第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型

國家精品課程自動控制原理PrinciplesofAutomaticControl（非自動化專業(yè)）主講人：

王萬良《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所2《自動控制原理》國家精品課程網(wǎng)站

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所3導讀為什么要介紹本章?分析、設計控制系統(tǒng)的第一步是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。本章主要講什么內(nèi)容?首先介紹控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念，然后闡述分析、設計控制系統(tǒng)常用的幾種數(shù)學模型，包括微分方程、傳遞函數(shù)、結構圖以及信號流圖。使讀者了解機理建模的基本方法，著重了解這些數(shù)學模型之間的相互關系。第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所4第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)

(機械，電氣，過程等)建模方法機理或實驗數(shù)學模型性能分析

穩(wěn)定性、動態(tài)性能、魯棒性等等若性能不滿足要求對系統(tǒng)進行校正校正方法（控制器設計方法）

滯后-超前、PID、LQ最優(yōu)等

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所5第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.4傳遞函數(shù)2.2微分方程模型2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所6第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.4傳遞函數(shù)2.2微分方程模型2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所72.1系統(tǒng)數(shù)學模型的概念自控理論方法是先將系統(tǒng)抽象完數(shù)學模型，然后用數(shù)學的方法處理?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）之間關系的數(shù)學表達式或圖形表達式或數(shù)字表達式。完全不同物理性質的系統(tǒng)，其數(shù)學模型具有相似性！《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所8建立數(shù)學模型的方法機理分析建模方法，稱為分析法；實驗建模方法，通常稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學模型的定義與主要類型

靜態(tài)模型與動態(tài)模型(靜態(tài)模型是t→∞時系統(tǒng)的動態(tài)模型)

輸入輸出描述模型（外部描述模型）與內(nèi)部描述模型

連續(xù)時間模型與離散時間模型

參數(shù)模型與非參數(shù)模型10《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所9第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所10第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.2微分方程模型描述系統(tǒng)輸出變量和輸入變量之間動態(tài)關系的微分方程稱為微分方程模型《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所112.2微分方程模型系統(tǒng)微分方程的形式與系統(tǒng)分類之間的關系:（1）非線性微分方程描述的是非線性系統(tǒng)；（2）線性微分方程描述的是線性系統(tǒng);（3）時變系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)與時間有關；（4）時不變(定常)系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)與時間無關。系統(tǒng)u(t)y(t)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所12例2.1一階RC網(wǎng)絡系統(tǒng)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所13例2.2二階RC網(wǎng)絡系統(tǒng)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所14思考：能否可以將二階RC網(wǎng)絡看成是兩個一階RC網(wǎng)絡的串聯(lián)？分別建立一階RC網(wǎng)絡的輸入輸出之間的微分方程關系，然后直接得到二階RC網(wǎng)絡的輸入輸出之間的微分方程關系？串聯(lián)？T12=0《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所15C-+一階有源網(wǎng)絡系統(tǒng)二階有源網(wǎng)絡系統(tǒng)思考：能否可以將下列有源二階RC網(wǎng)絡看成是兩個有源一階RC網(wǎng)絡的串聯(lián)？為什么？《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所16第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所17數(shù)學預備知識：拉氏變換典型信號的拉氏變換（1）《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所18典型信號的拉氏變換（2）《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所19拉氏變換的性質《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所20應用拉氏變換的終值定理求注意拉氏變換終值定理的適用條件：事實上：

的極點均處在復平面的左半邊。不滿足終值定理的條件。

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所21幾個拉氏變換定理的證明《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所22拉氏變換的應用：求解微分方程《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所23有理分式的分解（1）：極點為相異實數(shù)的情況《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所24有理分式的分解（2）：出現(xiàn)極點為相同實數(shù)的情況《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所25有理分式的分解（2）：出現(xiàn)極點為相同實數(shù)的情況《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所26有理分式的分解（3）：出現(xiàn)極點為相異復數(shù)數(shù)的情況《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所27《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所28第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所292.4.1傳遞函數(shù)與脈沖響應函數(shù)的定義系統(tǒng)u(t)y(t)定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)G(s)U(s)Y(s)系統(tǒng)微分方程與傳遞函數(shù)可以直接轉換!《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所30系統(tǒng)G(s)U(s)Y(s)下面考察單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出單位脈沖輸入信號的拉氏變換為1單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)G(s)1G(s)系統(tǒng)g(t)思考：求系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出相應（單位階躍響應）。并考慮系統(tǒng)的單位脈沖響應與單位階躍響應之間的關系？脈沖響應是系統(tǒng)的數(shù)學模型!階躍響應不是系統(tǒng)的數(shù)學模型!《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所31傳遞函數(shù)的性質：

（1）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入輸出無關；（2）傳遞函數(shù)概念僅適用于線性定常系統(tǒng)，具有復變函數(shù)的所有性質；（3）傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式，即n≥m；（4）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)沖激響應的拉氏變換；（5）傳遞函數(shù)與真正的物理系統(tǒng)不存在一一對應關系；（6）由于傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)均為實數(shù)，故零點和極點可以是實數(shù)，也可以是成對的共軛復數(shù)。

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所322.4.2傳遞函數(shù)的表示方式

1．有理分式形式2．零極點形式《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所332．零極點形式（傳遞函數(shù)是s的復變函數(shù)，s是復數(shù)變量）《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所34

2．零極點形式（傳遞函數(shù)是s的復變函數(shù)，s是復數(shù)變量）《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所35

3．時間常數(shù)形式《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所362.4.3線性系統(tǒng)的基本環(huán)節(jié)放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）：積分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：二階微分環(huán)節(jié)：滯后環(huán)節(jié)（純時滯環(huán)節(jié)）：一個系統(tǒng)或一個元件（線性連續(xù)）總可以由一個或幾個基本環(huán)節(jié)組成。有些基本環(huán)節(jié)在實際中可以單獨存在，但象各種微分環(huán)節(jié)實際上是不能單獨存在的?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所37傳遞函數(shù)的一般形式（考慮時間滯后情況）不考慮時間滯后時（不存在輸送帶）：考慮時間滯后時（存在輸送帶）：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所38慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)的區(qū)別：延遲環(huán)節(jié)從輸入開始后在0－τ時間內(nèi)沒有輸出，在t=τ之后，才有輸出?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所39第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所402.5.1結構圖的基本組成控制系統(tǒng)的結構圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式，可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。特點：具有圖示模型的直觀，又有數(shù)學模型的精確?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所41結構圖包含四個基本元素：信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。

引出點（測量點）：引出或者測量信號的位置。這里的信號引出與測量信號一樣，不影響原信號，所以也稱為測量點。比較點（綜合點）：對兩個或者兩個以上的信號進行代數(shù)運算。

方塊：表示對輸入信號進行的數(shù)學變換。對于線性定常系統(tǒng)或元件，通常在方框中寫入其傳遞函數(shù)。

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所42幾種基本的結構框圖《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所43比較點后移2.5.2結構圖的變換法則《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所44比較點前移《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所45比較點合并《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所46引出點前移《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所47引出點后移《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所48結構圖化簡求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本方法：(1)利用等效變換法則，通過移動比較點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的幾種基本的簡單回路。(2)將結構圖變換為代數(shù)方程組,然后求解代數(shù)方程組.(3)將結構圖變換為信號流圖,然后應用梅森增益公式(4)直接應用梅森增益公式(最好不用!!)G(s)R(s)C(s)變換法則對應于代數(shù)變換結構圖對應于代數(shù)方程組結構圖化簡對應于代數(shù)方程組求解中消元2.5.3結構圖的簡化《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所49結構框圖的化簡例2.11G(s)R(s)C(s)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所50結構圖的化簡例2.12G(s)R(s)C(s)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所512.5.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)C(s)N(s)R(s)C(s)C(s)N(s)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所52

反饋控制系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)R(s)E(s)N(s)R(s)E(s)E(s)N(s)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所53第2章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1控制系統(tǒng)數(shù)學模型的概念2.2微分方程模型2.4傳遞函數(shù)2.5結構圖2.6控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示2.3拉普拉斯變換《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所542.6

控制系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB表示MATLAB是由美國Mathworks開發(fā)的大型數(shù)學軟件包，在自動控制、圖象及信號處理等許多領域得到廣泛應用。MATLAB的安裝、啟動等與一般軟件相同。啟動MATLAB后進入標準的Windows命令窗口。在MATLAB命令窗口里，用戶可以直接輸入命令程序，單擊菜單欄按鈕，就可以進行計算，其結果也在命令窗口中顯示。程序較長時，可以打開一個新窗口，在新窗口里編寫和修改程序。然后為這個程序命名，并保存在同一子目錄下。此后在命令窗口打入程序名并回車，就執(zhí)行該程序。Simulink是用于連續(xù)、離散以及混合的線性、非線性控制系統(tǒng)建模、仿真和分析的軟件包，并為用戶提供了用方框圖進行建模的圖形接口，很適合用于控制系統(tǒng)的仿真。MATLAB只能作為輔助的分析與設計系統(tǒng)的工具，不能代替控制理論分析與設計方法?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所552.6.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示1．有理分式形式的傳遞函數(shù)在MATLAB中表示為在MATLAB窗口中鍵入按回車鍵，命令窗口輸出如下結果Tramsferfunction：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所562.6.1傳遞函數(shù)模型的MATLAB表示2．零極點形式的傳遞函數(shù)在MATLAB中表示為在MATLAB窗口中鍵入按回車鍵，命令窗口輸出如下結果Zero/pole/gain：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所572.6.2結構圖的MATLAB表示兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)兩個環(huán)節(jié)的串聯(lián)反饋連接