2023年分式函數(shù)求導(dǎo)(5篇)

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分式函數(shù)求導(dǎo)篇一

假如記y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示當(dāng)x=1時(shí)y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示當(dāng)x=1/2時(shí)y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

解：

由于f（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

分式函數(shù)求導(dǎo)篇二

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7、對(duì)勾函數(shù)yx

a

0),(0，)上為增函數(shù)是奇函數(shù),a0時(shí),在區(qū)間(，x

a0時(shí),在(0a],[a,0)遞減在(，a],[,)遞增

8.分式函數(shù)

典例分析

1．(2023海南、寧夏理)設(shè)函數(shù)f(x)2．（2023重慶卷理）若f(x)3若函數(shù)h(x)2x

a．[2,)

(x1)(xa)

為奇函數(shù)，則a．

x

a是奇函數(shù)，則a．2x

1（）

kk

在(1,)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是x

3b．[2,)

c．(,2]

d．(,2]

4.（2023全國(guó)卷ⅱ理）曲線y

x

在點(diǎn)1,1處的切線方程為2x1

a.xy20b.xy20c.x4y50d.x4y50

ax14

a的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，則a=。

4x55

x

2(xr)的值域是6.（2023浙江文）函數(shù)y2

x1

7.（2023全國(guó)理科）函數(shù)

y1的圖象是（）

5.若函數(shù)y

exex(2023山東)函數(shù)yx的圖像大致為().x

ee

d

a

9.（12分）函數(shù)f(x)2x

a的定義域?yàn)?0,1]（a為實(shí)數(shù)）.x

（1）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)的值域；

（2）若函數(shù)yf(x)在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；

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10.（13分）已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)x解析式（2）若g(x)=f(x)+

12的圖象關(guān)于點(diǎn)a（0，1）對(duì)稱(chēng).（1）求函數(shù)f(x)的xa，且g(x)在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x

xa（a、b為常數(shù)）.xb

⑴若b1，解關(guān)于x的不等式f(x1)0；

5⑵當(dāng)x[1,2]，f(x)的值域?yàn)閇,2]，求a、b的值.411、（2023重慶八中）已知函數(shù)f(x)

x2(1p)xp(p0)

12、（2023西南師大附中）已知f(x)2xp

（1）若p1時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)0；

（2）若f(x)2對(duì)2x4時(shí)恒成立，求p的范圍．

分式函數(shù)求導(dǎo)篇三

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專(zhuān)文峰分校張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn)，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，考察函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對(duì)函數(shù)值域的考察或是單題形式出現(xiàn)，但更多的是以解題的一個(gè)環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識(shí)點(diǎn)之一。為此，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對(duì)分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請(qǐng)同仁指教。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類(lèi)型及值域解法

類(lèi)型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=(a0)型

例１求函數(shù)y=的值域。

解法一：常數(shù)分開(kāi)法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=，對(duì)調(diào)y=（x)，∴函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個(gè)特點(diǎn)：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名?？梢钥紤]借助三角函數(shù)值域解題，其實(shí)質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類(lèi)似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２求函數(shù)y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會(huì)出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴,其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0即原函數(shù)的值域?yàn)閇，0]。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看明了是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類(lèi)型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng)，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來(lái)解題。

１.y=(a、d不同時(shí)為0)，x∈r型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４求函數(shù)y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0，當(dāng)y≠0時(shí)，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域?yàn)閞，≤y≤。

∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閇-，]。

說(shuō)明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會(huì)放大值域。

2.y=(a、d不同時(shí)為0)，指定的區(qū)間上求值域型。

例５求（x）的值域。

分析：由于x，所以若用判別式法，可能會(huì)放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題。解：∵x，∴5-4x0,0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+]-

4≥

2=-2，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?4

例６求的值域。

錯(cuò)解：=≥2。

分析：在使用均值定理時(shí)一定要注意使用條件“一定、二正、三相等〞，顯然上述解法中和不能相等，“相等〞條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無(wú)法解決根式問(wèn)題，此時(shí)可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)=t1+,f(t2)=t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t20,t1·t2≥4,1-0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)0。

∴f(t1)f(t2)，即函數(shù)y=t+在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2、即=

2、x=0時(shí)，ymin

=，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù)，還是求二次分式函數(shù)的值域，都必需注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對(duì)一類(lèi)題才可以用通解通法。若失去同一類(lèi)前提，只強(qiáng)調(diào)通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯(cuò)誤，用辯證和發(fā)展的眼光對(duì)待問(wèn)題，這樣才會(huì)起到事半功倍的效果。

三、提煉知識(shí)，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它沒(méi)有固定的方法和模式。但我們可以針對(duì)不同的題型進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié)，盡最大可能地尋覓不同類(lèi)型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看明了是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，由于方程有實(shí)根，所以判別式△≥0，通過(guò)解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈r＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時(shí)可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等〞。

4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時(shí)，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域簡(jiǎn)單確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過(guò)確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外，還可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說(shuō)明

分式函數(shù)求導(dǎo)篇四

12—分式函數(shù)

專(zhuān)題12分式函數(shù)2023.7

1、熟悉分式函數(shù)的代數(shù)和幾何特征，把握分式函數(shù)的單調(diào)性、最值的求法；

2、能數(shù)形結(jié)合地處理分式函數(shù)、基本不等式等相關(guān)的問(wèn)題.

例1已知函數(shù)yb

xa（為常數(shù)，且a0，b0），求

（1）圖像所經(jīng)過(guò)的象限；

（2）它的對(duì)稱(chēng)中心；

（3）單調(diào)區(qū)間.例2探討f(x)axb

x（a0,br,b0）的單調(diào)性.（1）設(shè)x1，求函數(shù)f(x)x

2例2x3的最大值；

（2）函數(shù)f(x)2x2

（3）函數(shù)y2

x在[1,3]上的最大值與最小值；

（4）若不等式x2ax10對(duì)于x(0,12)恒成立，求a的范圍.

1、函數(shù)y2x

1x3的值域?yàn)開(kāi)_________.2、函數(shù)f(x)xa

x(a0)的單調(diào)遞增區(qū)間__________.3、函數(shù)f(x)xm

m1x的對(duì)稱(chēng)中心是(3,n)，則m2n________.4、函數(shù)yb

xa（a、b為常數(shù)，且a0，b0）的圖像所經(jīng)過(guò)的象限是__________.5、設(shè)x1，則函數(shù)f(x)x

2x1的最小值是___________.6、已知f(x)x

52xm的圖像是直線yx對(duì)稱(chēng)，則m__________.7、設(shè)函數(shù)f(x)x

1|x|(xr)，區(qū)間m[a,b]，集合n{y|yf(x),xm}，則使mn成立的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)有________個(gè).8、設(shè)函數(shù)f(x)2x

1x1(x0)，則f(x)（）

a．有最大值；b．有最小值；c．是增函數(shù)；d．是減函數(shù).9、函數(shù)yx

x1(x1)的反函數(shù)是（）

a．yxb．yx

x1(x1)；x1(x1)；

c．yx

1x(x0)；d．y1x

x(x0).10、關(guān)于問(wèn)題“函數(shù)f(x)

x(

)的最大值、最小值與函數(shù)

g(x)xz)的最大值與最小值〞，以下說(shuō)法正確的是（）

a．f(x)有最大、最小值，g(x)有最大、最小值；

b．f(x)有最大、最小值，g(x)無(wú)最大、最小值；

c．f(x)無(wú)最大、最小值，g(x)有最大、最小值；

d．f(x)無(wú)最大、最小值，g(x)無(wú)最大、最小值.-2-

11、設(shè)x

0，若函數(shù)f(x)a的取值范圍并求出此最小值.12、設(shè)f(x)xa

x1(ar)，x[0,)，求f(x)的最小值.13、已知函數(shù)f(x)x2a

x(x0,ar)，（1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在區(qū)間[2,)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14、若函數(shù)f(x)x2

x1的圖像是由函數(shù)yg(x)的圖像由右平移2個(gè)單位，再向下平移

1個(gè)單位所得

求：（1）函數(shù)g(x)的解析式；（2）yg(x)的對(duì)稱(chēng)中心.

分式函數(shù)求導(dǎo)篇五

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題（文）

分式函數(shù)

2x11．函數(shù)fxx的值域?yàn)?1

說(shuō)明：引出分式函數(shù)基本做法，突出對(duì)勾形式函數(shù)f(x)x

質(zhì)。

2．（浙江卷文8）若函數(shù)f(x)x2a(ar)的圖象與基本性xa(ar)，則以下結(jié)論正確的是x

a．a(chǎn)r，f(x)在(0,)上是增函數(shù)

b．a(chǎn)r，f(x)在(0,)上是減函數(shù)

c．a(chǎn)r，f(x)是偶函數(shù)

d．a(chǎn)r，f(x)是奇函數(shù)

t24t13．已知t0，則函數(shù)y的最小值為_(kāi)___________.t

x23x3,(x1)的值域?yàn)樽兪骄毩?xí)：①函數(shù)fxx1

②函數(shù)fx

③函數(shù)fx

4．設(shè)函數(shù)f(x)=x-

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.xy205．動(dòng)點(diǎn)p(a,b)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則ab3的取值范圍xy0a1y0x1,(x1)的值域?yàn)?x3x3sinxcosx1,x0,的值域?yàn)?sinxcosx21