北航空氣動力學

北航空氣動力學第1頁/共188頁2010年版本第2章流體運動學和動力學基礎

2.1描述流體運動的方法2.1.1兩種描述方法2.1.2歐拉法的加速度表達式2.1.3流線、流管、流面與流量2.2流體微團運動的分析2.3理想流體運動微分方程組2.3.1連續(xù)方程2.3.2Euler運動微分方程組2.3.3Bernoulli積分及其物理意義2.3.4Bernoulli方程的應用2.4流體運動的積分方程2.4.1Lagrange型積分方程2.4.2Reynolds輸運方程2.4.3Euler型積分方程2.5環(huán)量與渦2.5.1環(huán)量與渦的概念2.5.2環(huán)量與渦量的關系2.5.3渦的誘導速度2.5.3理想流中的渦定理第2頁/共188頁2010年版本2.1描述流體運動的方法2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法連續(xù)介質(zhì)假設：流體是由質(zhì)點組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多的流體質(zhì)點，當其發(fā)生運動時，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點的運動行為，將是流體運動學必須回答的問題。描述流體運動的方法有兩種。第3頁/共188頁2010年版本2.1描述流體運動的方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點法）

Lagrange(1736-1813)，法國數(shù)學家、物理學家，分析力學的創(chuàng)始人，曾被拿破侖稱為“數(shù)學科學高聳的金字塔”。在該方法中，觀察者著眼于個別流體質(zhì)點的流動行為，通過跟蹤每個質(zhì)點的運動歷程，從而獲得整個流場的運動規(guī)律。（跡線的概念）描述剛體運動常用的方法漂流瓶第4頁/共188頁2010年版本x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)

其中，a,b,c為流體質(zhì)點的標識符，用于區(qū)分和識別各質(zhì)點，可理解為某個時刻質(zhì)點存在的空間位置坐標。

t表示時間。a.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。

a.b.c給定，表示指定質(zhì)點的軌跡。

t給定，表示在給定時刻不同質(zhì)點的空間位置。

(警察抓小偷的方法)xyz·(a,b,c)2.1描述流體運動的方法第5頁/共188頁2010年版本質(zhì)點法—觀察者著眼于個別流體質(zhì)點，所獲取的第一手資料是流體質(zhì)點的軌跡2.1描述流體運動的方法第6頁/共188頁2010年版本對于給定流體質(zhì)點，速度表達式是流體質(zhì)點的加速度為2.1描述流體運動的方法第7頁/共188頁2010年版本流體質(zhì)點的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。跡線方程為2.1描述流體運動的方法第8頁/共188頁2010年版本2、Euler方法（歐拉方法，空間點法，流場法）

Euler(1707-1783)，瑞士數(shù)學家、物理學家，提出變分原理，建立了理想流體運動方程。在該方法中，觀察者相對于坐標系是固定不動的，著眼于不同流體質(zhì)點通過空間固定點的流動行為，通過記錄不同空間點流體質(zhì)點經(jīng)過的運動情況，從而獲得整個流場的運動規(guī)律。（引出流線概念）2.1描述流體運動的方法漂流瓶->水位測量第9頁/共188頁2010年版本2.1描述流體運動的方法 歐拉LeonhardEuler（1707－1783年）瑞士數(shù)學家.歐拉是世界史上最偉大的數(shù)學家之一.他從19歲就開始著書，直到76歲高齡仍繼續(xù)寫作.幾乎每個數(shù)學領域，都可以看到歐拉的名字.如初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、四次方程的歐拉解法、數(shù)論中的歐拉函數(shù)、微分方程的歐拉方程、級數(shù)論中歐拉常數(shù)、變分學的歐拉方程、復變函數(shù)論歐拉公式等。

1755年歐拉建立了理想不可壓流體運動的微分方程組（歐拉方程）。六年后，拉格朗日引入流函數(shù)的概念，建立了理想流體無旋運動所滿足的動力學條件，提出求解這類運動的復位勢法（第三章內(nèi)容）。第10頁/共188頁2010年版本其中，x,y,z為空間點的坐標。

t表示時間。x.y.z.t稱為歐拉變數(shù)。

x.y.z給定，t變化，表示不同時刻不同流體質(zhì)點通過同一空間點的速度。

t給定，x.y.z變化，表示給定時刻，不同流體質(zhì)點通過不同空間點的速度，給定速度場。

(守株待兔，看門房式的工作方法)2.1描述流體運動的方法第11頁/共188頁2010年版本2.1描述流體運動的方法第12頁/共188頁2010年版本應指出，空間點速度本質(zhì)上指的是t瞬時恰好占據(jù)該空間點的流體質(zhì)點所具有的速度。一個布滿了某種物理量的空間稱為場。流體流動所占據(jù)的空間稱為流場。如果物理量是速度，描述的是速度場。如果是壓強，稱為壓強場。在高速流動時，氣流的密度和溫度也隨流動有變化，那就還有一個密度場和溫度場。這都包括在流場的概念之內(nèi)。2.1描述流體運動的方法速度、壓力、溫度都不是物性參數(shù)，而是流動參數(shù)第13頁/共188頁2010年版本如果場只是空間坐標的函數(shù)而與時間無關則稱為定常場,否則為非定常場。對于定常速度場的表達為：一個速度場2.1描述流體運動的方法第14頁/共188頁2010年版本用歐拉法來描述流場時，觀察者直接測量到的是速度，那么在流體質(zhì)點的運動過程中，質(zhì)點的速度變化是如何引起的，怎樣正確表示流體質(zhì)點的加速度呢，以下面例子說明之。2.1描述流體運動的方法第15頁/共188頁2010年版本參看下圖，第1圖表示流體質(zhì)點從A流到B速度不變；第2圖表示流體質(zhì)點從A流到B點，因水位下降引起速度減小；第3圖表示流體質(zhì)點從A流到B點，因管道收縮引起速度增加；第4圖表示流體質(zhì)點從A流到B點，因水位下降和管道收縮引起速度的變化。水位下降表示流場的非定常性，管道收縮表示流場的不均勻性。由此可見，一般情況下引起流體質(zhì)點速度的變化來自于兩方面的貢獻：其一是流場的不均勻性，其二是流場的非定常性。2.1描述流體運動的方法進入較冷的山洞的同時，有朋友用雪球砸到脖子第16頁/共188頁2010年版本設速度函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，現(xiàn)在來求加速度。設某一流體質(zhì)點在t時刻位于流場中M點，經(jīng)過微分時段位于N點，根據(jù)加速度定義有2.1.2歐拉法的加速度表達式當?shù)仉S時間的變化，非定常性當時隨空間的變化，非均勻性第17頁/共188頁2010年版本根據(jù)泰勒級數(shù)展開，流場非定常性引起的速度變化為2.1.2歐拉法的加速度表達式第18頁/共188頁2010年版本由于流場不均勻性引起的速度變化為2.1.2歐拉法的加速度表達式M點為(x,y,z)，N點為(x+Δx,y+Δy,z+Δz)第19頁/共188頁2010年版本由于流場不均勻性引起的速度變化為2.1.2歐拉法的加速度表達式第20頁/共188頁2010年版本綜合起來，得到流體質(zhì)點的全加速度為2.1.2歐拉法的加速度表達式哈密頓算子：第21頁/共188頁2010年版本等式右邊第1項表示速度對時間的偏導數(shù)，是由流場的非定常性引起的，稱為局部加速度，或當?shù)丶铀俣龋挥疫叺?項表示因流體質(zhì)點位置遷移引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或?qū)α骷铀俣?。二者的合成稱為全加速度，或隨體加速度。寫成分量形式為2.1.2歐拉法的加速度表達式第22頁/共188頁2010年版本算子表示隨流體質(zhì)點運動的導數(shù)，稱隨體導數(shù)。除速度外，對流場中其它變量也成立。如對于壓強p，有2.1.2歐拉法的加速度表達式第23頁/共188頁2010年版本如果流動參數(shù)是一維空間流程坐標s和時間

t的函數(shù)，速度場為v（s,t）。則全加速度表示為：vs2.1.2歐拉法的加速度表達式第24頁/共188頁2010年版本根據(jù)上述分析，可得出以下各圖中的加速度表達式。2.1.2歐拉法的加速度表達式第25頁/共188頁2010年版本在某一瞬時t，從流場中某點出發(fā)，順著這一點的速度指向畫一個微分段到達鄰點，再按鄰點在同一瞬時的速度指向再畫一個微分段，一直畫下去，當取微分段趨于零時，便得到一條光滑的曲線。在這條曲線上，任何一點的切線方向均與占據(jù)該點的流體質(zhì)點速度方向指向一致，這樣曲線稱為流線。在任何瞬時，在流場中可繪制無數(shù)條這樣的流線。流線的引入，對定性刻畫流場具有重要意義。2.1.3流線、流管、流面與流量時間t固定第26頁/共188頁2010年版本由于流線上各點的切線方向與該點的速度方向一致，則流線上的切線方向的三個余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量與合速度組成的三個方向余弦相同。表示為微分的關系是稱為流線微分方程2.1.3流線、流管、流面與流量在拉格朗日體系下的跡線方程：（歐拉體系下）第27頁/共188頁2010年版本流線是反映流場瞬時流速方向的曲線。其是同一時刻，由不同流體質(zhì)點組成的。與跡線相比，跡線是同一質(zhì)點不同時刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質(zhì)：（1）在定常流動中，流體質(zhì)點的跡線與流線重合。

在非定常流動中，流線和跡線一般是不重合的。（2）在定常流動中，流線是流體不可跨越的曲線。

（虛擬邊界）2.1.3流線、流管、流面與流量第28頁/共188頁2010年版本（3）在常點處，流線不能相交、分叉、匯交、轉(zhuǎn)折，

流線只能是一條光滑的曲線。也就是，在同一

時刻，一點處只能通過一條流線。（4）在奇點和零速度點例外。2.1.3流線、流管、流面與流量第29頁/共188頁2010年版本與流線密切相關的，是流管和流面兩個概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成。在三維流動里，經(jīng)過一條有流量穿過的封閉曲線的所有流線圍成封閉管狀曲面稱為流管。2.1.3流線、流管、流面與流量第30頁/共188頁2010年版本由流線所圍成的流管也正像一根具有實物管壁一樣的一根管子，管內(nèi)的流體不會越過流管流出來，管外的流體也不會越過管壁流進去。

流面是由許多相鄰的流線連成的一個曲面，這個曲面不一定合攏成一根流管。當然流管的側(cè)表面也是一個流面。不管合攏不合攏，流面也是流動不會穿越的一個面。2.1.3流線、流管、流面與流量第31頁/共188頁2010年版本流量是單位時間內(nèi)穿過指定截面的流體量（體積、質(zhì)量或重量），例如穿過上述流管中任意截面A的體積流量、質(zhì)量流量和重量流量可分別表為其中，是局部速度向量，是密度，

是微元面積的法線向量2.1.3流線、流管、流面與流量第32頁/共188頁2010年版本2.2流體微團運動的分析2.2.1流體微團的基本運動形式在理論力學中，研究對象是質(zhì)點和剛體（無變形體），它們的基本運動形式可表示為：（1）質(zhì)點運動（無體積大小的空間點）只有平移運動（平動）；（2）剛體運動（剛體具有一定體積大小，但無變形）

除平移運動外，還有整體的旋轉(zhuǎn)運動（轉(zhuǎn)動）第33頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

在流體力學中，研究對象是質(zhì)點和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運動形式除包括了剛體的運動形式外，還有變形運動。變形運動包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長伸縮線變形運動，其二是引起體積形狀變化的角變形運動。由此可得變形體的基本運動形式包括：（1）平動（2）轉(zhuǎn)動（3）線變形運動（4）角變形運動第34頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

平動轉(zhuǎn)動（角平分線轉(zhuǎn)動）線變形運動角變形運動（角平分線不動）第35頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

為便于分析，在流場中任取一平面微團分析。根據(jù)泰勒級數(shù)展開，微分面四個頂點的速度可表示如下。第36頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

（1）各頂點速度相同的部分，為微團的平動速度。

（u,v,w）（2）線變形速率線變形運動是指微元體各邊

長發(fā)生伸縮的運動。線變形速率定義為單位

時間單位長度的線變形量。如對于AB邊長，

在微分時段內(nèi)邊長的增加量為第37頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

由此得到x方向的線變形速率(單位時間、單位長度)為同理，在y方向的線變形速率為第38頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

平面微團的面積變化率為div

散度第39頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

（3）角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度在微分時段內(nèi)，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉(zhuǎn)動有關。在微分時段內(nèi)，AB邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時針為正）第40頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

在微分時間內(nèi)，AC邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時針為負）第41頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

平面微團夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉(zhuǎn)動部分和角平分線不動兩邊相對偏轉(zhuǎn)同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示。第42頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

設在微分時段內(nèi)，平面微團角平分線轉(zhuǎn)動角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關系可得解出可得第43頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

定義，平面微團的旋轉(zhuǎn)角速度（單位時間的旋轉(zhuǎn)角度）為平面微團的角變形速率（單位時間單邊角變形量）為注意負號和1/2第44頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

對于三維六面體微團而言，其運動形式同樣可分為：平動、轉(zhuǎn)動和變形運動，類似平面微團很容易導出相關公式。此處不再推導，以下直接給出。流體微團平動速度：第45頁/共188頁2010年版本2.2.1流體微團的基本運動形式

流體微團線變形速率：

流體微團角變形速率（剪切變形速率）：流體微團旋轉(zhuǎn)角速度：第46頁/共188頁2010年版本2.2.2流體微團速度分解定理

德國物理學家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團的運動形式。設在流場中，相距微量的任意兩點，按泰勒級數(shù)展開給出分解。在速度為第47頁/共188頁2010年版本2.2.2流體微團速度分解定理

在點處，速度為第48頁/共188頁2010年版本2.2.2流體微團速度分解定理

按泰勒級數(shù)展開有式中第一項和M0點的速度相同，是微團的整體移動速度。第二、三項是角速度；第四項是線變形率；第五、六項是角變形率。說明微團運動同時包含平動，轉(zhuǎn)動和變形（線變形和角變形）。微團運動＝平動＋線變形（拉伸）＋角變形＋角速度（轉(zhuǎn)動）第49頁/共188頁2010年版本2.2.2流體微團速度分解定理

第50頁/共188頁2010年版本

2.2.2流體微團速度分解定理

應指出的是，實際流體微團的運動可以是一種或幾種運動的組合。如，（1）對于均速直線運動，流體微團只有平動，

無轉(zhuǎn)動和變形運動。（2）無旋流動，流體微團存在平動、變形運動，但無轉(zhuǎn)動。

（3）旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)的流體運動，流體微團存在平

動和轉(zhuǎn)動，但無變形運動。第51頁/共188頁2010年版本2.2.2流體微團速度分解定理

應指出的是，剛體的速度分解定理和流體微團的速度分解定理除了變形運動外，還有一個重要的差別。剛體速度分解定理是對整個剛體都成立，因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對流體微團成立，因它是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫整個剛體轉(zhuǎn)動的一整體特征量，在剛體上任意一點都是不變的，而流體的旋轉(zhuǎn)角速度是刻畫局部流體微團轉(zhuǎn)動的一個局部性特征量，在不同點處微團的旋轉(zhuǎn)角速度不同。第52頁/共188頁2010年版本2.2.3散度及其意義

回顧：二維情況下，平面微團的面積變化率三個相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，符號為divV，即散度在流體力學里表示流體微團的相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）。散度可以看成是哈密頓算子和速度的向量點乘第53頁/共188頁2010年版本2.2.3散度及其意義

為說明此點可取一簡單的矩形微元六面體來看，設六面體的三邊原長分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt時間后三個邊長分別變?yōu)椋旱?4頁/共188頁2010年版本2.2.3散度及其意義

則相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）為：第55頁/共188頁2010年版本2.2.3散度及其意義

質(zhì)量守恒：流體微團在運動中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流動里，微團的體積不變，其速度的散度必為零。如果是密度有變化的流動，那么散度一般地不等于零。第56頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

業(yè)已知道，流體微團繞自身軸的旋轉(zhuǎn)角速度的三個分量為ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示為這個值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。旋度可以看成是哈密頓算子和速度的向量叉乘的二分之一xyzωxωyωz第57頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

一個流場，如果各處的ω都等于零，這樣的流場稱為無旋流場，其流動稱為無旋流。否則為有旋流場，其流動稱有旋流。根據(jù)數(shù)學上Stokes定律如果是無旋流場，那么其旋度為零，由此得到說明此時速度場的曲線積分與路徑無關，僅是坐標位置的函數(shù)。第58頁/共188頁在數(shù)學分析里，上式是式成為全微分的必要和充分條件之所以提出無旋場的概念，是因為無旋場在作理論研究時有很大的意義。無旋流多了一個的限制條件。這個條件可以寫為：2.2.4旋度和位函數(shù)

第59頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

上式中這個函數(shù)稱為速度勢函數(shù)或速度位，其存在的充分必要條件是無旋流動。在數(shù)學上表示下列微分代表某個函數(shù)的全微分，即第60頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

速度勢函數(shù)僅是坐標位置和時間的函數(shù)。即速度勢函數(shù)與速度分量的關系為說明速度勢函數(shù)在某個方向的偏導數(shù)等于速度矢量在那個方向的分量。類比徹體力的勢函數(shù)SxyzuVvwvs第61頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

一個無旋流場一旦知道了它的位函數(shù)的具體函數(shù)，按這個式子就可以算出流場上任何一點的流速來。對于無旋場而言，問題由求解具有三個分量的速度場，變?yōu)榍蠼庖粋€位函數(shù)

位函數(shù)的絕對值沒有太大意義但其差值有意義。對于無旋流，沿一條連接A、B兩點的曲線進行速度的線積分，結(jié)果只與二端點的Φ值之差有關而與積分路徑無關。即：第62頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

例2.1設有一個二維流場其速度分布的式子是

,問這個流動是有旋的還是無旋的？有沒有速度位存在？流線方程是什么？變形率的是什么？解：流體微團繞z軸的旋轉(zhuǎn)角速度為流動無旋，存在速度勢函數(shù)。

流線方程為第63頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

積分得常數(shù)C取一系列的值畫得一系列的流線，見下圖。流體微團線變形率：角變形率：第64頁/共188頁2010年版本2.2.4旋度和位函數(shù)

考察矩形微團ABCD，在如圖流場中將從左上方流向右下方，由于流動無旋微團不轉(zhuǎn)動；由于相對體積膨脹率為零，x方向線段有縮短，y方向線段必有拉伸，流動過程中矩形微團面積保持不變；流體微團無角變形。A’’B’’C’’D’’A’B’C’D’DCABxy0第65頁/共188頁2010年版本2.3理想流體運動微分方程組

2.3.1連續(xù)方程

連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學中具體表達形式。以下針對一個微分六面體推導微分形式的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運動的行為，與動力無關，因此適應于理想流體和粘性流體?，F(xiàn)在流場中劃定一個邊長分別為dx，dy，dz的矩形六面體，這個體的空間位置相對于坐標系是固定的，不隨時間變化，被流體所通過。第66頁/共188頁2010年版本2.3.1

連續(xù)方程

1.選取一個形狀為六面體的微元做為控制體2.假設六面體中心點坐標為（x，y，z）。在t時，過中心點流體微團的三個分速是u，v，w，密度是ρ。在t瞬時，過該點處通過垂直于x軸單位面積的流體流量為ρu（又稱為密度流），如果把這個量看作為空間和時間的函數(shù)，則根據(jù)泰勒級數(shù)展開，在dt時段內(nèi)，從ABCD面進入的流體質(zhì)量為：xzyABCDA’B’C’D’質(zhì)量流量的定義？第67頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

3.在dt時段內(nèi)，從A’B’C’D’面流出的流體質(zhì)量為4.在dt時段內(nèi)，由x面儲存在在微分六面體的流體質(zhì)量為（凈流入量）第68頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

5.同理可得，在dt時段內(nèi)，由y,z面儲存在微分六面體的流體質(zhì)量為

6.由此可得，在dt時段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為第69頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

7.由于ρ是空間位置和時間的函數(shù)，在dt時段內(nèi)，由于密度變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為8.根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在dt時段內(nèi)從側(cè)面凈流入微分六面體的總質(zhì)量應等于六面體內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時間變化的引起增量。即第70頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程。即:第71頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

連續(xù)方程的物理意義是：流體微元控制體密度的局部增長率與微元控制體單位體積流出的質(zhì)量流量之和等于零。

等于微元控制體上單位體積流出的質(zhì)量流量的原因在于，因為有高斯公式：（顯然當密度不變時，可將散度看成單位體積流出的體積流量）

第72頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椴豢蓧哼B續(xù)方程的物理意義是：不可壓縮流動流體微元的相對體積膨脹率保持為零，或從微元控制體流出的單位體積流量為零。1.不可壓指的是每個質(zhì)點的密度在流動過程中保持不變，但是這個流體質(zhì)點和那個流體質(zhì)點的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數(shù)，例如變密度平行流動。不可壓、均值與密度為常數(shù)的關系*第73頁/共188頁2010年版本2.3.1連續(xù)方程

2.而均值流體的定義是▽ρ＝0，即密度在空間上處處均勻，但不能保證隨時間不變化。3.只有既為不可壓縮流體，同時又是均值時，流體的密度才處處都是同一個常數(shù)。由不可壓條件得到，由均值流體條件得到

從而有。于是=C，即流體密度既不隨時間變化，也不隨位置發(fā)生遷移變化，在整個流場中是個常數(shù)。4.反過來，=C的流體必然滿足不可壓條件，是不可壓流體。第74頁/共188頁連續(xù)方程是流動首先應該滿足的基本關系。例如，速度場：滿足不可壓連續(xù)方程，能夠代表一個三維不可壓縮流動。則不能夠代表一個三維不可壓縮流動。而速度場：此外，還可以根據(jù)某方向的速度分布和連續(xù)方程，確定出其他方向的速度分布。2.3.1連續(xù)方程

第75頁/共188頁例：設不可壓縮流體在xoy

平面內(nèi)流動，速度沿x軸方向的分量u=Ax(A

為常數(shù))，求速度在

y

軸方向的分量v。解：對于不可壓縮流動，密度的隨體導數(shù)由微分形式連續(xù)方程：2.3.1連續(xù)方程

如果流動非定常，上式中函數(shù)f(x)則應為f(x，t)。而函數(shù)f(.)

的形式可任取。因此v

有無窮多個解。如果設v在x

軸上的分布為0即f(x)

＝0

，則：第76頁/共188頁2010年版本2.3.2Euler運動微分方程組

歐拉運動微分方程組是在不計流體粘性前提下推導出來的，該方程實質(zhì)上是微分形式的動量方程。在流場中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體微團來看，不計粘性力，表面力沒有切向力，僅有法向力（壓力）一種。xyz·Pdxdydz第77頁/共188頁2010年版本設六面體中心點坐標為(x,y,z)，相應該點處的流體要素為:1)壓強p(x,y,z,t)2)單位徹體力fxfyfz

3)速度u,v,w

4)密度ρ。

*暫不考慮溫度在微元體的左面，壓力為在微元體的右面，壓力為2.3.2Euler運動微分方程組

xyz·Pdxdydz微元六面體質(zhì)量力在x方向的分力為根據(jù)牛頓定律：x

方向合外力等于質(zhì)量乘以x方向加速度，得第78頁/共188頁2010年版本2.3.2Euler運動微分方程組

兩邊同除以微元體積的質(zhì)量dxdydz，取極限得到x方向的運動方程。為：請注意，這里寫成全加速度形式，是因為在上述分析過程中，在微分時段內(nèi)跟隨流體微團建立的?；蛘呖杀硎緸椋和砜傻闷渌鼉蓚€方向的運動方程。綜合起來，有第79頁/共188頁2010年版本2.3.2Euler運動微分方程組

上三式即為笛卡兒坐標系下理想流體運動的歐拉方程（1755年，歐拉）。表明了流體質(zhì)點的加速度等于質(zhì)量力減去壓力梯度。寫成另一種形式，為：矢量形式第80頁/共188頁歐拉方程規(guī)定了理想流的壓強變化與速度變化和徹體力之間的關系。我們不妨把速度的變化和徹體力的存在看作是壓強之所以有變化的原因，這兩個使壓強起變化的因素是彼此獨立的，對于壓強的作用是分開來計算的。

對于如圖的一維理想流動，利用牛頓定律很容易證明歐拉方程為：sV2.3.2Euler運動微分方程組

第81頁/共188頁2010年版本2.3.2Euler運動微分方程組

如果把加速度項重新組合，把加速度的遷移部分改寫，把角速度配成顯式，這樣的方程稱為格羅米柯-蘭姆型方程。如x方向的方程，有第82頁/共188頁2010年版本2.3.2Euler運動微分方程組

由此可得“格羅米柯形式”為寫成矢量形式為第83頁/共188頁2010年版本這個方程本質(zhì)上仍是在理想流體運動方程。其好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度項。便于分析無旋流動。

對于理想流體，可以無旋運動也可以有旋運動。只是對于理想流體，微團在運動過程中不會受到切向力的作用，因而流體微團在運動過程中不會改變它的旋度，如原來旋度為零的（即無旋流）在運動過程也保持無旋流；原來有旋的，繼續(xù)保持為有旋流，且其旋度不變。2.3.2Euler運動微分方程組

第84頁/共188頁對于理想正壓流體，在質(zhì)量力有勢條件下，假設為定常流動，有：這樣格羅米柯方程變?yōu)椋含F(xiàn)在流場中，任取一條光滑曲線dS，并將上式投影到曲線上，有：

2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第85頁/共188頁2010年版本這就是Bernoulli積分，或伯努利方程。上式表明，對于理想正壓流體的定常流動，在質(zhì)量力有勢條件下，單位體積流體微團沿著這條特定曲線s的勢能、壓能和動能之和不變，即總機械能不變。（1738年,Bernoulli）2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這樣在曲線上，下式成立：如果上式右邊項為零，有第86頁/共188頁2010年版本2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件，是（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因為，在此情況下（2）沿著任意一條渦線，Bernoulli積分成立。這是因為，在此情況下第87頁/共188頁2010年版本（3）在以下條件下，Bernoulli積分與所取的曲線無關，在整個流場中積分常數(shù)不變，等于同一個常數(shù)。

(a)靜止流場，

(b)無旋流場，有勢流動,

(c)流線與渦線重合，即螺旋流動,2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義注意Bernouli方程的適用范圍第88頁/共188頁2010年版本對于不可壓縮流體，在不計質(zhì)量力情況下，Bernoulli積分

變?yōu)椋喝绻|(zhì)量力只有重力，Bernoulli積分變?yōu)?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義如果兩邊同除以g，最后得到的能量方程形式為上式表示不可壓縮流體，在質(zhì)量力為重力作用下的能量方程。表明：單位重量流體所具有的勢能、壓能和動能之和不變。第89頁/共188頁2010年版本2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義y-----表示單位重量流體相對于基準面高度，稱為位置水頭；p/γ

----表示單位重量流體在絕對真空管中上升的高度，稱為壓強水頭；V2/2g---表示單位重量流體垂直上拋所能達到高度，稱為速度水頭；H---表示沿流線單位重量流體具有的總能量，稱總水頭。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx與靜力學中的平衡液體基本方程進行對比第90頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度v，假設小孔中心距自由面深為h解.由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度v0與小孔的出流速度相比可以忽略不計，流動可以假設是定常的。假設不計粘性損失。沿小孔中心點處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點處速度可以近似代表小孔速度vhpapa第91頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用此式也可是將流動看成是一維流動的結(jié)果，從而（由于實際上粘性不可忽略，實際速度將略低于上述理論值,有：，其中cv叫做速度系數(shù)，實驗表明cv＝0.97）第92頁/共188頁2010年版本測量低速氣流的速度時，用的風速管就是根據(jù)上述原理設計并由上式去計算風速的。風速管的構(gòu)造很簡單，見右下圖。2.3.4Bernoulli方程應用第93頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用總壓孔對準來流，來流撞在孔上速度降為零，相應的壓強達到了總壓p0

，而靜壓空處感受到的是靜壓。測量時不必分開量總壓和靜壓，只要把二者接在一根U形測壓計的兩支上，看二者的差（p0-p）就行了。第94頁/共188頁2010年版本第95頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用例.在海平面上，直勻流流過一個機翼，遠前方直勻流的靜壓p=p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三點的速度分別是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空氣在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假設流動無旋，求A、B、C三點的壓強直勻流對機翼的繞流第96頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用解:流動是無旋的，伯努利常數(shù)全流場通用。根據(jù)遠前方的條件得這就是通用于全流場的常數(shù)。于是第97頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用例有一種二維的繞其固定軸線的旋轉(zhuǎn)流動，其υθ正比于半徑r，即υθ=kr，如圖。試證伯努利常數(shù)C是r的函數(shù)。證:先沿著流線寫出伯努利方程 對半徑取導數(shù)：一種旋轉(zhuǎn)流動第98頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用法向壓力差必須平衡微團的離心力，故有左側(cè)的第二項是AD面和BC面上的壓力在r向的投影。略去微量的高次項，得代入的式子，并將代入，得第99頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用如果速度場是試證明，能量方程的積分常數(shù)對整個流場是不變的。Bernouli方程的積分常數(shù)，在什么情況下在整個流場范圍內(nèi)不變？第100頁/共188頁2010年版本2.3.4Bernoulli方程應用該流場實際上是一個無旋流場，能量方程積分常數(shù)不變。對于在流場中一個集中的旋渦，分渦核和渦核外的誘導流場。在渦核內(nèi)流體質(zhì)點像剛體一樣繞渦軸旋轉(zhuǎn)，其周向速度與r成正比，在渦核外的誘導流場是無旋運動，其周向速度與r成反比。第101頁/共188頁2010年版本2.4流體運動的積分方程2.4.1基本概念流體動力學是研究產(chǎn)生流體運動的原因。為此，我們必須解決三個方面的問題：（1）流體的運動學問題；（2）作用于流體上各種力的特征；（3）控制流體運動的普遍規(guī)律（質(zhì)量守恒、牛頓第二定律（動量守恒）、動量矩守恒、能量守恒等）第102頁/共188頁2010年版本流體動力學方程是將這些描述物質(zhì)運動的普遍規(guī)律，應用于流體運動的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運動各物理量之間的關系式，這些關系式就是流體動力學的基本方程，如果關系式是以積分形式給出，稱為流體動力學積分方程，如果是以微分形式給出，稱為微分方程。在流體動力學積分方程中，具體包括：

（1）連續(xù)方程；（2）動量方程；（3）動量矩方程；（4）能量方程2.4.1基本概念第103頁/共188頁2010年版本1、系統(tǒng)(System)定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質(zhì)的任何集合體，稱為系統(tǒng)。在流體力學中，系統(tǒng)是指由任何確定流體質(zhì)點組成的團體。系統(tǒng)的基本特點（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動；（2）在系統(tǒng)的邊界上沒有質(zhì)量的交換；（3）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。2.4.1基本概念第104頁/共188頁2010年版本2.4.1基本概念例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于系統(tǒng)上所有外力的合力。a指系統(tǒng)的平均加速度。系統(tǒng)對應于Lagrange觀點，即以確定的流體質(zhì)點系統(tǒng)作為研究對象，研究系統(tǒng)各物理量的關系。2、控制體（ControlVolume）定義：被流體所流過，相對于某個坐標系而言，固定不變的任何體積稱為控制體?？刂企w的邊界，稱為控制面。控制體是不變的，但占據(jù)控制體的流體質(zhì)點隨時間是變化的?？刂企w的基本特點第105頁/共188頁2010年版本（1）控制體的邊界相對于坐標系而言是固定的；（2）在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以流進、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換。例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于控制體邊界面上所有作用于流體上外力的合力?？刂企w對應Euler觀點，即以通過確定的體積流體質(zhì)點作為研究對象，研究控制體內(nèi)流體各物理量的關系。2.4.1基本概念第106頁/共188頁2010年版本2.4.1Lagrange型積分方程

現(xiàn)任取一體積，邊界表面積為S0的確定系統(tǒng)作為考察對象。（1）連續(xù)方程（質(zhì)量守恒）表示，在系統(tǒng)內(nèi)不存在源和匯的情況下，系統(tǒng)的質(zhì)量不隨時間變化。第107頁/共188頁2010年版本2.4.1Lagrange型積分方程（2）動量方程表示：系統(tǒng)的動量對時間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上的所有外力的合力。（3）動量矩方程表示：系統(tǒng)對某點的動量矩對時間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上所有外力對同一點力矩之和。第108頁/共188頁2010年版本（4）能量方程表示：單位時間內(nèi)由外界傳入系統(tǒng)的熱量Q與外界對系統(tǒng)所做的功W之和等于該系統(tǒng)的總能量E對時間的變化率。傳給系統(tǒng)的熱量：熱傳導和熱輻射。單位時間內(nèi)，由系統(tǒng)表面?zhèn)魅氲目偀醾鲗Я繛?.4.1Lagrange型積分方程第109頁/共188頁2010年版本單位時間內(nèi)，系統(tǒng)所吸收的熱輻射總量為單位時間內(nèi)，由質(zhì)量力和表面力所做的功為2.4.1Lagrange型積分方程最后的能量方程形式為第110頁/共188頁2010年版本2.4.2Reynolds輸運方程如要將Lagrange型積分方程改造成為適合于控制體的形式，首先必須解決隨體導數(shù)在控制體上的表示形式。設對于任意函數(shù)，在系統(tǒng)上的積分式為第111頁/共188頁2010年版本與前面各物理量對應起來，取不同的變量組合，I代表不同的物理量積分。即當=1時，N=M代表系統(tǒng)的質(zhì)量；當時，N=K代表系統(tǒng)的動量；當時，N=Mr代表系統(tǒng)的動量矩；當時，N=E代表系統(tǒng)的能量。

(被積函數(shù)隨時間的變化+系統(tǒng)體積隨時間的變化)引起的2.4.2Reynolds輸運方程第112頁/共188頁2010年版本為了區(qū)分系統(tǒng)和控制體；對于體積和面積帶下標為0的是針對系統(tǒng)的，無下標的是針對控制體的。設在t時刻某流體系統(tǒng)與控制體重合，在t+t時刻該系統(tǒng)的體積和位置均發(fā)生了變化。在t時刻，系統(tǒng)的體積為，在t+t時刻該系統(tǒng)的體積變?yōu)?，如用表示兩者的公共部分，則有2.4.2Reynolds輸運方程第113頁/共188頁2010年版本在t時段內(nèi)，某函數(shù)的增量為（表示物理量的隨體變化增量）2.4.2Reynolds輸運方程第114頁/共188頁2010年版本分解上式，有

2.4.2Reynolds輸運方程（物理量的隨體導數(shù)）（體積不變，物理量隨時間變化引起的）（體積變化引起物理量的變化）第115頁/共188頁2010年版本由于2.4.2Reynolds輸運方程對于時間變化項，有第116頁/共188頁2010年版本對于第3項的體積變化量2.4.2Reynolds輸運方程（流入控制體的物理量）對于第2項的體積變化量（流出控制體的物理量）第117頁/共188頁2010年版本2.4.2Reynolds輸運方程最后合起來，得到Reynolds輸運方程為通過控制面凈流出量為第118頁/共188頁2010年版本2.4.2Reynolds輸運方程這就是表示系統(tǒng)隨體導數(shù)的Reynolds輸運方程。各項物理意義為（1）--表示控制體內(nèi)物理量隨時間的變化率，表征了流場的非定常特性。（2）--表示單位時間內(nèi)，通過控制面流出物理量的凈增量，是由于流場的不均勻性引起的。綜合起來，表示系統(tǒng)的隨體導數(shù)等于單位時間內(nèi)控制體內(nèi)物理量隨時間引起的增量與通過控制面流出物理量的凈增量之和。第119頁/共188頁2010年版本Euler型積分方程是對控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運方程，可很容易獲得。（1）連續(xù)方程（質(zhì)量守恒）如果取=1，得到連續(xù)方程在控制體內(nèi)無源和匯的情況下，單位時間內(nèi)從控制體流出的質(zhì)量等于控制體內(nèi)質(zhì)量的減小量。2.4.3Euler型積分方程第120頁/共188頁2010年版本（2）動量方程單位時間內(nèi)，在控制體內(nèi)動量的增量加上通過控制面流出的凈動量等于外界作用于控制體上所有外力之和。2.4.3Euler型積分方程第121頁/共188頁2010年版本（3）動量矩方程

單位時間內(nèi)，控制體內(nèi)動量矩的增量加上通過控制面流出的凈動量矩等于外界作用于控制體上所有外力矩之和。2.4.3Euler型積分方程第122頁/共188頁2010年版本（4）能量方程單位時間內(nèi)，控制體內(nèi)總能量的增量加上通過控制面流出的凈總能量等于傳給控制體內(nèi)流體的熱量加上所有力對控制體內(nèi)流體所做的功。2.4.3Euler型積分方程第123頁/共188頁2010年版本對于理想流體、質(zhì)量力有勢、絕熱定常流動，可將能量方程進行簡化。對于絕熱流動在質(zhì)量力有勢的情況下2.4.3Euler型積分方程第124頁/共188頁2010年版本對于定常流動，由連續(xù)方程可得2.4.3Euler型積分方程對于理想流體，有對于定常流動，有第125頁/共188頁2010年版本代入能量方程中，得到對于不可壓流體的絕熱定常流動，有2.4.3Euler型積分方程第126頁/共188頁2010年版本對于如圖的第二類控制體（機翼被包含在控制體之內(nèi)），我們將動量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。設機翼受力在三個方向的分量為Fx、Fy和Fz。機翼對控制體流體的作用力的三個分量為－Fx、－Fy和－Fz。2.4.3Euler型積分方程第127頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程我們將控制體外部取得離機翼足夠遠，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒有粘性力了只有壓力的作用，從而x方向表面力為：控制體內(nèi)的x方向質(zhì)量力為：控制體內(nèi)流體在x方向所受的合外力為：(n,x)np第128頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程控制體內(nèi)x方向的動量隨時間變化率及凈流出控制面的動量流量為：注：上面的表達中，連接S和S1雙層面上的面積分為0由動量積分方程，可得第129頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程積分形式動量方程的一個重要方面在于人們往往不需要知道控制體中的流動細節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動屬性來求作用力，這個作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來求物體受到的阻力等。上述方程常常用于定常流動的氣體中，用于定常流時上式中的當?shù)刈兓室豁椀扔诹?，用于氣體則質(zhì)量力可以忽略。第130頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程例．有一種尾跡詳測法可以用來測量一個二維物體的型阻（型阻是由粘性直接間接造成的物體阻力）。我們來看一看要測哪些量，并怎樣使用積分形式的動量方程。第131頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程解：取控制面S，如圖。在物體的前方相當遠的地方氣體流基本上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在物體后面一定距離的地方，那里的氣流的靜壓已經(jīng)和來流的靜壓沒有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。動量法測型阻

p1、v1p2、v2第132頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程上下兩根連結(jié)流線取在遠離物體的地方，在那里流速和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個S面上作用的靜壓既然都是同一個值，那末壓力做面積分的結(jié)果必是零。

設流動定常，時間導數(shù)不存在。在氣流中徹體力項也略去不計。根據(jù)動量方程，只需計算越過控制面的動量流量即可，設翼型受到的阻力為Fx。第133頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程下面舉一簡單例子說明如何綜合應用動量方程與動量矩方程例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對固定斜板（與水平成θ角）的（1）板對流體的作用力（2）射流寬度比b1/b2（3）力的作用點設不計重力和流動損失。θb,vb1,v1b2,v2第134頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程解：由于是自由射流，射流開始處及1、2截面處壓強均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計重力的伯努利方程可得：v1=v2=v（或認為流動均勻無旋，伯努利常數(shù)全場成立）由質(zhì)量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2（1）求作用力如圖建立坐標系，取控制體如圖，假設控制體受力為R，由y向動量方程：（注意控制面上大氣壓無合力）第135頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程可見θ＝900時受力最大斜板受力與此大小相等方向相反。（2）求射流寬度比b1/b2由x向動量方程：θb,vb1,v1b2,v2第136頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程考慮到：v1=v2=v，有上式與b=b1+b2

聯(lián)立得：故得射流寬度比：由于速度相等，這也是流量比Q1/Q2第137頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程（3）求力的作用點e

設力的作用點距y軸的距離為e，設順時針方向為矩的正方向，由動量矩方程θb,vb1,v1b2,v2xyRe第138頁/共188頁2010年版本2.4.3Euler型積分方程僅當θ＝900

時合力的作用點才通過射流中心第139頁/共188頁2010年版本2.5環(huán)量與渦

自然界和工程中的渦現(xiàn)象龍卷風第140頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象第141頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象海洋表面的旋渦第142頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象云層中的旋渦第143頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象點燃火柴產(chǎn)生的渦第144頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象翼尖渦第145頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象三角翼的前緣渦第146頁/共188頁2010年版本自由渦自然界和工程中的渦現(xiàn)象第147頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象園盤繞流尾流場中的旋渦園球繞流尾流場中的旋渦第148頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象園柱繞流尾流場中的旋渦有攻角機翼繞流尾流場中的旋渦第149頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象三元機翼繞流（集中自由渦））三元機翼（翼端繞流）第150頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象震蕩翼型的脫落渦第151頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象三維魚游尾流模擬（渦脫落）

第152頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象二維圓柱繞流的卡門渦街第153頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象三維圓柱繞流的卡門渦街第154頁/共188頁2010年版本自然界和工程中的渦現(xiàn)象二維平板繞流的卡門渦街形成過程第155頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念研究流動的問題，還有兩面?zhèn)€極重要的概念，一個叫環(huán)量，一個叫做渦。環(huán)量的定義

在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。像力做功的計算方法一樣，也形象地稱速度環(huán)量為速度繞封閉曲線的速度功。速度環(huán)量的符號不僅決定于流場的速度方向，而且與封閉曲線的繞行方向有關，規(guī)定積分時逆時針繞行方向為正，即封閉曲線所包圍的區(qū)域總在行進方向的左側(cè)。第156頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

如果把一個速度向量分成三個坐標軸方向的三個分量u,v,w,把線段ds也分解成dx,dy,dz三個方向的三個線段，有第157頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念于是環(huán)量表達式為如果流動是無旋的，存在位函數(shù)Φ，那末上式中的ux,vy,wz都可以用Φ的偏導數(shù)表達。第158頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念說明在無旋流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)量均等于零。但是對于有旋流動，上述結(jié)論并不成立。繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般等于零。

渦量概念是指流場中任何一點微團角速度之二倍，如平面問題中的2ωz

，稱為渦量，渦量是個純運動學的概念。在有旋流動中的速度環(huán)量是1869年Thomson首先引進的。第159頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念在三維流里，流體微團可以有三個方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合為一個合角速度是第160頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，它的三個方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

像流線一樣，在同一瞬時，如在流場中有一條曲線，該線上每一點的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線。渦線的微分方程是（給定時刻，t為參量）。渦線第161頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為渦面。由封閉的渦面組成的管狀渦面稱為渦管。渦面渦管渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。第162頁/共188頁2010年版本2.5.1環(huán)量與渦的概念渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量（渦強），在平面問題中，渦通量就是在三維空間問題中，渦通量就是式中的S

是任意形狀空間曲面，dS的為曲面的微元面積。nγ空間問題的渦通量平面問題的渦通量第163頁/共188頁2010年版本2.5.2環(huán)量與渦量的關系在有旋流動中，速度環(huán)量與渦量是否存在聯(lián)系，如果存在關系如何。為回答這個問題，首先考察二維流場。在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得到總的速度環(huán)量。第164頁/共188頁2010年版本2.5.2環(huán)量與渦量的關系對于微元ABCD，速度環(huán)量為第165頁/共188頁2010年版本2.5.2環(huán)量與渦量的關系繞整個封閉曲線的速度環(huán)量為上式為二維問題中的格林公式。沿平面上一封閉圍線l做速度的線積分，所得的環(huán)量等于曲線所圍面積上每個微團角速度的2倍乘以微團面積之和，即等于通過面積S的渦通量。第166頁/共188頁2010年版本2.5.2環(huán)量與渦量的關系如果圍線內(nèi)沒有渦，那末沿圍線的環(huán)量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進去的面積里沒有渦，那么環(huán)量值并不會改變。但是速度環(huán)量等于零，不能說明圍線內(nèi)無渦。推廣到三維空間中的封閉曲線L上，計算的速度環(huán)量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面積應取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面S的圍線L的環(huán)量仍等于S面上各點的二倍角速度與面積dS點積。即第167頁/共188頁2010年版本2.5.2環(huán)量與渦量的關系其實這公式是斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面積分之間的關系。第168頁/共188頁2010年版本2.5.2環(huán)量與渦量的關系三維流中環(huán)量與渦的關系nγ即沿空間封閉曲線L的環(huán)量，等于穿過張在L上任意曲面