全國高中數學聯合競賽試題解答4

2002年全國高中數學結合比賽一試一、選擇題：本大題共6個小題，每題6分，共36分。2002*1、函數f(x)log1(x22x3)的單一遞加區(qū)間是2A.,1B.,1C.1,D.3,◆答案：A★分析：由x22x30解得x1或x3，由復合函數的單一性可得選A2002*2、若實數x,y知足(x5)2(y12)2142，則x2y2的最小值為。A.2B.1C.3D.2◆答案：B★分析：(x5)2(y12)2142能夠當作以5,12為圓心，14為半徑的圓，x2y2表示圓上13，因此x2y21321，應選B的點到原點的距離的平方，因為圓心到原點的距離為142002*3、函數f(x)xx12x2A.是偶函數但不是奇函數B.是奇函數但不是偶函數C.既是偶函數又是奇函數D.既不是偶函數也不是奇函數◆答案：A★分析：計算出f(x)的表達式整理到最簡后對照即可發(fā)現，2002*4、直線xy1與橢圓x2y21訂交于A,B兩點，該橢圓上點P，使得PAB面積等43169于3，這樣的點P共有A.1個B.2個C.3個D.4個◆答案：B★分析：設P14cos,3sin(0)，即點P1在第一象限的橢圓上，如圖，考慮四邊形P1AOB2的面積S。可得S62sin，可知Smax62，又SOAB64可知SP1ABmax6263因此點P不行能在直線AB的上方，明顯在直線AB的下方有兩個點P，應選B。2002年全國高中數學結合比賽試題第1頁共10頁2002*5、已知兩個實數會合Aa1,a2,,a100與Bb1,b2,,b50，若從A到B的映照f使得B中每個元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)則這樣的映照共有A.C10050個B.C9948個C.C10049個D.C9949個◆答案：D★分析：不如設b1b2b50，將A中元素a1,a2,,a100按次序分為非空的50組，定義映照f:AB，使得第i組的元素在f之下的象都是bi(i1,2,,50)，易知這樣的f知足題設要求，每個這樣的分組都一一對應知足條件的映照，于是知足題設要求的映照f的個數與A按足碼次序分為50組的分法數相等，而A的分法數為C9949，則這樣的映照共有C9949，應選D。2002*6、由曲線x24y,x24y,x4,x4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V1；知足x2y216,x2(y2)24,x2(y2)24的點(x,y)構成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V2，則（）。A.V11V2B.V12V223C.V1V2D.V12V2◆答案：C★分析：如圖，兩圖形繞y軸旋轉所得的旋轉體夾在兩相距為8的平行平面之間，用隨意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉體，設截面與原點距離為y，則所得截面面積∵S1424y,S242y222y24y42∴S1S2由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等。應選C。二、填空題：本大題共6小題，每題9分，共54分。2002*7、已知復數z1,z2知足z12,z23,若它們所對應向量的夾角為600,則z1z2z1z2133◆答案：7★分析：由余弦定理得z1z219,z1z27,可得z1z2=133z1z272002年全國高中數學結合比賽試題第2頁共10頁2002*8、將二項式

1nx的睜開式按x的降冪擺列，若前三項系數成等差數列，42x則該睜開式中x的冪指數是整數的項共有個◆答案：3★分析：不難求出前三項的系數分別是1,1n,1n(n1)，28∵21n11n(n1)281163r∴當n8時，rr4()Tr1Cn(2)xr0,1,2,,8∴因此當r0,4,8時,x的冪指數是整數，即有3項。2002*9、如圖，點P1,P2,P10分別是四周體極點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組P1,Pi,Pj,Pk（1ijk10）有個?！舸鸢福?3★分析：第一，在每個側面上除P1點外另有五個點，此中隨意三點組添加點P1后構成的四點組都在同一個平面，這樣三點組有C53個，三個側面共有3C53個。其次，含P1的每條棱上三點組增添底面與它異面的那條棱上的中點構成的四點組也在一個平面上，這樣的四點組有3個，∴共有3C53333個。2002*10、已知f(x)是定義在R上的函數，f(1)1且對隨意xR都有f(x5)f(x)5，f(x1)f(x)1。若g(x)f(x)1x，則g(2002)◆答案：1★分析：由g(x)f(x)1x得f(x)g(x)x1，已知不等式即為g(x5)g(x)，g(x1)g(x)，又g(x)g(x5)g(x4)g(x3)g(x2)g(x1)因此g(x1)g(x)，即g(x)的周期為，因此g(2002)g(1)f(1)11112002*11、若log4(x2y)log4(x2y)1，則xy的最小值是◆答案：3x2y0x2|y|0★分析：由已知方程等價于x2y0，即x24y24(x2y)(x2y)42002年全國高中數學結合比賽試題第3頁共10頁由對稱性只考慮y0，因為x0，因此只須求xy的最小值。令xyt代入x24y24中有3y22ty4t20，因為yR因此0，解得t3∴當x43，y3時，t3，故xy的最小值是3332002*12、使不等式sin2xacosxa21cosx對全部xR恒建立的負數a的取值范圍是◆答案：,2★分析：因為sin2xacosxa21cosx對全部xR恒建立，212即cosxa1a2a（a0）24因此當cosx1時，函數y(cosxa1)2有最大值(1a1)222即(1a1)2a2(a1)2，即a2a20，解得a2或a124又a0，因此a2，即所求負數a的取值范圍是,2。三、解答題：本大題共3小題，每題20分，共60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。2002*13、（此題滿分20分）已知點A(0,2)和拋物線y2x4上兩點B,C使得ABBC，求點C的縱坐標的取值范圍。★分析：設B點坐標為By124,y1，C點的坐標為Cy224,y2，明顯y1240，故kABy121，y124y12由ABBC，得kBCy12yy1(y12)[x(y124)](2y)y1(2y1)0∴x4，得y12y22002年全國高中數學結合比賽試題第4頁共10頁又y1R，因此0，解得y0或y4∴當y0時，點B的坐標為3,1；當y4時，點B的坐標為5,3，均知足題意。故點C的縱坐標的取值范圍為,04,。2002*14、（此題滿分20分）如圖，有一列曲線P0,P1,P2,已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk1是對Pk進行以下操作獲得：將Pk的每條邊三平分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k0,1,2,）。記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積。（1）求數列Sn的通項公式；（2）求limSn.n★分析：①對P0進行操作，簡單看出P0的每條邊變?yōu)镻1的4條邊，故P1的邊數為34；相同，對P1進行操作，P1的每條邊變?yōu)镻2的4條邊，故P2的邊數為342，進而不難獲得Pn的邊數為34n，已知P0的面積為S01，比較P1與P0，簡單看出P1在P0的每條邊上增添了一個小等邊三角形，其面積為1，而P0有3條邊，故S1S031113232311再比較P2與P1，簡單看出P2在P1的每條邊上增添了一個小等邊三角形，其面積為22，而11433P1有34條邊，故S2S1341，近似地有34333S3S23421114423633335因此Sn1442415593事實上(※)能夠用數學概括法證明：①當n1時，由上邊已知(※)式建立，

n(※)假定當nk時，有Sk83(4)k5592002年全國高中數學結合比賽試題第5頁共10頁當nk1時，易知第k1次操作后，比較Pk1在Pk的每條邊上增添了一個小等邊三角形，k1其面積為1，而Pk有34n條邊。故Sk1Sk34k183432(k1)32(k1)559綜上所述，對任何nN，(※)式建立。②limSnlim[83(4)n]8nn55952002*15、（此題滿分20分）設二次函數f()ax2bxc(a,b,cR，a0)知足條件：x（1）當xR時,f(x4)f(2x),且f(x)x;x12（2）當x(0,2)時，f(x);2（3）f(x)在R上的最小值為0.求最大的m(m1)，使得存在tR，只需x1,m，就有f(xt)x?！锓治觯阂驗閒(x4)f(2x)，知函數f(x)的圖象對于x1對稱即b1解得b2a；2a由③知當x1時,y0，即abc0；由①得f(1)1，由②得f(1)1，因此f(1)1，即abc1聯立以上三個式子解得a1,b1,c1，因此f(x)1x21x1。424424假定存在tR，只需x1,m，就有f(xt)x。取x1時，有f(t1)1，即1t121t111解得4t0，424下邊對固定的t4,0，取xm，有f(m1)m，即1m121m11m，424即m2(1t)m(t22t1)0，解得1t4tm1t4t，注意到1t4t1(4)169當t4時，對隨意的x1,9，恒有f(x4)x1(x1)(x9)0因此m的最大值為9。42002年全國高中數學結合比賽試題第6頁共10頁2002年全國高中數學結合比賽二試2002*一、（此題滿分50分）如圖，在ABC中，A600，ABAC，點O是外心，兩條高BE,CF交于H點，點M、N分別在線段BH,HF上，且知足BMCN，求MHNH的值?！锓治觯涸贐E上取BKCH，連結OB,OC,OK，OH由三角形外心的性質知BOC2A1200;由三角形垂心的性質知BHC1800A1200,∴BOCBHCB,C,H,O四點共圓.∴OBHOCH,OBOC,BKCHBOKCOH.∵BOKBOC1200，OKHOHK300.察看KHOHKH3OHOKH知得sin120sin30又∵BMCN,BKCH，∴KMNH∴MHNHMHKMKH3OHMHNH=3.OH2002*二、（此題滿分50分）實數a,b,c和正數，使得f(x)x3ax2bxc0有三個實根x1,x2,x3，且知足：⑴x2x1⑵x3x1x222a327c9ab33求32?！锓治觯骸遞(x)f(x)f(x)(xx)x2(ax)xx2ax3b33332002年全國高中數學結合比賽試題第7頁共10頁∴x1,x2是方程x2(ax3)xx32ax3b的兩個根x2x1∴ax324x32ax3b2，即3x322ax324ba20∵x3x1x22∴x31[a4a21232](Ⅰ)，且4a212b320(Ⅱ)3b∵f(x)x3ax2bxc(xa)3(a2b)(xa)2a3c1ab333273∵f(x3)0，∴1ab2a3c(x3a)3(a2b)(x3a)(Ⅲ)327333由(Ⅰ)得x3a14a212b32]23a2b233334記pa2b，由(Ⅱ)和(Ⅲ)可知p2且1ab2a3c23p2(p2)343279420且1ab2a323y(y232)令yp，則yc432794∵y332y2=y332y()3322(y)2(y)04442421ab2a3c332a327c9ab33∴2718323∴取a23,b2c0,2，則f(x)x3ax2bxc0有根31，31，0明顯假定條件建立，且2a327c9ab1(483363)33382綜上所述2a327c9ab3350分3的最大值是22002年全國高中數學結合比賽試題第8頁共10頁2002*三、（此題滿分50分）在世界杯足球賽前，F國教練為了觀察A1,A2,,A7這七名，準備讓他們在三場訓練比賽(每場90分鐘)都上場，假定在比賽的任何時刻，這些中有且僅有一人在場上，而且A1,A2,A3,A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除，假如每場換人次數不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不一樣的狀況?！锓治觯涸O第i名隊員上場的時間為xi分鐘(i1,2,3,,7)，問題即轉變?yōu)椋呵蟛欢ǚ匠蘹1x2x7270①在條件7|xi(i1,2,3,4)且13|xj(j5,6,7)下的正整數解的級數。47若x1,x2,,x7是知足條件①的一組正整數解，則應有xi7m，xj13n（m,nN）i1j5∴m,n是不定方程7m13n270②在條件m4且n3下的一組正整數解。∵7m413n3203，令m/m4,n/n3有7m/13n/203③∴求②知足條件m4且n3的正整數解等價于求③的非負整數解?！咭撞炜吹?213(1)1，∴740613(203)203，即m0406,n0203m0=406是③的整數解∴③的整數通解為m/40613k,n/2037k此中kZ令m/40613k0,n/2037k0,解得29k31，取k29,30,31獲得③知足條件的三組非負整數解：m29m16m3n0、n、n，714m33m20m7進而獲得②知足條件的三組正整數解：n3、10、n17，n1)當m33,n3時，明顯x5x6x713僅有一種可能，又設xi7yi(i1,2,3,4)，于是由不定方程y1y2y3y44134960組正33有C331C32整數解?！啻藭r①有知足條件的C3234960組正整數解。2)在m20,n10時，設xi7yi(i1,2,3,4)，xj7yj(j5,6,7)于是由不定方程y1y2