完整版數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)資料

《數(shù)值計(jì)算方法》復(fù)習(xí)資料第一章數(shù)值第一章數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析第二章_非線性方程的數(shù)值解法第三章線第三章線性方程組的數(shù)值解法第四章第四章插值與曲線擬合第五章第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分第六章常第六章常微分方程的數(shù)值解法課程的性質(zhì)與任務(wù)數(shù)值計(jì)算方法是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的基礎(chǔ)課，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)和算法語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)及上機(jī)實(shí)習(xí)、使學(xué)生正確理解有關(guān)的基本概念和理論，掌握常用的基本數(shù)值方法，培養(yǎng)應(yīng)用計(jì)算機(jī)從事科學(xué)與工程計(jì)算的能力，為以后的學(xué)習(xí)及應(yīng)用打下良好基礎(chǔ)。第一章數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析一考核知識(shí)點(diǎn)誤差的來(lái)源類(lèi)型；絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字；絕對(duì)誤差的傳播。二復(fù)習(xí)要求.知道產(chǎn)生誤差的主要來(lái)源。2.了解絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字等概念以及3.知道四則運(yùn)算中的誤差傳播公式。例題1即n=3,故x=3.14有3位有效數(shù)字.x=3.14準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位.即m=1,n=5,x=3.1416有5位有效數(shù)字.即m=1,n=4,x=3.1415有4位有效數(shù)字.這就是說(shuō)某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限：2.0004—0.0020090009000.00mnX由X3與X4可以看到小數(shù)點(diǎn)之后的0,不是可有可無(wú)的，它是有實(shí)際意義的In0的近似值是多少？解精確到10_3=0.001，意旨兩個(gè)近似值Xi,X2滿(mǎn)足|珂一巧＜0.001，由于近似值都是四舍五入得到的，要求滿(mǎn)足|0.001，近似值的絕對(duì)誤差限應(yīng)是?=0.0005,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。故In2：O693。第二章非線性方程的數(shù)值解法一考核知識(shí)點(diǎn)二分法；迭代法；牛頓法；弦截法。二復(fù)習(xí)要求1.知道有根區(qū)間概念，和方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)有根的充分條件。2.掌握方程求根的二分法，知道其收斂性；掌握二分法二分次數(shù)公式，掌握迭代法，3.熟練掌握牛頓法。掌握初始值的選擇條件。4.掌握弦截法。三例題例1證明方程1—x_sinx=0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過(guò)0.5X10_f(0)=1>0,f(1)=—sin1<0f(x)=1—x—sinx=0在[0,1]有根.又-lna5+41nl0-lna5+41nl0f(x)=1—cosx>0(x[0.1]),故f(x)=0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有唯一實(shí)根給定誤差限=0.5X10，有只要取n=14.迭代法求方程x5—4x—2=0的最小正根.計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù).4z建立迭代格式此時(shí)迭代收斂解建立迭代格式 [分析]容易判斷[1,2]是方程的有根區(qū)間.若建立迭代格式4xelT取初始值知=1可二花+2二皈玨出1.5182花二忻花二返麗35185取I..1.51853用弦截法求方程x3—x2—1=0,在x=1.5附近的根.計(jì)算中保留5位小數(shù)點(diǎn).[分析]先確定有根區(qū)間?再代公式.14RKS15-1-1137662-——x(137662-125)^1.4888146348-x(l46348-148881)^146553例4選擇填空題1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若滿(mǎn)足，則方程f(x)=0在區(qū)間 [a,b]—定有實(shí)根.答案:f(a)f(b)<0解答：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c,使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2.用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程(x)=0表成x=(x),則f(x)=0的根是()(A)y=x與y=(x)的交點(diǎn)(B)y=x與y=(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)解答：把f(x)=0表成x=(x),滿(mǎn)足x=;(x)的x是方程的解，它正是y=x與y=「(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).3?為求方程x3—x2—仁0在區(qū)間[1.3,1.6]內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫(xiě)成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是()(B)]_._'Xjt+心+1故迭代發(fā)散WW(x)T+丁網(wǎng)卜解答:迭代收斂.1在(D)中，類(lèi)似證明，迭代收斂.二'.''.ul1,故迭代收斂第三章線性方程組的數(shù)值解法一、考核知識(shí)點(diǎn)高斯順序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯一一賽德?tīng)柕?，超松弛迭代法；消去法消元能進(jìn)行到底的條件，迭代解數(shù)列收斂的條件。二、復(fù)習(xí)要求1.知道高斯消去法的基本思想，熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。2.掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯一一賽德?tīng)柕ā?.知道解線性方程組的高斯消去法消元能進(jìn)行到底的條件，知道迭代解數(shù)列收斂概念和上述兩種迭代法的收例題X=-1解順序消元-1-1-0.50.5-5于是有同解方程組:石+0.5X2+2xy=-0.5例2取初始向量X(O)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代公式kXX)T,*=(-2x3+2x5)+1=5WlX5,-3,—3)T天$)=—2(1十3)+5二一3'才)=(-2x(-3)+2x(-3)+l=l=-2(5-33+5=1I卩=(-2xl+2xl)+l=lr$)=-Q+l)+3=l，得到X⑷=(1,1,1)T1例3填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2，3個(gè)方程分別為解答1.選a2i=2為主元，作行互換，第2?用高斯-賽德?tīng)柕ń饩€性方程組2?用高斯-賽德?tīng)柕ń饩€性方程組2x+2屯+花二5解答高斯一賽德?tīng)柕ň褪浅浞掷靡呀?jīng)得到的結(jié)果，求X2的值時(shí)應(yīng)該用X!的A6(B)=6(C)<6(D)>6解答：當(dāng)a>6時(shí)，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由教材第3章定理知，迭代解一定收斂。應(yīng)選擇(A)。第四章插值與曲線擬合一考核知識(shí)點(diǎn)插值函數(shù)，插值多項(xiàng)式，被插值函數(shù)，節(jié)點(diǎn)；拉格朗日插值多項(xiàng)式：插值基函數(shù)；差商及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式；分段線性插值、線性插值基函數(shù)，最小二乘法，直線擬合。二復(fù)習(xí)要求1.了解插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)等概念。2.熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式，知道拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)。3.掌握牛頓插值多項(xiàng)式的公式，了解差商概念和性質(zhì)，掌握差商表的計(jì)算，知道牛4.掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造。5?了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導(dǎo)過(guò)程，以及線性擬合和二次多項(xiàng)式擬合的方法，三例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為Xkyky5014-351W=f(x)的拉格朗日多項(xiàng)式Pn(x),并計(jì)算f(-1)。)=(-2-0)(-2-4)(-2(x+2)(x-4)(x-5)(x+2)x(x-5)]=、■'(4+2)(4-0)(4-5)xxx)(5+2)(5-0)(5-4)~所求三次多項(xiàng)式為UO一x(x+2)(x「5)(x+2)x(「4)+2)(X5)(駕嚴(yán)I24177解先構(gòu)造基函數(shù)4242142175<24例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第2,3列。計(jì)算它的各階均差。解依據(jù)均差計(jì)算公式，結(jié)果列表中。34f(Xk)一階均差階均差009348階均差3300X0.4001234計(jì)算公式為:一階均差/(%%)二型上週仇訴23)二階均差畑亠曲二了氐和)一/(仏軋)(匕gw)Jt-0證明日插值基函數(shù)，證明：工當(dāng)f(x)1時(shí)i二的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式p(x)=//(Q)二口]二o所求的插值多項(xiàng)式為p(x)=-1/2x+3/2x例5選擇填空題1?通過(guò)四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式P(x),只要滿(mǎn)足(),則P(x)是不超過(guò)一次的多項(xiàng)(A)初始值yo=O(B)一階均差為0(C)二階均差為0(D)三階均差為0解答：因?yàn)槎A均差為0,那么牛頓插值多項(xiàng)式為N(x)=f(xo)+f(xo,xi)(x—xo)它是不超過(guò)一次的多項(xiàng)式。故選擇(C)正確。2.拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B)f(X,X0,Xi,X2,…xn)(x—xi)(x—X2)…(—Xn-1)(X—Xn)第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分考核知識(shí)點(diǎn)數(shù)值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，代數(shù)精度；插值型求積公式，牛頓一一柯特斯求積公式，柯特斯系數(shù)及其性質(zhì)，(復(fù)化)梯形求積公式，(復(fù)化)辛卜生求積公式；高斯型求積公式，高斯點(diǎn)，(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯勒讓德求積公式；(二點(diǎn)、三點(diǎn))插值型求導(dǎo)二復(fù)習(xí)要求1.了解數(shù)值積分和代數(shù)精度等基本概念。2.了解牛頓柯特斯求積公式和柯特斯系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握并推導(dǎo)(復(fù)化)梯形求積公式和(復(fù)化)辛卜生求積公式。3.知道高斯求積公式和高斯點(diǎn)概念。會(huì)用高斯勒讓德求積公式求定積分的近似值。4.知道插值型求導(dǎo)公式概念，掌握兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式。例例1試確定求積公式三例題的代數(shù)精度。(1)取f(x)=1,有：左邊=J-1(2)取f(x)=x,有：左邊=解當(dāng)f(x)取1,X,X2，…計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。⑶類(lèi)似導(dǎo)出，取f(x)=X,X,有左邊=右邊⑸取f(x)=x4,有：左邊=2/5,右邊=2/9當(dāng)求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見(jiàn)該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2試用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式計(jì)算定積分取5位有效數(shù)字)JOJ(1)用梯形公式計(jì)算『網(wǎng)?二0.25x[0.70711+1]=0.4267873212327⑵用柯特斯公式系數(shù)為2_x[4.94975+25.29822+10.59223+29S3S26+7]=0.430961',.-7Z2A1',.-7Z2A(3)如果要求精確到101用復(fù)化辛卜生公式，截?cái)嗾`差為RN[f]》只需把[0.5,1]4等分，分點(diǎn)為0.5,0.625,0.75,0.875,1『尹-[/(05)+2/(075)+4(/(0,625)+/(0.875))+沁)][0.70711+2X0.86602^4x(0.79057+0.9354(+I]-0.430960.125_例3用三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式計(jì)算積分解做變量替換.—有Winxt...=查表得節(jié)點(diǎn)為_(kāi)0.774596669和0;系數(shù)分別為0.5555555556和0.8888888889燈inxi...=/+1-sin-(-0.774S96669+1)=05555555556x_Jsinl(0+l)sin-(0.774596669+1)“—_m=0.94083124例4已知函數(shù)值f(1.0)=x解三點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式為廣(心-趴-卽円十4兒-"Ja/*_!J2M廣E+J=—-4兒+譏+Jknx0,25000000+4x0.226757-0.2066⑵二-024792了Ql)対(-0.25000000+0.2066⑵二-021694例5選擇填空題1.如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分]二'V,要求截?cái)嗾`差不超過(guò)0.5X10「4,試問(wèn)A41(B)42(C)43(D)40解答；復(fù)化的梯形公式的截?cái)嗾`差為甌二二max(T)=12?2?已知n=3時(shí)，柯特斯系數(shù)解答：由柯特斯系數(shù)的歸一性質(zhì),8嚟二1-弟七匚席)二1第六章常微分方程的數(shù)值解法一考核知識(shí)點(diǎn)尤拉公式，梯形公式，改進(jìn)尤拉法，局部截?cái)嗾`差；龍格一一庫(kù)塔法，局部截?cái)嗾`差。復(fù)習(xí)要求1?掌握尤拉法和改進(jìn)的尤拉法(梯形公式、預(yù)報(bào)-校正公式)，知道其局部截?cái)嗾`差。2.知道龍格庫(kù)塔法的基本思想。知道二階、三階龍格庫(kù)塔法。掌握四階龍格一-庫(kù)塔法，知道龍格一庫(kù)塔法的三例題例1用尤拉法解初值問(wèn)題',取步長(zhǎng)h=0.2。計(jì)算過(guò)程保7(°)=1解h=0.2,f(x)=—y—xy2。首先建立尤拉迭代格式XXX例2用尤拉預(yù)報(bào)—校正公式求解初值問(wèn)題V，取步長(zhǎng)h=0.2,計(jì)算y(0.2),y(0.4)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位。2解步長(zhǎng)h=0.2,此時(shí)f(x,y)=—y—ysinx校正值九=7*+寸/(兀必)+您“沁)]預(yù)報(bào)值校正值尤拉預(yù)報(bào)-校正公式為：^(12)^y1-lx(0J9-0Jlxlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712siiil2)=0.71549y2=^(0.8-02^sinir)=0,71549x(0.8-02x0.71549sin1.2)=0.47697.4)=0