靜矩及其性質(zhì)

關(guān)于靜矩及其性質(zhì)1第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四2§7-1靜矩和形心一、簡單圖形的靜矩（面積矩）1、定義：dA對y軸的微靜矩:2、量綱：［長度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對z軸的微靜矩:3、靜矩的值可以是正值、負值、或零。第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四34、靜矩和形心的關(guān)系可知靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式結(jié)論：圖形對過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四4求圖形對y、z

軸的靜矩第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四5二、簡單圖形的形心1、形心坐標(biāo)公式：2、形心確定的規(guī)律：（1）圖形有對稱軸時，形心必在此對稱軸上。（2）圖形有兩個對稱軸時，形心必在此兩對稱軸的交點處。第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四6三、組合圖形（由若干個基本圖形組合而成的圖形）的靜矩：四、組合圖形的形心：

利用基本圖形的結(jié)果，可使組合圖形的形心計算簡單基本圖形----指面積、形心位置已知的圖形第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四71、水線面計算如下圖示水線面，可應(yīng)用梯形法或辛普生法列表計算

L=147.18米，l=L/20=7.359米船舶專業(yè)中的應(yīng)用第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四82、橫剖面計算（橫剖面形心垂向坐標(biāo)）在x處取dx薄層，則對平面yoz和xoy的靜矩分別為：zA為As的形心坐標(biāo)第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四93、橫剖面面積曲線

~特性:1)2)Saeda的形心坐標(biāo)等于xB3)e第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四104、排水體積和浮心坐標(biāo)可列表進行計算第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四11例試確定下圖的形心。801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法1：1)、建立坐標(biāo)如圖示，分割圖形2)、求形心第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四12801201010c(-20.3;34.7)解法二：1)、分割圖形及建立坐標(biāo)系，如圖所示zy2)、求形心第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四13解法三：負面積法求形心：80120101010zy第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四14§7-2

慣性矩和慣性積一、簡單圖形的慣性矩1、定義：dA對z軸的慣性距:dA對y軸的慣性距:2、量綱：m4、mm4。yzdAzyo3、慣性矩是對軸而言（軸慣性矩）。4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對o點而言）圖形對z軸的慣性矩:圖形對y軸的慣性矩:第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四156、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：

圖形對任一對相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩。yzdAzyo第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四16bhzccyc7、簡單圖形慣性矩的計算⑴

圓形截面：實心（直徑D）——空心（外徑D，內(nèi)徑d）——⑵矩形截面：bdyhdzzcycc第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四17二、慣性半徑：三、簡單圖形的慣性積1、定義：2、量綱：［長度］4，單位：m4、mm4。3、慣性積是對軸而言。4、慣性積的取值為正值、負值、零。yzdAzyo5、規(guī)律：

兩坐標(biāo)軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標(biāo)軸的慣性積為零。工程上，經(jīng)常把慣性矩寫成圖形面積與某一長度平方的乘積，即第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四18例2

求圖示矩形的yzbhzdzc第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四19思考：bhy第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四20例3

求圖示圓形的yzd第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四21例4

求圓環(huán)圓形的dDyz第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四22三、組合圖形的慣性矩及慣性積

根據(jù)定義可知，組合圖形對某坐標(biāo)軸的慣性矩等于各個簡單圖形對同一軸的慣性矩之和；組合圖形對于某一對正交坐標(biāo)軸的慣性積等于各個簡單圖形對同一對軸的慣性積之和。用公式可表示為式中，、、分別為第個i簡單圖形對y軸和z軸的慣性矩和慣性積。第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四23解：zyoyczcczcyc已知：圖形截面積A，形心坐標(biāo)yc、zc

、Izc、Iyc、a、b已知。Zc軸平行于z軸；yc軸平行于y軸。求：Iz、Iy?！?-3

平行移軸公式一、平行移軸公式第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四24二、組合圖形的慣性矩和慣性積注意：ZC、YC

為形心坐標(biāo)。

a、b為圖形形心在yoz坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負，，zyoyczcczcyc——平行移軸公式

根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四25例

求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。解：§A-1xyb(y)ycCdxc第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四262、求對形心軸xc

的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四27例

試求圖a

所示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。1、矩形對x

軸的慣性矩：2、一個半圓對其自身形心軸xc

軸的慣性矩（見上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四283、一個半圓對x

的慣性矩由平行移軸公式得：4、整個截面對于對稱軸x的慣性矩：xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四29§7-4轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

dA

在坐標(biāo)系ozy和坐標(biāo)系oz1y1的的坐標(biāo)分別為（z，y

）和（z1，

y1

）代入慣性矩的定義式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11已知：A、Iz、Iy、Izy、α。

求：Iz1、Iy1、Iz1y1。第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四30

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：的符號為：從z軸至z1軸逆時針為正，順時針為負。zyOzyazya11ABCDEdAzy11第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四31

上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩將前兩式相加得zyOzyazya11ABCDEdAzy11第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四32第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四33

例：求矩形對軸、的慣性矩和慣性積

解:矩形對y、z軸的慣性矩和慣性積分別為yzabO第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四34

從本例的結(jié)果可知，當(dāng)矩形變?yōu)檎叫螘r，即在a=b時，慣性矩與角無關(guān)，其值為常量，而慣性積為零。這個結(jié)論可推廣于一般的正多邊形，即正多邊形對形心軸的慣性矩的數(shù)值恒為常量，與形心軸的方向無關(guān)，并且對以形心為原點的任一對直角坐標(biāo)軸的慣性積為零。

討論：當(dāng)a＝b時，結(jié)果如何？第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四35令§7.5主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四36可求得和兩個角度，從而確定兩根軸y0,，z0。由求出代入轉(zhuǎn)軸公式可得：第三十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期四372、主慣性矩（主矩）：

圖形對主軸的慣性矩Iz0、Iy0

稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。3、形心主慣性軸（形心主軸）：

如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（Izcyc=0。zc、yc

為形心軸。zc、yc

為形心主軸）。4、形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩。（Izc、Iyc）。由此引出幾個概念：1、主慣性軸（主軸）：y0,z0

如果圖形對過某點的某一對坐標(biāo)軸的慣性積為零，則該對軸為圖形過該點的主慣性軸。（，

軸為主軸）。第三十七頁，共三十八頁，編輯于