北京市懷柔區(qū)20122013學年高二下學期期末考試數學(理)試題Word版含答案

懷柔區(qū)2012～2013學年度第二學期期末考試高二數學（理科）2013.7本試卷分選擇題和非選擇題兩部分..共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色筆跡的鋼筆或署名筆將自己的姓名和考生號寫在答題卡上.用2B鉛筆將答題卡試卷種類（B）涂黑。2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需變動，用像皮擦潔凈后，再選涂其余答案，不可以答在試題卷上.3．考試結束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并回收.第一部分選擇題（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的1．若a1,1,1，則a等于A.2B.2C.3D.32．復數

1i1iA．iB．1C．iD．13．函數yx21的極值點為A．2B．0C．1D．24．若a＝(1,2,－3)，b＝(2,－1,2－1)，則“a＝1”是“ab”的aa3A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件5．曲線f(x)x23x在點P（1,4）處的切線方程為A．5xy10B．5xy10C．5xy10D．5xy106．從4名男同學中選出2人，6名女同學中選出3人，并將選出的5人排成一排，則不一樣的排法共有A.2400種B.24400種C.1400種D.14400種7．若函數f(x)1x3kx2(2k1)x5在區(qū)間（2，3）上是減函數，則k的取值范圍3是A．[1,)B．[0,1]C．(,0]D．[2,)8．如圖，用長為90，寬為48的長方形鐵皮做一個無蓋的長方體容器，先在四角分別截去都是相同的一個小正方形，而后把四邊翻轉90°角，再焊接而成，當長方體容器的容積為最大時，其高為A．10B．30C．36D．10或36第二部分非選擇題（共100分）二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共20分.9．C1513．10．函數y=1的導數是．x11．從已有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中起碼有1個白球的概率是．12．若隨機變量X的散布列為：則EX，DX．13．若二項式(x2)n的睜開式中全部二項式系數的和等于256，則睜開式中含x3的項x為．14．在北京舉辦的第七屆中國花博會時期，某展區(qū)用相同的花盆擺成了若干以下列圖所示的圖案，此中第①個圖案只一個花盆；第②個，第③個，的圖案分別按圖所示的方式固定擺放．從第①個圖案的第一個花盆開始，此后每一個圖案的花盆都自然擺放在它們的四周，若以an表示第n個圖案的花盆總數，則a3；an（答案用n表示）．三解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本小題滿分13分）如圖，在空間直角坐標系xoy中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1=D1F1=3A1B1．4（Ⅰ）求向量BE1，DF1的坐標；（Ⅱ）求BE1與DF1所成的角的余弦值．16．（此題滿分13分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為1與2，投中得1分，投不中得0分.25（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人都沒有投中的概率；（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和X的數學希望．17．(本小題滿分13分)已知函數f(x)x3ax2bxc，當x1時，f(x)的極大值為7；當x3時，f(x)有極小值．（Ⅰ）求a,b,c的值；（Ⅱ）求函數f(x)的極小值．18．(本小題滿分13分)小明家住H小區(qū)，他在C區(qū)的光彩中學上學，從家騎車到學校上學有L1，L2兩條路線（如圖），L路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口碰到紅燈的概率均為1；L2路線上有B1，2B2兩個路口，各路口碰到紅燈的概率挨次為3，3．45（Ⅰ）若走L路線，求最多碰到1次紅燈的概率；1．．（Ⅱ）若走L2路線，求碰到紅燈次數X的數學希望；（Ⅲ）依據“均勻碰到紅燈次數最少”的要求，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明原因．19．（本小題滿分14分）如圖，已知四棱錐PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，AD=2，AB1,E,F分別是線段AB.BC的中點.（Ⅰ）證明：PFFD；（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45，求二面角APDF的余弦值；（Ⅲ）在棱PA上能否存在點G，使得EG//平面PFD？若存在，請找出點G的地點并加以說明；若不存在，請說明原因.20．（本小題滿分14分）已知函數f(x)ax12eb(a1)lnx,(a,bR)，g(x)x．xe2（Ⅰ）若函數f(x)在x2處獲得極小值0，求a,b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對隨意x1,x2e,e2，總有f(x1)g(x2)；（Ⅲ）求函數f(x)的單一遞加區(qū)間．參照答案及評分標準2013.7一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.題號

1

2

3

4

5

6

7

8答案

C

C

B

A

B

D

D

A二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.9.10510.19x211.1012.5；1113.16x314.19；3n23n1416三、解答題：本大題共6小題，共80分.15．（本小題滿分13分）如圖，在空間直角坐標系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，且B1E1=D1F1=3A1B1．4（Ⅰ）求向量BE1，DF1的坐標；（Ⅱ）求BE1與DF1所成的角的余弦值．解：（Ⅰ）B（1，1，0），E1（1，1，1），D（0，0，0），F1（0，3,1)44BE1(1,1(1,1,0)(0,3,1),1)44DF13,1)(0,0,0)3,1)-----------------------5(0,(0,分44（Ⅱ）|BE1|5,|DF1|5,BE1DF100(33)117444416BE1DF177cosBE1,DF116-------------------------13分|BE1||DF1|55254416．（此題滿分13分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為1與2，投中得1分，投不中得0分.25（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人都沒有投中的概率；（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和X的數學希望．解：（Ⅰ）依題意，甲、乙兩人在罰球線各投球一次，兩人都沒有投中的概率為P133．2510--------------------5分（Ⅱ）X的可能取值為0,1,2．P(X0)133；2510P(X1)13121；25252P(X2)121255因此EX0311219．-----------------------------------------------------------13分10251017．(本小題滿分13分)已知函數32f(x)xaxbxc，當x1時，f(x)的極大值為；當x3時，f(x)7有極小值．（Ⅰ）求a,b,c的值；（Ⅱ）求函數f(x)的極小值．解：（Ⅰ）由已知得f/(x)3x22axbf/(1)032ab0a3f/(3)0276ab0b9-------------------------------------------------5分f(1)71abc7c2（Ⅱ）由（Ⅰ），f/(x)3(x1)(x3)，當1x3時，f/(x)0；當x3時，f/(x)0故x3時，f(x)獲得極小值，極小值為f(3)25。---------------------------------------------13分18．(本小題滿分13分)小明家住H小區(qū)，他在光彩中學上學，從騎車到學校上學有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口碰到紅燈的概率均為1；L2路線上有B1，B2233A2A3兩個路口，各路口碰到紅燈的概率挨次為，．145L1（Ⅰ）若走L1路線，求最多碰到1次紅燈的概率；HC．．L2（Ⅱ）若走L2路線，求碰到紅燈次數X的數學希望；1B2B（Ⅲ）依據“均勻碰到紅燈次數最少”的要求，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明原因．解：（Ⅰ）設走L1路線最多碰到1次紅燈為A事件，則P(A)=C30(1)3C311(1)21．2222因此走L1路線，最多碰到1次紅燈的概率為1．------------------------------------5分2（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2．P(X=0)=(13)(13)1，P(X=1)=3(13)(13)39，4510454520P(X=2)=339．4520故隨機變量X的散布列為：X012P199102020EX191927分1002．-----------------------------------------10202020（Ⅲ）設選擇L1路線碰到紅燈次數為Y，隨機變量Y聽從二項散布，YB(3,1)，132因此EY3．22由于EXEY，因此選擇L2路線上班最好．---------------------------------------------13分19．（本小題滿分14分）PABCDPA平面ABCD，如圖，已知四棱錐的底面是矩形，AD=2，AB1,E,F分別是線段AB.BC的中點.（Ⅰ）證明：PFFD；（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45，求二面角APDF的余弦值；（Ⅲ）在棱PA上能否存在點G，使得EG//平面PFD？若存在，請找出點G的地點并加以說明；若不存在，請說明原因.解：（Ⅰ）證明：連結AF，則AFDF2,又AD2，∴DF2AF2AD2，DFAF．又PA平面ABCD，DFPA,又PAAFA，DF平面PAFPF.5分PFDF-----------------------平面PAF（Ⅱ）由于四邊形ABCD是矩形，PA平面ABCD，則ABAD,PAAB,PAAD.如圖成立空間直角坐標系.由于PA平面ABCD，因此PBA是PB與平面ABCD所成的角，即PBA45，因此PAAB1，以A0,0,0,B1,0,0,F(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)．因此PF(1,1,1),DF(1,1,0)設平面PFD的法向量為nx,y,z，nPF0，xyz0由得，nDF0xy0令x1，解得：y1,z2，因此n1,1,2．又由于AB平面PAD，因此AB是平面PAD的法向量，易得AB1,0,0，因此cosAB,nABn16．ABn1146由圖知，所求二面角APDF的余弦值為6．---------------------------------10分6（Ⅲ）解法1：在棱PA上存在點G，使得EG//平面PFD.設點P(0,0,a),G(0,0,b),則PF(1,1,a)，DF(1,1,0)由于E(1,0,0)，則EG1,0,b.22設平面PFD的法向量為mx,y,z，mPF0，xyaz0由得xy0，mDF0令x1，解得：y1,z2，因此m2．a1,1,a令mEG0得12b0，即b1，2a4a1因此G(0,0,a).4進而知足AG1AP的點G為所求．---------------------------------------------14分4解法2：過點E作EH//FD交AD于點H，則EH//平面PFD且AH1AD．4再過點H作HG//DP交PA于點G,則HG//平面PFD且AG1AP，4∴平面EHG//平面PFD,EG//PFD.進而知足AG1AP的點G為所求．-----------------------------14分420．（本小題滿分14分）已知函數f(x)1b(a1)lnx,(a,bR)，g(x)2eaxex.x2（Ⅰ）若函數f(x)在x2處獲得極小值0，求a,b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對隨意x1,x2e,e2，總有f(x)g(x)；12（Ⅲ）求函數f(x)的單一遞加區(qū)間.解：（Ⅰ）函數f(x)的定義域為(0,)，f(x)a1a1x2xf(2)a1a1042由題意得，1f(2)2a(a1)ln20b2a1,b3ln21.經查驗切合題意.---------------------------------------------5分222（Ⅱ）f(x)113x23x2(x2)(x1)，當x[e,e2]時，f(x)0，2x22x2x22x2因此f(x)在[e,e2]上單一遞加，因此f(x)minf(e)e13ln2222e2g(x)，當x[e,e2]時，g(x)0，g(x)在[e,e2]上單一遞減，因此eg(x)maxe2.-g(e)23ln1由于f(x)ming(x)max20，2e因此對隨意x1,x2[e,e2]，總有f(x1)g(x2)-------------------------------------10分（Ⅲ）f(x)ax2(a1)x1(ax1)(x1)x2x2.（1）當a0時，由f(x)0得，0x1；（2）當a0