向量共線問題證明共線問題常用方法

演示文稿向量共線問題證明共線問題常用方法當前1頁，總共39頁。（優(yōu)選）向量共線問題證明共線問題常用方法當前2頁，總共39頁。當前3頁，總共39頁。向量的共線問題證明共線問題常用的方法.（1）向量共線存在唯一實數(shù)λ,使(2)向量=(x1,y1),

=(x2,y2)共線x1y2-x2y1=0;(3)向量

與

共線(4)向量

與

共線存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2，使當前4頁，總共39頁。【例1】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),試判斷兩線段是否共線？【審題指導】題目中給出了四個點的坐標，由此可得兩向量

的坐標表示.要判斷

是否共線，首先看是否滿足，再說明線段AB與CD是否有公共點.當前5頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】∵

=(2,4),

=(-1,-6),∴-1×4-(-6)×2=-4+12=8≠0.∴

不共線，即點C不在直線AB上，同理點D也不在直線AB上，直線AB與CD不共線，即線段AB與CD不共線.當前6頁，總共39頁。【例2】已知

=(1,2),

=(-3,2).若平行，求實數(shù)k的值.【審題指導】本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問題，要求學生熟練掌握兩向量共線的條件.通過兩向量共線可得坐標的關(guān)系，列出等式，求得參數(shù)的值.當前7頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】方法一：向量

平行，則存在唯一實數(shù)λ，使∵

=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).

=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),∴(k-6,2k+4)=λ(14,-4).即實數(shù)k的值為-1.當前8頁，總共39頁。方法二：∵=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),

=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),平行，∴（k-6）×(-4)-(2k+4)×14=0.解得k=-1.當前9頁，總共39頁。向量的夾角和垂直問題1.兩向量的夾角公式.非零向量

=(x1,y1),

=(x2，y2)的夾角為θ，則有2.兩向量垂直的條件.當前10頁，總共39頁。要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件坐標表示的區(qū)別.當前11頁，總共39頁?！纠?】設兩個向量，滿足｜|=2,|

|=1,

的夾角為，若向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍.【審題指導】題目中給出向量的夾角以及｜

｜=2和|

|=1等條件，由公式cosθ=

可得θ若為鈍角，則cosθ＜0且cosθ≠-1，即＜0.同時也應注意向量的共線反向這一情況.當前12頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】由已知∵θ為鈍角，∴2t2+15t+7<0,得-7<t<

.又由∴t的取值范圍是（-7，）∪(

,

).當前13頁，總共39頁?！纠?】求證：△ABC的三條高線交于一點.【審題指導】證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點，然后讓另一個頂點與該點的連線與其對邊垂直.當前14頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】如圖，已知AD，BE，CF是△ABC的三條高，設BE，CF交于點H，且令可得因為所以所以運算并化簡得當前15頁，總共39頁。所以又AD⊥BC且AH∩AD=A,所以A、H、D三點共線，所以AD，BE，CF相交于一點H.即△ABC的三條高交于一點.當前16頁，總共39頁。向量模的問題解決向量模的問題常用的策略（1）應用公式：｜｜=

(其中

=(x,y));（2）應用三角形或平行四邊形法則；（3）應用向量不等式

(4)研究模的平方當前17頁，總共39頁。【例5】【審題指導】本題主要考查向量的模的運算及向量數(shù)量積的運算，可以用平方求解法，也可以由=1，設出的坐標，化為坐標運算.當前18頁，總共39頁。【規(guī)范解答】方法一：當前19頁，總共39頁。方法二：設

=(x1,y1),

=(x2,y2),∵

=1,∴x12+y12=x22+y22=1.∵=(3x1-2x2,3y1-2y2),==3,∴x1x2+y1y2=,∴當前20頁，總共39頁。待定系數(shù)法解決向量問題待定系數(shù)法在向量中的應用待定系數(shù)法是數(shù)學中一種非常重要的方法，對于某些數(shù)學問題，若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引入一些尚待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來表示這樣的結(jié)果，通過變形比較，建立起含有待定字母系數(shù)（或參數(shù)）的方程（組），并求出相應的字母（或參數(shù)）的值，進而使問題獲解，這種方法稱為待定系數(shù)法，在向量中，這種方法也被廣泛應用，如平行向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式.當前21頁，總共39頁?！纠?】如圖，在△ABC中，M是BC的中點，N在AC上且AN=2NC，AM與BN交于點P，求AP∶PM的值.【審題指導】題目中給出了M點是△ABC的邊BC的中點，AC邊上的點N滿足AN=2NC，欲求AP∶PM的值，可適當選取基底表示出因為點A、P、M共線，若有則λ為AP∶PM的值.當前22頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】

∵A、P、M與B、P、N共線,

∴AP∶PM=4∶1.當前23頁，總共39頁。平面向量的應用平面向量兩個方面的應用(1)在平面幾何中的應用.向量的加法運算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.(2)在物理中的應用.主要解決力、位移、速度等問題.當前24頁，總共39頁。【例7】已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點，BE、CF交于點P.求證：（1）BE⊥CF；（2）AP=AB.【審題指導】本題欲求證線段垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的垂直和向量的模相等問題.已知正方形ABCD，可建系設點，把向量用坐標表示出來，用向量的有關(guān)知識解決.當前25頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】如圖建立平面直角坐標系xOy，其中A為原點，不妨設AB=2，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)

=(1,2)-(2,0)=(-1,2)，

=(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，

=-1×(-2)+2×(-1)=0，即BE⊥CF.當前26頁，總共39頁。（2）設P(x,y)，則=（x,y-1）,

=(-2,-1)，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由，得y=-2x+4,代入x=2y-2.當前27頁，總共39頁。【例8】如圖所示，求兩個力的合力的大?。ň_到0.1N）和方向（精確到分）.【審題指導】題中給出兩個力的大小及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運算，在三角形中解決.當前28頁，總共39頁?！疽?guī)范解答】設=(a1,a2),

=(b1,b2),則a1=300cos30°≈259.8,a2=300sin30°=150.0，b1=-200cos45°≈-141.4,b2=200sin45°≈141.4,所以

=(259.8,150.0),

=(-141.4,141.4),

=(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),當前29頁，總共39頁。設

與x軸的正向夾角為θ,則tanθ=

≈2.4611.由

的坐標知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′.所以兩個力的合力是314.5N，與x軸的正方向的夾角為67°53′，與y軸的夾角為22°7′.當前30頁，總共39頁。1.設平面向量

=（3,5）,

=（-2,1）,則=()（A）（7，3）（B）（7,7）（C）（1,7）（D）（1,3）【解析】選A.

=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).當前31頁，總共39頁。2.給出下列各命題：（1）向量的長度與向量的長度相等；（2)向量

與向量

平行，則

與

的方向相同或相反；（3）兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；（5）向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；（6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為()（A）2

（B）3

（C）4

（D）5當前32頁，總共39頁?！窘馕觥窟xC.抓住方向、長度、零向量，結(jié)合作圖判斷.（1）真命題.（2）假命題.若

與

中有一個為零向量時，其方向是不確定的.（3）真命題.（4）假命題.終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反.（5）假命題.共線向量所在的直線可以重合，也可以平行.（6）假命題.向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線段.當前33頁，總共39頁。3.已知=(1,0),

=(0,1),則與向量垂直的一個向量為()（A）（B）（C）（D）【解析】選C.設則=0，且

故2a+b=0，C項符合.當前34頁，總共39頁。4.若則λ=()（A）

（B）

（C）

（D）【解析】選故λ=-

.當前35頁，總共39頁。5.已知直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相交于A、B兩點，且

則=_______.

【解析】如圖，作OD⊥AB于D，則在Rt△AOD中，OA=1，AD=

，所以∠AOD=60°，∠AOB=120°，所以

=1×1×(-

)=

.答案:當前36頁，總共39頁。6.已知向量

=(

,1),

是不平行于x軸的單位向量,且則

=_________.【解析】設

=(m,n)，依題意有又

不平行于x軸，故答案:

當前37頁，總共39頁。7.如圖，B、C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點最多可以寫出______個互不相等的非零向量.【解析】可設AD的長度為3，那么長度為1的向量有6個，其中長度為2的向量有4個，其中