離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析

離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析演示文稿當(dāng)前1頁，總共69頁。（優(yōu)選）離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析當(dāng)前2頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁3一、DTFT及逆變換定義序列的傅立葉變換（DTFT)用來表示離散時(shí)間非周期信號(hào)及其傅立葉頻譜之間的關(guān)系：正變換：反變換:由于三角函數(shù)的周期性，反變換右邊的積分區(qū)間可以為任何一個(gè)周期區(qū)間。

當(dāng)前3頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁4二、DTFT反變換推導(dǎo)當(dāng)前4頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁5（一）單位沖激序列（二）單位常數(shù)序列（三）單位階躍序列（四）指數(shù)序列三、典型序列的傅立葉變換：當(dāng)前5頁，總共69頁。矩形窗的DTFT北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁6當(dāng)前6頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁7四、序列傅立葉變換的主要性質(zhì)1、線性2、時(shí)域平移->頻域調(diào)制3、時(shí)域調(diào)制->頻域平移4、時(shí)域翻褶當(dāng)前7頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁85、時(shí)域相乘6、時(shí)域卷積7、帕塞瓦爾定理當(dāng)前8頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁9共軛對(duì)稱序列：共軛反對(duì)稱序列：可以證明：共軛反對(duì)稱序列的性質(zhì)如何？？8、DTFT的對(duì)稱性當(dāng)前9頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁10序列共軛分量的傅立葉變換

與序列傅立葉變換的共軛分量的關(guān)系當(dāng)前10頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁11同理可得：

結(jié)論：對(duì)實(shí)序列而言，其傅立葉變換是共軛對(duì)稱的，即：實(shí)序列的傅立葉變換的

實(shí)部是偶對(duì)稱，虛部是奇對(duì)稱；

幅度是偶對(duì)稱，幅角是奇對(duì)稱。

當(dāng)前11頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁12當(dāng)前12頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁13當(dāng)前13頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁142.2Z變換及性質(zhì)一、Z變換定義二、Z變換收斂域三、Z變換性質(zhì)定理四、Z反變換當(dāng)前14頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁15設(shè)序列為x(n)，則冪級(jí)數(shù)：

稱為序列x(n)的Z變換，其中z為變量。

也可記作：當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。Z變換收斂的所有z值的集合稱為收斂域。在收斂域內(nèi)，Z變換處處解析，不含任何奇異點(diǎn)。一、Z變換定義及收斂域當(dāng)前15頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁16根據(jù)級(jí)數(shù)理論，冪級(jí)數(shù)收斂的充分且必要條件是該級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即要求：對(duì)于不同形式的序列，其收斂域的形式亦有所不同，分類討論如下二、不同序列的收斂域當(dāng)前16頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁17X(z)為有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和，只要級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)有界，則級(jí)數(shù)就是收斂的。收斂域至少包括有限Z平面1、有限長(zhǎng)序列x(n)n當(dāng)前17頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁18根據(jù)區(qū)間的不同，級(jí)數(shù)有可能在原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，故仍可細(xì)分為如下三種情況：1）、正半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；2）、負(fù)半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面和原點(diǎn)；3）、跨原點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則收斂域僅為有限Z平面；當(dāng)前18頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁19第一部分若存在，則為一負(fù)半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)椴话o窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有Z平面。第二部分是z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知，存在一個(gè)最小的收斂半徑，在此半徑外的任何點(diǎn)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。

2、右邊序列x(n)n當(dāng)前19頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁20右邊序列Z變換的收斂域至少從某一不為零的有限半徑處向外擴(kuò)張的有限Z平面；若，還要包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。時(shí)的右邊序列又稱為因果序列，是最重要的一種右邊序列。因此，在無窮遠(yuǎn)處收斂是因果序列的重要特征。當(dāng)前20頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁21x(n)n3、左邊序列若第一部分存在，則為正半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)椴话ㄔc(diǎn)的所有Z平面。第二部分是z的正冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理知，存在一個(gè)最大的收斂半徑，在此半徑內(nèi)的任何點(diǎn)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。當(dāng)前21頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁22左邊序列的收斂域至少從某一不有限半徑處向內(nèi)收斂的圓形區(qū)域；在時(shí)（反因果序列），還包括原點(diǎn)。當(dāng)前22頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁234、雙邊序列在全部時(shí)軸上皆有定義的序列，可以看作左邊序列和右邊序列之和（或者因果序列與反因果序列之和）。其收斂域應(yīng)該是正半軸序列與負(fù)半軸序列收斂域的重疊當(dāng)前23頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁24設(shè)第一項(xiàng)的收斂區(qū)域?yàn)椋?，第二?xiàng)的收斂區(qū)域?yàn)椋海?/p>

1）、若,則雙邊序列Z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域：；

2）、若，則雙邊序列Z變換在Z平面上處處不收斂。當(dāng)前24頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁25解：這是一個(gè)無窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂為：Ex:求Z變換及收斂域。當(dāng)前25頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁26

Ex:求Z變換及收斂域。解：這是一個(gè)無窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂為：當(dāng)前26頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁27結(jié)論：不同的序列其Z變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以完全一致。對(duì)于一個(gè)序列而言，僅僅用其Z變換來表示是不夠充分的，必須同時(shí)給出其Z變換的收斂范圍。同一個(gè)Z變換函數(shù)，當(dāng)收斂域不同時(shí)，代表時(shí)軸上性質(zhì)不同的序列。對(duì)于僅具有三個(gè)極點(diǎn)的Z變換，可以代表四種序列。如下圖所示：當(dāng)前27頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁28

當(dāng)前28頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁29三、Z變換性質(zhì)定理1、線性需要注意的是若參與和運(yùn)算的序列在時(shí)域上不重合，則相加后的和序列的收斂域?yàn)楦鱾€(gè)序列的收斂域的交集若不滿足上述條件，則線性組合過程中兩個(gè)序列Z變換的零、極點(diǎn)可能會(huì)互相抵消，導(dǎo)致收斂域的擴(kuò)大。當(dāng)前29頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁302、序列的移位序列的移位僅對(duì)有限長(zhǎng)、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的是否收斂有影響。對(duì)于雙邊序列，由于它的收斂域?yàn)榄h(huán)形域，不包括原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以收斂域不發(fā)生變化。

當(dāng)前30頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁31在尺度變換中，若a為實(shí)數(shù)，則零、極點(diǎn)在Z平面上沿徑向運(yùn)動(dòng)；若a為單位復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的園上旋轉(zhuǎn)；若a為任意復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)既有徑向伸縮，又有角度旋轉(zhuǎn)。3、Z域尺度變換當(dāng)前31頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁324、序列線性加權(quán)（Z域求導(dǎo)）序列的線性加權(quán)對(duì)收斂域的影響與序列的移位相類似，僅對(duì)有限長(zhǎng)、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的是否收斂有影響。對(duì)于雙邊序列，由于它的收斂域?yàn)榄h(huán)形域，不包括原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以收斂域也不發(fā)生變化。當(dāng)前32頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁335、共軛序列此處要注意，原序列Z變換極點(diǎn)的共軛是共軛序列Z變換的極點(diǎn)。由于共軛關(guān)系僅關(guān)于X軸對(duì)稱，不影響極點(diǎn)矢徑的長(zhǎng)度，因而不改變收斂半徑和收斂域。當(dāng)前33頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁346、序列翻褶序列的翻褶導(dǎo)致Z變換的收斂域以單位圓為基準(zhǔn)作了鏡像映射當(dāng)前34頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁357、初值定理（因果序列）當(dāng)前35頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁368、終值定理若序列為因果序列，并且極點(diǎn)處于單位圓以內(nèi)（若恰好在單位圓上，則最多可在z=1處有一階極點(diǎn)），則：當(dāng)前36頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁37當(dāng)前37頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁389、時(shí)域累加（因果序列）當(dāng)前38頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁3910、時(shí)域卷積和若時(shí)域?yàn)榫矸e和，則Z域是相乘，乘積的收斂域是X(z)收斂域和H(z)收斂域的交集。需要注意的是，上述結(jié)論是在兩個(gè)卷積和序列無零、極點(diǎn)對(duì)消的情況下才成立。若出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。

利用卷積和定理，可以求得LTI系統(tǒng)的響應(yīng)當(dāng)前39頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁4011、時(shí)域相乘（Z域復(fù)卷積）當(dāng)前40頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁41

證明：當(dāng)前41頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁42為了使復(fù)卷積數(shù)學(xué)意義明顯，令圍線為一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓，即：則復(fù)卷積公式變?yōu)椋河捎诜e分是在到的周期上進(jìn)行的，所以稱為周期卷積。當(dāng)前42頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁4312、帕塞瓦定理當(dāng)前43頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁44若積分圍線取為單位圓，即：則有：再進(jìn)一步，若令，則有：

上式表明：時(shí)域中序列的能量與變換域中頻譜的能量是一致的。

當(dāng)前44頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁45從給定的Z變換及其收斂域中還原出原始序列x(n)，稱為Z反變換Z反變換的實(shí)質(zhì)是求X(Z)的冪級(jí)數(shù)展開式，通常有三種方法：長(zhǎng)除法、部分分式法、留數(shù)法（圍線積分法）。四、

Z反變換當(dāng)前45頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁46部分分式法在實(shí)際應(yīng)用中，一般X(z)是z的有理分式：A(z)及B(z)都是變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且沒有公因式，則可展成部分分式形式當(dāng)前46頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁47例題：求x(n)解：由可知有兩個(gè)一階極點(diǎn)，可展成由所給的收斂域可知，對(duì)應(yīng)第一極點(diǎn)z1=2為反因果序列，對(duì)應(yīng)第二極點(diǎn)z2=0.5為因果序列,所以原始序列為：當(dāng)前47頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁48作業(yè)：2.82.112.172.443.1(b)、(g)3.33.43.6(c)3.93.28當(dāng)前48頁，總共69頁。2.3.1LTI的系統(tǒng)函數(shù)北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁49一、系統(tǒng)函數(shù)定義LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應(yīng)來完整表示，即：H(z)描述了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，稱之為傳遞函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)前49頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁50線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可和如果系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之亦成立；即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)存在且連續(xù)。二、系統(tǒng)函數(shù)與因果、穩(wěn)定性的關(guān)系當(dāng)前50頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁51對(duì)于因果系統(tǒng)而言，其收斂域：。LTI因果穩(wěn)定的充分必要條件是：收斂域必須包括單位圓及單位圓外的所有區(qū)域，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)部。

ZS不穩(wěn)定穩(wěn)定當(dāng)前51頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁52常系數(shù)線性差分方程處于零狀態(tài)時(shí)，可描述線性時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)為：三、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系當(dāng)前52頁，總共69頁。結(jié)論差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)對(duì)應(yīng)；僅由差分方程得來的系統(tǒng)函數(shù)并沒有給定收斂域，因而可代表不同的系統(tǒng)；差分方程并不唯一地確定一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng),需要有相應(yīng)的邊界條件；系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際上僅描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)下的情況，即可以用于解決零狀態(tài)的常系數(shù)線性差分方程，對(duì)于非零狀態(tài)則無法解決北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁53當(dāng)前53頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁54單邊Z變換系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際上僅僅描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)下的情況，即可以用于解決零狀態(tài)的常系數(shù)線性差分方程，對(duì)于非零狀態(tài)則無法解決。主要原因在于采用的是雙邊Z變換。為了能夠完整地解決系統(tǒng)的非零狀態(tài)解的問題，將對(duì)雙邊Z變換進(jìn)行變形，構(gòu)成單邊Z變換,如下：當(dāng)前54頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁55其時(shí)移特性如下：當(dāng)前55頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁56單邊Z變換的時(shí)移特性比雙邊Z變換的時(shí)移特性復(fù)雜，但卻可以用來解決差分方程非零狀態(tài)的問題。

Ex:求解差分方程：其中：初始條件為：。解：對(duì)差分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行單邊Z變換，得到：當(dāng)前56頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁57將初始條件代入后可得：所以：當(dāng)前57頁，總共69頁。2.3.2頻率響應(yīng)同樣道理北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁581、單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)是頻率響應(yīng)。2、傳遞函數(shù)存在，頻率響應(yīng)未必存在；3、任意信號(hào)通過LTI系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生新頻率分量。當(dāng)前58頁，總共69頁。一、LTI對(duì)信號(hào)頻譜的作用北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁59設(shè)LTI輸入的復(fù)指數(shù)序列為：

1、輸出信號(hào)與輸入為同頻信號(hào)，

2、輸出信號(hào)幅度受頻率響應(yīng)的幅值加權(quán)，3、輸出信號(hào)相位為輸入信號(hào)的“相位”與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和當(dāng)前59頁，總共69頁。頻譜及頻率響應(yīng)的再解釋信號(hào)的頻率分量（DTFT再解釋）北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁601、輸入信號(hào)可看作在頻域上分段劃分的許多個(gè)復(fù)指數(shù)分量信號(hào)2、系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的每一個(gè)復(fù)指數(shù)分量響應(yīng)之和當(dāng)前60頁，總共69頁。北京航空航天大學(xué)204教研室孫國梁61輸入為正、余弦信號(hào)設(shè)由復(fù)信號(hào)的情況，則得系統(tǒng)的輸出為：當(dāng)前61頁，總