球的體積和表面積 教學(xué)設(shè)計(jì)

球的體積和表面積安慶市第二中學(xué)光星星使用教材：人教A版必修第二冊(cè)實(shí)驗(yàn)器材藥品：紅色色素。儀器：帶龍頭扎啤桶，溢水杯，量筒500ml,量筒100ml,小燒杯，接水槽，充氣實(shí)心球、小鐵球，溜溜球，小彩球，乒乓球，圓柱、圓錐、空心半球、小刀、橙子，電腦。三、實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新點(diǎn)1.在以往的教學(xué)中，學(xué)生容易說出用排水法測球的體積，由此發(fā)現(xiàn)這種方法求球的體積麻煩還存在誤差。此次我打破常規(guī)，通過球的定義，引導(dǎo)學(xué)生猜想球的體積與半徑有關(guān)系，讓學(xué)生自己做實(shí)驗(yàn)得出五個(gè)常見球體的體積與直徑數(shù)據(jù)表，讓學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)，借助圖形計(jì)算器軟件以半徑r為橫坐標(biāo)，以v為縱坐標(biāo)畫出散點(diǎn)圖，運(yùn)用冪回歸擬合和指數(shù)回歸擬合，發(fā)現(xiàn)冪回歸擬合效果好，此時(shí)近似得出V=4.06R3.012.以往教材中用極限思想求球的體積，本節(jié)課由小學(xué)實(shí)驗(yàn)等底等高的圓錐與圓柱體積關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生猜想球的體積與它們有關(guān)系嗎？進(jìn)而學(xué)生想到尋找等底等高的半球、圓柱、圓錐，用自制模具，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)得出球的體積公式。3.在教材中，直接給出球的表面積公式，我打破常規(guī)，復(fù)習(xí)回顧劉徽割圓術(shù)，讓學(xué)生從分割球的角度求球的體積，將橙子近似看成球體，讓學(xué)生做切橙子實(shí)驗(yàn)，將橙子看成地球儀，沿經(jīng)緯線分割得到n片，球的表面積等于n片的面積之和，當(dāng)分割的越細(xì)密，即n越大時(shí)，每一片的頂點(diǎn)與球心的連線構(gòu)成幾何體近似看成四棱錐，當(dāng)n→∞時(shí)，四、實(shí)驗(yàn)原理排水法求球形物體體積，即物體排開水的體積即為物體本身的體積。五、實(shí)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)驗(yàn)探究，從3個(gè)不同的角度說明球的體積公式，通過實(shí)驗(yàn)的探究過程讓學(xué)生體驗(yàn)探究的樂趣，感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的魅力。通過實(shí)驗(yàn)探究得出的結(jié)論有一定的誤差，讓學(xué)生從理論證明的角度得出球的體積公式，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。在實(shí)驗(yàn)與探究的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，落實(shí)邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。六、實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自人教A版必修第二冊(cè)第八章第三節(jié)簡單幾何體的表面積與體積中?球的體積和表面積?，本節(jié)課由如何求球的體積和表面積引入，通過實(shí)驗(yàn)探究出3種求球的體積的方法，用不同的方法得出球的體積公式，再根據(jù)實(shí)驗(yàn)存在誤差，用理論證明球的體積公式，運(yùn)用體積公式求球的表面積公式。七、實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)【導(dǎo)課】向?qū)W生提出問題：制成一個(gè)籃球需要多少皮革？在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下充滿一個(gè)籃球需要多少氣體？由此引出問題：如何求球的體積和表面積？【提問1】怎么求球的體積呢？將“生活問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問題”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)生活化。排水法【提問2】向?qū)W生展示球的定義，球的體積與什么有關(guān)系？學(xué)生猜想球的體積與半徑有關(guān)系.【實(shí)驗(yàn)探究一】怎么測球的體積和直徑呢？學(xué)生實(shí)驗(yàn)：學(xué)生實(shí)驗(yàn)（課前準(zhǔn)備5個(gè)常見球形）：依據(jù)排水法原理，利用帶龍頭扎啤桶，溢水杯，量筒測出5個(gè)生活中常見球形物體的體積。用游標(biāo)卡尺測5個(gè)球體的直徑。【實(shí)驗(yàn)探究一】球的體積與直徑有什么關(guān)系呢?利用圖形計(jì)算器軟件以球的半徑r為橫坐標(biāo)、以球的體積v為縱坐標(biāo)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖的特征選擇指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)回歸擬合，顯然冪函數(shù)擬合效果更好，進(jìn)而得出球的體積關(guān)于半徑的函數(shù)關(guān)系式?！緦?shí)驗(yàn)探究二】【提問1】小學(xué)是怎么測量圓錐的體積？【提問2】球的體積與圓柱、圓錐可有關(guān)系？如果有怎么找關(guān)系呢？答1：利用等底等高的圓柱與圓錐的裝水實(shí)驗(yàn)得出圓錐的體積是圓柱的13答2：先找半球與圓柱、圓錐的關(guān)系，探究等底等高的半球、圓柱、圓錐的關(guān)系.學(xué)生可以先猜想3個(gè)幾何體的體積關(guān)系.【實(shí)驗(yàn)探究二】向?qū)W生展示自制模具等底等高的半球、圓柱、圓錐，問：它們的體積關(guān)系是什么呢?學(xué)生實(shí)驗(yàn)：學(xué)生將圓柱裝滿水，倒?jié)M圓錐后，剩下的剛好倒?jié)M半球，進(jìn)而通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)求球的體積的表達(dá)式v=4【理論證明】【提問1】學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)一及數(shù)據(jù)分析和實(shí)驗(yàn)二得到球的體積都有可能存在一定的誤差，如何來理論驗(yàn)證球的體積呢？由實(shí)驗(yàn)啟發(fā)可以將半球看成是等底等高的圓柱挖去圓錐得到的.【視頻+動(dòng)畫】用視頻向?qū)W生介紹祖暅及祖暅原理，并利用動(dòng)畫演示祖暅原理.通過將一沓書傾斜放置書的體積有沒有變化實(shí)驗(yàn)向?qū)W生說明祖暅原理滿足的條件.【提問2】半球與等底等高的圓柱挖去圓錐符合祖暅原理?xiàng)l件嗎？【動(dòng)畫】用軟件向?qū)W生演示兩個(gè)幾何體在等高處任意位置的截面相等動(dòng)畫.1.學(xué)生通過兩個(gè)特殊位置，調(diào)整了圓錐的位置，將圓錐倒置放，此時(shí)特殊位置符合截面相等;2.利用動(dòng)畫演示滿足了學(xué)生直觀感知的需要;3.在前面實(shí)驗(yàn)探究基礎(chǔ)上，基于祖暅原理，對(duì)球的體積公式進(jìn)行理論證明，讓學(xué)生通過祖暅原理的巧妙，強(qiáng)調(diào)其比西方早一千多年，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信.【實(shí)驗(yàn)探究三】1.引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧利用劉徽割圓術(shù)求圓的面積，能否還有別的方法推導(dǎo)球的體積呢？2.給學(xué)生發(fā)橙子，可以將橙子近似看成球體，請(qǐng)學(xué)生切一下橙子？（要求：切完以后得到各個(gè)部分的體積都比較容易把它近似求出來）1.學(xué)生受劉徽割圓術(shù)啟發(fā)想到切割球；2.學(xué)生實(shí)驗(yàn)：學(xué)生分小組切橙子，分小組匯報(bào)：（1）將橙子用平行的平面切成幾個(gè)近似的圓臺(tái)，將球的體積近似看成圓臺(tái)的體積之和；（2）將橙子用平行的平面切割更細(xì)些，這樣將球的體積近似看成圓柱的體積之和；（3）將橙子看成地球儀，在橙子上近似畫經(jīng)緯網(wǎng)線，將得到的面沿球心切割，這樣將球的體積近似看成四棱錐的體積之和.【動(dòng)畫】用動(dòng)畫展示其中兩種切割，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)怎么分割可以近似代替？1.運(yùn)用動(dòng)畫展示當(dāng)n→∞2.總結(jié)過程：分割→近似→求和→取極限.1.學(xué)生回答切割的細(xì)些，分割的份數(shù)多些；2.請(qǐng)學(xué)生回去查閱微積分資料；3.請(qǐng)學(xué)生小組討論最后一種分割，獨(dú)立思考，請(qǐng)學(xué)生代表匯報(bào)：沿經(jīng)緯線分割得到n片，球的表面積等于n片的面積之和，當(dāng)分割的越細(xì)密，即n越大時(shí)，每一片的頂點(diǎn)與球心的連線構(gòu)成幾何體近似看成四棱錐，當(dāng)n→∞時(shí)，【課堂小結(jié)】請(qǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課通過幾種方法