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文檔簡介
第八節(jié)多元函數(shù)的極值第一頁,共四十五頁,2022年,8月28日二元函數(shù)極值的定義一、多元函數(shù)的極值極值是局部特性第二頁,共四十五頁,2022年,8月28日(1)(2)(3)例1函數(shù)處有極小值.在例2函數(shù)處有極大值.在處有極大值.在例3處無極值.在函數(shù)第三頁,共四十五頁,2022年,8月28日回憶:一元函數(shù)極值的必要條件費馬定理定義第四頁,共四十五頁,2022年,8月28日多元函數(shù)取得極值的條件證第五頁,共四十五頁,2022年,8月28日第六頁,共四十五頁,2022年,8月28日仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點,均稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點問題:如何判定一個駐點是否為極值點?注意:第七頁,共四十五頁,2022年,8月28日第八頁,共四十五頁,2022年,8月28日例4求函數(shù)的極值.解求得駐點,在點處第九頁,共四十五頁,2022年,8月28日所以,在處函數(shù)沒有極值.在點處又所以,在處函數(shù)有極大值.且第十頁,共四十五頁,2022年,8月28日解第十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日第十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日第十三頁,共四十五頁,2022年,8月28日但在(0,0)點取得極小值注:函數(shù)的極值點也可能是偏導數(shù)不存在的點.例綜上討論可知,函數(shù)的極值點的存在范圍:駐點、偏導數(shù)不存在的點第十四頁,共四十五頁,2022年,8月28日二、有界閉區(qū)域上函數(shù)的最值對于該區(qū)域內(nèi)任一點,若恒有不等式則稱為函數(shù)在D內(nèi)的最大值最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.在平面區(qū)域內(nèi)有定義,設函數(shù)使函數(shù)取得最值的點(x0,y0)
稱為最值點.則稱為函數(shù)在D內(nèi)的最小值最值是整體特性第十五頁,共四十五頁,2022年,8月28日求最值的一般方法:如何求連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值、最小值呢?如果f(x,y)在D上可微,可先求出函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)的一切駐點處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值與最小值.在這些函數(shù)值中的最大的就是函數(shù)在D上的最大值,最小的就是函數(shù)在D上的最小值.第十六頁,共四十五頁,2022年,8月28日解如圖,第十七頁,共四十五頁,2022年,8月28日第十八頁,共四十五頁,2022年,8月28日第十九頁,共四十五頁,2022年,8月28日解由第二十頁,共四十五頁,2022年,8月28日第二十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日
在實際應用中,若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)部取到最值,而函數(shù)在D內(nèi)又只有唯一的駐點,則可判定函數(shù)在該駐點即取得最值.第二十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日例9某廠要用鐵板做成一個體積為2的有蓋長方體水箱,問長寬高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最???此水箱的用料面積解:設水箱的長為x,寬為y,則其高為第二十三頁,共四十五頁,2022年,8月28日時,A取得最小值,根據(jù)題意可知,水箱所用材料的面積的最小值一定存在,并在開區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得.又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點,因此可斷定當就是說,當水箱的長、寬、高均為時,水箱所用的材料最省。第二十四頁,共四十五頁,2022年,8月28日實例:小王有200元錢,他決定用來購買兩種急需物品:計算機磁盤和錄音磁帶,設他購買張磁盤,盒錄音磁帶達到最佳效果,效果函數(shù)為.設每張磁盤8元,每盒磁帶10元,問他如何分配這200元以達到最佳效果.問題的實質(zhì):求在條件下的極值點.二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法1.條件極值第二十五頁,共四十五頁,2022年,8月28日條件極值:對自變量有附加條件的極值.無條件極值:
對自變量除有定義域限制外,無任何其它條件限制的極值.第二十六頁,共四十五頁,2022年,8月28日求如k=1,求如k=2,求下的極值。”條件極值在數(shù)學上的提法第二十七頁,共四十五頁,2022年,8月28日
從理論上講,條件極值都可化為無條件極值求解.其思路是,將其轉(zhuǎn)化為無條件極值.但是當條件為方程(組)給的隱函數(shù)時,轉(zhuǎn)化有困難,從而產(chǎn)生了下述方法——
Lagrange乘數(shù)法。
以下先分析Lagrange乘數(shù)法的原理,從
而得出條件極值的必要條件,然后講乘數(shù)法
的具體作法。2.拉格朗日乘數(shù)法第二十八頁,共四十五頁,2022年,8月28日則應有第二十九頁,共四十五頁,2022年,8月28日于是問題轉(zhuǎn)化為求的無條件極值則而由方程兩邊求導,得第三十頁,共四十五頁,2022年,8月28日第三十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日于是得到下的極值的必要條件第三十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日此結果相當于一個三元函數(shù):取得無條件極值的必要條件,函數(shù),F(xiàn)
稱為Lagrange稱為乘數(shù),稱為Lagrange乘數(shù)法.而把作為取條件極值的必要條件的方法第三十三頁,共四十五頁,2022年,8月28日第三十四頁,共四十五頁,2022年,8月28日第三十五頁,共四十五頁,2022年,8月28日解則第三十六頁,共四十五頁,2022年,8月28日解第三十七頁,共四十五頁,2022年,8月28日第三十八頁,共四十五頁,2022年,8月28日第三十九頁,共四十五頁,2022年,8月28日可得即第四十頁,共四十五頁,2022年,8月28日例8截旋轉(zhuǎn)拋物面其截口是一個橢圓,求截口橢圓上的最高點和最底點。解求最高點和最底點的目標函數(shù)是第四十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日但這個極值問題受限于兩個約束條件,是條件極值問題,設其Lagrange函數(shù)為利用條件極值取得極值的必要條件第四十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日令
從可知若矛盾
所以因而得到:
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