第六章 時變電磁場

第六章時變電磁場第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日§6-1傳導(dǎo)電流、運流電流和位移電流§6-2全電流定理§6-3電磁感應(yīng)定律§6-4麥克斯韋電磁場方程組§6-5時變電磁場中不同媒質(zhì)交界面的邊界條件、解的唯一性定理§6-6電磁場能量、坡印廷矢量及能量流§6-7電磁動態(tài)位及其微分方程第六章時變電磁場本章所研究的對象，為時變電磁場。場中各物理量不僅是空間坐標的函數(shù)，而且也是時間的函數(shù)。本章將要研究統(tǒng)一的電磁場同時存在的兩個方面——隨時間變動的電場與隨時間變動的磁場。2第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流是由自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則的運動而形成的電流?！?-1傳導(dǎo)電流、運流電流和位移電流傳導(dǎo)電流服從于歐姆定律。2.運流電流電荷在無阻力空間的運動(或由于電場力的作用，或由于機械原因而產(chǎn)生)形成運流電流。運流電流將不服從于歐姆定律。設(shè)無阻力空間某微小區(qū)域內(nèi)，存有以速度

運動的電荷體密度ρ，在此空間作一無限小六面體圖6-1空間無限小六面體(6-1)3第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日dt時間內(nèi)穿過微小側(cè)面積dS的電量為微小面元dS上任一點的電流密度為當面元dS無限緊縮于某點時，即得空間該點的運流電流密度則穿過的電流為(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)由于傳導(dǎo)電流與運流電流都是帶電質(zhì)點的運動。因而在空間同一點上，兩種電流密度不能同時并存。4第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.位移電流處于電介質(zhì)中的電場，在其建立(變動)過程中，將引起電介質(zhì)的極化，而形成極化電荷。在時變電磁場中，電場總是處于一種變動狀態(tài)之中，因而電介質(zhì)中位移電量的微觀遷移運動永不停息，這樣就形成了一種電流。這種電流只是分子束縛電量微觀位移的結(jié)果，因而稱之為位移電流。圖6-2電源以傳導(dǎo)電流如圖6-2所示之兩導(dǎo)體，其間具有電容，現(xiàn)將其聯(lián)結(jié)于帶有開關(guān)的直流電源。在開關(guān)閉合之瞬間，電源將向兩導(dǎo)體電容系統(tǒng)充電，導(dǎo)體所帶的電量q系由電源以傳導(dǎo)電流的形式供給。5第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果圍繞導(dǎo)體1作一閉合高斯曲面S，則有由電流的定義則有

則稱為位移電流密度(6-6)(6-7)(6-8)位移電流由空間變動的電場所形成，而且空間任一點的位移電流密度，等于該點電位移矢量

對時間的變化率。這種真空中的位移電流，同樣顯示出磁效應(yīng)。6第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日例6-1

空間某點的電位移矢量依照的規(guī)律變化。求該點的位移電流密度表達式。解按位移電流密度，故空間任一點的位移電流密度為

例6-2

雷云放電以前，與地面感應(yīng)電荷形成一均勻電場，設(shè)此均勻電場的電場強度為5000V/cm，若雷云放電時間為1μs，求放電時此區(qū)域內(nèi)位移電流密度之值。解由于雷云放電時間為1μs，故電場強度(由5000V/cm降為零)的變化率的絕對值7第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日圖6-4例6-3圖式中：

為時間變量t的矢量函數(shù)。本問題中，

矢徑之模不變，其方向隨時間而變。由位移電流密度表達式，得其中為圓周上點M處切線方向上的單位矢量，指向圓周曲線增大的一方。例6-3

點電荷q沿半徑為R的圓周以角速度ω轉(zhuǎn)動。寫出其在圓心處位移電流密表達式。

解此點電荷轉(zhuǎn)動過程中，其在圓心所產(chǎn)生的電位移矢量為8第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日§6-2全電流定理在空間繞任意導(dǎo)體作任意閉合曲面S，此時若有電源以傳導(dǎo)電流形式向該導(dǎo)體充電，同時有自由體積電荷進入該閉合曲面，若指定穿出曲面S的電流為正，則穿入曲面S的傳導(dǎo)電流與運流電流應(yīng)等于曲面S內(nèi)自由電量q的增加率

圖6-5全電流示意全電流連續(xù)性原理或(6-12)(6-11)此時穿出曲面S的位移電流則為(6-13)9第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日由式(6-12)及式(6-13)得或式中：稱為全電流密度，穿過曲面S的全電流上式積分形式的全電流連續(xù)性原理。它說明，在時變場中，全電流密度矢量線無源，它們是永遠閉合的，具體地說即在傳導(dǎo)電流中斷處，必有運流電流、或位移電流接續(xù)。

(6-13)(6-14)微分形式的全電流連續(xù)性原理為(6-16)(6-15)10第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日

全電流定理安培環(huán)路定理是表征恒定磁場的基本方程之一，它的積分形式為，I為傳導(dǎo)電流。只要傳導(dǎo)電流連續(xù)，安培環(huán)路定理必定成立。在時變場中，由于傳導(dǎo)電流不一定處處連續(xù)，安培環(huán)路定理就失去了存在的前提。但是如果把閉合回路所交鏈的電流的概念加以拓廣，把它理解為全電流，即有(6-17)其中S為有向曲線l所界定之曲面。

上式稱之為全電流定理，它說明，磁場強度沿任意閉合有向曲線的曲線積分，等于穿過該有向曲線所界定的曲面的全電流。該式又稱為麥克斯韋第一積分方程。

11第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日由斯托克斯定理，有

(6-18)得(6-19)式(6-19)即為麥克斯韋第一微分方程。麥克斯韋第一方程表明，不僅運動電荷將產(chǎn)生變動磁場，變動電場也將產(chǎn)生變動磁場。它說明電與磁二者間的關(guān)系，因而麥克斯韋第一方程是描述時變電磁場中不同的兩個方面——電場與磁場關(guān)系的方程之一，它是解決時變電磁場問題的一個基本依據(jù)。12第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日電磁感應(yīng)定律法拉第與楞茨經(jīng)過大量實驗，測得導(dǎo)體回路內(nèi)所感生的電動勢，等于回路交鏈磁通的變化率的負值，即(6-20)表達式說明，導(dǎo)體回路內(nèi)變化磁通感生的電動勢，總是企圖產(chǎn)生這樣的感應(yīng)電流，此感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁通，其方向總具有抵消磁通變化的趨勢?！?-3電磁感應(yīng)定律例如當線圈回路的正向磁通增長時，感生電動勢13第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日

圖6-6磁通與電動勢的正方向圖6-7感生電動勢的實際方向

這表明線圈回路所感生的電動勢，其真實方向與線圈回路電動勢的正方向相反。

14第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日麥克斯韋第二方程靜電場是位場，位場中電場力作功與路徑無關(guān)。當場域中存在局外電場時，此時(合成)電場強度的環(huán)路積分并不為零，而等于局外電場強度的環(huán)路積分局外電場即是其它形式能量轉(zhuǎn)換為電能量的場所。在時變電磁場中，由于空間處處不僅存在著電場，而且同時存在著磁場，因而存在著能夠轉(zhuǎn)換為電場能量的磁場能量，此時的空間電場強度應(yīng)作廣泛的理解，即它既包含庫倫電場，也包含感應(yīng)電場。

根據(jù)電動勢的定義，(6-22)上述原理運用于電路理論中，亦可導(dǎo)出基爾霍夫第二定律。(6-21)15第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日電磁感應(yīng)定律適用于電介質(zhì)中任意假想閉合回路，故由式(6-22)、式(6-20)有(6-23)上式亦可寫為(6-24)由于空間任一點磁感應(yīng)強度

不僅是時間的函數(shù)，而且亦是坐標的函數(shù)，因而其變化率寫為偏導(dǎo)形式。對于空間任意閉合回路所界定的曲面，偏導(dǎo)數(shù)只是曲面上固定點的磁感強度

隨時間的變化率。式(6-23)或式(6-24)稱為麥克斯韋第二積分方程。

它說明，電場強度沿任意有向閉合曲線的曲線積分，等于該有向閉合曲線輪廓內(nèi)所感生的電動勢。16第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日根據(jù)斯托克斯定理故得此即麥克斯韋第二微分方程，或稱為微分形式電磁感應(yīng)定律。麥克斯韋第一方程闡明了變動的電場產(chǎn)生變動的磁場，而麥克斯韋第二方程則闡明了變動的磁場產(chǎn)生變動的電場。因而麥克斯韋第一與第二方程從不同的方面揭示了時變電磁場中電場與磁場之間的相互聯(lián)系。變動的電場將在空間產(chǎn)生變動的磁場，而變動的磁場又將在空間產(chǎn)生變動的電場，麥克斯韋就是根據(jù)這一結(jié)論，預(yù)見了電磁波的存在。

麥克斯韋第一、第二方程是我們解決時變電磁場問題的基本依據(jù)。

(6-25)(6-26)17第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日例6-4設(shè)空間磁場的磁感應(yīng)強度垂直于磁場的平面上，有一形狀如數(shù)字8的閉合回路，圖中斜線區(qū)域的面積分別為求閉合線路中的感生電動勢。解如圖6-8所示，穿過面積與的磁通分別為圖6-8例6-4圖由于上述兩磁通在閉合線路中的感生電動勢方向相反，取閉合回路感生電動勢e的正方向同的正方向一致，18第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日

例6-5均勻磁場內(nèi)，磁通密度B=Bmcosωt。設(shè)磁場內(nèi)有一面積為S的平面線圈回路，t=0時其初始位置于處。當線圈按角速度轉(zhuǎn)動時，求此平面回路中所感生的電動勢。解則回路所感生的電動勢為圖6-9例6-5圖

解如圖6-9，穿過平面回路所界定的面積S的磁通19第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日將前幾節(jié)中所導(dǎo)得的公式稍加匯總，加上媒質(zhì)的特性方程(或稱為輔助方程)，就可得到時變電磁場的一組完整的方程式。即為麥克斯韋方程組或電磁場的完整方程組。

§6-4麥克斯韋電磁場方程組(6-30)(6-29)(6-28)(6-27)(6-33)(6-32)(6-31)20第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日麥克斯韋第一及第二方程描述著統(tǒng)一電磁場兩個矛盾著的方面——電場與磁場相互依存(一方存在必以它方存在為前提)、相互制約(數(shù)量上、方向上以及變化規(guī)律上是相互約制的)而又相互轉(zhuǎn)化(變動電場轉(zhuǎn)化為變動磁場，變動磁場轉(zhuǎn)化為變動電場)。式(6-29)說明統(tǒng)一的電磁場的兩個方面之一——磁場本身所具有的另一規(guī)律——無散度，亦即磁場不可能為單極磁荷所激發(fā)。式(6-30)說明統(tǒng)一電磁場的另一方面——電場本身所具有的另一規(guī)律——有散度，亦即電場可以由點源電荷所激發(fā)。式(6-31)、式(6-32)及式(6-33)說明統(tǒng)一的電磁場與其所處空間媒質(zhì)的關(guān)系。21第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日將麥克斯韋方程組的積分方程式分別應(yīng)用于場的不同媒質(zhì)交界面，即可得到時變電磁場的邊界條件。

不同電介質(zhì)交界面的邊界條件

省略導(dǎo)出邊界條件的過程，此時邊界條件為§6-5時變電磁場中不同媒質(zhì)交界面的邊界條件、解的唯一性定理(6-34)(6-35)(6-36)(6-37)22第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日導(dǎo)體表面介質(zhì)中有圖6-11理想導(dǎo)體表面的電場

電介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面的邊界條件

由于電磁波不能透入理想導(dǎo)體內(nèi)部，故導(dǎo)體內(nèi)將不存在電場與磁場，亦即

。

23第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日沿導(dǎo)體表面無運流電流，亦無位移電流沿導(dǎo)體表面流動，得。此處

表示垂直流過單位長度上的面電流值。圖6-12介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面的磁場最后將磁通連續(xù)性原理的積分表達式運用于場的邊界，則得。小結(jié)：介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面處的邊界條件為（6-41）（6-40）（6-39）（6-38）24第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日解的唯一性定理時變電磁場的求解問題，同樣是一個求解偏微分方程滿足定解條件的解的問題，是一個既有初始條件又有邊界條件的定解問題，或稱為混合問題。

時變電磁場同樣存在著唯一性定理，所求定解問題滿足下述條件的解具有唯一性，其具體內(nèi)容如下：設(shè)被邊界Γ1所界定的場域Ω中1.如已知當t＞0的所有時間內(nèi)，邊界面Γ1上電場強度的切線分量Et或磁場強度的切線分量Ht；2.已知t=0時，場域Ω中每點電場強度E的初始值與磁場強度H的初始值。則麥克斯韋電磁場方程組具有唯一確定解。亦即時變電磁場的解，由電磁場初始值，及t＞0時邊界上的電場強度切線分量或磁場強度切線分量所唯一確定。25第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日電磁場能量在時變電磁場中，電場與磁場同時存在，因此任何一瞬間，空間任一點的電磁能量密度應(yīng)為此時電場能量密度與磁場能量密度之和，即§6-6電磁場能量、坡印廷矢量及能量流這是麥克斯韋由邏輯推理所得的假設(shè)之一，至今尚無直接實驗證明，不過建立在此假設(shè)之上的許多理論，卻為實踐所證實。時變電磁場中場量是隨時間而變動的，場的能量狀態(tài)亦是隨時間而變動的。對于線性媒質(zhì)(6-43)26第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日坡印廷矢量及能量流時變電磁場中，由于電場與磁場的不斷變化，并由空間一點傳遞到另一點，因而形成傳播于空間攜帶著電磁能量的電磁波，無論是電訊系統(tǒng)或電力系統(tǒng)，它們的功率傳輸過程都是電磁能量在空間的傳播過程。設(shè)空間某點的電磁能量密度為則該點電磁能量密度隨時間的變化率為(6-44)(6-45)(6-46)27第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日——電場用以增加該點運動體積電荷的動能所供給的功率——該點電磁能量密度之增加率——該點所在處單位體積內(nèi)傳導(dǎo)電流所引起的焦爾熱功率損失等式左端代表該點場能密度的增加率及場能耗散率之和?！姶挪ㄔ趩挝粫r間內(nèi)攜入該點的電磁能量。28第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日對于空間任一閉合曲面S所界定的體積V而言，單位時間進入該體積的電磁能量為(6-49)(6-50)圖6-13穿出閉合曲面的坡廷矢量圖為單位時間內(nèi)穿入閉合曲面S的電磁能量為單位時間內(nèi)穿出閉合曲面S的電磁能量29第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日電磁能流密度矢量（坡印廷矢量）為單位時間內(nèi)穿過

與

所組成的微小面元的單位面積上的電磁能量或電磁功率，單位為瓦特每平方米(W/m2)坡印矢量描述著電磁能在空間傳播的規(guī)律：無論是電力傳輸或電訊傳輸，都必須是通過空間電磁波來實現(xiàn)能量傳送的。圖6-14坡印矢量的確定——電磁能流，或電磁功率。30第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日忽略導(dǎo)線的電阻和電阻壓降，設(shè)雙輸電線所加電壓為u，其流過的電流為i，此時電力線族圓與磁力線族圓相正交，將空間劃分為無數(shù)正交網(wǎng)孔。圖6-15兩平行輸電線的電場和內(nèi)穿過面元dS的能量磁場平行雙輸電線的功率傳輸取任一網(wǎng)孔k，令其邊長分別為dn、dm，面積dS=(dn×dm)。單位時間內(nèi)穿過此面元dS的能量(6-52)(6-53)31第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日在以上的推導(dǎo)過程中忽略了導(dǎo)線的電阻壓降。如果考慮導(dǎo)線壓降，取電場強度E的法線分量En進行計算，同樣可以得到上述的結(jié)論。

圖6-16兩平行輸電線電場可見，輸電線所傳輸?shù)哪芰?，并非由?dǎo)線內(nèi)部傳送，而是通過線外的空間，以電磁波的方式傳播的，此時傳輸線僅起引導(dǎo)作用。32第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日

具有多值性，

可附加任意標量場的梯度而不影響

的單值性。電磁矢量動態(tài)位的達朗貝爾方程在時變電磁場中，可引入電磁矢量動態(tài)位

，并定義(6-55)(6-56)(6-57)(6-58)(6-59)§6-7電磁動態(tài)位及其微分方程

稱之為電磁標量動態(tài)位，簡稱為電磁標量位。33第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日若空間媒質(zhì)均勻且為線性，在不考慮運流電流的情況下，引用麥克斯韋第一方程，則有當媒質(zhì)均勻時(6-60)(6-61)由矢量公式(6-63)(6-62)34第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日對于所引入的

場，給其散度

以一約束條件，這一約束條件的選擇當然應(yīng)使求解的方程簡化，并能單值地確定電磁矢量位與電磁標量位。這一約束條件稱為洛倫茲條件，即上式即為電磁矢量位應(yīng)滿足的達朗貝爾方程。(6-64)(6-65)當空間不存在傳導(dǎo)電流時，則得電磁矢量位所滿足的波動方程，即(6-66)——波速35第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日電磁標量位的達朗貝爾方程在媒質(zhì)為均勻時，運用麥克斯韋方程組中電位移矢量的散度方程，并考慮洛倫茲約束條件可得電磁標量位的達朗貝爾方程。上式即為電磁標量位所應(yīng)滿足的達朗貝爾方程。(6-67)(6-68)(6-69)(6-70)由于且故即(6-71)考慮洛倫茲條件得36第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日當空間不存在自由體電荷密度時，則得電磁標量位所滿足的波動方程

(6-72)

時變電磁場邊值問題的求解，可從求解達朗貝爾方程著手。實際問題中，由于空間傳導(dǎo)電流并不存在，因此通常需要求解的只是波動方程。37第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日滯后位波動方程解的形式如何，它與靜態(tài)場的解究竟有什么不同之處？舉例說明設(shè)均勻媒質(zhì)空間，有一點電荷q，其量值隨時間t變化。在此情況下，對于場源以外空間各點，均滿足波動方程。由于場量以電荷所在點為中心而具有球面對稱關(guān)系，因而場量僅為半徑r之函數(shù)。在選擇球面坐標情況下，電磁標量位波動方程具有如下形式：

(6-74)(6-73)上述表達式與電路中無損耗均勻輸電線方程相似，比照無損耗均勻輸電線方程之解，上式的解有如下形式：(6-75)(6-76)38第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日可見電磁標量位是一個由入射波(直波)分量與反射波(回波)分量所組成的具有波動性質(zhì)的量。入射波分量由點電荷源沿半徑方向四周發(fā)散，而反射波分量則由四周沿半徑相反方向向點電荷源匯集。任何一個分量的波陣面都是一個球面，因此稱這種波為球面波。

在無限大均勻媒質(zhì)空間，由于此時無反射波存在，故有(6-77)將上式變形，則(6-78)電磁動態(tài)位方程的特例，即電磁矢量位電磁標量位將滿足各自的靜態(tài)方程。也就是說恒定磁場與靜電場不過是時變電磁場在場源不隨時間變化情況下的特例。

39第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日(6-79)(6-80)

將式(6-78)與靜電場進行對照，若認為場源點電荷從某一瞬時值q開始隨時間而變化，此時將此式與式(6-78)比較，可見應(yīng)具有與相同的量綱，因而式(6-78)應(yīng)為此函數(shù)

稱之為電磁標量滯后位，它說明：空間任一點的電磁標量位的變化，較之引起此變化的點源電荷的變化，要滯后一個傳播時間r/v。亦即滯后從場源到達該點所需要的時間(r/v)。40第四