數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述正態(tài)分布及其應(yīng)用

12023/3/29數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述

正態(tài)分布及其應(yīng)用

2主要內(nèi)容§2.1頻數(shù)分布§2.2集中趨勢§2.3離散趨勢§2.4正態(tài)分布及其應(yīng)用2023/3/293§2.1頻數(shù)分布頻數(shù)分布表的概念頻數(shù)分布表的編制方法頻數(shù)分布的特征頻數(shù)分布的類型頻數(shù)分布表的用途2023/3/294例2.1某地2004年抽樣調(diào)查100名男大學(xué)生的身高(cm)1072023/3/295一、頻數(shù)分布表的概念當樣本含量n較大時，為了解樣本中觀察值的分布規(guī)律和便于指標計算，可編制頻數(shù)分布表，簡稱頻數(shù)表（frequencytable）。頻數(shù)：對某一隨機現(xiàn)象進行重復(fù)觀察，或測量大量個體的某項特征，其中某個或某一組變量值出現(xiàn)的次數(shù)。頻數(shù)表：將各變量值與其相應(yīng)的頻數(shù)列成表格形式即為頻數(shù)表。2023/3/296二、頻數(shù)表的編制編制頻數(shù)表時不可能把所有的變量值及其相應(yīng)頻數(shù)都列出來，特別是當樣本例數(shù)n較大時，此時需要根據(jù)變量的取值范圍劃分為若干個組段，再匯總各組段的頻數(shù)。具體步驟如下：以例2.1資料為例。2023/3/297全距(或極差，range)是最大值與最小值之差，用R表示。例2.1中，最大值為183.5cm，最小值為162.9cm，故R=183.5-162.9=20.6（cm）。1.求全距數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制2023/3/298組段數(shù)：根據(jù)樣本含量的多少確定，一般設(shè)8～13個組段。組距：各組段的起點和終點分別稱為下限和上限，相鄰兩組段的下限之差(或每一組段的上、下限之差)稱為組距。一般取等距分組，常用全距的1/10取整做組距。某組段(下限+上限)/2為組中值。劃分組段：各組段應(yīng)是連續(xù)的，不能有交叉或重疊。第一組段應(yīng)包括最小值；最末組段應(yīng)包括最大值，并同時寫出其下限與上限。例2.1中，全距的1/10為20.6/10=

2.06，組距取整為2.0cm；最小值為162.9cm，故第一組段的下限為162cm，第二組段的下限為164cm，依次類推，最末組段為182cm184cm，包含最大值183.5cm。

2.確定組段和組距數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制2023/3/2993.列出頻數(shù)表采用計算機或劃記法將原始數(shù)據(jù)匯總，得出各組段的觀察例數(shù)，即頻數(shù)，把各組段（或各觀察值）及其相應(yīng)的頻數(shù)列表即為頻數(shù)表。注意：最末組段應(yīng)寫出上、下限，其余組段只包含下限，不包含上限。

數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制2023/3/2910202023/3/2911三、頻數(shù)分布的特征頻數(shù)分布的兩個重要特征：

1.集中趨勢（centraltendency）：身高向中央部分集中，以中等身高居多(172cm組段)，此為集中趨勢。反映集中位置或平均水平。

2.離散程度（tendencyofdispersion）：由中等身高到較矮或較高的頻數(shù)分布逐漸減少，反映了身高的離散程度。對于數(shù)值變量資料，應(yīng)用集中趨勢和離散程度二者結(jié)合起來分析其分布規(guī)律。

2023/3/2912圖

某地100名18歲男大學(xué)生身高的頻數(shù)分布集中趨勢離散程度452023/3/2913四、頻數(shù)分布的類型對稱分布：指頻數(shù)分布的集中位置在中間，左右兩側(cè)大致對稱。偏態(tài)分布：指頻數(shù)分布不對稱，集中位置偏向一側(cè)：集中位置偏向數(shù)值小的一側(cè)，稱為正偏態(tài)分布；集中位置偏向數(shù)值大的一側(cè)，稱為負偏態(tài)分布。如有害化學(xué)物質(zhì)在正常人體內(nèi)的分布為正偏態(tài)分布；冠心病、大多數(shù)惡性腫瘤等慢性病患者的年齡分布為負偏態(tài)分布。不同的分布類型應(yīng)選用不同的統(tǒng)計分析方法。

2023/3/2914圖2-1某地100名18歲男大學(xué)生身高的頻數(shù)分布2023/3/2915五、頻數(shù)表的用途

頻數(shù)表可以揭示資料分布類型和分布特征，以便選取適當?shù)慕y(tǒng)計方法；便于進一步計算指標和進行統(tǒng)計分析；便于發(fā)現(xiàn)資料中的某些特大或特小的可疑值。當樣本含量特別大時，可以頻率估計概率。作為資料的陳述形式。在文獻報告中，用頻數(shù)表既可直觀地反映被研究事物的分布特征，又便于作進一步的分析研究。2023/3/2916§2.2集中趨勢平均數(shù)是一類用于描述數(shù)值變量資料集中趨勢的指標，反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平或中心位置。統(tǒng)計上的平均數(shù)包括均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、調(diào)和均數(shù)等。2023/3/2917一、均數(shù)均數(shù)(mean)是算術(shù)均數(shù)(arithmeticmean)的簡稱。定義：指所有觀察值的代數(shù)和除以觀察值的個數(shù)。符號：樣本均數(shù)用表示，總體均數(shù)用(miu)表示。應(yīng)用：用于反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平，應(yīng)用甚廣。

適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的數(shù)值變量資料。計算方法：直接法加權(quán)法2023/3/2918直接法：用于樣本含量n較小時，公式為：

式中，希臘字母(sigma)表示求和；

為各觀察值；n為樣本含量，即觀察值的個數(shù)。例2.2

某地隨機抽取10名18歲健康男大學(xué)生身高(cm)分別為168.7，178.4，170.0，170.4，172.1，167.6，172.4，170.7，177.3，169.7，求平均身高。

集中趨勢的描述指標---均數(shù)---直接法(cm)2023/3/2919加權(quán)法：用于頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時，其公式為：例2.3計算例2.1表2-1資料100名男大學(xué)生的平均身高。

集中趨勢的描述指標---均數(shù)---加權(quán)法該100名18歲健康男大學(xué)生身高的均數(shù)為172.70cm。2023/3/2920幾何均數(shù)（geometricmean）定義：指一組觀察值的乘積，再被觀察值個數(shù)開方。符號：用表示應(yīng)用：適用于①數(shù)據(jù)經(jīng)過對數(shù)變換后呈正態(tài)分布的（對數(shù)正態(tài)分布）資料；②觀察值之間呈倍數(shù)或近似倍數(shù)變化（等比關(guān)系）的資料。如醫(yī)學(xué)實踐中的抗體滴度、平均效價等。計算方法：直接法頻數(shù)表法二、幾何均數(shù)2023/3/2921例2.4有6份血清的抗體效價為1:10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160,求其平均效價。

集中趨勢的描述指標---幾何均數(shù)---直接法該6份血清的平均抗體效價為1:45?；驑颖竞縩較小時2023/3/2922計算公式：例2.5某地區(qū)50名麻疹易感兒童接種麻疹疫苗1個月后，測其血凝抑制抗體滴度，如表2-2中(1)、(2)欄，求平均抗體滴度。集中趨勢的描述指標---幾何均數(shù)---頻數(shù)表法頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時2023/3/2923集中趨勢的描述指標---幾何均數(shù)---加權(quán)法2023/3/2924注意：計算幾何均數(shù)時觀察值中不能有0；一組觀察值中不能同時有正值和負值。集中趨勢的描述指標---幾何均數(shù)---加權(quán)法即其血凝抗體滴度的平均滴度為1:57。2023/3/2925中位數(shù)（median）是一種位置指標。定義：將一組觀察值按由小到大的順序排列后位次居中的數(shù)值就是中位數(shù)，小于和大于中位數(shù)的觀察值個數(shù)相等。符號：用M表示。應(yīng)用：用于描述任何分布，特別是偏態(tài)分布資料以及頻數(shù)分布的一端或兩端無確切數(shù)據(jù)資料的中心位置。計算方法：直接法頻數(shù)表法三、中位數(shù)50%50%M2023/3/2926直接法：用于樣本含量n較小的資料。

n為奇數(shù)時，n為偶數(shù)時，例2.6某病患者9名，其發(fā)病的潛伏期(d)分別為：2,3,3,3,4,5,6,9,16，求發(fā)病潛伏期的中位數(shù)。本例n=9，為奇數(shù)，故（d）。集中趨勢的描述指標---中位數(shù)---直接法2023/3/2927計算步驟：①按所分組段由小到大計算累計頻數(shù)和累計頻率；②確定中位數(shù)所在組段，即累計頻率包含50％的組段；③求中位數(shù)。

式中，分別為中位數(shù)所在組段的下限、組距和頻數(shù)；為小于L的各組段的累計頻數(shù)。例2.7某疾病控制中心記錄了199名沙門氏菌屬食物中毒患者發(fā)病的潛伏期(表2-3)，計算平均發(fā)病潛伏期。集中趨勢的描述指標---中位數(shù)---頻數(shù)表法適用于n較大時2023/3/2928集中趨勢的描述指標---中位數(shù)---頻數(shù)表法2023/3/2929例：分別取甲、乙、丙三人每人的耳垂血，然后紅細胞計數(shù)，每人數(shù)5個計數(shù)盤，得結(jié)果如下（萬/mm3）§2.3離散趨勢甲乙丙2023/3/2930全距（range，簡記為R）亦稱極差。定義：指一組同質(zhì)觀察值中最大值與最小值之差。全距反映了個體差異的范圍：全距大，說明變異度大；反之，全距小，說明變異度小。應(yīng)用：簡單明了。常用于說明傳染病、食物中毒等的最短及最長潛伏期。公式：R=xmax-xmin不足：①僅考慮了最大值與最小值之差

，不能反映組內(nèi)其它觀察值的變異度；②樣本含量越大，抽到較大或較小觀察值的可能性越大，故全距可能越大。因此，樣本含量相差懸殊時不宜用全距比較。

一、全距2023/3/2931二、百分位數(shù)百分位數(shù)（percentile）用表示，0<x<100，是描述一組數(shù)據(jù)某百分位的位置指標。將全部觀察值分為兩部分，理論上有x％的觀察值比它小，有(100-x)％的觀察值比它大。最常用的百分位數(shù)是，即中位數(shù)。應(yīng)用：①常與中位數(shù)結(jié)合應(yīng)用，可以描述一組資料在某百分位置上的水平，也可以描述資料的分布特征。

M-P5=P95–M時，分布近似對稱

M-P5<P95–M時，分布呈正偏態(tài)

M-P5>P95–M時，分布呈負偏態(tài)2023/3/2932百分位數(shù)（percentile）應(yīng)用：②也可用多個百分位數(shù)的結(jié)合來描述一組觀察值的分布特征，如和合用時，反映中間50%觀察值的分布情況；③百分位數(shù)可用于確定非正態(tài)分布資料的醫(yī)學(xué)參考值范圍。注意：應(yīng)用百分位數(shù)，樣本含量要足夠大，否則不宜取靠近兩端的百分位數(shù)。計算公式：分別為所在組段的下限、組距和頻數(shù)；為小于L的各組段的累計頻數(shù)。2023/3/2933百分位數(shù)2023/3/2934定義：四分位數(shù)間距(quartileinterval，Q)為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差(或與之差)。計算公式：應(yīng)用：用于描述偏態(tài)分布以及分布的一端或兩端無確切數(shù)值資料或分布類型未知資料的離散程度。三、四分位數(shù)間距QLQMQU25%25%25%25%2023/3/2935四分位數(shù)間距包括了一組觀察值的一半，故可把四分位數(shù)間距看成是中間50%觀察值的極差。意義：Q越大，變異度越大；反之，Q越小，變異度越小。特點：由于四分位數(shù)間距不受兩端個別極大值或極小值的影響，因而它較全距穩(wěn)定，但仍未考慮全部觀察值的變異度。離散程度的描述指標---四分位數(shù)間距2023/3/2936極差和四分位數(shù)間距都只考慮了個別觀察值的大小差異，沒有全面反映每個觀察值的變異程度。就總體而言，即應(yīng)考慮總體中每個觀察值與總體均數(shù)的差值()，即離均差。因離均差之和，不能反映變異度的大小，故用離均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean)反映之。離均差平方和的大小除與變異度有關(guān)外，還與變量值的個數(shù)N有關(guān)。為了消除這一影響，取離均差平方和的均數(shù)，稱方差(variance)或均方(meanofsquares)。四、方差2023/3/2937計算公式：總體方差樣本方差n-1為自由度(degreeoffreedom)，一般用(niu)表示。因方差的度量單位是原度量單位的平方，故計算結(jié)果難以解釋。離散程度的描述指標---方差樣本方差用自由度n-1去除!2023/3/2938計算公式：總體標準差樣本標準差五、標準差樣本標準差用自由度n-1去除!2023/3/2939樣本標準差離均差平方和常用或表示。直接法：加權(quán)法：

求表2-1中100名18歲男大學(xué)生身高的標準差。2023/3/2940意義：標準差大，表示觀察值的變異度大；反之，標準差小，表示觀察值的變異度小。應(yīng)用：①適用于描述對稱分布資料尤其是正態(tài)分布資料的離散程度。②結(jié)合均數(shù)，描述正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布規(guī)律，用于估計醫(yī)學(xué)參考值范圍；③結(jié)合均數(shù)，計算變異系數(shù)；④結(jié)合樣本含量，計算標準誤，估計抽樣誤