大一上微積分第一周講課提綱

0322）題．極限思想：春秋戰(zhàn)國時期的《莊子·天下篇》．189718571918）1916）Leibniz（Kepler1859）

00n（1）確定性：例如123,3291：有理數(shù)稠密性的證明．注 不是有理數(shù)的證明 注3：幾個與無窮有關(guān)的例子：用有理數(shù)近似 x的N*(xxxx 邏輯符號A

AB=§1.1實(shí)數(shù)集的界與確界定義（界、上界、下界AMxMAMA的

任給M0，總存在xMA，使得xMM例：證明數(shù)集nsinnπ(n1,2, 2 2

0n02[M1 (2[M]1)sin2[M]1π2[M]1Mn Note：取n04[M1n04[M3x

x0,xR} ．因?yàn)槿谓oM0，取x0 1x2[M]π1x21sin

2[M]ππM21．確界的定義：最小的上界稱為上確界supA，最大的下界稱為下確界infA系．2．確界的等價定義xM；xm例1：證明inf 10．nn{nZ，都有10，所以0是數(shù)集1{ 對于0，取n11，則1 1。所以0是數(shù)集1的最{

1 101 10nn minf{f(x)}，則xD且對于0xD

f(x)mf(xm所以f(xmf(xm。故supf(x)minff(x) AxA/Axa.axAa.axa.a1． 0 0 0 1A不空，且當(dāng)xA/A時，xa.aa；當(dāng)xA時，a.aaxa.aa 1 01 01 01 AA0A1 An

記alim yxyxs1gt2（伽利略2 G （牛頓dS21252930yf(xxD

x2y yxxx(xNote2：定義域的求法，例如f(x(xNote3：表示法，例如，已知2f(xf(1x)x2f(x的表達(dá)式．定義：{(xy)yf(x),x例如：yx2 yax,y

xQ,

xx

x例如：階躍函數(shù)（f(x

、符號函數(shù)（sgn(x) x0,取整函數(shù)（[x]

xx x

x稅費(fèi)函數(shù)（f(x

0.03(x 3500x450.1(x 5000x

8000x1：對任意的k(0]x，使得方程2xkx21例2：方程yx 2§1．3一、函數(shù)的四則運(yùn)算（和、差、積、商函數(shù)定義：fg)(xf(xg(x，(kf)(xkf(x，fg)(xf(x)g(xf(x)f(x) Note：定義域，例如f(x)x x,g(x)x x,f(x)g(x)反函數(shù)的概念：f：DZfg是一對應(yīng)關(guān)系，若對yZfxD，使yf(xgf的反函數(shù)，記作f1．Note1f1(f(x))xf(f1(x))x；系．2．函數(shù)與其反函數(shù)圖形的關(guān)系定理：yf(xyf1(xyx對稱．x1：y

x

y

x得x

xy1

0yx11yx1(x1)1xx1y (0x1)1

x

x2：y1(exex2解：因?yàn)閥1(exexe2x1(ex)22yex1 y2ex2y 4y24yy22y

1(exexyln(x2

1x2)yarcsinx，定義域[1,1]，值域

π,2yarctanx，定義域(，值域

π,2yarccotx，定義域(，值域(0,π)定義：fgDfDgZgDf，則對xDgg(xZgDf，進(jìn)而f(g(xZfDgZf的對應(yīng)關(guān)系，稱為函數(shù)fg的復(fù)合，記作fgfg(x)f(g(x．u 與u1x2；yarcsinu與u2x1u4x2f(x)

x2,g(x)

x

fg(x x xfggffghfgfh(ghfgfhffghfgfh(ghfgf)(hf√fghfghfgh√yf(x與函數(shù)yf(x)b，yf(xa)yf(kx的關(guān)系．ysinx與π

y

xy2sin(2x

12§1．41．界：f(x)M,xD1 的刻畫．例如證明函數(shù)f(x) 在(0,) x定理f(xD上有界f(xD對稱，且f(x)f(x)．f(x)g(x)h(x，則f(x)g(x)h(x)g(x)h(x)．f(x)f f(x)f所以g(x) ，h(x) 1：f(xg(x)lnf(x1f2x 2：f(xg(x)f11ax 定義f(x的定義域是(，若存在正數(shù)Tf(xTf(xxf(x的周期為2g(x)f

2定義x1x2，若(x1x2f(x1f(x20f(x(x1x2f(x1f(x20f(x單Note1：單調(diào)性實(shí)質(zhì)上是一種保序性 ln一般函數(shù)怎么討論？例如f(x) x如圖：（xkx1k)xkx2x x xx2x2

x1xx2

x2yf(x1)f(x2)f(x1)(xx1)x2

x2xx2

f(x1)xx2

f(x2)x2 x x2 x由此可知fx

xx1

xx2x

f(x1)x

f(x2) 定義f(x在(abx1x2(ab，及任意的01，f(x11)x2f(x11f(x2f(x在(ab上是下凸Note”僅在0或1時取1：f(xx2是下凸函 (x1)2(x2x2)( ()x2( x2x2f(x)f 2：f(x在[ab中下凸對任意的x1x2x3[ab,0,1，都有f(x1x2x3f(x1f(x2f(x3．f(xxx)f(x()( x x f(x)()f(

x

f(x)()( f(x) f(x f(x1)f(x2)f(x3Note2f(xaxg(x)logax的凹凸性結(jié)論，但用定義討論時卻§1．5初等函數(shù)常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

yarcsin

yarccos

y-- - ---246yarctansinhx1(exex2coshx1(exex2tanhx

ysinh

- - - ycosh ytanh cosh2xsinh2xsinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhcosh(xy)coshxcoshysinhxsinhNote：sinhxcoshycoshxsinh1(exex)1(eyey)1(ex+ex)1(e