經(jīng)濟統(tǒng)計學課件第五章平均指標與變異度指標

任務(wù)分析

通過對統(tǒng)計資料的整理，統(tǒng)計數(shù)據(jù)現(xiàn)在呈現(xiàn)出有序的狀態(tài)。從現(xiàn)在開始，要學習如何利用這些收集的數(shù)據(jù)資料對調(diào)查對象的內(nèi)在特點和相互關(guān)系進行定量分析，實現(xiàn)對事物從現(xiàn)象認識到本質(zhì)認識的飛躍。在向公眾或公司管理層說明企業(yè)的客戶滿意度情況時，我們必須使用概括性的數(shù)據(jù)來說明調(diào)查總體的情況。原始數(shù)據(jù)統(tǒng)計指標靜態(tài)分布動態(tài)趨勢總量指標相對指標平均指標變異指標水平指標速度指標因素分析加工整理人口總數(shù)人口性別比例平均年齡年齡標準差不同年份人口數(shù)人口自然增長率人口數(shù)量模型

第五章平均指標與變異度指標★第一節(jié)平均指標第二節(jié)變異度指標是指同質(zhì)總體各單位某一數(shù)量標志在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平，是總體的代表值。平均指標同質(zhì)性。只有同質(zhì)總體的平均數(shù)才有經(jīng)濟意義代表性。將各個個體單位的數(shù)量差異抽象化，代表總體的一般水平。抽象性。把總體各單位標志值的差異抽象化了平均指標的特點：一、平均指標的意義和特點第一節(jié)平均指標集中趨勢指總體中各單位的次數(shù)分布從兩邊向中間集中的趨勢，用平均指標來反映。集中趨勢的涵義比較同類現(xiàn)象在不同單位、不同地區(qū)的平均水平。比較同類現(xiàn)象在不同時期的平均水平，說明現(xiàn)象的發(fā)展趨勢或變動規(guī)律?？捎糜诜治霈F(xiàn)象之間的依存關(guān)系。利用平均數(shù)進行推算和預測。平均指標作用：甲企業(yè)乙企業(yè)工資總額工人數(shù)平均工資9.66萬元16萬元120人200人比較兩廠工資水平狀況不可比不可比可比805元/月900元/月同類現(xiàn)象在不同空間條件下的對比比較同類現(xiàn)象在不同時期的平均水平，說明現(xiàn)象的發(fā)展趨勢或變動規(guī)律。企業(yè)分析企業(yè)規(guī)模的大小與商品流通費用率之間的依存關(guān)系分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系和進行數(shù)量上的估算小規(guī)模大規(guī)模商品流轉(zhuǎn)額中等規(guī)模每種規(guī)模的平均流通費用率依存關(guān)系平均指標數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)偏度和峰度簡單式加權(quán)式平均指標的種類二、算術(shù)平均數(shù)總體各單位標志值的總和除以總體單位總數(shù)得到的平均數(shù)值。是應用最為廣泛的一種平均指標。分為簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)分子和分母必須屬于同一總體1.算術(shù)平均數(shù)的基本計算公式例如：-未分組資料式中：為算術(shù)平均數(shù);N為總體單位總數(shù)；

xi為第i個單位的標志值。2.簡單算術(shù)平均數(shù)【例】某生產(chǎn)班組10個工人日加工零件數(shù)量分別為20、21、22、23、24、25、26、28、29、32件，則這10個工人日平均加工零件數(shù)為多少？平均加工零件數(shù)為：分組整理的資料3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)比率或頻率(比重)次數(shù)或頻數(shù)(絕對數(shù))權(quán)數(shù)的表示形式：(1)根據(jù)單項數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(次數(shù))

為算術(shù)平均數(shù);fi

為第i組的次數(shù)；m

為組數(shù)；

xi為第i組的標志值或組中值?！纠磕硰S甲車間有200名職工，他們每月加工的零件數(shù)如表，計算職工平均加工零件數(shù)零件數(shù)(件)xi工人數(shù)(人)fi30323435362050764014合計200產(chǎn)量×工人數(shù)xi×fi30×20=60032×50=160034×76=2584140050466884040404040計算欄簡單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例，權(quán)重相等頻率(1)根據(jù)單項數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(頻率)【例】某廠甲車間有200名職工，他們每月加工的零件數(shù)如表，計算職工平均加工零件數(shù)零件數(shù)(件)xi工人數(shù)(人)fi比重權(quán)數(shù)30323435362050764014合計2001.0030×0.1=332×0.25=834×0.38=12.9472.5233.44計算欄20/200=0.150/200=0.2576/200=0.380.20.07183400【例】某食品廠上月有員工300人，其糖果產(chǎn)量資料如下，求員工的平均糖果產(chǎn)量。產(chǎn)量(千克)員工人數(shù)(人)fi400以下400~500500~600600~700700~800800以上225066765630合計300-350×22=77002250036300494004200025500計算欄(2)根據(jù)組距數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)總產(chǎn)量xi×fi400-50=350(400+500)/2=450550650750850組距數(shù)列應取各組的組中值作為該組的代表值用于計算；此時求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明組中值xi按學生對食堂滿意度分組（x）頻數(shù)（f）非常不滿意不滿意一般滿意非常滿意82711618366合計4008=8×154=27×2348=116×3732=183×43301472計算欄xf->1->2->3->4->5現(xiàn)在來繼續(xù)思考一下廣東金融學院學生食堂滿意度調(diào)查項目，在這個項目中如何判斷客戶滿意度水平？4.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)⒈算術(shù)平均數(shù)與總體單位數(shù)的乘積，等于各單位標志值的總和，即：2.各單位標志值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零,即：3.各單位標志值算術(shù)平均數(shù)離差平方和最小，即：離差的概念12345678-1-1-213X:(4，5,3，8，6，4)0離差和：離差平方和：4.對各單位標志值加或減一個任意數(shù)a，則

算術(shù)平均數(shù)也要增加或減少該數(shù)a，即：5.對各單位標志值乘以或除以一個任意數(shù)b，則

算術(shù)平均數(shù)也要乘以或除以該數(shù)b，即：5.交替標志平均數(shù)分組單位數(shù)變量值具有某一屬性不具有某一屬性N1N210合計N—為研究是非標志總體的數(shù)量特征，令總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種表現(xiàn)形式的標志，又叫是非標志。交替標志1、數(shù)量化標志值【例】某廠去年生產(chǎn)的產(chǎn)品中，合格率為98%，計算該廠產(chǎn)品的平均合格率。標志值xi比重權(quán)數(shù)(%)合格品不合格品10982合計-100計算欄1×98=980×2=0982計算平均數(shù)權(quán)值為比重P的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的特點（1）算術(shù)平均數(shù)易受極端變量值的影響。（2）當組距數(shù)列為開口組時，組中值不易確定，使算術(shù)平均值的代表性也不很可靠。0123456789100123456789101214

平均數(shù)=5平均數(shù)=6三、調(diào)和平均數(shù)各單位標志值倒數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)【例1】

設(shè)X=（2，4，6，8），則其調(diào)和平均數(shù)，可由定義計算如下：⒉再求算術(shù)平均數(shù)：⒈求各標志值的倒數(shù)：，，，⒊再求倒數(shù)：簡單調(diào)和平均數(shù)—未分組資料式中：為調(diào)和平均數(shù);n為變量值的個數(shù);Xi為第i個變量值。加權(quán)調(diào)和平均數(shù)—分組資料權(quán)數(shù)為m，是各組標志總量加權(quán)調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系原來只是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)！調(diào)和平均數(shù)應用平均數(shù)計算平均數(shù)相對數(shù)計算平均數(shù)1.由相對數(shù)計算平均數(shù)【例A】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情況如下：實際完成程度（﹪）計劃產(chǎn)值（萬元）fxf90～100100～110110～12060040001500合計—6100計算該公司該季度的平均計劃完成程度。分析：應采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算95105115570420017256495組中值（﹪）x【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情況如下：實際完成程度（﹪）實際產(chǎn)值（萬元）mm/x90～100100～110110～12057042001725合計—6495計算該公司該季度的平均計劃完成程度。分析：應采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式計算95105115600400015006100組中值（﹪）x按熟練程度分組人均產(chǎn)量(件/人)x工人數(shù)(人)f非熟練工熟練工40070024003600合計-60000【例】某童裝廠上月工人人數(shù)及月童裝產(chǎn)量資料如下，求上月人均童裝產(chǎn)量：總產(chǎn)量（xf）9600002520000計算欄2.由平均數(shù)計算平均數(shù)已知資料分析：應采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算3480000按熟練程度分組人均產(chǎn)量(件/人)x總產(chǎn)量（m）非熟練工熟練工4007009600002520000合計-3480000【例】某童裝廠上月工人人數(shù)及月童裝產(chǎn)量資料如下，求上月人均童裝產(chǎn)量：工人數(shù)(人)m/x24003600計算欄已知資料分析：應采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式計算60000己知m,f

,采用基本平均數(shù)公式己知x,f

,用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式己知x,m

,用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式比值如果數(shù)列中有一標志值為0，則無法計算調(diào)和平均數(shù)受極端值的影響。調(diào)和平均數(shù)特點：0123456789100123456789101214

調(diào)和平均數(shù)=2.80調(diào)和平均數(shù)=2.86是n個變量值連乘積的n次方,又叫“對數(shù)平均數(shù)”幾何平均數(shù)四、幾何平均數(shù)A.簡單幾何平均數(shù)——未分組情況式中：G為幾何平均數(shù);n為變量值的個數(shù)；xi為第i個變量值，∏為連乘號【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)最初投產(chǎn)V個單位，則第一道工序的合格品為V×0.95；第二道工序的合格品為（V×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品為（V×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；思考:若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個獨立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的投入產(chǎn)量相等，均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。

因各車間彼此獨立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；……

第五車間的合格品為：100×0.80。該企業(yè)全部合格品應為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80分析：不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，因為應采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算，即B.加權(quán)幾何平均數(shù)—分組情況式中：G為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；xi為第i組的標志值或組中值?！纠客顿Y銀行某筆投資的年利率按復利計算。近25年來的年利率有1年為3﹪，4年為5﹪，8年為8﹪，10年為10﹪，2年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………第25年末的本利和為：分析：第2年的計息基礎(chǔ)第23年的計息基礎(chǔ)則該筆本金25年總的本利率為：思考若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應得利息為：第2年末的應得利息為：第25年末的應得利息為：……設(shè)本金為V，則各年末應得利息為：則該筆本金25年應得的利息總和為=V×0.03×1+0.05×4+……+0.15×2）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件。因為假定本金為V應采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算平均年利息率。解：（比較：按復利計息時的平均年利率為8.65﹪）數(shù)列中有一標志值為0或負值，無法計算G受極端值影響小，比較穩(wěn)健。幾何平均數(shù)特點：0123456789100123456789101214

幾何平均數(shù)=3.94幾何平均數(shù)=4.300123456789100123456789101214

調(diào)和平均數(shù)=2.80調(diào)和平均數(shù)=2.860123456789100123456789101214

平均數(shù)=5平均數(shù)=6平均指標數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)偏度和峰度簡單式加權(quán)式平均指標的種類五、眾數(shù)和中位數(shù)總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值.(一)眾數(shù)01234567891011121314Mo=90123456當數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)；當數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。尺碼(厘米)銷售量(件)比重(%)尺碼(厘米)銷售量(件)比重(%)808590684851540951001053012625105合計110100【例】某商店某月女衫銷售量資料見表，試確定女衫號碼的一般水平眾數(shù)的計算方法A.單項數(shù)列確定眾數(shù)的方法—觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的就是眾數(shù)B.組距數(shù)列確定眾數(shù)的方法—觀察次數(shù)1.確定眾數(shù)所在的組

2.計算眾數(shù)—比例插值法式中:L,U:分別表示眾數(shù)組的下限、上限

△1:表示眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差

△2:

表示眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差

i:眾數(shù)組組距說明：公式以數(shù)據(jù)在各組中均勻分布為假定

條件，違背該假定，則誤差較大?！纠繖z測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間耐用時間(小時)產(chǎn)品數(shù)（個）600以下600~800800~10001000~12001200~14001400以上841612441573618合計700計算該廠產(chǎn)品耐用時間的眾數(shù)(下限公式)。組距=200【例】檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間耐用時間(小時)產(chǎn)品數(shù)（個）600以下600~800800~10001000~12001200~14001400以上841612441573618合計700計算該廠產(chǎn)品耐用時間的眾數(shù)(上限公式)。組距=200眾數(shù)特點：眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中頻率出現(xiàn)的變量值，而不受極端值和開口組數(shù)列的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標，當分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨于均勻分布時，則無眾數(shù)可言當變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置不好確定

Me50%50%（二）中位數(shù)將總體各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值。中位數(shù)中位數(shù)將所有數(shù)據(jù)分為兩半，一半比中位數(shù)小，另一半比中位數(shù)大最小值中位數(shù)Me

=7最大值最小值中位數(shù)Me

=（7+8）/2=7.5最大值1.未分組資料確定中位數(shù)奇數(shù)偶數(shù)中位數(shù)的計算方法中位數(shù)位置日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)101518202281220106

合計56-—(1)確定中位數(shù)位置=(2)計算各組的累計次數(shù)(3)根據(jù)中位數(shù)位置找出中位數(shù)2.由單項數(shù)列確定中位數(shù)【例】某車間56個工人的日產(chǎn)量資料如下，求車間工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位置：820405056564836166說明：公式以數(shù)據(jù)在各組中均勻分布為假定

條件，違背該假定，則誤差較大。3.由組距數(shù)列確定中位數(shù)(1)確定中位數(shù)所在的組的位置=(2)運用比例插值法確定中位數(shù)的值，公式為：【例】

現(xiàn)檢測某場生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，資料如下，計算其中位數(shù)耐用時間(小時)產(chǎn)品個數(shù)（個）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)600以下600~800800~10001000~12001200~14001400以上841612441573618

合計700—-842454896466827007006164552115418組距=200【例】

現(xiàn)檢測某場生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，資料如下，計算其中位數(shù)耐用時間(小時)產(chǎn)品個數(shù)（個）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)600以下600~800800~10001000~12001200~14001400以上841612441573618842454896466827007006164552115418

合計700—-組距=200中位數(shù)特點：是一種位置平均數(shù)，不受極端值和開口組的影響，具有穩(wěn)健性。對某些不具有數(shù)學特點或不能用數(shù)字測定的對象，可用中位數(shù)求其一般水平平均數(shù)=5平均數(shù)=60123456789100123456789101214

中位數(shù)=50123456789100123456789101214

中位數(shù)=5六、幾種平均數(shù)的關(guān)系用全部數(shù)據(jù)計算的，具有優(yōu)良的數(shù)學性質(zhì)，應用最為廣泛。易受極端值影響，對偏態(tài)分布其代表性較差算術(shù)平均數(shù)用于不能直接計算算術(shù)平均數(shù)的數(shù)據(jù),易受極端值的影響。調(diào)和平均數(shù)用于計算比率數(shù)據(jù)的平均數(shù),易受極端值的影響幾何平均數(shù)不受極端值影響,對偏態(tài)分布代表性較好，不是根據(jù)所有變量值計算的眾數(shù)不受極端值影響,對偏態(tài)分布代表性較好，不是根據(jù)所有變量值計算的中位數(shù)(一)算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系對稱分布算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)左偏分布算術(shù)平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)右偏分布眾數(shù)<中位數(shù)<算術(shù)平均數(shù)【例】

現(xiàn)檢測某場生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，資料如下，計算其中位數(shù)耐用時間(小時)產(chǎn)品個數(shù)(個）fi累計次數(shù)600以下600~700700~800800~900900以上102040201010307090100

合計

100--組距=100組中值xi550650750850950xifi5500130003000017000950075000耐用時間(小時)產(chǎn)品個數(shù)(個）fi累計次數(shù)600以下600~700700~800800~900900以上102040201010307090100

合計

100--組中值xi550650750850950xifi5500130003000017000950075000【例】

現(xiàn)檢測某場生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，資料如下，計算其中位數(shù)組距=100對稱分布算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)耐用時間(小時)產(chǎn)品個數(shù)(個）fi累計次數(shù)600以下600~700700~800800~900900以上20402510510307090100

合計

100--組中值xi550650750850950xifi5500130003000017000950075000【例】

現(xiàn)檢測某場生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，資料如下.右偏分布眾數(shù)<中位數(shù)<算術(shù)平均數(shù)耐用時間(小時)產(chǎn)品個數(shù)(個）fi累計次數(shù)600以下600~700700~800800~900900以上51025402010307090100

合計

100--組中值xi550650750850950xifi5500130003000017000950075000【例】

現(xiàn)檢測某場生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，資料如下.左偏分布算術(shù)平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)適量偏態(tài)時，中位數(shù)M0與算術(shù)平均數(shù)的距離是眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)距離的三分之一卡爾.皮爾遜定理【例】

某電子元件廠上月電子元件產(chǎn)量的中位數(shù)是720件，眾數(shù)是640件，估計該廠產(chǎn)量的算術(shù)平均數(shù)M0<Me<,分布為右偏=3算術(shù)平均數(shù)Me=2中位數(shù)M0=0眾數(shù)（二）算術(shù)平均數(shù),調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)關(guān)系結(jié)論：平均指標只能運用同質(zhì)總體用組平均數(shù)結(jié)合應用八、正確運用平均指標的原則【例】甲乙兩個車間工人月勞動生產(chǎn)率資料如下：甲車間乙車間按熟練程度分組工人數(shù)(人)總產(chǎn)量(件)勞動生產(chǎn)率(件/人)工人數(shù)(人)總產(chǎn)量(件)勞動生產(chǎn)率(件/人)熟練工非熟練工301030006001006020202080128010464合計4036009040336084＞＜與具體事例結(jié)合應用的原則原始數(shù)據(jù)統(tǒng)計指標靜態(tài)分布動態(tài)趨勢總量指標相對指標平均指標變異指標水平指標速度指標因素分析加工整理人口總數(shù)人口性別比例平均年齡年齡標準差不同年份人口數(shù)人口自然增長率人口數(shù)量模型例：如果你是一家制造業(yè)公司的供應部門經(jīng)理，與兩家原材料供應商聯(lián)系供貨，兩家供應商均表示能在大約10個工作日內(nèi)供齊所需原材料。幾個月的運轉(zhuǎn)之后，你發(fā)現(xiàn)盡管兩家供貨商供貨的平均時間都是大約10天，但他們供貨所需天數(shù)的分布情況卻是不同的（如下圖）。問:兩家供貨商按時供貨的可信度相同嗎？考慮它們直方圖的差異，你更愿意選擇哪家供貨商供貨呢？第二節(jié)變異度指標標志變動度的作用：衡量平均數(shù)代表性的重要尺度衡量現(xiàn)象變動的穩(wěn)定性和均衡程度。計算抽樣誤差和確定樣本量的依據(jù)。綜合反映總體各單位標志值基期分布的差異程度的指標，又稱變動度指標變異度指標衡量平均數(shù)代表性的重要尺度,穩(wěn)定性均衡程度集中趨勢弱、離中趨勢強標志變動度大、平均數(shù)代表性弱發(fā)展不穩(wěn)定集中趨勢強、離中趨勢弱標志變動度小、平均數(shù)代表性強發(fā)展穩(wěn)定全距四分位差變異度指標的種類平均差標準差方差平均差系數(shù)標準差系數(shù)按比較標準不同分類有名數(shù)離散系數(shù)無名數(shù)【例】有三個生產(chǎn)小組，各有5個人，每人日產(chǎn)量如下：甲組：24,24,24,24,24乙組：20,22,25,26,27丙組：10,20,25,30,35甲組R=24-24=0（件）乙組R=27-20=7（件）丙組R=35-10=25（件）丙組全距最大，甲組最小，表明甲組變動度最小，平均值代表性最強總體各單位標志的最大值和最小值之差，又稱極差，用R表示。(一)全距二、變異度指標的計算全距的特點計算方法簡單、易懂優(yōu)點缺點易受極端數(shù)值的影響不能全面反映所有標志值差異大小及分布狀況準確程度差。（二）四分位差04指四分位數(shù)中間兩個分位數(shù)之差，用Q表示。四分位差Q3=3四分位數(shù)Q2=2中位數(shù)Q1=1四分位數(shù)四分位差的計算（1）根據(jù)未分組資料【例奇數(shù)】某數(shù)學補習班小組11人的年齡(歲)分別為：17、19、22、24、25、28、34、35、36、37、38，則四分位差為多少。四分位差Q.D.=Q3-Q1=36-22=14(歲)【例偶數(shù)】某車間有12個工人，日產(chǎn)量按從小到大依次排列為10,20,22,24,25,26,27,28,30,32,34,35，則四分位差為多少。四分位差Q=Q3-Q1=31-23=8(件)（2）根據(jù)分組資料求Q.1、確定Q1和Q3的位置:2、求向上累計次數(shù)，在累計次數(shù)中找到Q1和Q3所在組。若是組距式數(shù)列，用以下公式求近似值:【例】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：計算該車間工人月產(chǎn)量的四分位差。月產(chǎn)量(千克)工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)60以下60~7070~8080~9090~100100~110110以上10195036271481029791151421561641641541358549228

合計164—月產(chǎn)量(千克)工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)60以下60~7070~8080~9090~100100~110110以上10195036271481029791151421561641641541358549228

合計164—組距=10確定Q1、Q3的值一半工人的月產(chǎn)量在72.40到92.96千克之間，他們之間的最大差異為20.56千克四分位差特點不受兩端各25%數(shù)值的影響，因而能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定。優(yōu)點缺點只是反映數(shù)列中段占總體50%的單位之間的差異程度。04Q3=3四分位數(shù)Q2=2中位數(shù)Q1=1四分位數(shù)（三）平均差(Avedev()函數(shù))各單位標志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。以A.D.表示。平均差1、簡單平均差

—未分組資料總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第i個單位變量值【例】有三個生產(chǎn)小組，各有5個人，每人日產(chǎn)量如下：甲組：24,24,24,24,24乙組：20,22,25,26,27丙組：10,20,25,30,35乙組丙組日產(chǎn)量(件)離差日產(chǎn)量(件)離差20222526271020253035合計-

--4212312-14-41611144161136A.D.甲<A.D.乙<A.D.丙

,與全距反映的差異程度一致-4-21232、加權(quán)平均差—分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第i個變量值出現(xiàn)的次數(shù)第i個單位變量值或組中值

反映各標志值對其平均數(shù)的平均差異程度平均差愈大，表示標志變動度愈大，平均數(shù)代表性愈小平均差愈小，表示標志變動度愈小，平均數(shù)代表性愈大【例】某車間100個工人日產(chǎn)量資料如下，計算平均差日產(chǎn)量(件)工人數(shù)(人)f組中值xi總產(chǎn)量xifi10以下10~2020~3030~4040以上30701005010合計100--515253545503601000700270238018.88.81.211.221.2188.0211.248.0224.0127.2789.2總平均日產(chǎn)量與各組日產(chǎn)量之間的平均離差為7.98件平均差的特點優(yōu)點：含義清晰,容易理解,不易受極端數(shù)值的影響是根據(jù)全部變量值計算出來的，對整個變量值的離散趨勢有較充分的代表性。缺點：用絕對值方式消除正負離差抵消，不適合于代數(shù)方法的演算。如果把絕對值符號換成括號會發(fā)生什么?為什么?一般情況下都是通過計算另一種標志變異指標——標準差，來反映總體內(nèi)部各單位標志值的差異狀況(四)標準差(Stdeva()函數(shù))和方差各單位標志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，又稱“均方差”，用σ或S.D表示。標準差的平方為方差，用σ2

表示標準差1、標準差和方差的計算總體單位總數(shù)第i個單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)（1）簡單平均法方差【例】有三個生產(chǎn)小組，各有5個人，每人日產(chǎn)量如下：甲組：24,24,24,24,24乙組：20,22,25,26,27丙組：10,20,25,30,35乙組丙組日產(chǎn)量(件)離差日產(chǎn)量(件)離差20222526271020253035合計-

--16412934-14-4161119616136121370σ甲<σ

乙<σ丙

,與平均差和全距反映的差異程度一致-4-2123（2）加權(quán)平均法，分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第i組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第i組的變量值或組中值標準差方差【例】計算下表中工人人均糖果產(chǎn)量的方差和標準差。人均產(chǎn)量(千克)工人數(shù)(人)f組中值x600以下600~700700~800800~900900以上4010016012080合計

500---550650750850950-220-120-2080180484001440040064003240068000002200065000120001020007600019360001440000640007680002592000385000人均產(chǎn)量為770千克,人均產(chǎn)量的平均差異程度為116.62千克2、交替標志的標準差–計算過程交替變量xi總體單位數(shù)fi次數(shù)比重10N1N2PQ合計N1P-1-P0-P(1-P)2P+P2Q1×P=P0×Q=0(1-P)2P(0-P)2Q【例】某車間生產(chǎn)300件產(chǎn)品，合格品270件，不合格為30件，計算平均合格率和標準差。平均合格率為90%，標準差為30%解3、總方差、組間方差和平均組內(nèi)方差日產(chǎn)量(千克)2~56~910~1212~14合計總方差反映總體各單位標志值與其算術(shù)平均數(shù)之間的平均離散程度組間方差各組平均值(組中值)與總體平均數(shù)之間的平均離散程度總體平均值總體單位數(shù)第i組平均值(組中值)第i組總體單位數(shù)3、總方差、組間方差和平均組內(nèi)方差日產(chǎn)量(千克)2~56~910~1212~14合計平均組內(nèi)方差反映各組內(nèi)部標志值間的差異程度各組組內(nèi)方差的平均數(shù)第i組的組內(nèi)方差關(guān)系總方差=組間方差+平均組內(nèi)方差【例】某班組9個工人，日產(chǎn)量為2,4,4,6,7,8,9,11,12件，計算總平均數(shù)、總方差、組間方差和組內(nèi)方差。解（1）平均加工零件：日產(chǎn)量(件)xi24467891112合計

（2）總方差：25991014162590日產(chǎn)量(件)xi工人數(shù)(人)fi組平均數(shù)(中位數(shù))(件)2~56~910~12342合計9-40.411.0040.5081.913.337.5011.50（3）組間方差：【例】某班組9個工人，日產(chǎn)量為2,4,4,6,7,8,9,11,12件，計算總平均數(shù)、總方差、組間方差和組內(nèi)方差。日產(chǎn)量(件)xi244合計1.770.450.452.67（4）組內(nèi)方差：日產(chǎn)量(件)xi6789合計2.250.250.252.255.00【例】某班組9個工人，日產(chǎn)量為2,4,4,6,7,8,9,11,12件，計算總平均數(shù)、總方差、組間方差和組內(nèi)方差。日產(chǎn)量(件)xi1112合計0.250.250.50（4）組內(nèi)方差：關(guān)系可比變異系數(shù)（五）變異系數(shù)又稱“標志變動系數(shù)”，是各種變異度指標與其算數(shù)平均數(shù)對比得到的相對數(shù)。常用的是“標準差系數(shù)”。變異系數(shù)總體算術(shù)平均數(shù)總體標準差離散系數(shù)值越小，平均值代表性越好，反之，則代表性差。σ=7.07(件)V甲=7.07/70=10.1%60657071727374758093Data甲256789101112Data乙σ=3.41(件)V乙=3.41/7=48.7%由于兩組平均水平相差懸殊太大，運用標準差來判斷平均值的代表性是不妥的，選擇運用離散系數(shù)進行分析。全距四分位差變異度指標的種類平均差標準差方差平均差系數(shù)標準差系數(shù)按比較標準不同分類有名數(shù)離散系數(shù)無名數(shù)六、偏度和峰度反映總體次數(shù)分布偏斜方向和程度指標。1、偏度右偏分布眾數(shù)中位數(shù)算術(shù)平均數(shù)對稱分布算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)左偏分布算術(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)對稱分布算術(shù)平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)左偏分布算術(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)2、偏度的測定絕對量偏度=算數(shù)平均數(shù)-眾數(shù)=-M0

偏度>0右偏分布偏度=0對稱分布偏度<0左偏分布(1)算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)比較法σ=3.3381112131415161718192021DataA1112131415161718192021DataBM0=15.5SKp=0Mean=15.5偏度與標準差之比，反映分布數(shù)列的相對偏斜程度。SKp>0為右偏，SKp<0左偏，SKp=0對稱分布.取值范圍【-3，+3】偏態(tài)系數(shù)(SKp)M0=16SKp

=-0.149<0σ

=0.9258中位數(shù)xi【例】某車間300個工人日產(chǎn)量資料如下，算偏斜程度日產(chǎn)量(件)工人數(shù)(人)f組中值xi總產(chǎn)量xifi50以下50～6060～7070～8080～9090～100100～110110以上111370120503051合計300-45556575859510511549571545509000425028505251152250099005200700005000120004500160045200表明甲車間日產(chǎn)量分布為右偏分布，偏斜程度為0.07，眾數(shù)接近平均數(shù)水平。中位數(shù)xi【例】某車間300個工人日產(chǎn)量資料如下，算偏斜程度日產(chǎn)量(件)工人數(shù)(人)f組中值xi總產(chǎn)量xifi累計次數(shù)50以下50～6060～7070～8080～9090～100100～110110以上111370120503051合計300--45556575859510511549571545509000425028505251152250099005200700005000120004500160011249421426429429930045200