第六章機(jī)器人的軌跡規(guī)劃

第六章機(jī)器人的軌跡規(guī)劃1第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日6.1.1機(jī)器人規(guī)劃的基機(jī)本概念

所謂機(jī)器人的規(guī)劃(P1anning)，指的是——機(jī)器人根據(jù)自身的任務(wù)，求得完成這一任務(wù)的解決方案的過程。這里所說的任務(wù)，具有廣義的概念，既可以指機(jī)器人要完成的某一具體任務(wù)，也可以是機(jī)器人的某個(gè)動(dòng)作，比如手部或關(guān)節(jié)的某個(gè)規(guī)定的運(yùn)動(dòng)等。軌跡：每個(gè)自由度的位移、速度和加速度的時(shí)間歷程。描述方法:描述成工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的運(yùn)動(dòng)。路徑點(diǎn)-這個(gè)術(shù)語包括了所有的中間點(diǎn)以及初始點(diǎn)和最終點(diǎn)。需要記住的是，雖然通常使用“點(diǎn)”這個(gè)術(shù)語，但實(shí)際上它們是表達(dá)位置和姿態(tài)的坐標(biāo)系。第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日

軌跡規(guī)劃的目的是——將操作人員輸入的簡單的任務(wù)描述變?yōu)樵敿?xì)的運(yùn)動(dòng)軌跡描述。

例如，對(duì)一般的工業(yè)機(jī)器人來說，操作員可能只輸入機(jī)械手末端的目標(biāo)位置和方位，而規(guī)劃的任務(wù)便是要確定出達(dá)到目標(biāo)的關(guān)節(jié)軌跡的形狀、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度等。6.1.1機(jī)器人規(guī)劃的基本概念第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日

關(guān)節(jié)空間法首先將在工具空間中期望的路徑點(diǎn)，通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，得到期望的關(guān)節(jié)位置，然后在關(guān)節(jié)空間內(nèi)，給每個(gè)關(guān)節(jié)找到一個(gè)經(jīng)過中間點(diǎn)到達(dá)目的終點(diǎn)的光滑函數(shù)，同時(shí)使得每個(gè)關(guān)節(jié)到達(dá)中間點(diǎn)和終點(diǎn)的時(shí)間相同，這樣便可保證機(jī)械手工具能夠到達(dá)期望的直角坐標(biāo)位置。這里只要求各個(gè)關(guān)節(jié)在路徑點(diǎn)之間的時(shí)間相同，而各個(gè)關(guān)節(jié)的光滑函數(shù)的確定則是互相獨(dú)立的。6.2第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日下面具體介紹在關(guān)節(jié)空間內(nèi)常用的兩種規(guī)劃方法1）三次多項(xiàng)式

考慮機(jī)械手末端在一定時(shí)間內(nèi)從初始位置和方位移動(dòng)到目標(biāo)位置和方位的問題。利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，可以首先求出一組起始和終了的關(guān)節(jié)位置．現(xiàn)在的問題是求出一組通過起點(diǎn)和終點(diǎn)的光滑函數(shù)。滿足這個(gè)條件的光滑函數(shù)可以有許多條，如下圖所示：6.2關(guān)節(jié)空間法第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日顯然，這些光滑函數(shù)必須滿足以下條件：同時(shí)若要求在起點(diǎn)和終點(diǎn)的速度為零，即：那么可以選擇如下的三次多項(xiàng)式：作為所要求的光滑函數(shù)。式4-3中有4個(gè)待定系數(shù)，而該式需滿足式4-1和4-2的4個(gè)約束條件，因此可以唯一地解出這些系數(shù)：（4-3）（4-2）（4-1）6.2關(guān)節(jié)空間法滿足起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度約束滿足起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度約束第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日（4-4）6.2關(guān)節(jié)空間法注意：這組解只適用于關(guān)節(jié)起點(diǎn)、終點(diǎn)速度為零的運(yùn)動(dòng)情況。第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例：設(shè)機(jī)械手的某個(gè)關(guān)節(jié)的起始關(guān)節(jié)角θ0＝150，并且機(jī)械手原來是靜止的。要求在3秒鐘內(nèi)平滑地運(yùn)動(dòng)到θf=750時(shí)停下來(即要求在終端時(shí)速度為零)。規(guī)劃出滿足上述條件的平滑運(yùn)動(dòng)的軌跡，并畫出關(guān)節(jié)角位置、角速度及角加速度隨時(shí)間變化的曲線。解：根據(jù)所給約束條件，直接代入式(4-4)，可得：a0=15，a1=0，a2=20，a3=-4.44所求關(guān)節(jié)角的位置函數(shù)為：對(duì)上式求導(dǎo)，可以得到角速度和角加速度（4-6）（4-7）6.2關(guān)節(jié)空間法第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日根據(jù)式(4-5)～(4-7)可畫出它們隨時(shí)間的變化曲線如下圖所示。由圖看出，速度曲線為一拋物線，加速度則為一直線。利用三次多項(xiàng)式規(guī)劃出的關(guān)節(jié)角的運(yùn)動(dòng)軌跡6.2關(guān)節(jié)空間法第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式方法是：把所有路徑點(diǎn)都看成是“起點(diǎn)”或“終點(diǎn)”，求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)矢量值。然后確定所要求的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)，把路徑點(diǎn)平滑的連接起來。不同的是，這些“起點(diǎn)”和“終點(diǎn)”的關(guān)節(jié)速度不再是零。第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日同理可以求得此時(shí)的三次多項(xiàng)式系數(shù)：由上式確定的三次多項(xiàng)式描述了起始點(diǎn)和終止點(diǎn)具有任意給定位置和速度的運(yùn)動(dòng)軌跡。剩下的問題就是如何確定路徑點(diǎn)上的期望關(guān)節(jié)速度，有以下三種方法：此時(shí)的速度約束條件變?yōu)椋旱谑豁?，共二十四頁?022年，8月28日（1）根據(jù)工具坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)空間中的瞬時(shí)線速度和角速度來確定每個(gè)路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度；該方法工作量大。

（2）采用路徑點(diǎn)處加速度連續(xù)的方法，由控制系統(tǒng)按照此要求自動(dòng)地選擇路徑點(diǎn)的速度。

（3）在直角坐標(biāo)空間或關(guān)節(jié)空間中采用某種適當(dāng)?shù)膯l(fā)式方法，由控制系統(tǒng)自動(dòng)地選擇路徑點(diǎn)的速度；第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日

對(duì)于方法（2），為了保證路徑點(diǎn)處的加速度連續(xù)，可以設(shè)法用兩條三次曲線在路徑點(diǎn)處按照一定的規(guī)則聯(lián)系起來，拼湊成所要求的軌跡。其約束條件是：聯(lián)接處不僅速度連續(xù)，而且加速度也要連續(xù)。第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日對(duì)于方法（3），這里所說的啟發(fā)式方法很簡單，即假設(shè)用直線段把這些路徑點(diǎn)依次連接起來，如果相鄰線段的斜率在路徑點(diǎn)處改變符號(hào)，則把速度選定為零；如果相鄰線段不改變符號(hào)，則選擇路徑點(diǎn)兩側(cè)的線段斜率的平均值作為該點(diǎn)的速度。第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日如果對(duì)于運(yùn)動(dòng)軌跡的要求更為嚴(yán)格，約束條件增多，那么三次多項(xiàng)式就不能滿足需要，必須用更高階的多項(xiàng)式對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑段進(jìn)行插值。例如，對(duì)某段路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)都規(guī)定了關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度（有六個(gè)未知的系數(shù)），則要用一個(gè)五次多項(xiàng)式進(jìn)行插值。第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日2）與拋物線擬合的線性函數(shù)前面介紹了利用三次多項(xiàng)式函數(shù)插值的規(guī)劃方法。另外一種常用方法是線性函數(shù)插值法，即用一條直線將起點(diǎn)與終點(diǎn)連接起來。但是，簡單的線性函數(shù)插值將使得關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度在起點(diǎn)和終點(diǎn)處不連續(xù)，它也意味著需要產(chǎn)生無窮大的加速度，這顯然是不希望的。因此可以考慮在起點(diǎn)和終點(diǎn)處，用拋物線與直線連接起來，在拋物線段內(nèi)，使用恒定的加速度來平滑地改變速度，從而使得整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡的位置和速度是連續(xù)的。6.2關(guān)節(jié)空間法第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日線性函數(shù)插值圖利用拋物線過渡的線性函數(shù)插值圖6.2關(guān)節(jié)空間法第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日過路徑點(diǎn)的路徑與拋物線擬合的線性函數(shù)如圖所示，某個(gè)關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)中設(shè)有n個(gè)路徑點(diǎn)，其中三個(gè)相鄰的路徑點(diǎn)表示為j，k和l，每兩個(gè)相鄰的路徑點(diǎn)之間都以線性函數(shù)相連，而所有的路徑點(diǎn)附近則用拋物線過渡。（同樣存在多解）第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日

如果要求機(jī)器人通過某個(gè)結(jié)點(diǎn)，同時(shí)速度不為零，怎么辦？可以在此結(jié)點(diǎn)兩端規(guī)定兩個(gè)“偽結(jié)點(diǎn)”，令該結(jié)點(diǎn)在兩偽結(jié)點(diǎn)的連線上，并位于兩過渡域之間的線性域上。第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日前面介紹的在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的規(guī)劃，可以保證運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過給定的路徑點(diǎn)。但是在直角坐標(biāo)空間，路徑點(diǎn)之間的軌跡形狀往往是十分復(fù)雜的，它取決于機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)構(gòu)特性。在有些情況下，對(duì)機(jī)械手末端的軌跡形狀也有一定要求，如要求它在兩點(diǎn)之間走一條直線，或者沿著一個(gè)圓弧運(yùn)動(dòng)以繞過障礙物等。這時(shí)便需要在直角坐標(biāo)空間內(nèi)規(guī)劃機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡．直角坐標(biāo)空間的路徑點(diǎn)，指的是機(jī)械手末端的工具坐標(biāo)相對(duì)于基坐標(biāo)的位置和姿態(tài)．每一個(gè)點(diǎn)由6個(gè)量組成，其中3個(gè)量描述位置，另外3個(gè)量描述姿態(tài)。

在直角坐標(biāo)空間內(nèi)規(guī)劃的方法主要有：線性函數(shù)插值法和圓弧插值法。6.3笛卡兒空間規(guī)劃法第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日前面軌跡規(guī)劃的任務(wù)，是根據(jù)給定的路徑點(diǎn)規(guī)劃出運(yùn)動(dòng)軌跡的所有參數(shù)。例如，在用三次多項(xiàng)式函數(shù)插值時(shí)，便是產(chǎn)生出多項(xiàng)式系數(shù)a0,a1,a2,a3從而得到整個(gè)軌跡的運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)上式求導(dǎo)，可以得到速度和加速度6.4軌跡的實(shí)時(shí)生成第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日前面討論了在給定路徑點(diǎn)的情況下如何規(guī)劃出運(yùn)