第四章 動(dòng)能定理

第四章動(dòng)能定理第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.1功一、單質(zhì)點(diǎn)的功1.恒力作功功的單位（焦耳）：定義：如果有一個(gè)力作用在物體上，它使物體在力的方向上發(fā)生位移，則該力對(duì)物體做功。意義：只有平行于位移的分力做功，垂直于位移的分力不做功。第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日B**A2變力的功3討論：定義式對(duì)于真實(shí)力、慣性力在慣性系、非

慣性系中都成立。(2)功是過(guò)程量，總是和一個(gè)具體的過(guò)程相聯(lián)系，

是力的時(shí)間、空間的累積效果．第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(4)外力的總功等于各外力做功的代數(shù)和，

等于外力的合力的功。(3)功是標(biāo)量，有正負(fù)之分。第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(5)功在坐標(biāo)系中的表示形式在直角坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日（6）外力做功大小和參照系有關(guān)OZXY′K系OZ′XY′′K′系A(chǔ)FB第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(7)質(zhì)點(diǎn)的位移看作質(zhì)心的位移(8)功率：做功的快慢

平均功率

瞬時(shí)功率

功率的單位

（瓦特）第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例質(zhì)量為m的小球豎直落入水中，剛接觸水面時(shí)其速率為．設(shè)此球在水中的浮力與重力相等，水的阻力為,b為常量.求阻力對(duì)球作功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．解建立如圖坐標(biāo)代入第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、質(zhì)點(diǎn)系的功1.外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總功(Fi:作用在質(zhì)點(diǎn)i上的外力)12F1F2外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總功等于各外力的功的代數(shù)和，但不等于“外力的合力”的功。質(zhì)點(diǎn)們的位移各不相同！質(zhì)心系中：外力的做功等于外力矢量和對(duì)質(zhì)心所作的功與外力在質(zhì)心系中對(duì)個(gè)質(zhì)點(diǎn)所作總功之和第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做功第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)心系中質(zhì)心坐標(biāo)為0外力大小與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量成正比，方向相同時(shí)，外力的功等于外力矢量和對(duì)質(zhì)心所作的功。第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日2.內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總功2對(duì)1的作用1相對(duì)于2的位移N個(gè)質(zhì)點(diǎn)：12F12F21內(nèi)內(nèi)第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日討論：1.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功用相對(duì)位移進(jìn)行計(jì)算。2.A內(nèi)＝A內(nèi)ˊ，內(nèi)力的總功與參考系的選擇無(wú)關(guān).3.雖然內(nèi)力矢量和為零，∑Fi＝0，但是內(nèi)力的總功一般不為零，即A內(nèi)≠0。例：計(jì)算木塊與地面間的內(nèi)力

（摩擦力）做功。以地面為參考系：以木塊為參考系：內(nèi)第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、幾種常見的力做功重力萬(wàn)有引力

彈性力有心力：第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理兩邊同時(shí),有（質(zhì)點(diǎn)）動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量．第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日16(1)功是過(guò)程量，動(dòng)能是狀態(tài)量。說(shuō)明：（2）只在慣性系中成立，對(duì)于非慣性系要考慮慣性力做功。（3）動(dòng)能、功的數(shù)值在不同的慣性參考系中數(shù)值不同，但在慣性參考系中動(dòng)能定理形式相同，即動(dòng)能定理滿足伽利略變換。第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日解

例

一質(zhì)量為1.0kg的小球系在長(zhǎng)為1.0m細(xì)繩下端，繩的上端固定在天花板上．起初把繩子放在與豎直線成30°角處，然后放手使小球沿圓弧下落．試求繩與豎直線成10°角時(shí)小球的速率．第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日由動(dòng)能定理得第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、由動(dòng)能定理求解運(yùn)動(dòng)狀態(tài)物體做一維運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果知道力與位置的函數(shù)關(guān)系和初始速度,可以根據(jù)動(dòng)能定理求出速度和位置的關(guān)系，進(jìn)而求得物體的軌跡方程。第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)如果是非慣性系，要計(jì)入慣性力做功，有內(nèi)慣慣性系中，定義：對(duì)質(zhì)點(diǎn)i，有：兩邊同時(shí)∑：第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、柯尼希定理柯尼希定理:體系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系在質(zhì)心系中的動(dòng)能之和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)心動(dòng)量，但質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一般不等于質(zhì)心的動(dòng)能。第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、質(zhì)心系中的動(dòng)能定理質(zhì)心系不一定是慣性參考系，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系不受力或者外力矢量和為0時(shí)才是慣性系。質(zhì)心系中動(dòng)能定理的形式為：質(zhì)心系是好系，即使質(zhì)心系不是慣性系，動(dòng)能定理中也不需要考慮慣性力所做的功內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理內(nèi)(慣性系)內(nèi)慣(非慣性系)與慣性系中的形式一樣！第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)心系中動(dòng)能定理的形式推導(dǎo)內(nèi)內(nèi)慣非慣性系中內(nèi)內(nèi)內(nèi)（相對(duì)位移在不同的參考系中是一樣的）第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)心的加速度為，慣內(nèi)慣內(nèi)內(nèi)內(nèi)由柯尼希定理，得第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日四、質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)能質(zhì)心系中的體系動(dòng)量：質(zhì)心系中的體系動(dòng)能：柯尼希定理：質(zhì)心動(dòng)能質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能靜參考系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能質(zhì)心系中慣性力做功:慣第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.4勢(shì)能一、有心力及其沿閉合路徑做功有心力：質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中沿任意路徑L從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)過(guò)程中做功為：有心力的性質(zhì)：有心力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、保守力與非保守力、勢(shì)能保守力：做功只與始末位置有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān)的力。保守力的充分必要條件：環(huán)路積分為零。常見的幾類保守力：（1）是位置的單值函數(shù)的力，如彈性力。（2）大小和方向都與位置無(wú)關(guān)的力,如重力。（3）有心力是保守力，如萬(wàn)有引力，靜電力非保守力：即使始末位置相同，做功路徑有關(guān)的力。第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日勢(shì)能：

由保守力求勢(shì)能函數(shù)：取無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為0，即令V(∞)＝0，則保守力場(chǎng)中任意一點(diǎn)A的勢(shì)能為勢(shì)能函數(shù)求保守力：在保守力場(chǎng)中定義的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(r)，r是位置變量，使得保守力做功滿足A(rA→rB)＝V(rA)-V(rB)。第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：2)勢(shì)能實(shí)際上只定義了勢(shì)能差值（相對(duì)值），勢(shì)能的數(shù)值（絕對(duì)值）與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)。1)勢(shì)能只對(duì)保守力才有意義3)保守力做功等于勢(shì)能的減少或勢(shì)能增量的負(fù)值。第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日4)對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)體系，保守力是兩質(zhì)點(diǎn)間的一對(duì)相互作用內(nèi)力，勢(shì)能為相互作用物體雙方共有。5)內(nèi)力做功與參照系無(wú)關(guān)，勢(shì)能是由保守力做功的特性決定的，大小只與兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),與所選取的參考系無(wú)關(guān)。6)如果質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的作用力都是保守力，則稱該質(zhì)點(diǎn)系為保守體系。保守體系勢(shì)能的計(jì)算：所有質(zhì)點(diǎn)都在無(wú)窮遠(yuǎn)處，間隔也為無(wú)窮遠(yuǎn)，然后將n個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿任意路徑移到它們所在的點(diǎn)，保守內(nèi)力所做的總功的負(fù)值即為該保守體系的勢(shì)能。第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、常見保守力的勢(shì)能函數(shù)重力：萬(wàn)有引力：彈力：（零勢(shì)能點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處）（z是離開地面的高度，零勢(shì)能點(diǎn)在地面）（零勢(shì)能點(diǎn)在彈簧自由伸長(zhǎng)處）第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.5功能原理和機(jī)械能守恒定律一、功能原理內(nèi)慣性系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：內(nèi)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能：內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)功能原理：內(nèi)第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、機(jī)械能守恒定律即機(jī)械能守恒功能原理：內(nèi)內(nèi)當(dāng)時(shí),說(shuō)明：（1）關(guān)于功和能的定理只在慣性系中成立，非慣性系中要引入非慣性力的貢獻(xiàn)。（2）能量（動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能等）總是與系統(tǒng)的狀態(tài)（相對(duì)位置、速度等）相聯(lián)系，稱為狀態(tài)量。第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、質(zhì)心系中的功能定理非慣性系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：內(nèi)慣內(nèi)內(nèi)內(nèi)質(zhì)心系中慣性力做功：慣內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能：質(zhì)心系中的功能定理:內(nèi)第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.6兩題問(wèn)題（質(zhì)心系應(yīng)用舉例）考察慣性系中兩質(zhì)點(diǎn)組成的孤立體系質(zhì)心系中，兩質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：Om1rc2rc1m2r1rcr2（1）質(zhì)心在兩質(zhì)點(diǎn)的連線上。（2）質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)心的距離反比于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為：定義：（約化質(zhì)量、折合質(zhì)量）即引入約化質(zhì)量，坐標(biāo)系取在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上后，兩體問(wèn)題可以當(dāng)成單體問(wèn)題處理，而且不需要引入慣性力。第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日由即引入約化質(zhì)量，坐標(biāo)系取在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上后，所求得的動(dòng)能就是質(zhì)心系中的動(dòng)能。質(zhì)心系中的動(dòng)能：第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日兩質(zhì)點(diǎn)體系的柯尼希定理：資用能：折合質(zhì)量：相對(duì)速度:粒子物理打靶實(shí)驗(yàn)m1=m2=m，v1＝0，v2=u如果是靜止靶，即則對(duì)撞：v1＝－u/2，v2=u/2m1=m2=m第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日碰撞

碰撞的特征：作用極強(qiáng)、作用時(shí)間極短碰撞的簡(jiǎn)化模型：內(nèi)力很大，F(xiàn)內(nèi)>>F外；作用時(shí)間極短，外力的沖量趨于0，系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒在碰撞過(guò)程中，物體的位移為0。分類：彈性碰撞和非彈性碰撞彈性碰撞:碰撞前后物體保持不變，既沒有形狀

大小的變化，也沒有內(nèi)部狀態(tài)的變化。完全非彈性碰撞：

碰撞前后物體有剩余形變或狀態(tài)變化，

并且合并在一起以同一速度運(yùn)動(dòng)。

第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日一、正碰：碰撞前后兩物體的速度都沿二者中心的連線。對(duì)心正碰的圖像1）壓縮階段：m1速度逐漸減小，m2速度逐漸增大，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，兩物體之間達(dá)到最大壓縮狀態(tài)。設(shè)壓縮階段兩者達(dá)到的共同速度是v，記彈力對(duì)m2的沖量為I。消掉v，得第四十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日恢復(fù)系數(shù)：碰撞過(guò)程中動(dòng)能損失：2