù)的構(gòu)造：Fock空間：將各種粒子數(shù)的全同粒子系統(tǒng)的態(tài)(Hilbert)空間作直和，組成一個巨Hilbert空間第3頁/共266頁單粒子態(tài)空間的基矢：1.1、先找到單粒子態(tài)空間的基矢(單粒子基)|i>是力學量完全集的共同本征矢！滿足：完備性：正交歸一性i代表一組量子數(shù)——態(tài)指標！顯然，{|i>}是某些力學量的對角表象!第4頁/共266頁舉例：3D箱中的無自旋單粒子或或基矢：坐標算符：x,y,z的共同本征態(tài)動量算符：px,py,pz的共同本征態(tài)有自旋單粒子注：態(tài)指標i依賴于力學量的選?。〉?頁/共266頁1.2、Fock空間基矢的占據(jù)數(shù)表示該基矢描述了任意單粒子態(tài)i上粒子的占據(jù)情況；是力學量完全集（一般情況下，無窮多）的共同本征態(tài)?。和陚湫裕。毫W量完全集！第6頁/共266頁引入粒子產(chǎn)生消滅算符：表示在單粒子態(tài)i上產(chǎn)生或消滅一個粒子1.3、Fock空間基矢的二次量子化形式實現(xiàn)態(tài)矢的二次量子化：其中：滿足：注：i態(tài)上的粒子數(shù)算符：第7頁/共266頁2，單體力學量的二次量子化單體力學量(一次量子化的定義)：N個粒子各自的力學量之和.例如總動量，總動能，總外勢能，總角動量、總自旋，粒子數(shù)例：理想氣體的哈密頓量：單粒子哈密頓量一次量子化：：N粒子單體力學量：單粒子力學量問題：如何二次量子化？第8頁/共266頁第一步：取單粒子哈密頓量的本征態(tài)矢為基矢：h的對角表象！第二步：數(shù)數(shù)核心思想：(1)對角表象(2)數(shù)數(shù)注：看起來似乎(過分)簡單、甚至平庸！第9頁/共266頁推廣到任意單體力學量的二次量子化一次量子化：取f的本征態(tài)作為單粒子空間的基矢：：N粒子單體力學量：單粒子力學量：f的對角表象！F的二次量子化(對角表象)：注：疑慮仍然存在，看起來雖然簡單但似乎并不普遍！第10頁/共266頁單體力學量的二次量子化——用產(chǎn)生消滅算符表達，選擇單粒子基矢是單粒子算符f的本征基矢！任意單粒子基矢情況：最后一步：表象變換第11頁/共266頁利用單粒子基矢的表象變換：得到產(chǎn)生、消滅算符的表象變換：代入第12頁/共266頁總結(jié)：任意單體力學量在任意單粒子基下的二次量子化第13頁/共266頁例：以下單粒子(電子，?自旋)力學量的二次量子化1，2，3，4，注：自旋的z分量；對角表象注：自旋的x分量；sz的對角表象表象不限對角表象公式：第14頁/共266頁hermitianconjugate第15頁/共266頁例：粒子數(shù)算符在任意單粒子基下都是對角的任意單體力學量的一次量子化粒子數(shù)的一次量子化二次量子化第16頁/共266頁例：動量算符P的二次量子化形式(3D箱，忽略自旋)表象變換（Fourier變換）：坐標表象中的動量算符：推導中利用了：重要的公式！動量表象(對角表象)第17頁/共266頁兩個有用的公式：公式1：公式2：證明：利用單粒子基的完備性第18頁/共266頁利用分部積分，可以得到其等價形式：直接由坐標表象的結(jié)果推廣到有磁矢勢的情況：等價形式：嚴格的推導：動量的一次量子化第19頁/共266頁例：總動能算符的二次量子化形式(3D箱)得到：存在磁矢勢的情況：第20頁/共266頁例：箱中的電子系統(tǒng)，其自旋的二次量子化第21頁/共266頁例2：對于以下幾種單粒子(電子，?自旋)密度量的二次量子化1，2，3，粒子數(shù)密度電流密度自旋密度選擇坐標表象：第22頁/共266頁例：粒子數(shù)密度物理意義：R附近體積元中的粒子數(shù)！XYZ0容易驗證：單粒子力學量：注：不要與第一章中的密度算符混淆，盡管存在聯(lián)系！第23頁/共266頁利用表象變換：取坐標表象(對角表象)，二次量子化：或記作：第24頁/共266頁例：自旋密度算符例：電流密度算符一次量子化二次量子化一次量子化二次量子化第25頁/共266頁推廣到有磁矢勢的情況：考察哈密頓量的含磁矢勢的部分：與磁矢勢對應的廣義力即為電流密度算符的積分！第26頁/共266頁3，二體力學量二次量子化二體力學量(一次量子化的定義)：N個粒子兩兩之間的力學量之和.例如總相互作用勢能等等。一次量子化：：N粒子通項：兩粒子力學量：單粒子力學量！舉例：兩個電子間的庫倫勢能第27頁/共266頁取f的單粒子本征矢作為基矢：同一單粒子態(tài)上的粒子之間的相互作用能不同單粒子態(tài)上的粒子之間的相互作用能相互作用在對角表象中的二次量子化——數(shù)數(shù)第28頁/共266頁二次量子化(過程略去)：下一步：表象變換其中：二體力學量的二次量子化完成！第29頁/共266頁例：三維箱中的相互作用勢能的二次量子化（動量空間）一次量子化：通項二次量子化(坐標表象)：問題：如何化到動量表象？方法1：利用場算符的表象變換方法2：利用公式第30頁/共266頁采用方案2：變量代換重要公式：第31頁/共266頁最后一步，用到了互作用勢的傅里葉變換！第32頁/共266頁匯總：排斥勢常用形式！吸引勢常用形式！第33頁/共266頁相互作用的物理過程——散射：散射過程（忽略自旋）：初態(tài)是H0的任一本征態(tài)！第34頁/共266頁第零節(jié)、練習題1）短程二體勢：2）長程二體勢：Fourier變換得到Fourier變換得到第35頁/共266頁有外場的三維箱中的相互作用全同粒子系——TOE其中：第36頁/共266頁習題：零溫情況，3D箱，寫出以下基態(tài)的二次量子化形式1，N個玻色子(無自旋，有質(zhì)量)處于基態(tài)2，N個電子處于基態(tài)第37頁/共266頁例題：理想玻色氣體中的非對角長程序——考察單粒子約化密度矩陣：單粒子約化密度算符在動量空間是對角的！考察本征值：是否存在非對角長程序？第38頁/共266頁非對角長程序！完成對k的積分，有注意：第39頁/共266頁例題：理想費米氣體中的FriedelOscillation第40頁/共266頁零溫下費米氣體中的FriedelOscillation思考題：溫度對FriedelOscillation的影響（可以考慮高溫極限，即玻尓茲曼分布）第41頁/共266頁第一.1節(jié)、二次型哈密頓量的對角化：線性代數(shù)里面的二次型函數(shù)Bilinear,Quadratic：上一節(jié)的哈密頓量的具有類似的形式一般的單體Hamiltonian——厄密算符厄密性目標：將二次型哈密頓量對角化！找到本征能量與本征基！即：第42頁/共266頁哈密頓量的矩陣形式：第43頁/共266頁U：UnitaryMatrix厄密矩陣的(形式)對角化第44頁/共266頁哈密頓量的對角化第45頁/共266頁對角化完成——找到了(單粒子)本征能量與本征基！滿足代數(shù)：第46頁/共266頁注1——單粒子基的變換注2——粒子數(shù)算符始終是對角的注3—逆變換注4—無相互作用多粒子問題再討論第47頁/共266頁巨配分函數(shù)：易證：練習題：利用注3！第48頁/共266頁舉例1：耦合二能級（態(tài)）系統(tǒng)的對角化單粒子基：可以化為耦合二能級系統(tǒng)的問題：H2，磁場中的電子自旋，聚乙烯，Graphene(石墨烯)等等！第49頁/共266頁總粒子數(shù)！的對角化！本征能量：第50頁/共266頁變換矩陣U的解法——本征方程的求解第51頁/共266頁本征函數(shù)的求解過程：第52頁/共266頁決定了u,v之間的相對位相！決定了u,v的幅度！一般約定

u為正的實數(shù)，即位相為0！第53頁/共266頁定出v的位相以下討論僅限于t為負實數(shù)！不妨令：本征方程求解完畢！第54頁/共266頁Hamiltonian的對角化：第55頁/共266頁“成鍵態(tài)”與“反鍵態(tài)”：第56頁/共266頁+e--e+e單電子hamiltonian的一次量子化形式！難以嚴格對角化！H2中的電子問題(忽略相互作用)首先建立在雙質(zhì)子勢場中的電子Hamiltonian的二次量子化形式其中：單粒子基的選?。憾芗壓喕〈碇行脑赗點的氫原子本征態(tài)矢！第57頁/共266頁即：為基態(tài)矩陣元的計算：TightBinding近似第58頁/共266頁反鍵態(tài)！成鍵態(tài)！第59頁/共266頁舉例2：H2的推廣——一維分子鏈，能帶123N-1N1D鏈周期邊條件晶格常數(shù)：a=1格點數(shù)：N鏈長：L=Na=N單粒子基：在位能：躍遷能：-t消滅算符：第60頁/共266頁ii+1i-1ii+1周期性！第61頁/共266頁如何對角化？利用Hamiltonian的平移對稱性——本征態(tài)應是平面波！類比連續(xù)體系：利用場算符的Fourier變換！第62頁/共266頁或1維分立體系(周期性邊條件)的平面波函數(shù)：幺正變換！態(tài)矢第63頁/共266頁易證：利用：逆變換：代入Hamiltonian中的1項第64頁/共266頁利用取厄密共軛，推出：第65頁/共266頁對角化完成！-22N=20第66頁/共266頁單粒子態(tài)密度的計算：第67頁/共266頁舉例3：一維閉鏈的推廣——二維正方網(wǎng)格

(周期邊條件)NN(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)第68頁/共266頁第69頁/共266頁第一.1節(jié)、練習1請對角化該哈密頓量，得到本征能譜，并分析其能帶寬度與t和t’的關(guān)系。123N-1N一維閉鏈——近鄰與次近鄰跳遷i+1i+2ii-1i-2第70頁/共266頁第一.1節(jié)、練習21232N-12N周期邊條件！請對角化該哈密頓量，得到本征能譜，并作圖(N趨于無窮)注：一維閉鏈——二聚化！第71頁/共266頁123...N-1N1D開鏈—開放邊條件—哈密頓量的對角化思考題：1二維三角網(wǎng)格的哈密頓量的對角化思考題：2注：每個格點有6個最近鄰第72頁/共266頁二維蜂巢網(wǎng)格的哈密頓量的對角化——Graphene思考題：3第73頁/共266頁碳60分子：思考題：4碳納米管：思考題：5第74頁/共266頁第一.2節(jié)、Bloch-deDominisis定理已對角化的單體廣義哈密頓量！目的：計算“偶數(shù)”個產(chǎn)生消滅算符乘積的系綜平均（Wick定理）定義兩個算符乘積的“收縮”：第75頁/共266頁定義：2s

個算符乘積的“完全收縮系”：將乘積分成s對，并將每一對算符代之以相應的收縮，在費米統(tǒng)計下還須乘以(-1)P，其中P代表全部算符從原來位置變到各自收縮中相鄰位置時，所必需的對換數(shù)。其中P為由序列(123456)變到(152346)時的對換數(shù)，所以P=3。2s個算符的乘積可以構(gòu)成第76頁/共266頁Bloch-deDominisis定理：

對于已對角化的單體哈密頓量，產(chǎn)生消滅算符乘積的統(tǒng)計平均值等于這個乘積所有可能的完全收縮系之和。第77頁/共266頁可以算出：意義：把一系列算符乘積的平均化成最小單位“二元”平均的乘積之和第78頁/共266頁Bloch-deDominisis定理——推論

對于可對角化的單體哈密頓量，產(chǎn)生消滅算符乘積的統(tǒng)計平均值等于這個乘積所有可能的完全收縮系之和。第79頁/共266頁引理1：證明：Bloch-deDominisis定理的證明：引理2：運動方程解法！引理3：第80頁/共266頁綜合引理2、3：對于產(chǎn)生或消滅算符A引理4：證明：第81頁/共266頁下面只針對玻色統(tǒng)計，有歸納法：引理5！對上式左右兩邊取統(tǒng)計平均：第82頁/共266頁注解1：利用引理4，第83頁/共266頁注解2：2s2(s-1)重復以上過程，針對玻色統(tǒng)計情況的Bloch-deDominisis定理得證！作業(yè)：證明對于費米統(tǒng)計，思考：Bloch-deDominisis定理與Wick定理的聯(lián)系與區(qū)別？第84頁/共266頁為什么引入平均場方法？無相互作用的多粒子系統(tǒng)，只要知道單粒子態(tài)（本征能量、本征態(tài)矢）， 就可以知道多粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)?。y度：單粒子哈密頓量的對角化）(b)有相互作用的多粒子系，占據(jù)數(shù)表象不再是系統(tǒng)的本征表象（系統(tǒng)的本征能量不再是單個能級上的粒子能量之和），因此需要知道整個系統(tǒng)的量子態(tài)！而不僅僅是單粒子態(tài)?。y度：多粒子哈密頓量的對角化）第一.3節(jié)、Hartree-Fock“自洽”平均場方法平均場方法——化二體算符為單體算符的近似方法！有相互作用時的Hamiltonian|n>代表的是多粒子能量本征態(tài)第85頁/共266頁統(tǒng)計力學變分原理：已知Hamiltonian：密度矩陣：熱力學勢：做任意分解：密度矩陣：其中：意義：對于一個難以對角化的哈密頓量，可以嘗試將其分解出一個容易對角化的部分，嘗試得到巨勢的較好的估計！第86頁/共266頁證明：利用第一章引理第87頁/共266頁Hartree-Fock近似——將難以對角化的二體項近似為容易對角化的單體項 的一種辦法，T=0K時，二體項可以利用Wick定理進行分解：常數(shù)項！4個單體項！第88頁/共266頁Hartree-Fock近似：T=0K時，<…>代表基態(tài)平均！T≠0K時，<…>代表系綜平均（密度矩陣待定）！Hartree——DirectFock——Exchange第89頁/共266頁Hartree平均場Fock平均場第90頁/共266頁注意：平均場哈密頓量中的系綜平均如何進行仍未可知??！顯然第91頁/共266頁綜合：Hartree-Fock“自洽”平均場方法！Hartree-Fock自洽方程（組）：其中：兩端都含有未知量第92頁/共266頁更一般的：Hartree-Fock-Bogoliubov自洽平均場Hartree-Fock-Bogoliubov自洽方程（組）：第93頁/共266頁特例：坐標空間的Hartree-Fock近似費米子第94頁/共266頁自能的概念——selfenergy：粒子間相互作用對單粒子能量的貢獻！Hartree——DirectFock——Exchange第95頁/共266頁第一.4節(jié)、金屬巡游鐵磁理論——Hubbard模型的平均場解法電子間的相互作用(庫侖排斥)會導致自發(fā)磁化——鐵磁：Fe：Tc=1043KNi：Tc=628KCo：Tc=1388K理想（無相互作用）電子氣的Pauli順磁性：FerromagnetismParamagnetism第96頁/共266頁練習！單帶Hubbard模型：平均場近似：注意：區(qū)別于描述“局域”自旋的模型——Heisenberg模型第97頁/共266頁考慮空間均勻的情況：即平均值與空間位置無關(guān)第98頁/共266頁已對角化！“理想”電子氣體！但是：m:描述鐵磁-順磁相變的序參量！第99頁/共266頁由相互作用導致的“等效”“自洽”的磁場Pauli順磁是由外磁場引起的，而鐵磁性是存在相互作用的情況下的“自發(fā)磁化”現(xiàn)象！Pauli順磁相比：建立自洽方程：0第100頁/共266頁其中N代表格點總數(shù)，f(E)為費米分布函數(shù)關(guān)于平均場m,n的自洽方程組！求和化積分：用一個近似：當費米能量在能帶底部附近時，可以將電子色散關(guān)系近似為拋物線型，從而態(tài)密度近似為3D自由電子態(tài)密度！結(jié)合Pauli順磁的知識，求解該方程組并不困難！第101頁/共266頁T=0K的情況——Stoner判據(jù)第102頁/共266頁Stoner判據(jù)！圖解法！練習題：U至少要多大才能在零溫時達到飽和磁化！第103頁/共266頁居里溫度Tc的確定：利用T->Tc時，m->0,將右邊展開到m的線性項要求：第104頁/共266頁二維正方晶格上Hubbard模型的反鐵磁(自旋密度波)態(tài)(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n+1)(m,n-1)Hartree平均場近似第105頁/共266頁第106頁/共266頁練習：1),利用產(chǎn)生消滅算符的傅里葉變換將上述哈密頓量在動量空間 中表達；2),將變換后的哈密頓量對角化；3),給出序參量m的自洽方程，并在半滿(格點平均電子數(shù)=1)的情況下進行討論。第107頁/共266頁自旋(電荷)密度波，超導等實驗現(xiàn)象建立模型哈密頓量平均場哈密頓量對角化序參量自洽方程，平均場自由能，熱力學量等Hartree-Fock近似二次型(單體)哈密頓量二體哈密頓量第108頁/共266頁第二節(jié)、超導理論中的二次型“哈密頓量”的對角化——

二能級系統(tǒng)費米子代數(shù)：可見：目標是求巨配分函數(shù)：在1.1節(jié)中由于可以同時對角化！僅僅把H

對角化無助于問題的解決！注意與1.1節(jié)的區(qū)別！需要把這個量對角化！廣義哈密頓量！第109頁/共266頁常數(shù)不會帶來困難：Nambu表示為什么Nambu表示？(Fermion)particle-holetransformation!回到1.1節(jié)的二能級系統(tǒng)！c仍是費米子算符!第110頁/共266頁本征能量：本征向量：令本征能量與本征向量第111頁/共266頁對角化完成！稱為：Bogoliubov準粒子算符！第112頁/共266頁Bogoliubov準粒子變換！Bogoliubov準粒子是粒子與空穴的線性組合！第113頁/共266頁反對易關(guān)系驗證：Bogoliubov逆變換第114頁/共266頁討論1：體系的基態(tài)能量(嚴格說應該是巨熱力學勢)T=0K代表Bogoliubov準粒子的數(shù)目對角化之后的討論——基態(tài)“能量”與基態(tài)波函數(shù)第115頁/共266頁討論2：體系的基態(tài)波函數(shù)準粒子真空態(tài)！二能級費米系統(tǒng)的Fock空間的基：或基態(tài)波函數(shù)的構(gòu)建：利用準粒子真空的條件，確定疊加系數(shù)x!第116頁/共266頁歸一化的波函數(shù)！第117頁/共266頁直接驗證第118頁/共266頁其他思路！本征態(tài)：薛定諤方程：等等！第119頁/共266頁練習題1：求任意溫度下的平均粒子數(shù)提示：利用練習題2：驗證任意溫度下序參量第120頁/共266頁第三節(jié)、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對角化：二能級 系統(tǒng)玻色子代數(shù)：Intuition：Nambuonceagain??Fail!Becausenoparticle-holetransformationforboson!!What’sthis?Whoknows!第121頁/共266頁Solution：Bogoliuvbovquasiparticletransformationagain!Bogoliubov準粒子算符：粒子產(chǎn)生-消滅算符的線性組合！容易得到逆變換：u,v由一下條件確定1）準粒子滿足的對易關(guān)系2）使哈密頓量對角化第122頁/共266頁逆變換！Bogoliuvbovquasiparticleinverse-transformation!第123頁/共266頁u,v的確定目標：對角化！要求：將代入以上哈密頓量，合并同類項聯(lián)立？？第124頁/共266頁第125頁/共266頁對角化完成！將代入哈密頓量第126頁/共266頁玻色超流費米超導總結(jié)：變換逆變換第127頁/共266頁討論1：體系的基態(tài)能量，T=0K代表Bogoliubov準粒子的數(shù)目對角化之后的討論——基態(tài)“能量”與基態(tài)波函數(shù)第128頁/共266頁討論2：體系的基態(tài)基態(tài)是準粒子真空態(tài)！二能級玻色系統(tǒng)Fock空間的基：基態(tài)波函數(shù)的構(gòu)建：利用準粒子真空的條件，確定疊加系數(shù)C(na,nb)!利用公式第129頁/共266頁合并同類項第130頁/共266頁即：12遞推關(guān)系！由遞推關(guān)系聯(lián)系的點構(gòu)成線！如圖所示：第131頁/共266頁同理，由001020由遞推關(guān)系，以及可知：第132頁/共266頁綜合：相干態(tài)！對于費米超導二次型哈密頓量的基態(tài)：問題：玻色超流哈密頓量的基態(tài)可以表達成相干態(tài)的形式， 那么費米超流問題呢？第133頁/共266頁練習題：——單能級玻色超流哈密頓量1）、已知玻色子廣義哈密頓量：引入Bogoliubov變換其中u,v>0第134頁/共266頁練習：2）、上題中玻色子哈密頓量若含有線性項，即其中C為實常數(shù)，將該哈密頓量對角化思考題1：請計算玻色超流基態(tài)波函數(shù)的歸一化因子C(0,0)思考題2：對玻色超流體系，嘗試建立一種矩陣對角化方法？第135頁/共266頁第二節(jié)補充、(電子)超導理論中的二次型哈密頓量的對角化——

更一般情況的討論——2n能級系統(tǒng)n=1時，回到第二節(jié)！Nambu表示：用計算機將2n*2n的厄密矩陣對角化即可！第136頁/共266頁2n*2n維方程！稱為Bogoliubov-deGennes(BdG)方程！BdG方程第137頁/共266頁第三節(jié)補充、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對角化——

更一般情況的討論——n能級系統(tǒng)n=2時，回到第三節(jié)！n=1時回到第三節(jié)習題！可以證明：引入廣義Bogoliubov準粒子變換：第138頁/共266頁Bogoliubov準粒子變換的矩陣形式：分塊！第139頁/共266頁由Bogoliubov變換引入的準粒子產(chǎn)生消滅算符須滿足矩陣形式：類似于歸一化條件！第140頁/共266頁類似于正交條件！第141頁/共266頁逆矩陣！代入Bogoliubov變換:得到逆變換：第142頁/共266頁逆變換！第143頁/共266頁參數(shù)u,v應使哈密頓量對角化：由此可以得到參數(shù)u,v滿足的方程。首先考察準粒子產(chǎn)生消滅算符滿足的運動方程：其次考察原粒子產(chǎn)生消滅算符滿足的方程：變換參數(shù)u,v所滿足的本征方程？第144頁/共266頁將逆變換代入上式：并考慮到準粒子算符的運動方程，得到比較準粒子產(chǎn)生、消滅算符的系數(shù)第145頁/共266頁本征方程！矩陣形式：決定本征值的方程！第146頁/共266頁問題1：本征值是實數(shù)嗎？考察內(nèi)積：兩端取厄密共軛，并利用第147頁/共266頁問題2：久期方程是2n維的，應該有2n個本征態(tài)， 但是最初裸玻色子只有n個能級，因此應該從2n的本征態(tài)中選擇n個！ 如何選??？引理：若存在本征值E,則–E也是本征值！由其中，E對應的本征態(tài)為-E對應的本征態(tài)為：第148頁/共266頁因此，久期方程的2n個本征值可分為n對(E,-E)，為保證結(jié)果的正定性，應取大于0的n個本征值！第149頁/共266頁第四節(jié)、玻色超流體的宏觀(Landau)與微觀(Bogoliubov)理論1、液He4的超流現(xiàn)象回顧He4氣體在4.2K時變成液體，再降低溫度至Ｔλ=2.17K，它突然變成沒有粘滯性的“超流體”。稱為λ相變，因為此時測量He4的比熱-溫度曲線像希臘字母λ。這是1938年蘇聯(lián)的卡皮察與美國的阿侖和邁斯納兩個研究組同時發(fā)現(xiàn)的。液HeII液HeI溫度壓強液He4相圖固體第150頁/共266頁理想玻色氣體BEC——“簡并”幾個月后，倫敦提出一個定性解釋：He4原子是由2個質(zhì)子和2個中子形成的He4原子核加上核外2個電子組成的，這樣He4原子就是玻色子：具有交換對稱性。對于這樣一個玻色子系統(tǒng)，依照氦原子的質(zhì)量和密度計算，玻色-愛因斯坦凝聚發(fā)生在溫度為3.14K1.925超流更加復雜！第151頁/共266頁2、Landau超流理論——元激發(fā)方法元激發(fā)(elementaryexcitation)：宏觀多體系統(tǒng)基態(tài)附近的低能激發(fā)態(tài)可以看做是獨立的最小的激發(fā)單元的集合，這些最小激發(fā)單元就是元激發(fā)，往往具有確定的能量、動量、自旋等性質(zhì)，有時稱為準粒子。因此低能激發(fā)態(tài)可以看做是準粒子(元激發(fā))構(gòu)成的理想氣體。舉例：固體中的聲子phonon，金屬中的準電子，準空穴，磁性材料中的磁振子magnon。第152頁/共266頁Landau1941年首次引入元激發(fā)（準粒子）的新概念——比基態(tài)能量高的激發(fā)態(tài)。具有一定能量、質(zhì)量和速度的“準粒子”，描述系統(tǒng)基態(tài)因相互作用或溫度激起的集體運動模式。朗道認為，基態(tài)代表超流體，低能激發(fā)態(tài)對基態(tài)的偏離相當于在基態(tài)背景(超流體成分)上產(chǎn)生了由準粒子組成的理想氣體(正常流體成分)。在溫度T是絕對零度時，不存在準粒子；在0<T≤Ｔλ時，He-II中存在由兩類的準粒子(聲子和旋子)組成理想氣體。溫度超過Ｔλ，氦液體是正常液，這就是He-Ⅰ相。朗道預言了兩種準粒子(聲子和旋子)的能量、速度關(guān)系第153頁/共266頁Landau元激發(fā)方法的物理意義：(b)有相互作用的多體系，占據(jù)數(shù)表象不再是系統(tǒng)的本征表象（系統(tǒng)的本征能量不再是單個能級上的粒子能量之和），因此需要知道整個系統(tǒng)的量子態(tài)！而不僅僅是單粒子態(tài)！（難度：多粒子薛定諤方程的解）無相互作用的多體系統(tǒng)，只要知道單粒子態(tài)（本征能量、本征態(tài)矢）， 就可以知道多體系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)?。y度：單粒子薛定諤方程的解）(c)把有相互作用的多體系“想象”成是由無相互作用的“準粒子”構(gòu)成的理想氣體?！皽柿Ｗ印钡哪軇恿筷P(guān)系等性質(zhì)可以根據(jù)實驗給予合理假設。1964年授予朗道諾貝爾物理學獎的理由也是“他對于凝聚態(tài)物質(zhì)特別是液氦的先驅(qū)性理論”-這個理論并沒有冗長繁雜的數(shù)學推演，有些甚至是靠物理直覺“猜”出來的第154頁/共266頁1958年，蘇聯(lián)原子能研究所為慶賀Landau五十歲生日，送給他的刻有其在物理學上最重要的10成果的大理石板朗道十誡

1)密度矩陣(1927年)；2)自由電子抗磁理論(1930年)；

3)二級相變理論(1936-1937年)；

4)鐵磁磁疇理論(1935年)；

5)超導體的混合態(tài)理論(1934年)；

6)原子核統(tǒng)計理論(1937年)；

7)液氦Ⅱ超流理論(1940-1941年)；

8)基本粒子的電荷約束理論(1954年)；

9)費米液體的量子理論(1956年)；

10)弱相互作用的CP不變性(1957年)。第155頁/共266頁Landau唯象理論給出的主要結(jié)果：Donnellyetal.,

J.LowTemp.Phys.(1981)Glydeetal.,

EuroPhys.Lett.(1998)第156頁/共266頁超流臨界速度的Landau判據(jù)：T=0K時，體系處于基態(tài)——超流體，保持宏觀靜止，一個障礙物在超流體中以某一初速度v運動，如圖：超流體M障礙物的動量：障礙物的能量：若障礙物與超流體相互作用，產(chǎn)生1個準粒子(聲子)：則障礙物狀態(tài)變?yōu)椋旱?57頁/共266頁根據(jù)能量守恒、動量守恒：第158頁/共266頁類似的效應：Cherenkovradiation（切倫科夫輻射）高速帶電粒子在非真空的透明介質(zhì)中穿行，當粒子速度大于介質(zhì)中的光速時所產(chǎn)生的一種特殊輻射。第159頁/共266頁3、稀薄玻色氣體的Bogoliubov平均場理論——聲子激發(fā)的微觀理論“近”理想簡并玻色氣體：“近”理想：弱相互作用綜合：3個尺度的關(guān)系稀薄氣體量子效應第160頁/共266頁廣義哈密頓量：含相互作用的哈密頓量（非二次型），一般情況下無法嚴格求解。需要引入近似！以下僅在T=0K下展開討論！T=0K,采用Ritz變分原理——試探波函數(shù)的思想性質(zhì)：A)N:粒子數(shù)平均值！BEC的相干態(tài)描述！第161頁/共266頁B)互作用項：導致粒子的散射！即使在零溫下粒子也不再完全處于k=0的單粒子能級上！試探波函數(shù)：N0代表仍然凝聚在k=0上的平均粒子數(shù)，待定優(yōu)化參數(shù)！N0~O(N),與N同數(shù)量級！如何處理相互作用項？第162頁/共266頁考察：第163頁/共266頁常數(shù)項！化學勢修正項粒子數(shù)不守恒項：待解哈密頓量！如何對角化？第164頁/共266頁鋪墊：第三節(jié)、玻色超流理論中的二次型哈密頓量的對角化第165頁/共266頁對角化的結(jié)果：基態(tài)波函數(shù)：基態(tài)熱力學勢（一部分）：“組裝”總的波函數(shù)：第166頁/共266頁熱力學勢：N0的確定（1）（化學勢與N0的關(guān)系）：再代入準粒子色散關(guān)系：第167頁/共266頁其中聲速的定義：1，從微觀上驗證了Landau的猜測2，臨界超流速度與相互作用有關(guān)！第168頁/共266頁N0的確定（2）：積分：第169頁/共266頁非線性方程，迭代求解：零級近似：BEC凝聚！1級近似：第170頁/共266頁總結(jié)：通過平均場方法（變分）和Bogoliubov變換，把相互作用的玻色體系 化為無相互作用的（理想）準粒子（玻色）氣體！相互作用的玻色子無相互作用（理想）的準粒子裸粒子準粒子單粒子色散單粒子色散化學勢化學勢平均粒子數(shù)平均準粒子數(shù)依賴于溫度（準粒子不守恒）第171頁/共266頁討論： 通過對一個微觀哈密頓量在平均場近似下的研究，Bogoliubov給出了 線性準粒子（聲子）激發(fā)譜，從而可以解釋低溫比熱的T3的行為。 這給朗道唯象理論提供了微觀基礎！ 但該模型是在弱相互作用條件下（稀薄玻色氣體）成立的， 真正的He4超流體是強相互作用的（玻色液體），這一點要注意！ 實驗已經(jīng)證實，He4超流體在零溫下凝聚在k=0上的玻色子數(shù)目<10%

大部分玻色子占據(jù)高能態(tài)上！

Bogoliubov微觀理論無法給出旋子型元激發(fā)。

Feynman,Phys.Rev.91,1301(1953);Phys.Rev.94,262(1954)第172頁/共266頁思考：

理想玻色氣體在T=0K是處于BEC狀態(tài)，請根據(jù)Landa判據(jù)論證是否可以超流？1）、請根據(jù)計算壓強2）、根據(jù)1、玻色超流體中的聲速：練習：思考題：第173頁/共266頁第五節(jié)、費米超流體——BCS超導理論（平均場）玻色超流費米超流(超導)朗道超流理論朗道超導理論Bogoliubov平均場理論BCS超導理論宏觀唯象微觀液He4液He3超冷玻色氣體超冷費米氣體超導體第174頁/共266頁補充知識1：Cooperpair（庫伯對、電子對）——費米面失穩(wěn)Toymodel:限制性兩體問題！T=0K時，在費米球外附加兩個電子，這兩個附加的電子之間有吸引相互作用。——費米球給兩外來電子提供了(動量空間)的“背景”，它通過Pauli不相容原理影響兩個電子的運動，使得它們只能占據(jù)費米球之外的態(tài)思考：需要費米海作為背景？薛定諤方程——求基態(tài)解第175頁/共266頁分離變量！假設，兩電子質(zhì)心動量為0，且處于自旋單態(tài)！費米子波函數(shù)交換反對稱性：第176頁/共266頁注意：由于費米球的存在，以上k均在大于費米波矢！但這會導致求和不收斂！引入截斷：第177頁/共266頁考察：如何解？第178頁/共266頁這表明，當費米面外的兩個電子存在吸引相互作用U時，不論U多小，都存在一個電子對束縛態(tài)。稱為Cooper對。更進一步可以看出，這將導致費米面的不穩(wěn)定性。第179頁/共266頁思考題2：當兩電子波函數(shù)取自旋三重態(tài)時，例如：請論證將不會有束縛態(tài)存在，因此也不會導致費米面失穩(wěn)。思考題1：請推導電子對相對運動波函數(shù)的近似行為：第180頁/共266頁補充知識2：吸引力的來源——電聲相互作用，BCS約化哈密頓量第181頁/共266頁電子-聲子系統(tǒng)的哈密頓量：通過正則變換，可以化為“有效”哈密頓量：第182頁/共266頁“有效”哈密頓量的簡化：BCS假設：第183頁/共266頁再次化簡：表面上看起來，任意k點的電子均與附近的電子有吸引作用。好像配對可以在整個動量空間發(fā)生。但是，費米海深層的電子無法散射到空態(tài)上去（Pauli不相容原理），因此只有費米面附近的電子能夠從吸引作用中受益，形成Cooper對！限制性求和！第184頁/共266頁相空間分析：給定質(zhì)心動量K，可以看出，黃區(qū)內(nèi)的電子可以和綠區(qū)內(nèi)的某一對應電子發(fā)生散射，散射后的兩個電子仍然在黃區(qū)和綠區(qū)。黃區(qū)和綠區(qū)的面積代表相空間的大?。〉?85頁/共266頁質(zhì)心動量K=0時，黃區(qū)（綠區(qū)）擴大到整個能殼，此時相空間最大！所以，取出貢獻最大的項：BCS約化哈密頓量：不作特殊說明，以后的求和均在能殼內(nèi)進行！第186頁/共266頁相互作用項的Bogoliubov平均場分解：引入自洽平均場——配對勢：第187頁/共266頁BCS平均場哈密頓量：第三節(jié)、超導理論中的二次型“哈密頓量”的對角化第188頁/共266頁分析0：T=0K時,BCS基態(tài)波函數(shù)：歷史：值得一提的是，實際上BCS在求解哈密頓量的時候并 沒有采用平均場分解的方式，而是通過“猜”基態(tài)波函數(shù) 的方式，而且剛好猜對了。第189頁/共266頁BCS基態(tài)波函數(shù)中電子的真實分布：第190頁/共266頁分析1：準粒子能譜——激發(fā)能隙GapEk代表了超導體低能激發(fā)的最小單位！第191頁/共266頁準粒子態(tài)密度：利用：其中：正常態(tài)單電子態(tài)密度第192頁/共266頁分析2：自洽能隙方程的推導練習：計算超導態(tài)電子（裸粒子）態(tài)密度第193頁/共266頁關(guān)于能隙的自洽方程——能隙方程（gapequation）！第194頁/共266頁求和化積分：能隙方程的積分形式！分析3：T=0K下的能隙第195頁/共266頁分析3：T=0K下的能隙可見：盡管電子存在相互吸引的能量范圍可以較大(德拜頻率)，但產(chǎn)生的能隙往往很??！第196頁/共266頁分析4：超導相變溫度第197頁/共266頁分析5：BCS普適常數(shù)（不依賴于材料）AlCdGaVZn臨界場隧道譜3.533.43.443.23.523.503.43.443.2Pb~4.29Hg~4.6弱耦合超導體強耦合超導體強耦合理論：Eliashberg第198頁/共266頁分析5：能隙隨溫度的變化關(guān)系：第199頁/共266頁分析7：比熱與比熱跳變準粒子理想氣體！利用了第200頁/共266頁利用了：第201頁/共266頁普適常數(shù)！AlCdGaV1.451.401.441.49Pb2.71Hg2.37弱耦合超導體強耦合超導體第202頁/共266頁練習：超導體在T=0K附近比熱隨溫度的變化：思考：通過考察準粒子能譜，并根據(jù)朗道的超流判據(jù)， 給出超導體臨界電流。第203頁/共266頁第六節(jié)、正常費米液體的朗道唯象理論對象：量子費米“液體”（液氦He3，金屬，原子核等）量子（簡并）液體：正常態(tài)：相對于“反常態(tài)”（He3超流、金屬(電子)超導）無序到有序相變之前的理論！第204頁/共266頁實驗觀測到的費米液體的低溫行為與理想費米氣體的理論預期定性一致，定量上往往差一個因子：朗道唯象理論的實驗基礎：定性上：定量上：費米液體：單獨質(zhì)量重整還不夠！第205頁/共266頁舉例1：He3的低溫比熱理想費米氣體的比熱He3的低溫比熱：質(zhì)量重整化第206頁/共266頁舉例：重費米子材料CeAl3CeCu2Si2CeRu2Si2UPt3等Wilson比值!第207頁/共266頁電阻率其他費米液體的性質(zhì)：第208頁/共266頁金屬中簡并電子氣——電子間相互作用可以看做微擾嗎？單電子動能：單電子勢能：動能、勢能相當！在高密度下，電子動能為主，自由電子氣模型是較好的近似。在低密度下，電子之間的勢能或關(guān)聯(lián)變得越來越重要，電子可能由于這種關(guān)聯(lián)作用進入液相甚至晶相（WignerCrystal）。對于金屬來說，兩者相當！第209頁/共266頁Landau元激發(fā)的思想：相互作用的量子體系的困難在于確定整個系統(tǒng)（宏觀多體系統(tǒng)）的量子態(tài)但是，在足夠低的溫度下，只需要考慮基態(tài)以及低能量的激發(fā)態(tài)（元激發(fā)）。Landau根據(jù)實驗預期，費米液體中的低能量激發(fā)態(tài)應該跟理想費米氣體的低能激發(fā)態(tài)類似！在研究He4超流現(xiàn)象時，Landau曾成功地應用元激發(fā)（聲子，旋子）的思想。第210頁/共266頁理想費米氣體的基態(tài)與激發(fā)態(tài)——粒子數(shù)守恒(N)體系基態(tài)：N個1僅限于三維各向同性情況！暫時不考慮費米子自旋！基態(tài)：費米海第211頁/共266頁最簡單的激發(fā)態(tài)——粒子-空穴對元激發(fā)：N-1個1本征能量！第212頁/共266頁更一般的，任意偏離費米?；鶓B(tài)的分布都代表一個激發(fā)態(tài)：其本征能量為：溫度不為零時，體系的內(nèi)能表達式：量子數(shù),0或1FD分布函數(shù)平衡分布相對于費米海的偏離導致內(nèi)能的變化！第213頁/共266頁總之：理想氣體所有本征態(tài)可以用占據(jù)數(shù)標記本征能量是nk的線性函數(shù)對于費米氣體，由于費米面的存在，任何相對于費米?；鶓B(tài)發(fā)生的偏離都對應著體系的一種激發(fā)態(tài)，其中包括了最簡單的電子-空穴型的元激發(fā)！任意溫度時，分布偏離費米海基態(tài)，內(nèi)能表達式為：FD分布函數(shù)(區(qū)別于量子數(shù))！第214頁/共266頁朗道預期，當費米子(裸粒子)之間存在相互作用時（費米液體），可以引入“準粒子”(dressedparticle)代替裸粒子(bareparticle)，那么準粒子將構(gòu)成“近”理想費米氣體，并繼承裸粒子的主要性質(zhì)，1，繼承了費米面，相同的費米波矢kF，費米動量pF2，準粒子與裸粒子數(shù)目相同3，電荷相同，自旋相同4，準粒子與費米氣體的在費米面附近的色散關(guān)系相似(質(zhì)量不同)5，費米液體的激發(fā)態(tài)來自于準粒子分布相對于準粒子費米?；鶓B(tài)的偏離，元激發(fā)分為粒子型元激發(fā)和空穴型元激發(fā)，但是元激發(fā)之間存在相互作用。第215頁/共266頁準粒子(費米型)的對角單體項元激發(fā)相互作用項常數(shù)項類比，固體晶格聲子聲子相互作用可以預見費米液體的內(nèi)能形式（最終形式見后）：以及玻色超流體(He4)第216頁/共266頁費米氣體中裸粒子的色散：費米液體中準粒子的色散(費米波矢附近)：m*：有效質(zhì)量！第217頁/共266頁朗道基本假設：費米液體的能量本征態(tài)可以按照理想費米氣體同樣的原則構(gòu)造，兩者存在一一對應。即它們都可以用同一組量子數(shù)即“占據(jù)數(shù)”{nk}（nk=0,1）標記，本征能量是nk的函數(shù)?！o出理想費米氣體的占據(jù)數(shù){nk}（每個單粒子能級k上的粒子數(shù)目為nk，則理想費米氣體的能量本征態(tài)為|{nk}>，本征能量是關(guān)于{nk}的多元線性函數(shù)——則費米液體的本征態(tài)同樣可以用{nk}標記，即|{nk}>，其本征能量為E({nk})，是關(guān)于{nk}的多元(非線性)函數(shù)。朗道基本假設第218頁/共266頁思想：絕熱銜接adiabaticcontinuity工具：絕熱定理adiabatictheorem瞬時能量本征態(tài)：朗道基本假設的論證第219頁/共266頁舉例：在無限深勢井中足夠緩慢的引入拋物線型勢，從而給出能量本征態(tài)之間的一一對應！并且標記本征態(tài)的量子數(shù)不變！受此啟發(fā)，朗道設想（思想實驗）可以無窮慢的引入費米子之間的相互作用力,那么理想費米氣體的能量本征態(tài)將一對一的演化為費米液體的能量本征態(tài)，且標記它的量子數(shù)保持不變！第220頁/共266頁理想費米氣體費米液體幺正算符！第221頁/共266頁解薛定諤方程，得到時間演化算符：：負無窮遠時刻，系統(tǒng)處于瞬時本征態(tài)按照絕熱定理，從負無窮遠時刻的瞬時本征態(tài)(費米氣體H0)演化到0時刻的瞬時本征態(tài)(費米液體H=H0+Hint)！費米液體的本征態(tài)！第222頁/共266頁容易驗證：準粒子算符是費米子算符！Dressedparticle(區(qū)別于Bareparticle)其中，我們定義了DressedParticle(準粒子)第223頁/共266頁根據(jù)絕熱定理：費米液體的能量本征態(tài)可以按照理想費米氣體同樣的原則構(gòu)造，即它們都可以用同一組“量子數(shù)”{nk}（nk=0,1）標記，本征能量是nk的函數(shù)。其本征能量為E({nk})，是一個關(guān)于{nk}的多元函數(shù)。注意本征能量的形式是未知的！！第224頁/共266頁推論1：粒子數(shù)與準粒子數(shù)相同推論2：粒子的總動量與準粒子的總動量相同推論2’：粒子的總自旋與準粒子的總自旋相同第225頁/共266頁理想費米氣體與費米液體的基態(tài)的對應：1T=0K時理想費米氣體中裸粒子的分布1T=0K時費米液體中準粒子的分布推論3：費米面的繼承，費米液體基態(tài)——準粒子費米海、費米面可以看出：費米氣體與費米液體具有同樣的費米動量（繼承）！第226頁/共266頁費米液體中元激發(fā)——準粒子，準空穴元激發(fā)費米液體中準粒子-準空穴激發(fā)態(tài)！對費米海的最小偏離！1第227頁/共266頁總之：盡管費米子間有相互作用的存在，但只要把粒子改成準粒子（dressed），1，對本征態(tài)的描述方法（占據(jù)數(shù)表示）不變！其量子數(shù)不變2，準粒子遵從費米統(tǒng)計3，費米面不變，費米波矢與費米動量不變！4，準粒子數(shù)與裸粒子數(shù)相同(費米面包圍的面積不變)，等等。第228頁/共266頁推論4（朗道基本假設）：費米液體的內(nèi)能是分布的多元函數(shù)（當k連續(xù)時，內(nèi)能是分布函數(shù)的泛函）因此可以將U({nk})（多元函數(shù)）在零溫分布nk0附近Taylor展開！因此考察的是對準粒子費米海的偏離！注：在連續(xù)極限下，分布是k的連續(xù)函數(shù)，U是分布的泛函，相應的展開就是泛函展開！小量！第229頁/共266頁多元函數(shù)的泰勒展開（2階）！參考二元函數(shù)的泰勒展開：引入：零溫時準粒子的“能量”“元激發(fā)”間的相互作用元激發(fā)：分布相對于費米海的偏離！第230頁/共266頁

總結(jié)朗道費米液體理論以準粒子代替裸粒子，并假設費米液體低能激發(fā)態(tài)與費米氣體低能激發(fā)態(tài)存在一一對應關(guān)系。費米氣體：費米液體：嚴格的！根據(jù)假設可知內(nèi)能是分布的多元函數(shù)(泛函)在基態(tài)分布附近做Taylor展開得到的以上公式！第231頁/共266頁朗道費米液體參數(shù)考慮到費米液體中準粒子的色散與費米氣體的相似性：m*：準粒子的有效質(zhì)量——朗道參數(shù)！回憶He-II第232頁/共266頁推論5：費米液體的熵是分布的多元函數(shù)費米氣體的熵：根據(jù)對應關(guān)系，費米液體的熵與費米氣體具有同樣的形式。推論6：費米液體的巨勢是分布的多元函數(shù)非零溫時準粒子的分布利用：第233頁/共266頁非零溫時準粒子的分布滿足極值條件:利用：看起來與理想氣體的平衡態(tài)分布一致，但也要留意相互作用帶來的區(qū)別——聯(lián)立的方程組！準粒子能量第234頁/共266頁1)，有效質(zhì)量的確定理想氣體裸粒子色散：費米能附近態(tài)密度：準粒子色散：費米能附近態(tài)密度：第235頁/共266頁2)，朗道參數(shù)fk,k’的確定，多級展開用到了近似：對于低能量激發(fā)k,k’在費米波矢kF附近，因此相互作用近似只依賴于方向角用Legendre函數(shù)展開！一般來說只需要低級展開！第236頁/共266頁考察液體的動量：2.1)，f1與有效質(zhì)量m*的關(guān)系準粒子群速度：第237頁/共266頁分部積分第238頁/共266頁對k’的求和化為積分，并采用球坐標；另外只有z方向(k方向)的分量積分不為零！第239頁/共266頁代入：第240頁/共266頁第241頁/共