《本章回顧》教學(xué)設(shè)計(jì)(江蘇省縣級(jí)優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

“三角形中有關(guān)范圍和最值的問(wèn)題”的教學(xué)設(shè)計(jì)江蘇省淮安中學(xué)鮑娟【教學(xué)內(nèi)容分析】本節(jié)課是在復(fù)習(xí)完三角函數(shù)、解三角形的這兩章節(jié)后增設(shè)的一節(jié)習(xí)題課，本節(jié)課主要是以三角形的正弦定理和余弦定理為知識(shí)載體，可以將“角”設(shè)為變量作為解題的切入點(diǎn)，聯(lián)系三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和差的三角函數(shù)的公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)解決三角形中的有關(guān)范圍或最值的問(wèn)題，但由于三角形中還可以以“邊”為變量，則又可以以基本不等式以及重要的結(jié)論（）作為解題的突破口，也可以有效的解決決三角形中的有關(guān)范圍或最值的問(wèn)題。本節(jié)課的選題針對(duì)復(fù)習(xí)教材中的例題，錯(cuò)誤頻率高的作業(yè)以及平時(shí)的測(cè)試題整合而成，因此題目為中等的難度。通過(guò)這些題目的講解讓學(xué)生能進(jìn)一步掌握三角形中有關(guān)范圍或最值的通解通法，學(xué)會(huì)思考分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思想駕馭數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和思維的提升。【學(xué)生情況分析】本班是文科強(qiáng)化班，學(xué)生的知識(shí)水平構(gòu)成參差不齊。由于現(xiàn)學(xué)生還處在基礎(chǔ)年級(jí)，因此學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)需進(jìn)一步的夯實(shí)。通過(guò)學(xué)生的預(yù)習(xí)，他們發(fā)現(xiàn)自己的薄弱環(huán)節(jié)，在課上他們會(huì)不斷呈現(xiàn)他們思維或方法上的閃光點(diǎn)和不足點(diǎn)。通過(guò)師生的互動(dòng)，他們保存閃光點(diǎn)，不斷完善不足點(diǎn)，獲得一類(lèi)問(wèn)題一類(lèi)方法，獲得一類(lèi)題型的最優(yōu)解法?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能：能利用解三角形中的正弦定理和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)中的相關(guān)公式、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)和基本不等式有關(guān)的重要結(jié)論解決三角形中有關(guān)范圍或最值的問(wèn)題。2、過(guò)程與方法：通過(guò)已評(píng)題目的回顧，引發(fā)學(xué)生思考所用的知識(shí)點(diǎn)，能聯(lián)系到的知識(shí)點(diǎn)，將三角形中有關(guān)范圍或最值問(wèn)題帶到通解通法的角度思考、探究，在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)“變量”設(shè)定的優(yōu)越性，對(duì)解決問(wèn)題帶來(lái)的便捷。3、情感態(tài)度價(jià)值觀：在問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；體會(huì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)性學(xué)習(xí)的重要性教學(xué)重點(diǎn)：三角形中有關(guān)范圍或最值的問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：三角形中有關(guān)范圍或最值問(wèn)題的突破。教學(xué)方法：發(fā)現(xiàn)式、啟發(fā)式、探究式【教學(xué)流程示意】知識(shí)回顧——回顧資料67課堂評(píng)價(jià)4——課前檢測(cè)——典型例題——課堂練習(xí)——課堂小結(jié)——課后作業(yè)【教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)】【設(shè)計(jì)意圖】教者將學(xué)生的作業(yè)、試卷中錯(cuò)題頻率高的題目進(jìn)行整合，有必要再花一節(jié)課的時(shí)間幫助學(xué)生梳理一下本課題的解題方法。因此回顧一下三角形中為什么會(huì)出現(xiàn)范圍或最值的問(wèn)題。一、知識(shí)回顧在中邊的不等關(guān)系；三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊角的不等關(guān)系；,,邊角對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系?！緦W(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)導(dǎo)學(xué)案的提示，回憶相關(guān)的三點(diǎn)。角的不等關(guān)系不能流暢的反映。【教師活動(dòng)】教者提示三角形內(nèi)角和為定值，從而大方向確定三角的范圍，也滲透“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化?！驹O(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生熟悉的題目入手，不會(huì)讓學(xué)生對(duì)此類(lèi)題目有畏懼感，讓中等學(xué)生也能說(shuō)出這類(lèi)題目所用的知識(shí)點(diǎn)，所聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)和所用的方法，同時(shí)板書(shū)。二、回顧資料67課堂評(píng)價(jià)4（2014全國(guó)課標(biāo)Ⅰ）在中，角的對(duì)邊依次為，，且，則面積的最大值為。（回顧其知識(shí)點(diǎn)和方法）解：方法一：，由題意可得，由正弦定理可設(shè)（），即，整理得，由余弦定理可得，，,。，在中，，（當(dāng)且僅當(dāng)取“=”），，即。（當(dāng)且僅當(dāng)取“=”）面積的最大值為。方法二：（僅僅是提供思路沒(méi)做具體操作）由得，，=，設(shè)，由正弦函數(shù)的圖象可得，當(dāng)，,此時(shí)。面積的最大值為。【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)自己的筆記說(shuō)出題目在解題過(guò)程中所用到的知識(shí)點(diǎn)和方法（有些不夠流暢）?！窘處熁顒?dòng)】學(xué)生的表達(dá)度不夠清晰，教者適時(shí)復(fù)述，并板書(shū)此題所聯(lián)系到的知識(shí)點(diǎn)?！驹O(shè)計(jì)意圖】課前檢測(cè)1主要考察學(xué)生對(duì)銳角三個(gè)角的總體認(rèn)識(shí)，而學(xué)生只能單一看某個(gè)角，因此第二空格會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。課前檢測(cè)2主要利用多元變量進(jìn)行減元，利用公式求出本題的最小值，簡(jiǎn)便。三、課前檢測(cè)1.在銳角中，若,,則的值等于；的取值范圍。解：由正弦定理可得,即,在銳角中，，。在銳角中,,由得,利用余弦函數(shù)圖象得。2.在中，角的對(duì)邊依次為，若，則的最小值為。解：由余弦定理可得 （此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)取“”）【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生提前作了預(yù)習(xí)，課前檢測(cè)1由學(xué)生口述解題思路，再說(shuō)到第二空格處時(shí)條件處理含糊，不能很好找到解題的突破口，但優(yōu)點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)后；課前檢測(cè)2也是由學(xué)生口述其思路，思路清晰，但不足點(diǎn)是“當(dāng)且僅當(dāng)”的說(shuō)法被忽視?！窘處熁顒?dòng)】巡視學(xué)生的做題結(jié)果，請(qǐng)兩位同學(xué)說(shuō)題，學(xué)生的語(yǔ)言組織，表達(dá)還清楚，也力爭(zhēng)表現(xiàn)出自己的最好的一面。對(duì)于課前檢測(cè)1空格2處，我提示學(xué)生應(yīng)從三個(gè)角同時(shí)考慮為銳角，轉(zhuǎn)化為的范圍的確定，再放手由學(xué)生演算，得出結(jié)論。教者等學(xué)生處理好結(jié)論后再投影，強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性。對(duì)于課前檢測(cè)2，教者指出學(xué)生的不足處（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），同時(shí)教者將此結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成基本不等式的重要形式之一“”，直接用基本不等式的知識(shí)處理。學(xué)生的表現(xiàn)還是令教者滿意的。【設(shè)計(jì)意圖】例1是周末測(cè)試中的一道解答題，其中的第二問(wèn)本班級(jí)無(wú)人做對(duì)，從測(cè)試卷反映出的問(wèn)題是對(duì)銳角的三個(gè)內(nèi)角不能整體考慮，思維不嚴(yán)謹(jǐn)。例題2是資料上的一道例題，學(xué)生對(duì)的認(rèn)識(shí)有的從角考慮，有的從邊考慮，從邊考慮的話學(xué)生只會(huì)停留在基本不等式的重要的結(jié)論上考慮到最大值，而偏小的值不易找到突破口，因此不建議用邊處理。在解決拓展題時(shí)，學(xué)生用邊視為變量時(shí)則無(wú)從下手，因此提出通解通法——以角為變量則能很好的解決這一類(lèi)題。因?yàn)榛静坏仁轿覀冞€沒(méi)做系統(tǒng)復(fù)習(xí)，學(xué)生對(duì)它來(lái)說(shuō)熟悉度不夠，因此學(xué)生在應(yīng)用時(shí)不能得心應(yīng)手。四、典型例題例1.設(shè)銳角內(nèi)角的對(duì)邊依次為，已知。（1）求角；（2）求的取值范圍。解：（1）由正弦定理可設(shè)（）則在銳角中，，，又，。（2）在銳角中,,設(shè)，由正弦函數(shù)的圖象可得，例2.在中，內(nèi)角的對(duì)邊依次為，且（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍。拓展若（3）求的周長(zhǎng)的取值范圍；（4）求面積的取值范圍。解：（1），，由余弦定理可得，，，,。方法一：由得，，（2）=，設(shè)，由正弦函數(shù)的圖象可得，當(dāng)，,此時(shí)。，的取值范圍。拓展（3）設(shè)周長(zhǎng)，設(shè)，由正弦函數(shù)的圖象可得，當(dāng)，,此時(shí)。，周長(zhǎng)的取值范圍為。（4）=，設(shè)，由正弦函數(shù)的圖象可得，當(dāng)，,此時(shí)。面積取值范圍為。方法二：（2），又，的取值范圍。（3）周長(zhǎng)的取值范圍為。（4），面積取值范圍為?！緦W(xué)生活動(dòng)】對(duì)于例1部分學(xué)生的第2問(wèn)處理時(shí)將角定位在某個(gè)角，但有位同學(xué)寫(xiě)出了角的正確范圍，但推理過(guò)程不夠明確。對(duì)于例2部分學(xué)生的第二問(wèn)用角作變量，由于公式的熟練程度各不一樣，部分同學(xué)完成了完整過(guò)程，部分同學(xué)用邊作變量，但解決了最大值的計(jì)算，而偏小的值不能很好的表達(dá)，此法書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)捷?！窘處熁顒?dòng)】對(duì)于例1教者巡視，發(fā)現(xiàn)一位同學(xué)與其他同學(xué)的角范圍不一樣并投影該學(xué)生的解題過(guò)程，根據(jù)他的書(shū)寫(xiě)指出不規(guī)范的地方，特別指出他得到的角的范圍與其他同學(xué)不一樣的地方，但書(shū)寫(xiě)推理不夠清晰。教者提醒學(xué)生類(lèi)比課前檢測(cè)1的處理方法得出結(jié)論。給學(xué)生時(shí)間演算結(jié)束后，教者投影過(guò)程展示規(guī)范性與嚴(yán)謹(jǐn)性。對(duì)于例2教者預(yù)想學(xué)生用邊作變量，但巡視過(guò)程中教者發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生用角作變量，完整書(shū)寫(xiě)好的學(xué)生不多，展示學(xué)生的過(guò)程只是幫助一些學(xué)生回憶起教者曾在此題型上的處理。有學(xué)生提供了用邊作邊量的方法，該學(xué)生的思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，只能解決該題的最大值。但時(shí)間緊促教者只能提示其的取值范圍，并未作投影。拓展題未來(lái)得及實(shí)施，有些遺憾！【設(shè)計(jì)意圖】課堂練習(xí)1來(lái)源于一道小題練習(xí)，當(dāng)時(shí)班級(jí)中無(wú)一人做對(duì)，因此教者選出來(lái)可以與前面的課前檢測(cè)和例題呼應(yīng)，但條件也有些變化（銳角三角形改為了鈍角三角形）。課堂練習(xí)2選自復(fù)習(xí)教材中的一道預(yù)習(xí)題，此題與課前檢測(cè)2和例2呼應(yīng)，但此題中的數(shù)據(jù)以字母出現(xiàn)，部分學(xué)生會(huì)感到有障礙。這兩道題起到鞏固提升的目的，也教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)上要變通。五、課堂練習(xí)1.若鈍角的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為，則實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)鈍角中,的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列,,又，,。由正弦定理可設(shè)，，，2.（資料67）如圖，已知為定角，點(diǎn)分別在的兩邊上，為定長(zhǎng)，那么的面積的最大值為。解：設(shè)由余弦定理可得，（當(dāng)且僅當(dāng)取“”），的面積的最大值為?！緦W(xué)生活動(dòng)】對(duì)于課堂檢測(cè)1學(xué)生根據(jù)條件很輕松的得出一角為，由于三角中未指定哪個(gè)角為鈍角，因此學(xué)生感到茫然。學(xué)生根據(jù)教者的提示用正弦定理迅速定位函數(shù)模型，也能較好的確定角范圍，結(jié)合正切函數(shù)圖象得出了結(jié)論?！窘處熁顒?dòng)】對(duì)于課前檢測(cè)1教者給予學(xué)生提示，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)角的大小關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生找到最大邊和最小邊，寫(xiě)出其比例。學(xué)生演算完畢，教者投影其過(guò)程，展示規(guī)范性。教者時(shí)間分配不夠合理，課堂練習(xí)2未來(lái)得及實(shí)施。有遺憾！【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)題目的回顧、課前檢測(cè)、例題、課堂練習(xí)的對(duì)應(yīng)設(shè)置強(qiáng)化了學(xué)生在遇到“銳角三角形或鈍角三角形”時(shí)從“角”為變量入手，整體考慮三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系，不能單一考慮某個(gè)角的狀況；在某角確定大小的情況下也同樣可以以某個(gè)角為變量解決三角形的的面積、周長(zhǎng)等范圍或最值問(wèn)題，而從邊考慮時(shí)，學(xué)生對(duì)三角形的三邊關(guān)系以及基本不等式的重要結(jié)論的應(yīng)用不能得心應(yīng)手，因此教者要強(qiáng)調(diào)通解通法，一類(lèi)一法，便于學(xué)生掌握要領(lǐng)。當(dāng)學(xué)生的熟練度提高后，教者可以提供其他解法，活躍學(xué)生的思維，開(kāi)闊學(xué)生的眼界。六、教學(xué)小結(jié)：1.能利用解三角形中的正弦定理和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)中的相關(guān)公式、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)和基本不等式有關(guān)的重要結(jié)論解決三角形中有關(guān)范圍或最值的問(wèn)題。2.學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)方程思想解決三角形中的有關(guān)范圍或最值的問(wèn)題?！緦W(xué)生活動(dòng)】聆聽(tīng)教者的總結(jié)【教師活動(dòng)】口述【設(shè)計(jì)意圖】課后作業(yè)是教者針對(duì)課上的兩點(diǎn)內(nèi)容精心選擇的，其中有學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)題，有例題對(duì)應(yīng)的平行題，對(duì)鞏固學(xué)生的知識(shí)有幫助。但從作業(yè)批改來(lái)看，有同學(xué)能完全掌握課堂內(nèi)容，而部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生漏洞百出，因此作業(yè)要及時(shí)點(diǎn)評(píng)，讓更多的學(xué)生受益。七、課后作業(yè)（小題要寫(xiě)過(guò)程）1.若的內(nèi)角滿足，則的最小值是。2.（2016南師附中）在中，內(nèi)角的對(duì)邊依次為，且邊上的高為，則最大值為。3.在中，角的對(duì)邊依次為，且滿足。當(dāng)取最大時(shí)，的大小。4.在中，已知。（1）求的大??；（2）設(shè)角的對(duì)邊依次為，若，且是銳角三角形，求的取值范圍；（3）若的面積是，求周長(zhǎng)的最小值。5.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊依次為，若.（1）角,求角A的大?。唬?）若為非等腰三角形，求的取值范圍?！緦W(xué)生活動(dòng)】課后完成【教師活動(dòng)】及時(shí)批改總結(jié)，錯(cuò)誤率高的題分析其錯(cuò)因，講評(píng)詳略得當(dāng)。【教學(xué)反思】本節(jié)課基本能完成教學(xué)目標(biāo)，但由于學(xué)生課前預(yù)習(xí)的不夠充分，導(dǎo)致例2題型講解不夠詳實(shí)，對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)收獲不夠明顯。教者與學(xué)生之間的互動(dòng)相得益彰，從課堂效果來(lái)看，大多數(shù)同學(xué)受益匪淺。教者通過(guò)投影學(xué)生的學(xué)案強(qiáng)調(diào)規(guī)范性，教者投影事先打印好的解題過(guò)程給予學(xué)生示范。【板書(shū)設(shè)計(jì)】課題：三角形中有關(guān)范圍和最值的問(wèn)題一、知識(shí)回顧在中邊的不等關(guān)系