2018版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形111正弦定理一學(xué)案新人教A版

1．1.1正弦定理(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.經(jīng)過(guò)對(duì)隨意三角形邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系的探究，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一正弦定理1．正弦定理的表示文字在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比都相等，該比值為三角形語(yǔ)言外接圓的直徑abc符號(hào)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則sinA＝sinB＝sinC語(yǔ)言＝2R正弦定理的常有變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，此中R為△ABC外接圓的半徑．a(chǎn)，sinbc(2)sinA＝2B＝2，sinC＝2(R為△ABC外接圓的半徑)．RRR(3)三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即∶∶＝sin∶sin∶sin.abcABCa＋b＋cabcsinA＋sinB＋sinC＝sinA＝sinB＝sinC.asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.3．正弦定理的證明在Rt△ABC中，設(shè)C為直角，如圖，由三角函數(shù)的定義：absinA＝c，sinB＝c，abccC，∴c＝sinA＝sinB＝sin90°＝sinabcsinA＝sinB＝sinC．在銳角三角形ABC中，設(shè)AB邊上的高為CD，如圖，CD＝asin__B＝bsin__A，bsinA＝sinB，同理，作邊上的高，可得a＝c，ACBEsinAsinCabcC.∴sinA＝sinB＝sin在鈍角三角形ABC中，C為鈍角，如圖，過(guò)B作BD⊥AC于D，則＝sin(π－)＝sin__，BDaCaC＝sin__，故有asin＝sin__，BDcACcAc＝，sinAsinCababc同理，sinA＝sinB，∴sinA＝sinB＝sinC.思慮以下相關(guān)正弦定理的表達(dá)：①正弦定理只合用于銳角三角形；②正弦定理不合用于直角三角形；③在某一確立的三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比是必定值；④在△ABC中，sin

A∶sin

B∶sin

C＝BC∶AC∶AB.此中正確的個(gè)數(shù)有

(

)A．1B．2C

．3D．4答案B分析正弦定理合用于隨意三角形，故①②均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確立，則各邊與其所對(duì)角的正弦的比值也就確立了，因此③正確；由正弦定理可知④正確．應(yīng)選知識(shí)點(diǎn)二解三角形

B.一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其余元素的過(guò)程叫做解三角形．思慮正弦定理能解決哪些問(wèn)題？答案利用正弦定理能夠解決以下兩類(lèi)相關(guān)三角形的問(wèn)題：①已知兩角和隨意一邊，求其余兩邊和第三個(gè)角；②已知兩邊和此中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其余的邊和角．題型一對(duì)正弦定理的理解例1在△ABC中，若角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊分別是a，b，c，則以下對(duì)于正弦定理的表達(dá)或變形中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是( )A．a(chǎn)∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a(chǎn)＝b?sin2A＝sin2BaA＝sinb＋cC.sinB＋sinCD．正弦值較大的角所對(duì)的邊也較大答案BabcC＝k(k>0)，則a＝ksinA，b＝ksinB，分析在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB＝sinc＝ksinC，故a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，故A正確．當(dāng)A＝30°，B＝60°時(shí)，sin2A＝sin2B，此時(shí)a≠b，故B錯(cuò)誤．依據(jù)比率式的性質(zhì)易得C正確．大邊對(duì)大角，故D正確．反省與感悟(1)定理的內(nèi)容：abc＝2R，在運(yùn)用正弦定理進(jìn)行判斷時(shí)，要sin＝＝AsinBsinC靈巧使用定理的各樣變形．c假如b＝d，那么a＋bc＋d＝d(b，d≠0)(合比定理)；a－b＝c－d(b，d≠0)(分比定理)；bda＋bc＋da－b＝c－d(a>b，c>d)(合分比定理)；a1a2aa1a2ana1＋a2＋＋a能夠推行為：假如＝n＝＝＝n＝＝，那么b1＝.b1b2bnb2bnb1＋b2＋＋bn追蹤訓(xùn)練1在△中，以下關(guān)系必定建立的是()ABCA．a(chǎn)>bsinAB．a(chǎn)＝bsinAC．a(chǎn)<bsinAD．a(chǎn)≥bsinA答案D分析在△ABC中，B∈(0，π)，∴sinB∈(0，1]，1B≥1，∴sinabbsinA由正弦定理sinA＝sinB得a＝sinB≥bsinA.題型二用正弦定理解三角形例2(1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個(gè)三角形．在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解這個(gè)三角形．解(1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由a＝c得＝csinA＝10×sin45°＝102.sinAsinCCsin30°sin∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋6，4csinBcsin（A＋C）10×sin75°2＋6∴b＝sinC＝sinC＝sin30°＝20×452＋56.∴B＝105°，a＝102，b＝52＋56.acC，(2)∵sinA＝sin∴sinC＝csinA6×sin45°3a＝2＝2，C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.csinB6sin75°當(dāng)C＝60°時(shí)，B＝75°，b＝sinC＝sin60°＝3＋1；csinB6sin15°當(dāng)C＝120°時(shí)，B＝15°，b＝sinC＝sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.反省與感悟(1)已知兩角與隨意一邊解三角形的方法．第一由三角形內(nèi)角和定理能夠計(jì)算出三角形的另一角，再由正弦定理可計(jì)算出三角形的另兩邊．已知三角形兩邊和此中一邊的對(duì)角解三角形的方法．第一用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值，若這個(gè)角不是直角，當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不可以判斷，此時(shí)就有兩組解，再分別求解即可；而后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；最后依據(jù)正弦定理求出第三條邊．追蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于( )A．42B．43C．46D．4在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，則C＝______．答案(1)C(2)105°或15°分析(1)易知＝45°，由a＝b得AsinAsinB3asinB8·2b＝＝＝46.sinA22b由正弦定理sinA＝sinB，得sinbsinA2sin30°2B＝＝2＝.a2∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.題型三判斷三角形的形狀例3在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷三角形的形狀．a(chǎn)2sinBb2sinA解由已知得cosB＝cosA，由正弦定理得sin2AsinBsin2BsinA＝cos.cosBA∵sin、sin≠0，∴sincos＝sincos.ABAABB即sin2A＝sin2B.2A＋2B＝π或2A＝2B.A＋B＝π2或A＝B.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．反省與感悟(1)判斷三角形的形狀，應(yīng)環(huán)繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既能夠轉(zhuǎn)變?yōu)檫吪c邊的關(guān)系，也能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榻桥c角的關(guān)系．(2)注意在邊角互化過(guò)程中，正弦定理的變形使用，如asinAb＝sinB等．追蹤訓(xùn)練3在△ABC中，bsinB＝csinC且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀．解由bsinB＝csinC，得b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC為等腰三角形，由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC為等腰直角三角形．1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，以下等式中總能建立的是

(

)A．a(chǎn)sin

A＝bsin

B

B

．bsin

C＝csin

AC．a(chǎn)bsinC＝bcsinBD．a(chǎn)sinC＝csinA答案D分析

由正弦定理

asin

＝A

bsin

＝B

csin

，C得asinC＝csinA.2．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，那么A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°答案C3分析ab得sin＝asinB2×22由＝＝＝，sinAsinBAb32A＝45°或135°.又∵a<b，∴A<B，∴A＝45°.3．在銳角三角形ABC中，角A，B所對(duì)的邊分別為a，b，若2asinB＝3b，則A等于( )A.πB.π126ππC.4D.3答案D分析在△ABC中，利用正弦定理得2sinsin＝3sin，ABB3又∵sinB≠0，∴sinA＝2.π又A為銳角，∴A＝3.4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinAcosBcosCa＝b＝c，則△ABC是()A．等邊三角形B．直角三角形，且有一個(gè)角是30°C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一個(gè)角是30°答案C分析由題acosB＝bsinA，又由正弦定理asinB＝bsinA，∴sinB＝cosB，又∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°.同理＝45°.故△為等腰直角三角形．CABC2πb5．在△ABC中，∠A＝3，a＝3c，則c＝________．答案1分析由a＝c得sin＝csinA＝1×3＝1，sinAsinCCa322Bsinππππbsin6又0＜C＜3，因此C＝6，B＝π－(A＋C)＝6.因此c＝sinC＝π＝1.sin66．在△中，若＝5，＝π，tan＝2，則sin＝______，＝________．ABCbB4AAa答案252105分析由tanA＝2，得sinA＝2cosA，2225由sinA＋cosA＝1，得sinA＝5，πab∵b＝5，B＝4，由正弦定理sinA＝sin