測量學(xué)測量誤差的基本理論

測量學(xué)測量誤差的基本理論第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述觀測中常見的現(xiàn)象舉例1．如圖1，對兩點(diǎn)的距離重復(fù)丈量n次，但結(jié)果不相等，即。2.對三角形三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，得值a,b,c,但是現(xiàn)象總結(jié)：(1)同一觀測量之間的值不相等,(2)觀測值與其理論值(真值)之間有差異.原因:觀測中存在觀測誤差。第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述一、測量誤差產(chǎn)生的原因誤差來源的三個方面：1、觀測者觀測者的感覺器官的鑒別能力限制；技術(shù)熟練程度。2、測量儀器儀器本身器件之間裝配；使用過程中的變化。3、測量環(huán)境（外界條件）溫度、氣壓、大氣折光、風(fēng)力、大氣透明度等。三者合稱為觀測條件二、誤差分類：真誤差的定義△i=X-li根據(jù)觀測誤差對觀測結(jié)果的影響性質(zhì)分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述二、誤差分類：

1、系統(tǒng)誤差（1）定義：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。（2）舉例：尺長誤差（保持常數(shù)）；水準(zhǔn)測量中的i角誤差（系統(tǒng)性）；大氣折光，白天黑夜相反；鋼尺溫度變化，熱脹冷縮（有規(guī)律變化）（3）消除或減弱的方法①好的觀測方法水準(zhǔn)測量中，前后視距相等，可以消除i角對觀測結(jié)果的影響；角度測量中，盤左、盤右取中數(shù)可以消除豎盤指標(biāo)差的影響。②加改正數(shù)方法。例如，鋼尺量距時，加入尺長改正、溫度改正等。第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述二、誤差分類：2、偶然誤差（隨機(jī)誤差）（1）定義：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。（2）舉例：讀數(shù)誤差，照準(zhǔn)誤差（3）消除或減弱的方法采用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的理論進(jìn)行處理，減弱偶然誤差的影響。3、粗差（1）定義：指比可能產(chǎn)生的最大誤差還大的誤差（或錯誤）。（2）舉例：找錯目標(biāo)、大數(shù)讀錯等（3）消除或減弱的方法嚴(yán)格按規(guī)范規(guī)定的程序進(jìn)行測量工作，加強(qiáng)檢核措施等。第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述三、偶然誤差的特性1.列表法分析用601個三角形閉合差（真誤差）進(jìn)行分析，見表6-1第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述偶然誤差的四個特性：用真誤差列于據(jù)表6-1數(shù)據(jù)分析，得偶然誤差的四個特性：（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。（2）絕對值小的偶然誤差比絕對值大的偶然誤差出現(xiàn)的可能性大（頻率大或概率大）。（3）絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性相等。（4）在相同觀測條件下，同一量的多次觀測值的偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨于零。即分析方法：誤差分布表法、直方圖法、數(shù)字特征法。第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述2.直方圖分析法用表6-1的數(shù)據(jù)作出圖6-1的誤差分布圖，更加直觀的說明偶然誤差的特性。這種圖稱為誤差頻率分布直方圖。

橫坐標(biāo)表示誤差的數(shù)值大??；

縱坐標(biāo)表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率ni/n除以區(qū)間的間隔值d,即：ni/n/d

因此，各每個矩形的面積等于誤差出現(xiàn)于該區(qū)間的頻率第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述3.偶然誤差的概率分布當(dāng)誤差個數(shù)區(qū)域無窮、誤差區(qū)間無限小時，頻率直方圖變?yōu)楦怕史植紙D，其直方圖的頂端的折線變?yōu)楣饣那€。該曲線在概率論中稱之為正態(tài)分布曲線。即偶然誤差屬于正態(tài)分布。其概率分布密度函數(shù)為第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6.1測量誤差概述3.偶然誤差的概率分布其概率分布密度函數(shù)為第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．2測量精度的評定指標(biāo)精度的（定義）：精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。準(zhǔn)確度：所謂準(zhǔn)確度，是指隨機(jī)變量（觀測量）的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。精確度：精確度是指隨機(jī)變量（觀測量）的數(shù)學(xué)期望與其真值的接近程度。下圖說明三者之間的關(guān)系ab（c第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．2測量精度的評定指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)在實(shí)用上，是用一些數(shù)字特征來說明誤差分布的密集或離散的程度，稱它們?yōu)楹饬烤鹊闹笜?biāo)。常用的精度指標(biāo)有：中誤差、相對誤差、容許誤差。一、中誤差1．中誤差的定義在相同的條件下，對同一量進(jìn)行次觀測，所得各個真誤差平方的平均值的平方根，稱為中誤差，用m表示，即

m表示每一次觀測值的中誤差。第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．2測量精度的評定指標(biāo)2．用真誤差計算中誤差算例[例6-2]

第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．2測量精度的評定指標(biāo)二、相對誤差1．中誤差的局限例如，分別丈量了1000m及500m的兩段距離，它們的中誤差均為±2cm，雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同。顯然前者的相對精度比后者要高。此時，須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對中誤差。2．相對中誤差相對中誤差定義：中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比值

第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．2測量精度的評定指標(biāo)3．相對誤差相對誤差定義：差值的絕對值與相應(yīng)觀測值之比值。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。

相對精度是指長度元素而言。如果不特別說明，相對精度是指相對中誤差。角度元素沒有相對精度。第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．2測量精度的評定指標(biāo)三、容許（極限）誤差按正態(tài)分布表查得，誤差出現(xiàn)的概率分別為：

絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅有0.3%，大于二倍中誤差的概率只有4.5%。這已經(jīng)是概率接近于零的小概率事件，或者說這是實(shí)際上的不可能事件。

故一般以三倍中誤差或二倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為容許（極限）誤差。即：或第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用誤差傳播定律概念：闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。

一、和、差函數(shù)的中誤差1.函數(shù)形式設(shè)x、y為獨(dú)立觀測值，其中誤差為mx，my，觀測值的函數(shù)為

Z=x±y2.函數(shù)的中誤差計算式則函數(shù)Z的中誤差計算式為算例：見例6-3、例6-4第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用二、倍數(shù)函數(shù)的中誤差1.函數(shù)形式設(shè)x為觀測值，其中誤差為mx，觀測值的函數(shù)為

Z=kx2.函數(shù)的中誤差計算式則函數(shù)Z的中誤差計算式為算例：見例6-5第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用三、線性函數(shù)的中誤差1.函數(shù)形式設(shè)x1，x2，…，xn為獨(dú)立觀測值，其中誤差為m1，m2，

…，mn，觀測值的函數(shù)為算例：見例6-62.函數(shù)的中誤差計算式則函數(shù)Z的中誤差計算式為第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．3誤差傳播定律及其應(yīng)用

四、非線性函數(shù)的中誤差算例：見例6-7第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差

一、算術(shù)平均值即第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差

一、算術(shù)平均值第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差二、算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差與單個觀測值的關(guān)系式設(shè)單個觀測值的中誤差為m，算術(shù)平均值的中誤差為mx，則根據(jù)誤差傳播定律，得第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差

三、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差算術(shù)平均值的中誤差與單個觀測值的關(guān)系式。在實(shí)際工作中，一般情況下，量的真值是不知的，故無法利用真誤差計算中誤差。但是可以利用算術(shù)平均值和觀測值的差值-改正數(shù)計算。1.改正數(shù)的計算設(shè)對同一個量同精度觀測了n次，得觀測值算術(shù)平均值為第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差三、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差1.改正數(shù)的計算則觀測值的改正數(shù)按下式計算第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差三、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差2.則觀測值的中誤差按下式計算3.算術(shù)平均值的中誤差按下式計算其中第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．4算術(shù)平均值及其中誤差四、用等精度雙觀測值的差值求觀測值的中誤差1.雙觀測值的概念對同一個量獨(dú)立觀測了兩次，得則稱其為雙觀測值2.雙觀測值的之差3.單次觀測值的中誤差4.兩次觀測值平均值的中誤差第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定一、“權(quán)”的定義設(shè)觀測值Li的中誤差為mi，μ為任意常數(shù)，則定義的權(quán)為二、常用的定權(quán)方法1.水準(zhǔn)測量的權(quán)（1）按測站數(shù)定權(quán)設(shè)某水準(zhǔn)路線的觀測高差為hi，測站數(shù)為ni，hi的中誤差為mi，c為任意常數(shù)，則hi的權(quán)為第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定二、常用的定權(quán)方法1.水準(zhǔn)測量的權(quán)（2）按水準(zhǔn)路線長度定權(quán)設(shè)某水準(zhǔn)路線的觀測高差為hi，路線長度Li千米，hi的中誤差為mi，c為任意常數(shù)，則hi的權(quán)為第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日§6．5廣義算術(shù)平均值及其精度的評定二、常用的定權(quán)方法2.測量距離的權(quán)設(shè)某段距離的長度為Di千米，c為任意常數(shù)，則h