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文檔簡介
演示文稿向量共線問題證明共線問題常用方法當(dāng)前1頁,總共39頁。(優(yōu)選)向量共線問題證明共線問題常用方法當(dāng)前2頁,總共39頁。當(dāng)前3頁,總共39頁。向量的共線問題證明共線問題常用的方法.(1)向量共線存在唯一實(shí)數(shù)λ,使(2)向量=(x1,y1),
=(x2,y2)共線x1y2-x2y1=0;(3)向量
與
共線(4)向量
與
共線存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1,λ2,使當(dāng)前4頁,總共39頁?!纠?】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),試判斷兩線段是否共線?【審題指導(dǎo)】題目中給出了四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得兩向量
的坐標(biāo)表示.要判斷
是否共線,首先看是否滿足,再說明線段AB與CD是否有公共點(diǎn).當(dāng)前5頁,總共39頁。【規(guī)范解答】∵
=(2,4),
=(-1,-6),∴-1×4-(-6)×2=-4+12=8≠0.∴
不共線,即點(diǎn)C不在直線AB上,同理點(diǎn)D也不在直線AB上,直線AB與CD不共線,即線段AB與CD不共線.當(dāng)前6頁,總共39頁?!纠?】已知
=(1,2),
=(-3,2).若平行,求實(shí)數(shù)k的值.【審題指導(dǎo)】本題考查由兩向量的共線求參數(shù)的問題,要求學(xué)生熟練掌握兩向量共線的條件.通過兩向量共線可得坐標(biāo)的關(guān)系,列出等式,求得參數(shù)的值.當(dāng)前7頁,總共39頁。【規(guī)范解答】方法一:向量
平行,則存在唯一實(shí)數(shù)λ,使∵
=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).
=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),∴(k-6,2k+4)=λ(14,-4).即實(shí)數(shù)k的值為-1.當(dāng)前8頁,總共39頁。方法二:∵=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),
=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),平行,∴(k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0.解得k=-1.當(dāng)前9頁,總共39頁。向量的夾角和垂直問題1.兩向量的夾角公式.非零向量
=(x1,y1),
=(x2,y2)的夾角為θ,則有2.兩向量垂直的條件.當(dāng)前10頁,總共39頁。要分清兩向量垂直的條件和兩向量平行的條件坐標(biāo)表示的區(qū)別.當(dāng)前11頁,總共39頁?!纠?】設(shè)兩個(gè)向量,滿足||=2,|
|=1,
的夾角為,若向量的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的范圍.【審題指導(dǎo)】題目中給出向量的夾角以及|
|=2和|
|=1等條件,由公式cosθ=
可得θ若為鈍角,則cosθ<0且cosθ≠-1,即<0.同時(shí)也應(yīng)注意向量的共線反向這一情況.當(dāng)前12頁,總共39頁?!疽?guī)范解答】由已知∵θ為鈍角,∴2t2+15t+7<0,得-7<t<
.又由∴t的取值范圍是(-7,)∪(
,
).當(dāng)前13頁,總共39頁。【例4】求證:△ABC的三條高線交于一點(diǎn).【審題指導(dǎo)】證明本題的關(guān)鍵是先找出其中兩條高線的交點(diǎn),然后讓另一個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與其對邊垂直.當(dāng)前14頁,總共39頁?!疽?guī)范解答】如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,設(shè)BE,CF交于點(diǎn)H,且令可得因?yàn)樗运赃\(yùn)算并化簡得當(dāng)前15頁,總共39頁。所以又AD⊥BC且AH∩AD=A,所以A、H、D三點(diǎn)共線,所以AD,BE,CF相交于一點(diǎn)H.即△ABC的三條高交于一點(diǎn).當(dāng)前16頁,總共39頁。向量模的問題解決向量模的問題常用的策略(1)應(yīng)用公式:||=
(其中
=(x,y));(2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則;(3)應(yīng)用向量不等式
(4)研究模的平方當(dāng)前17頁,總共39頁?!纠?】【審題指導(dǎo)】本題主要考查向量的模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算,可以用平方求解法,也可以由=1,設(shè)出的坐標(biāo),化為坐標(biāo)運(yùn)算.當(dāng)前18頁,總共39頁?!疽?guī)范解答】方法一:當(dāng)前19頁,總共39頁。方法二:設(shè)
=(x1,y1),
=(x2,y2),∵
=1,∴x12+y12=x22+y22=1.∵=(3x1-2x2,3y1-2y2),==3,∴x1x2+y1y2=,∴當(dāng)前20頁,總共39頁。待定系數(shù)法解決向量問題待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法,對于某些數(shù)學(xué)問題,若已知所求結(jié)果具有某種確定的形式,則可引入一些尚待確定的系數(shù)(或參數(shù))來表示這樣的結(jié)果,通過變形比較,建立起含有待定字母系數(shù)(或參數(shù))的方程(組),并求出相應(yīng)的字母(或參數(shù))的值,進(jìn)而使問題獲解,這種方法稱為待定系數(shù)法,在向量中,這種方法也被廣泛應(yīng)用,如平行向量基本定理、平面向量基本定理就是這種方法的體現(xiàn)形式.當(dāng)前21頁,總共39頁?!纠?】如圖,在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),N在AC上且AN=2NC,AM與BN交于點(diǎn)P,求AP∶PM的值.【審題指導(dǎo)】題目中給出了M點(diǎn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AC邊上的點(diǎn)N滿足AN=2NC,欲求AP∶PM的值,可適當(dāng)選取基底表示出因?yàn)辄c(diǎn)A、P、M共線,若有則λ為AP∶PM的值.當(dāng)前22頁,總共39頁。【規(guī)范解答】
∵A、P、M與B、P、N共線,
∴AP∶PM=4∶1.當(dāng)前23頁,總共39頁。平面向量的應(yīng)用平面向量兩個(gè)方面的應(yīng)用(1)在平面幾何中的應(yīng)用.向量的加法運(yùn)算和全等、平行,數(shù)乘向量和相似,距離、夾角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系,因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.(2)在物理中的應(yīng)用.主要解決力、位移、速度等問題.當(dāng)前24頁,總共39頁。【例7】已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn),BE、CF交于點(diǎn)P.求證:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.【審題指導(dǎo)】本題欲求證線段垂直和相等,可轉(zhuǎn)化為向量的垂直和向量的模相等問題.已知正方形ABCD,可建系設(shè)點(diǎn),把向量用坐標(biāo)表示出來,用向量的有關(guān)知識解決.當(dāng)前25頁,總共39頁。【規(guī)范解答】如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)
=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
=-1×(-2)+2×(-1)=0,即BE⊥CF.當(dāng)前26頁,總共39頁。(2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),
=(-2,-1),∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2.當(dāng)前27頁,總共39頁?!纠?】如圖所示,求兩個(gè)力的合力的大小(精確到0.1N)和方向(精確到分).【審題指導(dǎo)】題中給出兩個(gè)力的大小及夾角的數(shù)值,欲求合力,可利用向量的加法運(yùn)算,在三角形中解決.當(dāng)前28頁,總共39頁。【規(guī)范解答】設(shè)=(a1,a2),
=(b1,b2),則a1=300cos30°≈259.8,a2=300sin30°=150.0,b1=-200cos45°≈-141.4,b2=200sin45°≈141.4,所以
=(259.8,150.0),
=(-141.4,141.4),
=(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),當(dāng)前29頁,總共39頁。設(shè)
與x軸的正向夾角為θ,則tanθ=
≈2.4611.由
的坐標(biāo)知θ是第一象限的角,所以θ≈67°53′.所以兩個(gè)力的合力是314.5N,與x軸的正方向的夾角為67°53′,與y軸的夾角為22°7′.當(dāng)前30頁,總共39頁。1.設(shè)平面向量
=(3,5),
=(-2,1),則=()(A)(7,3)(B)(7,7)(C)(1,7)(D)(1,3)【解析】選A.
=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).當(dāng)前31頁,總共39頁。2.給出下列各命題:(1)向量的長度與向量的長度相等;(2)向量
與向量
平行,則
與
的方向相同或相反;(3)兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同;(4)兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線向量;(5)向量與向量是共線向量,則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上;(6)有向線段就是向量,向量就是有向線段.其中假命題的個(gè)數(shù)為()(A)2
(B)3
(C)4
(D)5當(dāng)前32頁,總共39頁?!窘馕觥窟xC.抓住方向、長度、零向量,結(jié)合作圖判斷.(1)真命題.(2)假命題.若
與
中有一個(gè)為零向量時(shí),其方向是不確定的.(3)真命題.(4)假命題.終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或相反.(5)假命題.共線向量所在的直線可以重合,也可以平行.(6)假命題.向量是用有向線段來表示的,但并不是有向線段.當(dāng)前33頁,總共39頁。3.已知=(1,0),
=(0,1),則與向量垂直的一個(gè)向量為()(A)(B)(C)(D)【解析】選C.設(shè)則=0,且
故2a+b=0,C項(xiàng)符合.當(dāng)前34頁,總共39頁。4.若則λ=()(A)
(B)
(C)
(D)【解析】選故λ=-
.當(dāng)前35頁,總共39頁。5.已知直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相交于A、B兩點(diǎn),且
則=_______.
【解析】如圖,作OD⊥AB于D,則在Rt△AOD中,OA=1,AD=
,所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以
=1×1×(-
)=
.答案:當(dāng)前36頁,總共39頁。6.已知向量
=(
,1),
是不平行于x軸的單位向量,且則
=_________.【解析】設(shè)
=(m,n),依題意有又
不平行于x軸,故答案:
當(dāng)前37頁,總共39頁。7.如圖,B、C是線段AD的三等分點(diǎn),分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出______個(gè)互不相等的非零向量.【解析】可設(shè)AD的長度為3,那么長度為1的向量有6個(gè),其中長度為2的向量有4個(gè),其中
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