2023屆湖北省新高考高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat12頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁2023屆湖北省新高考高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)的值域、集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因為，所以，即，所以.故選：C2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法則求出z的實部和虛部，再求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】，；故選：D.3．如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口?鄉(xiāng)村人口隨年份變化的折線圖（數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局）.根據(jù)該折線圖判斷近十年的情況，下列說法錯誤的是（

）A．城鎮(zhèn)人口與年份成正相關(guān)B．鄉(xiāng)村人口與年份的樣本相關(guān)系數(shù)接近1C．城鎮(zhèn)人口逐年增長量大致相同D．可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈下降趨勢【答案】B【分析】根據(jù)折線圖可分析城鎮(zhèn)人口與年份的關(guān)系可判斷A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B，根據(jù)折線圖趨勢可判斷C,D.【詳解】對于A選項，由折線圖可知，城鎮(zhèn)人口與年份成正相關(guān)，A正確；對于B選項，因為鄉(xiāng)村人口與年份成負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，所以接近B錯誤；對于C選項，城鎮(zhèn)人口與年份成正相關(guān)，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，設(shè)線性經(jīng)驗回歸方程為，當(dāng)時，，故城鎮(zhèn)人口逐年增長量大致相同，C正確；對于D選項，鄉(xiāng)村人口與年份成負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢，D正確.故選:B.4．已知是單位向量，且的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時，.故選：B.5．已知是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則滿足的一個值的區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合余弦二倍角公式、余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，故，由，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，即，所以，，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以不合題意，選項B符合.故選：B6．已知點，若在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，化簡可得，點既在圓上，也在圓上，所以圓與圓有公共點，由圓與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，即；記圓，則點既在圓上，也在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，即，解得.故選：C.7．在正四面體中，分別為的中點，則異面直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：取中點，連接，利用余弦定理求，再利用余弦定理可得求，可求結(jié)果；方法二：以為基底，利用向量法求，可求結(jié)果.【詳解】法一：取中點，連接，則，所以或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角.則設(shè)，，.故選：D.法二：不妨設(shè)正四面體的棱長為2，以為基底，則，則，又，所以，所以所成角的余弦值為.故選：D.8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的方法比較大小.【詳解】，令，則，設(shè)，有，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，從而，所以在上單調(diào)遞增，于是，即；，令，則，所以在上單調(diào)遞增，于是，即，所以.故選：A.【點睛】方法點睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：1.通過找中間值比較大小，要比較的兩個或者三個數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個時候我們就可以通過引入一個常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系。2.通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個數(shù)之間可以看成某個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，我們只要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個函數(shù)的單調(diào)性，就可以通過自變量的大小關(guān)系，進(jìn)面找到要比較的數(shù)的大小關(guān)系。有些時候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進(jìn)一步縮小范圍。二、多選題9．已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正態(tài)分布概率曲線的對稱性，分別求出選項中的概率即可.【詳解】解：由題意可知，，則選項A正確；，則選項B錯誤；，則選項C正確；，則選項D錯誤.故選：AC10．已知，且，則（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】結(jié)合已知等式，運(yùn)用基本不等式、配方法逐一判斷即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則正確；，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則B錯誤；，當(dāng)，即時，，則C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則D正確.故選：ACD11．已知ABCD－A1B1C1D1為正四棱柱，底面邊長為2，高為4，E，F(xiàn)分別為AA1，BB1的中點．則下列說法正確的是（

）A．直線AD1與平面DCC1D1所成角為B．平面AB1D1∥平面BDC1C．直線EF被正四棱柱的外接球截得的弦長為D．以D為球心，為半徑的球與側(cè)面BCC1B1的交線長為【答案】BCD【分析】對A選項找到即為線面夾角，即可判斷；對B選項證明，則得到平面，同理得到平面，利用面面平行的判定定理則可證明；對C選項得到外接球即為正四棱柱外接球，再利用垂徑定理得到的長；對D選項得到軌跡為圓，計算弧長即可.【詳解】A．由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知，則為直線與平面所成角，，直線與平面所成角不等于，故A錯誤；B．由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得，，，則四邊形為平行四邊形，可得，∵平面，平面，∴平面，同理可證平面，又，且平面，∴平面平面，故B正確；C．三棱錐的外接球的表面積，即正四柱的外接球的表面積，外接球的半徑為，如下圖所示，顯然球心距離直線的距離為1，弦長D．D到側(cè)面為2，易得交線軌跡與圓相關(guān)，設(shè)為球與側(cè)面交線軌跡的半徑，，立體圖如下圖所示球與側(cè)面的交線軌跡是以C為圓心，2為半徑的圓，平面圖如下圖所示故交線長為故選：BCD．【點睛】本題為立體幾何綜合題，考察了線面角，面面平行的判定，空間幾何體的表面積與體積等知識，需要有一定的空間想象能力，對于一些常見的外接球模型要記住.12．過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，若直線的斜率之積為（為常數(shù)），則點的軌跡可能是（

）A．兩條直線 B．圓的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分【答案】BCD【分析】設(shè)出切線方程且斜率為，聯(lián)立橢圓化簡使判別式等于零得到關(guān)于等式，根據(jù)判別式及二次方程和韋達(dá)定理可得的范圍及，根據(jù)的不同取值分別判斷關(guān)于方程所對應(yīng)的軌跡即可.【詳解】解：依題意可知直線和直線的斜率存在，設(shè)過的橢圓的切線方程為，聯(lián)立化簡可得：，取，即，且有，且上式兩根分別為，則上式的判別式，整理得，符合題意，所以，①若，則，即點的軌跡是直線（兩條）的一部分；②若，則，即點的軌跡是直線（兩條）的一部分；若且，整理可得，③當(dāng)時，12，軌跡方程可化為，即點的軌跡是圓的一部分；④當(dāng)或時，，且，由于，且，所以點的軌跡是橢圓的一部分；⑤當(dāng)時，，表示焦點在軸上的雙曲線，由于，所以點的軌跡是雙曲線的一部分.故選：BCD【點睛】思路點睛：該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于難題，關(guān)于求軌跡方程的思路有：(1)已知軌跡，建立合適的軌跡方程，用待定系數(shù)求解；(2)未知軌跡，求哪點軌跡設(shè)哪點坐標(biāo)為，根據(jù)題意建立關(guān)于的等式即可；(3)軌跡不好判斷，等式關(guān)系不好找時，找要求的軌跡點與題中的定點或定直線之間的定量關(guān)系，根據(jù)轉(zhuǎn)化找出軌跡特點，建立軌跡方程，用待定系數(shù)求解.三、填空題13．五名同學(xué)站成一排合影，若站在兩端，和相鄰，則不同的站隊方式共有___________種.（用數(shù)字作答）【答案】24【分析】相鄰問題捆綁法，特殊元素優(yōu)先排，用分步計數(shù)完成.【詳解】C，相鄰，將排在一起并看成一個整體，有2種方法，站兩端，有2種方法，與，進(jìn)行3個元素的全排列，有種方法，故不同的站隊方式共有種.故答案為：2414．若為銳角，且，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，又為銳角，所以，所以，故，故答案為：15．已知直線和直線是拋物線上一點，則到直線和的距離之和的最小值是___________.【答案】【分析】由直線是的準(zhǔn)線，得到直線的距離等于，過作于，到直線和直線的距離之和為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取得最小值．利用點到直線的距離公式求解即可．【詳解】設(shè)的焦點為，由直線是的準(zhǔn)線，得到直線的距離等于，過作于，如圖所示，則到直線和直線的距離之和為.過作于，交于點，因為（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立），所以點到和到的距離之和的最小值就是點到的距離，即所求最小值為.故答案為：16．已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】設(shè)為在上的一個零點，則，所以在直線上，又為坐標(biāo)原點，易知.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合兩點間距離公式，再構(gòu)造函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．在銳角中，.(1)求；(2)若的面積為，點在線段上，且，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦、正弦二倍角公式，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意，得.又，所以.所以，即，即，即，由，得，解得.因為為銳角三角形，所以.（2）設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，則的面積，解得；由，得；在中，由余弦定理得，所以，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.此時也是銳角，滿足題意.所以的最小值為.18．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得，再由，可得，即可得數(shù)列的通項公式；(2)由題意可得，，從而可得，又由，即可得.【詳解】（1）解：設(shè)數(shù)列的公比為，則，因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，由，得，解得，所以.（2）證明：由（1）知，..因為，所以，即.19．2022年11月21日第22屆世界杯在卡塔爾開幕，是歷史上首次在中東國家舉辦，也是第二次在亞洲國家舉辦的世界杯足球賽.某?！白闱蛏鐖F(tuán)”調(diào)查學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從男女同學(xué)中各隨機(jī)抽取100人，其中喜歡足球的學(xué)生占總數(shù)的，女同學(xué)中不喜歡足球的人數(shù)是男同學(xué)中不喜歡足球人數(shù)的3倍.(1)完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗推斷喜歡足球與性別是否有關(guān)聯(lián)？喜歡不喜歡總計男同學(xué)女同學(xué)總計(2)對200人中不喜歡足球的同學(xué)采用按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取3人，用表示隨機(jī)抽取的3人中女同學(xué)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，喜歡足球與性別有關(guān)聯(lián)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，結(jié)合公式進(jìn)行求解運(yùn)算判斷即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計算公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）男女同學(xué)共200人，喜歡足球的學(xué)生占總數(shù)的，即160人，有40人不喜歡足球，其中女同學(xué)是男同學(xué)的3倍，所以女同學(xué)不喜歡足球的30人，男同學(xué)不喜歡足球的10人，所以男同學(xué)喜歡足球的90人，女同學(xué)喜歡足球的70人，可得列聯(lián)表.喜歡不喜歡總計男同學(xué)9010100女同學(xué)7030100總計16040200零假設(shè)為：喜歡足球與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，可以推斷不成立，即喜歡足球與性別有關(guān)聯(lián)；（2）按分層抽樣，設(shè)女同學(xué)人，男同學(xué)人，則，解得，即從不喜歡足球的同學(xué)中抽取9名女同學(xué)，3名男同學(xué).的可能取值為，則，所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示：0123故.20．如圖1，在菱形中，為的中點，.現(xiàn)將沿翻折至，并連接，得到如圖2所示的四棱錐，且.(1)證明：；(2)在棱上是否存在點，使得與平面所成的角的正弦值為若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用余弦定理求邊長，勾股定理證明垂直，得，，證得平面，從而.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量，利用已知線面角的正弦，求得的值.【詳解】（1）證明：在中，，由，得，所以，即在空間中.又，所以.連接，在中，；在中，由，得，所以.又，平面，所以平面.又平面，所以.（2）由（1）可知兩兩垂直，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量令，則.假設(shè)棱上存在點，使得與平面所成的角的正弦值為，設(shè)，則，，所以，整理得，解得.又，所以，故.21．已知雙曲線的焦距為，直線與交于兩點，點是上異于兩點的動點，且直線的斜率之積為.(1)求的方程；(2)已知是直線上的動點，過點作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交于點和點，若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出斜率之積，根據(jù)焦距及的關(guān)系可得方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，分別求出目標(biāo)長度，可得答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)，所以.由點在雙曲線上，得，兩式相減，得，即.由題意，得.設(shè)的焦距為，則,解得所以的方程為.（2）由題意設(shè)，直線，聯(lián)立化簡得.則，判別式，設(shè)，則，易知，所