2023高考數(shù)學(xué)必考公式大匯總

2023高考數(shù)學(xué)必考公式大匯總，高中三年都有用！

小編老師整理2023高考數(shù)學(xué)必考公式，和大家分享，為您的高考助一

臂之力。

基本初等函數(shù)I

一、概念與符號

1.函數(shù)的概念

一般地，我們有：設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系/■，使對于集合4中的任意一個(gè)數(shù)無，在集合B中都有唯一確定的

數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱八4-8為從集合4到集合B的一個(gè)函數(shù)

(function),記作：y=/(%),xEA.

2.映射的概念

一般地，我們有：設(shè)48是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的

對應(yīng)關(guān)系/，使對于集合4中的任意一個(gè)元素?zé)o，在集合B中都有唯一

確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)廣4-B為從集合4到集合B的

一個(gè)映射(mapping)。

3.函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/a)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對于任意的尤GI,都有/(%)<M(/(%)>M)；

(2)存在無使得7

那么稱M是函數(shù)y=/(￡)的最大(小)值，通常記為：

'max="或fOOmax="。仆加=M或/'(X)min=M).

4.奇偶函數(shù)等式的等價(jià)形式：

奇函數(shù)O/(-%)=-/(%)=/(-%)+/(%)=0

09rY=-I(/WHO)；

偶函數(shù)=r(-x)=/(%)=/,(-%)-/(%)=o

f(—

Q今Y=l(f"O).

/(%)

二、常用公式

1.幕指數(shù)運(yùn)算法則

mar-as=cT+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.(a>0,r,seQ)

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，府=Q；

當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，后=|可=卜'Q'°'

(—a,a<0.

(3)規(guī)定：aG=VH"(a>0,m,nEN*,且n>l)；

a~n=-m(a>0,m,nEN",且九>1)；

an,

a°=l(a彳0).

2.對數(shù)恒等式

a】ogaN=N,logaa=1,loga1=0.(其中N>0,a>0,且aH1)

3.對數(shù)運(yùn)算法則

設(shè)a>0,且awl,M>0,N>0,貝！］

loga(MN)=log。M+logaN,

lOga⑥=』gaM-10gaN,

n

logaN=71logaN

4.對數(shù)換底公式

logcb--

logab=-----(a>0且aW1；c>0且cW1：b>0)

logc?

函數(shù)的應(yīng)用

一、概念與符號

1.函數(shù)的零點(diǎn)

對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(%)=0的實(shí)數(shù)%叫做函數(shù)y=f(W的零

點(diǎn)(zero)

2.二分法

對于在區(qū)間［a,b］上的連續(xù)不斷且f(a)-f(b)<0的函數(shù)y=f(%),

通過不斷地把函數(shù)f。)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端

點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection)0

二、常用公式

1.二次函數(shù)式：

22

/(%)=ax+bx+c=a(%—%!)(%—%2)=a(%—/i)+k(其中a豐

0,h=,，k=型今

2a4a'

2.二次函數(shù)圖象在%軸上兩點(diǎn)間的距離：

r--------------y/b2-4ac

優(yōu)i_%21=+x2)~=---------

3.方程a久2+bx+c=0(a0)：

(1)判別式A=b2-4ac；

(2)求根公式2=z^(A>0)；

Xi+.Xob，

(3)根與系數(shù)的關(guān)系,a

51X2=--

三、常用定理

1.零點(diǎn)存在定理

一般地，我們有：如果函數(shù)曠=f。)在區(qū)間［a，可上的圖象是連續(xù)不

空間幾何體

點(diǎn)、直線和平面位置關(guān)系

一、常用公式

S圓柱全=2?rr(r4-1),，柱=S/i；

S圖椎=7rr(r+Z),“=：S九；

S圖臺^n(r，2+r2-hr'l+rl),%=：(S++S')九；

S球=4兀R2,P球=：7TR3.

二、常用定理

(1)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.

(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面.

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面關(guān)系：

r=yjR2-d2.

(4)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截

面截得的圓叫做小圓.

(5)在球面上兩點(diǎn)之間連線的最短長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在

這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)間的球面距離.

一、概念與符號

平面a、6、y,

直線a、b、c,

點(diǎn)4、B、C.

AEa---點(diǎn)力在直線a上或直線a經(jīng)過點(diǎn)4

aua----直線a在平面a內(nèi).

aCB=a——平面a、0的交線是a.

alp----平面a、0平行.

B1y---平面0與平面y垂直.

二、常用定理

1.異面直線判斷定理

過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面

直線.

2.線與線平行的判定定理

(1)平行于同一直線的兩條直線平行.

(2)垂直于同一平面的兩條直線平行.

(3)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平

面相交，那么這條直線和交線平行.

(4)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平

行.

(5)如果一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)

平面的交線.

空間向量與立體幾何

二、常用定理

1.異面直線判斷定理

過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面

直線.

2.線與線平行的判定定理

(1)平行于同一直線的兩條直線平行.

(2)垂直于同一平面的兩條直線平行.

(3)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平

面相交，那么這條直線和交線平行.

(4)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平

行.

(5)如果一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)

平面的交線.

一、常用公式

1.設(shè)a=（a］，a2，a?），b=（b1,b2,匕3），力（％1，Vi，^1）、

y,z）,貝!J

B（X2,22

2

a

⑴|a|=y/al3

々1萬工+a2b2+g，

⑵cos〈a,b>=

Jai+a2+a3-Jbl+b2+b3

222

⑶畫=V（%!-%2）+（71-y2）+（Zi-Z2）.

2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

已知4（%1，%,zj,Z2）,若z）是線段的中

B（X2,y2,M（x,y,48

點(diǎn)，則有％=紅3,y=紅當(dāng)，z玉+%

222

3.異面直線所成的角

設(shè)異面直繩48、CD所成角為仇則

cos6=|cos懣硒|=器篙

4.直線與平面所成的角

如圖，已知P4為平面a的一條斜線，n為平面a的一個(gè)法向量，過P作

平面a的垂線P。，連接。4則NPA。為斜線PA和平面a所成的角，記

為6,易得：sin6=sin-(n,AP))|=|COS(TI,AP)\=-^=.

5.二面角的向量求法

直線與方程

一、概念與符號

L傾斜角

在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與％軸相交的直線，如果把刀軸繞著交

點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為a,那么a

就叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線和支軸平行或重合時(shí)，規(guī)定其傾斜角為0’,

因此，傾斜角的取值范圍是0,<a<180'.

2.斜率

傾斜角不是90’的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，常

用上表示,即k=tana,常用斜率表示傾斜角不等于90,的直線對于%軸

的傾斜程度.

到%的角

k依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與％重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角.

44和4所成的角

I1和U相交構(gòu)成的四個(gè)角中不大于直角的角叫這兩條直線所成的角，

簡稱夾角.

圓與方程

2.圓的一般方程

方程％2+y2+D%+Ey+F=0,當(dāng)。2+￡2-4尸>0時(shí)，稱為圓的

一般方程其中圓心為(一?,一胃半徑r=W"+E2-4F

3.圓的參數(shù)方程

設(shè)C(a,b),半徑為R,則其參數(shù)方程為

{:二為參數(shù)，0工”26

4.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線E：Ax+By+C=0,圓C：(無一+(y—b)2=產(chǎn).圓心

C(a,匕)到1的距離為d=區(qū)湍f,

則d>r=1與圓C相離；

d=r=，與圓。相切；

d<r=［與圓C相交.

5.圓與圓的位置關(guān)系

22

設(shè)圓C1：(無一仰)2+6，—瓦)2="，圓。2：(x-a2)+(y-b2)=

R2.設(shè)兩圓的圓心距為d,

則當(dāng)d>R+r時(shí)，兩圓外離；

當(dāng)4=夫+了時(shí)，兩圓外切；

當(dāng)|R一廠|VdVR+r時(shí)，兩圓相交；

當(dāng)d=|R—r|時(shí)，兩圓內(nèi)切；

當(dāng)d<|R-r|時(shí)，兩圓內(nèi)含.

圓錐曲線與方程

一、橢圓

1.橢圓馬+4=l(a>h>0),c2=a2-b2(c>0),焦距|產(chǎn)出1=2c.

a2bz

橢圓1■+氤=l（a＞匕＞0）的離心率有：e=：=Jl—??.

二、雙曲線

1.雙曲線1一差=1（。＞0,b＞0）,有/=。2+爐，焦距

azb,

|FIF2I=2c.

統(tǒng)計(jì)

一、常用符號

%——平均數(shù),S2——方差,S——標(biāo)準(zhǔn)差,E——求和符號

二、常用公式

2

元=+%2++S=；￡之式。-%）2

s=廬卮二豆，】寰笨署，左=》一.

回歸方程

y=a+bx

其中

（r（7i一歹）Ek無仇一位了

-￡口式占一追2E之1片-位2

Ia=y—bx.

相關(guān)系數(shù)

「________Z/_________

一九產(chǎn)）：。％2一九）2）

概率

一、常用公式

1.隨機(jī)事件4的概率：P(/)滿足0式PQ4)M1.

2.互斥事件的概率加法公式：

(1)如果4B是互斥事件，貝!JPQ4uB)=P(/)+P(B).

⑵如果4、8是相互獨(dú)立事件,則P(4B)=P(4)P(B).

(3)如果事件4,A2>'?->4兩兩相斥，則

P(4U-2Uu…u4)=PG4J+P(4)+-+P(4).

3.互為對立事件概率加法公式：P(m+PQ4)=1.

4.古典概型：

p⑷=事件」包含的基本事件數(shù)

產(chǎn)⑷=試蛉的基本事件總數(shù)?

5.幾何概型：

尸⑷=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

"=試蛉的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)°

離散型隨機(jī)變量的分布列

三角函數(shù)

3.三角函數(shù)的定義

22

如圖，在a的終邊上取一點(diǎn)P。，y),\OP\=r=y/x+y>0,

定義：sina=cosa=-,tana=-

rrx

二、常用公式

L孤長公式：l=\a\R,R為圓弧所在圓的半徑，a為圓弧所對圓心角

的弧度數(shù)，1為弧長.

2.扇形的面積公式：S=-IR,R為圓的半徑，1為弧長.

2

3.同角三角函數(shù)的關(guān)系式

(1)商數(shù)關(guān)系：tana=*,

cosa

(2)平方關(guān)系：siMa+cos2a=1

(3)誘導(dǎo)公式:

X硒

sinxCOSTUnr

a+k?2n[k6Z)sinacosaUna

jr+a-sina-cosatana

-a-sinacosa-tana

zr-asina-cosa-tana

產(chǎn)

2~acosasina

肝

2+ccosa-sina

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、常用圖形

二、常用性質(zhì)

函數(shù)名稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)

解析式y(tǒng)=sin%y=cosxy=tanx

\x\x6R且x0k/r+g>k6z]

定義域RR

值域[T，1]H,i]R

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

有界性有界函數(shù)有界函數(shù)

周期性T=2nT=2nT=7T

熠區(qū)間增區(qū)間增區(qū)間

rnTTi[2kn—ir,2kn\

[2/CTT——>2kJr+-](fcir-p新+鄉(xiāng)

(kcZ)

單調(diào)性減區(qū)間減區(qū)間(AeZ)

rJT37rl[2kn,2kn+w]

^2kji+2,2kjr+-J

(keZ)

(fceZ)

三角恒等變換

解三角形

一、常用公式

1.三角形面積公式

Ss=；底X高=-absinC=-besinA=-acsinS=-

ABC22224R

其中R為A4BC的外接圓半徑.

二、常用定理

1.正弦定理：

—^―=—^―=—^―=2R.

sinAsinBsinC

2.余弦定理：

a2=b2+c2—2becos4

b2=a2+c2—2accosB,

c2=a2+b2—2abcosC.

平面向量

一、常用公式

設(shè)a、b表示向量，且a=（%i，%）,8=（%2，紇），人表示實(shí)數(shù).

1.加法原理：

a+b=（%1+不，％+”）?

2.減法原理：

a-b=（%1-%2,%_"）?

3.數(shù)乘：Aa=（Axx,AVi）.

4.數(shù)量積:

a-b=xrx2+yxy2-ab=|a||b|cos0（其中6為Q與b的夾角）

5.平行關(guān)系：

r

aIIb。%1%2—yi}2=0.

數(shù)列

2.在等差數(shù)列｛冊｝中:

（l）an=m,am=n,m^n,貝!Jam+n=°；

⑵若Sn=m,Sm=n,mHn,貝（JSm+/=~（m+n）；

⑶若S”=Sm,m^n,貝（JSm+n=0.

3.若｛冊｝與｛履｝均為等差數(shù)列,且前九項(xiàng)和分別為S”與〃，則詈=旦口.

bmT2m-i

4.項(xiàng)數(shù)為2九（九CN"）偶數(shù)的等差數(shù)列｛冊｝有：

S2n=九Si+a2n)=…=n(an+an+1)(an,0Tl+1為中間的兩項(xiàng));

S偶-s奇=訕耳=舒

演an+i

項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2九-l（neN"）的等差數(shù)列｛冊｝有:

^2n-l=（2九一1）0n（冊為中間項(xiàng)）；

S奇n

S奇―5偶=。n；彳=工.

S奇、S偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

5.常見數(shù)列的前九項(xiàng)和的公式

1+2+3+-+n=還巨；

2

1+3+5+…+(2n-1)=n2；

l2+22+32+-+n2="(—)；

6

l3+23+33+-+n3=[^y^]2.

二、常用結(jié)論

1.4是a,。的等差中項(xiàng)的充要條件幽="之

2

2.G是a,b的等比中項(xiàng)的充要條件是G?=ab,其中ab>0.

不等式

常用邏輯用語

一、常用符號

pVq----P或q,PAq----p且q,—>p-----非p

V——任意,m——存在

A=B一一力是B成立的充分條件

BnA——4是B成立的必要條件

A=B——4是B成立的充要條件

二、常用結(jié)論

1.

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、常用公式

1.常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

(1)C'=O(C為常數(shù))；

(2)(xny=MT(其中”eR)；

(3)(sinx)z=cos%；

(4)(cosx)z=—sinx；

(5)(ln%y=-；

X

(6)(loga=-i-；

xlna

(7)("=e，

(8)(ax)f=axIna.

(9)復(fù)合函數(shù)y=f(g(X))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=(Q),u=g。)的導(dǎo)數(shù)

間的關(guān)系為：

3.一般地，求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟如

下：

①求函數(shù)y=〃%)在(a,b)的極值；

②將函數(shù)y=的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中

最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

4.微積分基本定理

如果=且ra)在［a,b］上可積，則

J^/(x)dx=F(%)^=F(b)-F(a),其中FQ)叫做fQ)的一個(gè)原函

數(shù).

復(fù)數(shù)

一、常用公式

1.(a4-bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

(a4-bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i,

(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

a+biac+bd

i(c+diHO)(以上a、b、c、dER).

c+dic2+d2

2?Z1±Z2=Z1±Z2，

e)=gw。),

z'