考研數(shù)輔導(dǎo)無窮級數(shù)

（優(yōu)選）考研數(shù)輔導(dǎo)無窮級數(shù)當(dāng)前1頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)第一部分主要知識回顧當(dāng)前2頁，總共59頁。考研數(shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（1）、基本概念◆級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)級數(shù)的部分和當(dāng)前3頁，總共59頁。考研數(shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（1）、基本概念（2）、基本性質(zhì)◆絕對收斂與條件收斂結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個非零常數(shù),斂散性不變.當(dāng)前4頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（2）、基本性質(zhì)結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.注：收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.當(dāng)前5頁，總共59頁。性質(zhì)5級數(shù)收斂的必要條件考研數(shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（2）、基本性質(zhì)10.如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散；20.必要條件不充分。當(dāng)前6頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（3）、重要級數(shù)調(diào)和級數(shù)，發(fā)散交錯級數(shù)，條件收斂當(dāng)前7頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別1、基本概念、性質(zhì)與重要級數(shù)（3）、重要級數(shù)當(dāng)前8頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2、級數(shù)斂散性的判別（1）、正項(xiàng)級數(shù)◆定義:這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).◆定理◆正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.當(dāng)前9頁，總共59頁?！舯容^審斂法一般形式考研數(shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2、級數(shù)斂散性的判別（1）、正項(xiàng)級數(shù)當(dāng)前10頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別◆比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;2、級數(shù)斂散性的判別（1）、正項(xiàng)級數(shù)當(dāng)前11頁，總共59頁。一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2、級數(shù)斂散性的判別（1）、正項(xiàng)級數(shù)考研數(shù)學(xué)——級數(shù)當(dāng)前12頁，總共59頁。一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2、級數(shù)斂散性的判別（1）、正項(xiàng)級數(shù)考研數(shù)學(xué)——級數(shù)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù)當(dāng)前13頁，總共59頁。定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別2、級數(shù)斂散性的判別（2）、交錯級數(shù)考研數(shù)學(xué)——級數(shù)當(dāng)前14頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——多元函數(shù)微分學(xué)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別級數(shù)發(fā)散必要條件或或或或是否為幾何級數(shù)是是否為p級數(shù)是否為正項(xiàng)級數(shù)是否為變號級數(shù)否用比較法、比值法、根值法判別否是否滿足萊布尼茲定理用定義、級數(shù)的性質(zhì)等其他方法判別斂散性為正項(xiàng)級數(shù)否當(dāng)收斂；當(dāng)發(fā)散是是方法是是是否收斂是當(dāng)收斂；當(dāng)發(fā)散絕對收斂是否為交錯級數(shù)是是條件收斂否※流程圖※當(dāng)前15頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（1）、概念當(dāng)前16頁，總共59頁。注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.★和函數(shù)在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù))(xs稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（1）、概念★冪級數(shù):當(dāng)前17頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域0當(dāng)前18頁，總共59頁。推論考研數(shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑推論中的正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.當(dāng)前19頁，總共59頁。規(guī)定定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域?yàn)槿缦滦问街唬嚎佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑當(dāng)前20頁，總共59頁?！?和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):考研數(shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑(收斂半徑不變)(收斂半徑不變，但收斂域會可能會改變)當(dāng)前21頁，總共59頁?！?和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):考研數(shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級數(shù)的收斂特性（2）、冪級數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑(收斂半徑不變)(收斂半徑不變，但收斂域會可能會改變)當(dāng)前22頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)三、求收斂域與級數(shù)的和具體步驟如下：當(dāng)前23頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)對于缺項(xiàng)級數(shù)的收斂域通常有兩種方法：A、換元法B、直接當(dāng)做一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù)來處理，通常使用正項(xiàng)級數(shù)的比值法、根值法，再利用阿貝爾定理判別出收斂半徑。當(dāng)前24頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)注：對于某些冪級數(shù)，可以采用間接做法。當(dāng)前25頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)前26頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)40當(dāng)前27頁，總共59頁。為f(x)

的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0時(shí),泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),考研數(shù)學(xué)——級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開1、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)當(dāng)前28頁，總共59頁。展開方法直接展開法間接展開法定理各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0的某一鄰域內(nèi)具有考研數(shù)學(xué)——級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開2、冪級數(shù)展開的條件3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法—利用泰勒公式—利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開當(dāng)前29頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法間接展開法當(dāng)前30頁，總共59頁。常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：考研數(shù)學(xué)——級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開式的函數(shù).3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法當(dāng)前31頁，總共59頁。當(dāng)m=–1時(shí)常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：考研數(shù)學(xué)——級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)展開3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的展開方法當(dāng)前32頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)五、傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉系數(shù)當(dāng)前33頁，總共59頁。考研數(shù)學(xué)——級數(shù)五、傅里葉級數(shù)當(dāng)前34頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)第二部分考題選講當(dāng)前35頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)一、級數(shù)斂散性的判別考題選講當(dāng)前36頁，總共59頁。數(shù)一：2011、一(2)例1一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選C√當(dāng)前37頁，總共59頁。數(shù)一：1998、八例2一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)收斂√當(dāng)前38頁，總共59頁。數(shù)三：2003、二(3)例3一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選B當(dāng)前39頁，總共59頁。數(shù)一：2004、二(9)例4一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選B當(dāng)前40頁，總共59頁。一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)三：2006、二(9)例5即：數(shù)一：2006、二(9)選D當(dāng)前41頁，總共59頁。數(shù)三：2004二(10)例6一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選B√當(dāng)前42頁，總共59頁。數(shù)一：1995、二(4)例7一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選C√當(dāng)前43頁，總共59頁。數(shù)一：1996、二(3)例8一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選A√當(dāng)前44頁，總共59頁。數(shù)三：1996、二(2)例9一、級數(shù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)——級數(shù)選A√當(dāng)前45頁，總共59頁?？佳袛?shù)學(xué)——級數(shù)二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考題選講當(dāng)前46頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)三：2009、二(11)例1【解析】設(shè)。所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為當(dāng)前47頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)一：1995、一(4)例2使用阿貝爾定理當(dāng)前48頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)一：2010、三(18)例3當(dāng)前49頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)一：2008、二(11)例4當(dāng)前50頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)一：1996、五題例5法二：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的冪級數(shù)，先找到冪級數(shù)的和函數(shù)當(dāng)前51頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)一：2005、三(16)例6當(dāng)前52頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)一：2002、七題例7就是特解當(dāng)前53頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)三：1999、一(2)例8利用結(jié)論，再逐項(xiàng)求導(dǎo)。當(dāng)前54頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)三：2000、七題例9然后，利用結(jié)論，先逐項(xiàng)求導(dǎo)，再積分。首先計(jì)算定積分，得到當(dāng)前55頁，總共59頁。二、冪級數(shù)的收斂性與級數(shù)的和考研數(shù)學(xué)——級數(shù)數(shù)三：2003、六題例10【分析】

先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再