實(shí)施中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)的策略

實(shí)施中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)的策略第1頁(yè)/共221頁(yè)第一部分有效教學(xué)概述概念一——課堂教學(xué)效率的涵義：1、所謂課堂教學(xué)效率是指有效教學(xué)時(shí)間與實(shí)際教學(xué)時(shí)間之比。2、課堂教學(xué)效率是指單位時(shí)間里課堂教學(xué)的效果。它不但是預(yù)期教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)程度的綜合反映而且是評(píng)價(jià)教學(xué)優(yōu)劣的重要指標(biāo)和整個(gè)教學(xué)過程運(yùn)作狀態(tài)是否良好的重要標(biāo)志。3、課堂教學(xué)效率:實(shí)際的教學(xué)效果與應(yīng)有的教學(xué)效果的比值。第2頁(yè)/共221頁(yè)4、課堂教學(xué)效率是指教師和學(xué)生在規(guī)定的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)通過雙邊活動(dòng)所消耗的勞動(dòng)量與所獲得的教學(xué)效果之間的比率.5、課堂教學(xué)效率是指在課堂規(guī)定的教學(xué)時(shí)間內(nèi)所取得的教學(xué)效果的大小.

6、課堂教學(xué)效率是指在課堂有限的時(shí)間內(nèi)學(xué)生掌握知識(shí)的程度、能力的培養(yǎng)和知識(shí)的增幅三者之和所達(dá)到的效果.影響和制約課堂教學(xué)效率的主要因素是教師、學(xué)生和教學(xué)方法。第3頁(yè)/共221頁(yè)概念二——有效教學(xué)的內(nèi)涵

按照現(xiàn)代漢語的詞義，有效指“能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的目的；有效果”，實(shí)際上，還可以指有效用，有效率；

就有效教學(xué)而言，有效，主要是指達(dá)成目標(biāo)的程度較高；

所謂有效教學(xué)，就是說教學(xué)應(yīng)對(duì)促成學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)有效；

從學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展的角度去衡量教學(xué)的有效性。有效教學(xué)主要指“學(xué)生成長(zhǎng)的教學(xué)”；它是優(yōu)質(zhì)教學(xué)的一個(gè)基本的層次。第4頁(yè)/共221頁(yè)一、相關(guān)概述1、有效教學(xué)溯源《論語》教學(xué)要因材施教，“舉一反三”“聞一知十”“觸類旁通”?！秾W(xué)記》

啟發(fā)式教學(xué)，“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”

自有教學(xué)以來，人們便進(jìn)行著有效教學(xué)的實(shí)踐探索。

孔子杏壇講學(xué)第5頁(yè)/共221頁(yè)《大教學(xué)論》（捷克）

尋求并找出一種教學(xué)的方法，使教員因此可以少教，但是學(xué)生可以多學(xué)，提出教學(xué)應(yīng)根據(jù)兒童成長(zhǎng)的規(guī)律，不能強(qiáng)迫兒童學(xué)習(xí)。

夸美紐斯（1592-1670）第6頁(yè)/共221頁(yè)最優(yōu)化教學(xué)理論:有效教學(xué)思想發(fā)展的一個(gè)重要里程碑。系統(tǒng)論的視角：

全面考慮教學(xué)規(guī)律、原則、方法傳授知識(shí)與教養(yǎng)、教育、發(fā)展的統(tǒng)一

巴班斯基（1927-1987）（前蘇聯(lián)）

《教育教學(xué)過程最優(yōu)化》教育教學(xué)過程最優(yōu)化第7頁(yè)/共221頁(yè)2、有效教學(xué)的教育哲學(xué)基礎(chǔ)基于某種哲學(xué)世界觀來觀照教育，從根本上理解教育，詮釋教育。（教育說到底是培育什么樣的“人”）教育存在的價(jià)值與追求的途徑。（哪種教育途徑能夠更好地更有效地培育“人”）重構(gòu)學(xué)校教育生活。（為學(xué)校教育設(shè)計(jì)合理有效的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式）探求教育過程的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)（知識(shí)性、道德性、社會(huì)性、文化性…有效性是價(jià)值準(zhǔn)則之一）第8頁(yè)/共221頁(yè)3、有效教學(xué)的理念時(shí)效理念：

科學(xué)安排時(shí)間，有效利用時(shí)間力爭(zhēng)在單位時(shí)間內(nèi)取得最佳的效果發(fā)展理念：

學(xué)生的發(fā)展是終極指標(biāo)采取各種有效措施，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展主體理念：

學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性主動(dòng)鉆研、自覺建構(gòu)關(guān)注教學(xué)時(shí)效學(xué)生是學(xué)習(xí)主體第9頁(yè)/共221頁(yè)實(shí)踐理念：學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦在“做”中學(xué)，在“做”中練合作理念：

溝通、對(duì)話、合作、交往與互動(dòng)反思理念：

課后認(rèn)真反思診斷師生自我教與學(xué)的得失狀態(tài)總結(jié)提煉教與學(xué)的經(jīng)驗(yàn)及教訓(xùn)考核評(píng)價(jià)教與學(xué)的效率及效果學(xué)生交流合作第10頁(yè)/共221頁(yè)（1）20世紀(jì)以來教育科學(xué)化運(yùn)動(dòng)的歷史演進(jìn)20世紀(jì)上半葉西方教育：教學(xué)科學(xué)化運(yùn)動(dòng)：教學(xué)是科學(xué)還是藝術(shù)？（20世紀(jì)以前教學(xué)觀主導(dǎo)教學(xué)是藝術(shù)）教學(xué)效能核定運(yùn)動(dòng)：（20世紀(jì)以來，心理學(xué)和行為科學(xué)的發(fā)展，教學(xué)觀主導(dǎo)教學(xué)是科學(xué)，可用實(shí)驗(yàn)、觀察等定量的方法研究教師和學(xué)生行為的指標(biāo)體系）

4、有效教學(xué)（effectiveteaching）概念興起第11頁(yè)/共221頁(yè)（2）有效教學(xué)：新課程改革關(guān)于教學(xué)與管理的現(xiàn)實(shí)訴求

減負(fù)提質(zhì)（《國(guó)家中長(zhǎng)期發(fā)展綱要》政府行為）凱洛夫“五段教學(xué)”的變革三維目標(biāo)與學(xué)生的全面發(fā)展提升學(xué)校文化品位應(yīng)試教育第12頁(yè)/共221頁(yè)課堂教學(xué)滿堂灌：填鴨式教學(xué)學(xué)生學(xué)得累情境創(chuàng)設(shè)華而不實(shí)：

絢麗多彩虛假造作缺少問題作業(yè)負(fù)擔(dān)太重，學(xué)生成天困在書山題海之中

教師苦教，學(xué)生苦學(xué)，而“三維目標(biāo)”并未有效達(dá)到第13頁(yè)/共221頁(yè)二、有效教學(xué)的基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(MPCK)有效教學(xué)的基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)教師的教學(xué)理念、知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力水平等因素教師專業(yè)發(fā)展專家學(xué)者型教師第14頁(yè)/共221頁(yè)數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(MPCK)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)為mathematicalpedagogicalcontentknowledge(MPCK)的簡(jiǎn)稱。概念內(nèi)涵及其構(gòu)成要素：數(shù)學(xué)知識(shí)MK（mathematicalknowledge）、教學(xué)法知識(shí)PK（pedagogicalknowledge）和內(nèi)容知識(shí)CK（contentknowledge）（學(xué)科知識(shí)或有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)）。教學(xué)內(nèi)容知識(shí)PCK(pedagogicalcontentknowledge)、數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)MCK(mathematicalcontentknowledge)、數(shù)學(xué)教學(xué)法知識(shí)MPK（mathematicalpedagogicalknowledge）等。第15頁(yè)/共221頁(yè)1986年，美國(guó)斯坦福大學(xué)教授、著名教育家舒爾曼(LeeS.Shulman)最早提出教師專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)理論。舒爾曼提出的教師知識(shí)分為七類——學(xué)科內(nèi)容知識(shí)(subjectmatterknowledge)、一般教學(xué)法知識(shí)(generalpedagogicalknowledge)、課程知識(shí)（knowledgeofcurriculum），學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(pedagogicalcontentknowledge，)、學(xué)生知識(shí)(knowledgeoflearners)、教育環(huán)境知識(shí)(knowledgeofeducationalcontext)、有關(guān)教育宗旨、目的等知識(shí)(knowledgeofeducationalends,etc.)教師教學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)：第16頁(yè)/共221頁(yè)P(yáng)CK的含義

Shulman(1986)最初的界定，PCK即關(guān)于教師將自己所掌握的學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的形式知識(shí)，它具體表現(xiàn)為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類比等來呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容，知道學(xué)生的理解難點(diǎn)。1987年，Shulman認(rèn)為它是用專業(yè)學(xué)科知識(shí)與教育學(xué)知識(shí)的綜合去理解特定主題的教學(xué)是如何組織、呈現(xiàn)，以適應(yīng)學(xué)生不同興趣和能力的，即教師在面對(duì)特定的教學(xué)材料時(shí)，如何針對(duì)學(xué)生的不同興趣與能力，將學(xué)科知識(shí)加以組織、調(diào)整與呈現(xiàn)，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化。國(guó)外Carter、Grossman，Cochran等人相關(guān)的研究中都提到PCK是“用學(xué)生能理解的方法來表述學(xué)科內(nèi)容的知識(shí)”。第17頁(yè)/共221頁(yè)P(yáng)CK的各種界定PCK就是教師開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)所具有的獨(dú)特知識(shí)，這種知識(shí)是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)法的有機(jī)融合，用以說明教師選擇特有的教學(xué)課題（問題或?qū)ｎ}）組織教學(xué)，以適應(yīng)學(xué)生多種多樣的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)能力。PCK是指教師關(guān)于某一特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解的知識(shí)。第18頁(yè)/共221頁(yè)

MPCK模型圖：第19頁(yè)/共221頁(yè)

數(shù)學(xué)教師開展有效教學(xué)所必須具備的知識(shí)分為三類：（1）數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（mathematicalknowledge，簡(jiǎn)稱MK）；（2）一般教學(xué)法知識(shí)（pedagogicalknowledge，簡(jiǎn)稱PK）;(3)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)CK（contentknowledge,簡(jiǎn)稱CK）.

學(xué)科形態(tài)--PCK--教育形態(tài)第20頁(yè)/共221頁(yè)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(MPCK)構(gòu)成要素分解數(shù)學(xué)知識(shí)(MK)五種存在形態(tài)：科學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)、課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)、教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí))MK有四個(gè)維度：數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)史知識(shí)．第21頁(yè)/共221頁(yè)

數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)MCK數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)主要包括以下幾個(gè)方面：（l）數(shù)學(xué)內(nèi)容，即各種事實(shí)、概念、原則或法則；（2）學(xué)科內(nèi)容之間的組織和結(jié)構(gòu)，即眾多的事實(shí)和概念之間的互相聯(lián)系；（3）探究方法，包括一系列設(shè)想、證明的法則；（4）數(shù)學(xué)文化；（5）數(shù)學(xué)與各種社會(huì)問題之間的關(guān)系；（6）數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系與與應(yīng)用。第22頁(yè)/共221頁(yè)

PK有四個(gè)維度：教育觀念、教育理論知識(shí)、課程知識(shí)以及教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)．第23頁(yè)/共221頁(yè)教育觀念

教學(xué)著力于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng).改變了教師過于關(guān)注學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)、輕視學(xué)生問題意識(shí)和提出問題能力發(fā)展的教學(xué)觀念和行為．

教師應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)教育形成如下基本認(rèn)識(shí)：教數(shù)學(xué)就是要教數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神，展示數(shù)學(xué)創(chuàng)新的思想與方法，傳授數(shù)學(xué)創(chuàng)新的事實(shí)；

學(xué)數(shù)學(xué)就是要學(xué)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新觀念，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)與能力，掌握數(shù)學(xué)創(chuàng)新的知識(shí)。教師不僅需要有強(qiáng)烈的問題探究意識(shí)，還必須掌握新課程理念所提倡的啟發(fā)式教學(xué)、探究式教學(xué)、合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)等多種教學(xué)模式。第24頁(yè)/共221頁(yè)（1）教學(xué)目的：

培養(yǎng)學(xué)生自主創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，核心是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、提高學(xué)生提出問題與解決問題的能力貫穿于教學(xué)的全過程.（2）教學(xué)基本原則：面向全體學(xué)生；以提出問題為中心；引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)；重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的情感體驗(yàn)；有效地利用現(xiàn)代教育技術(shù)輔助教學(xué)。教育理論知識(shí)第25頁(yè)/共221頁(yè)（3）教學(xué)與學(xué)習(xí)理論知識(shí)：教師要掌握啟發(fā)式教學(xué)、探究式教學(xué)、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等教學(xué)理論知識(shí)以及建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、“最近發(fā)展區(qū)”理論、元認(rèn)知理論等學(xué)習(xí)理論知識(shí).（4）當(dāng)代主要數(shù)學(xué)教育理論知識(shí)：波利亞解題理論；弗萊登塔爾“再創(chuàng)造”理論；建構(gòu)主義教學(xué)理論，數(shù)學(xué)“雙基”理論。第26頁(yè)/共221頁(yè)課程知識(shí)

課程知識(shí)是在教育中被選擇、組織、分配和傳遞的供學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的知識(shí)。它包括以文本的方式體現(xiàn)在課程計(jì)劃、課程標(biāo)準(zhǔn)和教材中的顯性知識(shí)，也包括教師沒有列入教學(xué)計(jì)劃的隱性知識(shí)。

課程知識(shí)是指導(dǎo)教師課程實(shí)踐的理論基礎(chǔ)，不僅影響到教師對(duì)課程的理解，同時(shí)也規(guī)約著教師的教育教學(xué)行為?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》是教師獲取課程知識(shí)的主要來源之一。第27頁(yè)/共221頁(yè)

CK有三個(gè)維度學(xué)生發(fā)展的知識(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素與非認(rèn)知因素知識(shí)學(xué)習(xí)環(huán)境的知識(shí)。第28頁(yè)/共221頁(yè)

學(xué)生發(fā)展的知識(shí)

教學(xué)是以問題為紐帶的建構(gòu)性學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)展知識(shí)核心在于學(xué)生問題意識(shí)的開發(fā)。問題意識(shí)是指?jìng)€(gè)體在一定的情境下提出問題質(zhì)疑問題變換問題和發(fā)展問題的一種自覺的心理狀態(tài)或思維習(xí)慣。第29頁(yè)/共221頁(yè)學(xué)生良好的問題意識(shí)：構(gòu)成要素：數(shù)學(xué)問題提出能力數(shù)學(xué)猜想能力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?shù)學(xué)證明能力數(shù)學(xué)拓展與推廣能力第30頁(yè)/共221頁(yè)

學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知因素核心：元認(rèn)知水平、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)等；學(xué)生學(xué)習(xí)非智力因素：態(tài)度、興趣、情感等。教學(xué)內(nèi)容緊扣教學(xué)目標(biāo)、適合學(xué)生的認(rèn)知水平，靠近他們的最近發(fā)展區(qū)；教學(xué)引起學(xué)生廣泛的聯(lián)想和認(rèn)知沖突，在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成與發(fā)展。第31頁(yè)/共221頁(yè)學(xué)習(xí)環(huán)境的知識(shí)

數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平、教學(xué)環(huán)境、學(xué)習(xí)條件等。數(shù)學(xué)教學(xué)中,通過問題情境創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)。學(xué)生在以“問題”驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)任務(wù)中，成為數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)者、探索者和解決者。教師采取以啟發(fā)式方法為核心的靈活多樣的教學(xué)方法，有針對(duì)性地選擇和使用教學(xué)策略。第32頁(yè)/共221頁(yè)

教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)借鑒Schwab以及Carlsen的分類方法，教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)包括以下三個(gè)方面的內(nèi)容：本體結(jié)構(gòu)知識(shí)，包括學(xué)科內(nèi)的概念、規(guī)則、原理、操作及其關(guān)系;句法結(jié)構(gòu)知識(shí)，包括對(duì)學(xué)科的文化、知識(shí)來源的解釋、對(duì)知識(shí)使用條件的判斷;實(shí)用結(jié)構(gòu)知識(shí)，包括不同情境中概念的正確理解與使用、所教內(nèi)容與生活實(shí)踐的關(guān)系．第33頁(yè)/共221頁(yè)

學(xué)科內(nèi)容知識(shí)是教師專業(yè)知識(shí)中的核心內(nèi)容之一，是成為一名教師的基礎(chǔ)。

教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)的廣度、深度以及貫通度擴(kuò)展和延伸．

廣度：教師不僅要扎實(shí)掌握基本的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)，還應(yīng)掌握它們與自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)之間的聯(lián)系，以及對(duì)于日常生活的功用和關(guān)聯(lián)等更廣泛地知識(shí)．

深度：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)有效地融入所創(chuàng)設(shè)的問題情境中;

貫通度：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)通過提出數(shù)學(xué)問題與解決數(shù)學(xué)問題清楚明白地充分展示給學(xué)生。第34頁(yè)/共221頁(yè)

教師的學(xué)科知識(shí)有四個(gè)維度1989年，舒爾曼提出,教師的學(xué)科知識(shí)有四個(gè)維度:學(xué)科內(nèi)容知識(shí),主要是一個(gè)領(lǐng)域的事實(shí)和概念的知識(shí);實(shí)體性知識(shí),主要是指將學(xué)科的基本概念和原理組織起來以使學(xué)科中的事實(shí)一體化的各種方式;句法性知識(shí),主要是指學(xué)科中判斷真理與謬誤、有效與無效的規(guī)則;關(guān)于學(xué)科的信念,主要是指對(duì)學(xué)科的個(gè)人的看法和認(rèn)識(shí)．第35頁(yè)/共221頁(yè)數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（見：黃毅英，許世紅．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)——結(jié)構(gòu)特征與研發(fā)舉例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)．2009,(1):5-9.）第36頁(yè)/共221頁(yè)數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)MPCK通俗地說，MPCK是指關(guān)于某一特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解的知識(shí)。MPCK是數(shù)學(xué)教師知識(shí)的核心成分，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)性的重要體現(xiàn)，是教師進(jìn)行有效教學(xué)的必要條件。第37頁(yè)/共221頁(yè)三、數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的模式與特征模式：（一）隨機(jī)研討式師生合作教學(xué)

以課堂上師生互動(dòng)為主教學(xué)無需事先設(shè)計(jì)學(xué)生發(fā)言自由,有感而發(fā)學(xué)生自覺主動(dòng)、積極參與課堂教學(xué)基本環(huán)節(jié)：呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容教師質(zhì)疑學(xué)生發(fā)散思考師生協(xié)商解決問題對(duì)教師要求高:

引導(dǎo)學(xué)生參與大膽發(fā)言尊重學(xué)生,能與學(xué)生平等交流要求教師學(xué)識(shí)廣博,坦然面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑隨機(jī)研討第38頁(yè)/共221頁(yè)2.自主發(fā)現(xiàn)式合作教學(xué)

以師生互補(bǔ)為主的課內(nèi)外結(jié)合強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)學(xué)生主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)問題注重內(nèi)在動(dòng)機(jī)基本環(huán)節(jié)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)質(zhì)疑課下探索解惑課堂交流溝通師生共同點(diǎn)評(píng)對(duì)教師的要求:學(xué)生發(fā)展為本改變“教師講、學(xué)生聽”教師是平等中的首席教學(xué)相長(zhǎng)自主發(fā)現(xiàn)式合作第39頁(yè)/共221頁(yè)3.小組互動(dòng)式合作教學(xué)

基于課堂新課教學(xué)學(xué)生為主體師生互動(dòng)主要環(huán)節(jié)布置學(xué)習(xí)（教學(xué)）任務(wù)課上小組研究課堂匯報(bào)交流師生共同探討解答對(duì)教師的要求:向?qū)W生提出的任務(wù)要明確引導(dǎo)學(xué)生在討論中建構(gòu)知識(shí)提供獲取知識(shí)的方法具備全面駕馭課堂的能力適時(shí)抓住學(xué)生有困難的問題解答小組互動(dòng)式合作第40頁(yè)/共221頁(yè)數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的特征

特征一

有效的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)是讓學(xué)生克服對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼，喜歡學(xué)數(shù)學(xué)的課堂。喜歡上數(shù)學(xué)課第41頁(yè)/共221頁(yè)案例：影響學(xué)生學(xué)習(xí)的相關(guān)變量變量范疇變量名稱維度學(xué)校方面學(xué)校氛圍與數(shù)學(xué)老師的師生關(guān)系數(shù)學(xué)教師的教學(xué)行為同伴關(guān)系數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感態(tài)度價(jià)值觀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感態(tài)度價(jià)值觀（總體）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自我效能數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法資料來源：中國(guó)兒童青少年心理發(fā)育特征調(diào)查項(xiàng)目（2007-2009）第42頁(yè)/共221頁(yè)特征二：有效的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)是讓學(xué)生投入到課堂學(xué)習(xí)的全過程，使數(shù)學(xué)認(rèn)知能力水平都得到不同層次的充分發(fā)展的課堂。第43頁(yè)/共221頁(yè)特征三：有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，重視“形成性”評(píng)價(jià)的課堂。轉(zhuǎn)變學(xué)業(yè)評(píng)估方式（國(guó)家教育發(fā)展評(píng)估的監(jiān)督：我國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)工作已經(jīng)啟動(dòng)）第44頁(yè)/共221頁(yè)特征四：有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是充滿活力，充滿探索精神的課堂

第45頁(yè)/共221頁(yè)案例：例1A離學(xué)校10千米，B離A有3千米，試問B離學(xué)校幾千米？特點(diǎn)：沒有說明A、B、學(xué)校三者是否在一條直線上，或一個(gè)平面上，或在三維空間中。題目樣式非常普通，簡(jiǎn)直像一年級(jí)小學(xué)生做的題目。深入一想，內(nèi)涵很深，“點(diǎn)、線、面”各種位置關(guān)系不定，具有開放性。引題：荷蘭弗萊登塔爾數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)德朗治（JenDeLang)于1993年在上海數(shù)學(xué)會(huì)作報(bào)告時(shí)介紹的題目之一第46頁(yè)/共221頁(yè)特征五：

有效的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是充滿教育智慧的課堂。

教育智慧哪里來？摯愛---歷練-----博學(xué)第47頁(yè)/共221頁(yè)四.數(shù)學(xué)有效教學(xué)策略探討關(guān)注教學(xué)理論注意學(xué)習(xí)心理經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)變式教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法哲學(xué)思辨“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)多角度理解不同學(xué)科整合第48頁(yè)/共221頁(yè)課程論

課程是教材、活動(dòng)、經(jīng)驗(yàn)等課程改革使課程論成為熱點(diǎn)學(xué)習(xí)論

行為主義：強(qiáng)調(diào)反復(fù)練習(xí)，主張目標(biāo)教學(xué)，關(guān)注怎么教

認(rèn)知主義：主動(dòng)學(xué)習(xí)，教學(xué)在于發(fā)展學(xué)生智力，關(guān)注教什么

建構(gòu)主義：認(rèn)知主義的發(fā)展，探索、發(fā)現(xiàn)的方法建構(gòu)知識(shí)的意義教學(xué)論

目標(biāo)教學(xué)（行為主義）

探究教學(xué)（建構(gòu)主義）

非指導(dǎo)性教學(xué)（人本主義心理學(xué)）羅伯特·加涅Gagne,RobertM1916－2002有效策略1：關(guān)注教學(xué)理論第49頁(yè)/共221頁(yè)刺激學(xué)生注意力的保持，延長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間

心理學(xué)的研究表明，7～10歲兒童能連續(xù)保持注意20分鐘，10～12歲約25分鐘，12歲以上約30分鐘。注意的廣度與靈活性逐漸加強(qiáng)學(xué)習(xí)遷移理論一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響知識(shí)、技能、態(tài)度、行為在一定條件下遷移生活中的經(jīng)驗(yàn)遷移到學(xué)習(xí)活動(dòng)中

有效策略2：注意學(xué)習(xí)心理生活經(jīng)驗(yàn)遷移學(xué)習(xí)第50頁(yè)/共221頁(yè)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：《課標(biāo)》要求讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。明確將“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”列為課程目標(biāo)之一。“修改稿”甚至把“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”單列（四基之一）。基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)過程知識(shí)：

情景—經(jīng)驗(yàn)：觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等獲得。問題—解決：?jiǎn)栴}表征、解決途徑、獲得結(jié)果、反思調(diào)節(jié)。方法—觀念。數(shù)學(xué)的素質(zhì)，數(shù)學(xué)信念等最高境界知識(shí)，具有穩(wěn)定性。

有效策略3：經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)第51頁(yè)/共221頁(yè)概念性變式：對(duì)概念的多角度理解過程性變式：數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)有效策略4：變式教學(xué)概念變式：概念外延的變化，達(dá)到對(duì)概念多角度理解非概念變式：如反例變式等“中國(guó)數(shù)學(xué)教育本土研究”開拓者顧泠沅教授博導(dǎo)概念形成過程應(yīng)用概念問題解決過程構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)過程第52頁(yè)/共221頁(yè)

變式教學(xué)“盲人摸象”和“集思廣益”現(xiàn)象學(xué)認(rèn)識(shí)論：對(duì)同一事物的認(rèn)識(shí)是不同側(cè)面的意識(shí)和反思。心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要逐步深入的表征方式：語言表征→圖像表征→符號(hào)表征。希爾伯特：研究不同變換下的代數(shù)不變量（本質(zhì)），對(duì)不同數(shù)系下的不變運(yùn)算律的理解，有助于把握數(shù)系的結(jié)構(gòu)?！把驖u進(jìn)”“萬變不離其宗”【德】胡塞爾E.Husserl（1859-1938）20世紀(jì)現(xiàn)象學(xué)派創(chuàng)始人盲人摸象第53頁(yè)/共221頁(yè)授人以魚，不如授人以漁數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，有利于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)。在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。

引自米山國(guó)藏：《數(shù)學(xué)的精神思想和方法》有效策略5：數(shù)學(xué)思想方法第54頁(yè)/共221頁(yè)

對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為己經(jīng)能夠解決的問題。

---路莎·彼得《無窮的玩意》待解決的問題A易解決的問題B問題A的解答問題B的解答轉(zhuǎn)化還原案例：化歸數(shù)學(xué)思想第55頁(yè)/共221頁(yè)

數(shù)學(xué)的教學(xué)要從知識(shí)技能上升到思想方法，再上升到數(shù)學(xué)精神，而數(shù)學(xué)的精神就體現(xiàn)了各種哲學(xué)的精髓。培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、科學(xué)的觀點(diǎn)看問題，善于質(zhì)疑，培育“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。有效策略6：哲學(xué)思辨畢達(dá)哥拉斯柏拉圖阿基米德笛卡爾馬克思數(shù)學(xué)來源于哲學(xué)，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著哲學(xué)的思想第56頁(yè)/共221頁(yè)

學(xué)習(xí)是由學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景，對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)地選擇、加工和處理，獲得自己的理解，從而主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)意義的過程。

---建構(gòu)主義有效策略7：數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)施“再創(chuàng)造活動(dòng)”，由學(xué)生本人把學(xué)習(xí)的東西自己實(shí)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是提供自由廣闊的天地，引導(dǎo)學(xué)生探索，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力

---弗賴登塔爾弗賴登塔爾（1905--1990）第57頁(yè)/共221頁(yè)

把知識(shí)放到各種不同的環(huán)境中去，讓學(xué)生產(chǎn)生更新、更多、更廣的知識(shí)或?qū)χR(shí)產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識(shí)。多角度遷移有利于學(xué)生對(duì)事物的全面認(rèn)識(shí)。不斷遷移的過程也是加深理解的過程有效策略8：放到不同環(huán)境，從多角度加深理解《小蝌蚪找媽媽》第58頁(yè)/共221頁(yè)

橫看成嶺側(cè)成峰遠(yuǎn)近高低各不同不識(shí)廬山真面目只緣身在此山中題西林壁蘇軾多角度理解第59頁(yè)/共221頁(yè)加德納：多元智能理論有效策略9：多學(xué)科整合，多感官開放語言智能數(shù)理邏輯智能音樂節(jié)奏智能空間智能身體運(yùn)動(dòng)智能自我認(rèn)識(shí)智能人際關(guān)系智能自然觀察者智能存在智能有些孩子擅長(zhǎng)于通過身體活動(dòng)和具體活動(dòng)來學(xué)習(xí)（身體運(yùn)動(dòng)型學(xué)習(xí)者）有些孩子在同伴的互動(dòng)中能獲得最佳學(xué)習(xí)（人際型學(xué)習(xí)者）整合不同的課程領(lǐng)域有助于形成不同的學(xué)習(xí)風(fēng)格【美】G.加德納美國(guó)著名認(rèn)知心理學(xué)家多元智能學(xué)說開拓者第60頁(yè)/共221頁(yè)數(shù)學(xué)“三維目標(biāo)”教學(xué)緘默知識(shí)的教學(xué)關(guān)注科學(xué)用腦思維整體主義與還原主義的研究學(xué)術(shù)性與師范性知識(shí)的統(tǒng)一注重學(xué)生發(fā)展性評(píng)價(jià)有效教學(xué)的改進(jìn)有效教學(xué)的反思與改進(jìn)第61頁(yè)/共221頁(yè)反思1：數(shù)學(xué)“三維目標(biāo)”教學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求：知識(shí)與技能過程與方法情感、態(tài)度、價(jià)值觀情感方面1對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與好奇心2認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值3對(duì)數(shù)學(xué)美學(xué)元素的欣賞認(rèn)知方面1良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)2對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解3數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部豐富的聯(lián)系4數(shù)學(xué)知識(shí)與其它學(xué)科、生活實(shí)際的聯(lián)系思維方面1抽象思維與形象思維的結(jié)合2發(fā)散性思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力精神方面1體會(huì)辯證精神，理解事物的矛盾與統(tǒng)一2培養(yǎng)理性精神，善于質(zhì)疑與反思第62頁(yè)/共221頁(yè)反思2：緘默知識(shí)的教學(xué)緘默知識(shí)很難用言語、文字或符號(hào)進(jìn)行系統(tǒng)表述（關(guān)于自身行為的一種產(chǎn)生性知識(shí)，隱性知識(shí)）非正規(guī)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)精神、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)直覺具有情境性、非邏輯性、個(gè)人性、遷移性緘默知識(shí)就像是場(chǎng)，知識(shí)就像是場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，場(chǎng)激發(fā)著粒子運(yùn)動(dòng)。情境與認(rèn)知、活動(dòng)與過程、感悟與體會(huì)教學(xué)中：情景性體驗(yàn)、互動(dòng)中體驗(yàn)、想象中體驗(yàn)、實(shí)踐中體驗(yàn)。第63頁(yè)/共221頁(yè)反思3：關(guān)注腦思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教育主要是培養(yǎng)人的理性和思維能力。

抽象思維左腦思維符號(hào)化思維邏輯思維

探索性思維右腦思維形象化思維直覺思維思想者奧古斯迪·羅丹法國(guó)教學(xué)中關(guān)注學(xué)生邏輯思維與形象思維的結(jié)合訓(xùn)練第64頁(yè)/共221頁(yè)反思4：整體主義與還原主義研究思考：我們注重知識(shí)本身還是更加注重知識(shí)之間的聯(lián)系？整體主義認(rèn)為：要把各要素放在系統(tǒng)的框架中進(jìn)行考察，把系統(tǒng)作為由從屬組織部分結(jié)合成的集成整體來對(duì)待。強(qiáng)調(diào)研究高層次本身和整體的重要性。還原主義：將高層次還原為低層次，將整體還原為各組成部分加以研究。還原主義關(guān)注事物的物質(zhì)實(shí)體（如原子），而整體主義系統(tǒng)論更關(guān)注事物組織結(jié)構(gòu)方面的特征。教學(xué)中，我們要更加重視學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及對(duì)知識(shí)的深刻理解。

一般系統(tǒng)論創(chuàng)始人貝塔朗菲美籍奧地利生物學(xué)家（1901---1972）第65頁(yè)/共221頁(yè)反思6：學(xué)術(shù)性與師范性知識(shí)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)知識(shí)（學(xué)術(shù)性）高師各分支數(shù)學(xué)知識(shí)中小學(xué)數(shù)學(xué)具體概念、規(guī)則、原理及其相互間聯(lián)系以精神、思想聯(lián)通高等數(shù)學(xué)與中小學(xué)數(shù)學(xué)，立足高觀點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)理解深刻學(xué)生知識(shí)（師范性）學(xué)習(xí)理論、學(xué)生身心特征、動(dòng)機(jī)理論及應(yīng)用、學(xué)生背境理解教學(xué)法知識(shí)（師范性）課堂教學(xué)管理及教學(xué)組織兼容并蓄，吸收各種教學(xué)流派的營(yíng)養(yǎng)，并在實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)及理論提升。吳正憲數(shù)學(xué)特級(jí)教師課標(biāo)研制組核心成員第66頁(yè)/共221頁(yè)反思7：發(fā)展性評(píng)價(jià)發(fā)展性評(píng)價(jià)觀現(xiàn)行評(píng)價(jià)觀強(qiáng)調(diào)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展（個(gè)體差異)強(qiáng)調(diào)甄別與選拔。評(píng)價(jià)指標(biāo)的多元化（三個(gè)維度）。評(píng)價(jià)指標(biāo)單一（知識(shí)點(diǎn)）評(píng)價(jià)方法多樣化。強(qiáng)調(diào)過程性評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)方法單調(diào)（紙筆測(cè)驗(yàn)）。強(qiáng)調(diào)終結(jié)性評(píng)價(jià)。激勵(lì)學(xué)生、認(rèn)識(shí)自我、建立自信甄別學(xué)生、挫傷學(xué)生的自信心和自尊性強(qiáng)調(diào)“質(zhì)性評(píng)價(jià)”；定性與定量相結(jié)合過分強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)的量化與標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)施的主體是學(xué)生、家長(zhǎng)與老師實(shí)施的主體是老師第67頁(yè)/共221頁(yè)正確認(rèn)識(shí)有效教學(xué)改變“唯分?jǐn)?shù)論”價(jià)值取向變革傳統(tǒng)教學(xué)方式調(diào)整教師專業(yè)知識(shí)加強(qiáng)課堂教學(xué)能力當(dāng)前有效教學(xué)的改進(jìn)第68頁(yè)/共221頁(yè)

時(shí)代發(fā)展的驅(qū)動(dòng)新課程改革的需要培養(yǎng)公民素質(zhì)的要求學(xué)校發(fā)展的訴求提高基礎(chǔ)教育質(zhì)量的根本保障

1.加強(qiáng)對(duì)有效教學(xué)意義的認(rèn)識(shí)第69頁(yè)/共221頁(yè)ConceptText

中小學(xué)考試之頻繁，幾乎讓人無法接受，期中期末考試、單元測(cè)試自不必說，隨堂小測(cè)接連不斷。

實(shí)行基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)，穩(wěn)步推進(jìn)中高考制度改革。2.改變“唯分?jǐn)?shù)論”價(jià)值取向的影響片面追求應(yīng)試對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)的影響第70頁(yè)/共221頁(yè)ConceptTextText

為了孩子為了中華民族的復(fù)興做“有效教學(xué)”改革的促進(jìn)者3.變革傳統(tǒng)教學(xué)方式教師中心教材中心課堂中心傳統(tǒng)教學(xué)方式下學(xué)生不堪重負(fù)第71頁(yè)/共221頁(yè)4.調(diào)整教師專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)學(xué)科知識(shí)教學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)者和學(xué)習(xí)的知識(shí)課程知識(shí)評(píng)價(jià)過程評(píng)價(jià)結(jié)果學(xué)科教學(xué)知識(shí)特殊情境知識(shí)一般教育情境知識(shí)第72頁(yè)/共221頁(yè)分析課標(biāo)與教材的能力；設(shè)計(jì)教學(xué)方案的能力；選擇教學(xué)策略的能力；啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的能力；組織管理課堂的能力；運(yùn)用教學(xué)媒體的能力；評(píng)價(jià)與反思的能力；

……5：加強(qiáng)教師教學(xué)能力第73頁(yè)/共221頁(yè)6.改革考試評(píng)價(jià)制度全面推行反映學(xué)生狀況的過程性評(píng)價(jià)實(shí)行高中畢業(yè)生學(xué)業(yè)成就的認(rèn)定制度將高考的權(quán)力更多地給高校與地方第74頁(yè)/共221頁(yè)改革之一普通高校擁有自主招生的權(quán)力和義務(wù)。高中畢業(yè)生的國(guó)家水平考試成績(jī)、學(xué)生成長(zhǎng)紀(jì)錄檔案、優(yōu)秀生、特長(zhǎng)生的推薦甄選材料均可以作為高校錄取新生的依據(jù)。高校必要時(shí)可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行加試（包括面試）。建立報(bào)名、招生、錄取的社會(huì)化機(jī)制和監(jiān)管制度。第75頁(yè)/共221頁(yè)改革之二建立學(xué)生成長(zhǎng)紀(jì)錄檔案制度。收集和分析能夠反映學(xué)生學(xué)習(xí)過程和結(jié)果的原始資料是評(píng)價(jià)學(xué)生的關(guān)鍵。要通過學(xué)生的成長(zhǎng)紀(jì)錄來全面反映學(xué)生的發(fā)展?fàn)顩r。成長(zhǎng)紀(jì)錄包括：

學(xué)生的自我評(píng)價(jià)教師和同學(xué)的的觀察和評(píng)價(jià)來自家長(zhǎng)的信息學(xué)生的最佳作品考試和測(cè)驗(yàn)的信息第76頁(yè)/共221頁(yè)學(xué)校和教師要對(duì)收集到的資料和信息進(jìn)行科學(xué)地分析，形成對(duì)學(xué)生發(fā)展情況的分析報(bào)告，客觀描述學(xué)生的成就、優(yōu)勢(shì)和不足，對(duì)學(xué)生的考試結(jié)果要進(jìn)行分析、什么和建議，不能把考試成績(jī)作為學(xué)生分類的標(biāo)簽。建立嚴(yán)格的管理制度，保證學(xué)生成長(zhǎng)紀(jì)錄的真實(shí)性和可信度。第77頁(yè)/共221頁(yè)改革之三建立國(guó)家課程水平考試制度國(guó)家課程水平考試為全體學(xué)生必須參加的高中水平考試。同等學(xué)歷者可以參加水平考試。由指定的機(jī)構(gòu)（如省級(jí)教育行政部門）發(fā)給證書。第78頁(yè)/共221頁(yè)改革之四建立優(yōu)秀生、特長(zhǎng)生的推薦、甄選制度。保證有特殊才能的優(yōu)秀人才有更多的機(jī)會(huì)進(jìn)入理想的高校深造。對(duì)申請(qǐng)人的條件、申請(qǐng)程序、推薦人的資格、相關(guān)的組織機(jī)構(gòu)、推薦人的責(zé)任及回避制度等應(yīng)作出相應(yīng)的規(guī)定。第79頁(yè)/共221頁(yè)第80頁(yè)/共221頁(yè)基于自主學(xué)習(xí)的觀念，有效教學(xué)應(yīng)具備以下幾方面的特征：1、讓學(xué)生明確通過努力而能夠達(dá)到的目標(biāo)，并且明白目標(biāo)的達(dá)成對(duì)個(gè)人成長(zhǎng)的意義；2、設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的教學(xué)任務(wù)，促使學(xué)生在更復(fù)雜的水平上理解；3、通過聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際和經(jīng)驗(yàn)背景，幫助學(xué)生達(dá)到更復(fù)雜水平的理解；4、適時(shí)與挑戰(zhàn)性的目標(biāo)進(jìn)行對(duì)照，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有一個(gè)清楚的、直接的反饋；5、能夠使學(xué)生對(duì)每個(gè)學(xué)習(xí)主題都有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，形成對(duì)于事物的概念框架；6、能夠遷移并發(fā)現(xiàn)和提出更為復(fù)雜的問題，有進(jìn)一步探究的愿望。第81頁(yè)/共221頁(yè)有效教學(xué)的條件

（一）學(xué)習(xí)者具有學(xué)習(xí)的意向；

（二）學(xué)習(xí)內(nèi)容本身具有邏輯意義；

（三）學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有同化新知識(shí)的適當(dāng)?shù)闹R(shí)基礎(chǔ)。第82頁(yè)/共221頁(yè)有效教學(xué)策略的理念主要包括下列這些內(nèi)容

1.有效教學(xué)關(guān)注學(xué)生的進(jìn)步或發(fā)展

首先，要求教師有“對(duì)象”意識(shí)。教學(xué)不是唱獨(dú)腳戲，離開“學(xué)”，就無所謂“教”，也就是說，教師必須確立學(xué)生的主體地位，樹立“一切為了學(xué)生的發(fā)展”的思想。

其次，要求教師有"全人"的概念。學(xué)生的發(fā)展是全人的發(fā)展，而不是某一方面(如智育)或某一學(xué)科(如英語、數(shù)學(xué)等)的發(fā)展。教師千萬不能過高地估計(jì)自己學(xué)科的價(jià)值，而且也不能僅把學(xué)科價(jià)值定位在本學(xué)科上，而應(yīng)定位在對(duì)一個(gè)完整的人的發(fā)展上。

第83頁(yè)/共221頁(yè)2.有效教學(xué)關(guān)注教學(xué)效益，要求教師有時(shí)間與效益的觀念

教師在教學(xué)時(shí)既不能跟著感覺走，又不能簡(jiǎn)單地把"效益"理解為"花最少的時(shí)間教最多的內(nèi)容"。教學(xué)效益不同于生產(chǎn)效益，它不是取決于教師教多少內(nèi)容，而是取決于對(duì)單位時(shí)間內(nèi)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果與學(xué)習(xí)過程綜合考慮的結(jié)果。第84頁(yè)/共221頁(yè)3.有效教學(xué)更多地關(guān)注可測(cè)性或量化

如教學(xué)目標(biāo)盡可能明確與具體，以便于檢驗(yàn)教師的工作效益。但是，并不能簡(jiǎn)單地說量化就是好的、科學(xué)的。有效教學(xué)既要反對(duì)拒絕量化，又要反對(duì)過于量化。應(yīng)該科學(xué)地對(duì)待定量與定性、過程與結(jié)果的結(jié)合，全面地反映學(xué)生的學(xué)業(yè)成就與教師的工作表現(xiàn)。

4.有效教學(xué)需要教師具備一種反思的意識(shí)

要求每一個(gè)教師不斷地反思自己的日常教學(xué)行為，持續(xù)地追問"什么樣的教學(xué)才是有效的？""我的教學(xué)有效嗎？""有沒有比我更有效的教學(xué)？"

第85頁(yè)/共221頁(yè)5.有效教學(xué)也是一套策略

所謂“策略”，就是指教師為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)或教學(xué)意圖而采用的一系列具體的問題解決行為方式。具體地說，按教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)程把教學(xué)分成準(zhǔn)備、實(shí)施與評(píng)價(jià)三個(gè)階段，每個(gè)階段都有一系列的策略。有效教學(xué)需要教師掌握有關(guān)的策略性的知識(shí)，以便于自己面對(duì)具體的情景作出決策，并不要求教師掌握每一項(xiàng)技能。

按照目標(biāo)管理的教學(xué)流程，有效的教學(xué)過程劃分為三個(gè)階段：教學(xué)的準(zhǔn)備、教學(xué)的實(shí)施和教學(xué)的評(píng)價(jià)，并據(jù)此來劃分教師在處理每一階段的過程中所表現(xiàn)出來的種種具體的問題解決行為方式。第86頁(yè)/共221頁(yè)由上，從學(xué)生發(fā)展的角度，可總結(jié)為：一、有效課堂教學(xué)可以從哪些方面衡量●教學(xué)取得了預(yù)期的效益——

實(shí)現(xiàn)結(jié)果、效率、魅力的統(tǒng)一●教學(xué)提升了學(xué)生的素質(zhì)——

追求認(rèn)知、情意、方法的和諧●教學(xué)促進(jìn)了主體的參與——

構(gòu)建互動(dòng)、活動(dòng)、主動(dòng)的課堂第87頁(yè)/共221頁(yè)二、有效課堂教學(xué)具備什么特征第88頁(yè)/共221頁(yè)第89頁(yè)/共221頁(yè)第90頁(yè)/共221頁(yè)第91頁(yè)/共221頁(yè)第92頁(yè)/共221頁(yè)第93頁(yè)/共221頁(yè)第二部分：

數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)策略一、數(shù)學(xué)概念的概述（定義、分類）二、概念的獲得（概念的形成、同化、順應(yīng)）三、影響概念學(xué)習(xí)的因素四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略第94頁(yè)/共221頁(yè)當(dāng)前概念教學(xué)的問題不重視章節(jié)起始課的教學(xué)，沒有把本章節(jié)要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學(xué)任務(wù)中；概念教學(xué)走過場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠．有些老師不知如何教概念．第95頁(yè)/共221頁(yè)教概念的意義李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正．否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空．第96頁(yè)/共221頁(yè)前言一數(shù)學(xué)語言：文字語言、圖形語言和符號(hào)語言。第97頁(yè)/共221頁(yè)前言二、目標(biāo)領(lǐng)域水平行為動(dòng)詞目標(biāo)領(lǐng)域水平行為領(lǐng)域知識(shí)與技能知道/了解/模仿了解，體會(huì)，知道，識(shí)別，感知，認(rèn)識(shí)，初步了解，初步體會(huì)，初步學(xué)會(huì)，初步理解理解/獨(dú)立操作描述，說明，表達(dá)，表述，表示，刻畫，解釋，推測(cè)，想象，理解，歸納，總結(jié)，抽象，提取，比較，對(duì)比，判定，判斷，會(huì)求，能夠，運(yùn)用，初步運(yùn)用，初步討論掌握/應(yīng)用/遷移掌握，導(dǎo)出，分析，推到，證明，研究，討論，選擇，決策，解決問題過程與方法經(jīng)歷/模仿經(jīng)歷，觀察，感知，體驗(yàn)，操作，查閱，借助，模仿，收集，回顧，復(fù)習(xí)，參與，嘗試發(fā)現(xiàn)/探索設(shè)計(jì)，梳理，整理，分析，發(fā)現(xiàn)，交流，研究，探索，探究，探求，解決，尋求情感態(tài)度與價(jià)值觀反應(yīng)/認(rèn)同感受，認(rèn)識(shí)，了解，初步體會(huì)，體會(huì)領(lǐng)悟/內(nèi)化獲得，提高，增強(qiáng)，形成，養(yǎng)成，樹立，發(fā)揮，發(fā)展第98頁(yè)/共221頁(yè)應(yīng)達(dá)水平數(shù)學(xué)概念及描述知道/了解/模仿平方根、算術(shù)平方根、立方根，無理數(shù)、實(shí)數(shù)，近似數(shù)、有效數(shù)字，二次根式，整數(shù)，分式，不等式，常量、變量，理解/獨(dú)立操作有理數(shù)（理解并表示），會(huì)求平方根（立方根），字母表示數(shù)，乘方，配方法，一元一次方程，一元二次方程，一元一次不等式，函數(shù)，一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，方程的解，不等式組，掌握/應(yīng)用/遷移有理數(shù)（運(yùn)算、估值），方程，不等式，函數(shù)，一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)3.初中數(shù)學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)概念（數(shù)與代數(shù)）及其要求達(dá)到的水平第99頁(yè)/共221頁(yè)一、概念的概述1.概念的定義概念是思維的基本單位。哲學(xué)——概念是人腦對(duì)事物本質(zhì)特征的反映。心理學(xué)——概念是同人的分類行為緊密聯(lián)系在一起的。

行為主義心理學(xué)：概念是有機(jī)體對(duì)相似刺激物或同類刺激物作出共同反映的能力。（適宜于初級(jí)的具體概念）

認(rèn)知心理學(xué)：概念是符號(hào)所代表的具有共同屬性的對(duì)象、事物、情境或性質(zhì)。

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)：概念具有發(fā)展性，隨著知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生對(duì)概念的理解就從具體水平向抽象水平發(fā)展，從日常概念向科學(xué)概念發(fā)展。概念通常包括四方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。如“圓”。第100頁(yè)/共221頁(yè)●概念分類的一般方法：邏輯學(xué)家認(rèn)為，組成不同屬性的方式有三種，即代表三種類型的概念（1）聯(lián)合屬性，即幾種屬性聯(lián)合起來一起對(duì)概念下定義。如映射。（2）單一屬性，即在許多事物的各種屬性中，找出一種（或）幾種屬性來對(duì)概念下定義。如在“橢圓”“雙曲線”“拋物線”基礎(chǔ)上的“圓錐曲線”。（3）關(guān)系屬性，即以事物的相對(duì)關(guān)系作為依據(jù)對(duì)概念下定義。如正方形。第101頁(yè)/共221頁(yè)2.數(shù)學(xué)概念概念是客觀對(duì)象及其本質(zhì)在人們思維中的反應(yīng)。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在人腦中的反映?！駭?shù)學(xué)概念的產(chǎn)生途徑：（1）直接從事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系中反映出來，如自然數(shù)、點(diǎn)、線、面、體、平行、垂直、圓柱、錐、臺(tái)等；（2）在抽象的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上經(jīng)過多次復(fù)雜的抽象概括形成的，如實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)；群、環(huán)、域、關(guān)系、映射、向量等；（3）在一定的數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的，如三線截得的八角；（4）根據(jù)理論上有存在的可能而提出的，如無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、無窮大等。第102頁(yè)/共221頁(yè)●數(shù)學(xué)概念的類別：（1）具體概念和定義性概念。（2）精確概念和模糊概念。（3）日常概念和科學(xué)概念?！駭?shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延——反向關(guān)系。數(shù)學(xué)對(duì)象量和質(zhì)的統(tǒng)一。第103頁(yè)/共221頁(yè)●數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)

（1）數(shù)學(xué)概念是一類對(duì)象的思維形式

①數(shù)學(xué)概念代表一類對(duì)象，而不是個(gè)別對(duì)象。它排除一類對(duì)象的具體內(nèi)容的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)等以后的抽象，反映的是一類對(duì)象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，而這種在數(shù)與形方面的本質(zhì)屬性，是這一類對(duì)象所具有的。

例如，“正方體”這個(gè)概念，不是指任何具體形狀、顏色、大小、密度等性質(zhì)的正方體,而是這些具體形狀、顏色、大小、密度等性質(zhì)的正方體的抽象。凡是具有正方體空間形式和數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)特征的圖形，不論大小、顏色以及密度統(tǒng)稱為正方體。

②數(shù)學(xué)概念反映的是一類對(duì)象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是表面屬性。第104頁(yè)/共221頁(yè)(2)數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界的概括反映①用符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特性，使得數(shù)學(xué)學(xué)科的表述形式比其他學(xué)科表述形式更加簡(jiǎn)明、清晰、準(zhǔn)確，有助于數(shù)學(xué)學(xué)科建立嚴(yán)密的科學(xué)體系。例如，歐幾里得的《幾何原本》從最初體系缺乏嚴(yán)密的邏輯根據(jù)到建立嚴(yán)密的希爾伯特公理體系花了2000多年時(shí)間。微積分剛剛建立的時(shí)候，邏輯上是很不嚴(yán)密的，到建立嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)花了很長(zhǎng)時(shí)間。自從符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征后，比較方便地建立了嚴(yán)密歐氏幾何體系與微積分體系。②用符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特性，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的加速發(fā)展。例如，函數(shù)概念符號(hào)化正是數(shù)學(xué)概念有這種特定揭示了概念本質(zhì)的符號(hào)表示，才使得數(shù)學(xué)內(nèi)容的表現(xiàn)形式簡(jiǎn)明。歷史上每一重大數(shù)學(xué)進(jìn)展都和符號(hào)創(chuàng)造性運(yùn)用分不開的。中國(guó)古代的位置記數(shù)法，用黑色算籌表示負(fù)數(shù)。曾經(jīng)為人類的數(shù)學(xué)文明做出過重大貢獻(xiàn)；阿拉伯人用字母代表數(shù)，推動(dòng)了代數(shù)的快速發(fā)展，創(chuàng)立了代數(shù)的新紀(jì)元；到了近代，符號(hào)化的趨勢(shì)越來越明顯。微積分使用等符號(hào)，使用這些符號(hào)使得微積分內(nèi)容表現(xiàn)形式簡(jiǎn)明、清晰，同時(shí)揭示了自然語言表達(dá)難以揭示的數(shù)學(xué)本質(zhì)，用符號(hào)寫成微分方程成為描寫現(xiàn)實(shí)世界問題以及解決現(xiàn)實(shí)世界問題的有力工具。③數(shù)學(xué)概念用符號(hào)表示，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理與證明成為可能。合理的符號(hào)體系是簡(jiǎn)潔表述數(shù)學(xué)內(nèi)容、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的工具，同時(shí)，也是邏輯演繹的工具。第105頁(yè)/共221頁(yè)

(3)數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一

數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的。如“正方體”概念。抽象程度愈高，數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)的原始對(duì)象之間的聯(lián)系就愈來愈弱，這是數(shù)學(xué)概念抽象性的一面。

另一方面，盡管數(shù)學(xué)概念作為一種抽象，但它必須以具體素材為基礎(chǔ)。任何抽象的數(shù)學(xué)概念，都具有具體、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)原型。例如，“對(duì)應(yīng)”是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，它是以原始人的分配、狩獵和計(jì)數(shù)等具體活動(dòng)為現(xiàn)實(shí)原型的，更高程度的抽象也有相對(duì)具體基礎(chǔ)。因?yàn)閷W(xué)生可以獲得概念，概念一旦被學(xué)生所掌握，對(duì)學(xué)生來說，就是“實(shí)在的”東西了，這是概念具體性的一面。例如，銳角三角函數(shù)是一個(gè)高度抽象的概念，學(xué)生學(xué)習(xí)它時(shí)，所聯(lián)系的具體內(nèi)容雖然相對(duì)少些。但是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的概念上升到學(xué)習(xí)以任意實(shí)數(shù)為自變量的三角函數(shù)概念時(shí)，表現(xiàn)為“圓”函數(shù)時(shí)，學(xué)生所聯(lián)系的具體內(nèi)容就更少了，涉及到的具體對(duì)象是銳角三角函數(shù)作為相對(duì)“實(shí)在的”擴(kuò)展到“圓運(yùn)動(dòng)”；再進(jìn)一步上升到以任意復(fù)數(shù)為自變量的三角函數(shù)時(shí)，抽象程度更高，其涉及到的具體對(duì)象是“銳角三角函數(shù)”、“圓運(yùn)動(dòng)”作為相對(duì)“實(shí)在的”則又?jǐn)U展到包含圓運(yùn)動(dòng)在內(nèi)的周期運(yùn)動(dòng)，這說明再抽象也仍有相對(duì)具體的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的抽象性不僅以具體性為基礎(chǔ)，而且還以更廣泛的具體性為歸宿。第106頁(yè)/共221頁(yè)

（4）數(shù)學(xué)概念之間具有內(nèi)在邏輯性客觀事物不僅自身是由許多方面的因素構(gòu)成的，而且同其他事物相互制約、相互作用。數(shù)學(xué)中的概念，除了原始概念之外，都是建立在其他概念的基礎(chǔ)上形成的。數(shù)學(xué)概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎(chǔ)，從而形成了數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)。公理化體系就是這種系統(tǒng)性的最高反映。同時(shí)，數(shù)學(xué)概念又具有相對(duì)的獨(dú)立性，概念之間又是有本質(zhì)區(qū)別。在一個(gè)數(shù)學(xué)分支中，諸概念形成一個(gè)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍铙w系，構(gòu)成了該數(shù)學(xué)分支的理論框架，將概念之間的邏輯聯(lián)系清晰地表達(dá)出來。第107頁(yè)/共221頁(yè)●數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系——指外延間的關(guān)系：第108頁(yè)/共221頁(yè)（1）相容關(guān)系——同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系。同一關(guān)系：外延完全重合，如“等邊矩形”和“等角菱形”；正三角形的“外心”、“內(nèi)心”、“垂心”、“重心”均指同一點(diǎn)。屬種關(guān)系（從屬關(guān)系、真包含關(guān)系）：外延大的概念為屬概念，小的為中概念。比比皆是。交叉關(guān)系，如“等腰直角三角形”等。（2）不相容關(guān)系（又稱全異關(guān)系）——反對(duì)關(guān)系（對(duì)立關(guān)系）、矛盾關(guān)系。反對(duì)關(guān)系，如“正有理數(shù)”和“負(fù)有理數(shù)”，“大于”和“小于”等。矛盾關(guān)系：如兩個(gè)概念的外延完全不同，并且它們的外延之和等于其屬概念的外延。如“同次根式”與“異次根式”?！按笥凇迸c“不大于”、“實(shí)數(shù)”與“虛數(shù)”、“相等”與“不相等”等概念之間的關(guān)系等。第109頁(yè)/共221頁(yè)●數(shù)學(xué)中常用的幾種定義方式：（1）屬加種差定義方式如“正多邊形”、“指數(shù)方程”等。（2）發(fā)生定義方式（又稱構(gòu)造定義方式）如角、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、橢圓、球等。（3）外延定義（概括定義）如有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。（4）關(guān)系定義方式：以事物間的關(guān)系作為種差的定義。如鈍角、整除等。（5）語詞定義方式：就是說明或規(guī)定語詞或詞組的意義的定義方式。如、、∽等。(6)充分必要條件定義（語境定義）如素?cái)?shù)、A=B.（7）公里定義方式如自然數(shù)（8）遞歸定義。第110頁(yè)/共221頁(yè)●定義的規(guī)則：（1）定義必須是相應(yīng)對(duì)稱的。例如，無限不循環(huán)小數(shù)，叫做無理數(shù)。（2）定義不得循環(huán)。例如，用兩直線垂直來定義直角，又用兩直線成直角來定義垂直

（3）定義應(yīng)當(dāng)是確定的、簡(jiǎn)明的。不能用比喻或其他含糊的說法來代替定義（4）定義一般不用否定式。例如：圓是不方的幾何圖形；加就是不減；正就是非負(fù)等，都沒有揭示出被定義概念的本質(zhì)。但這個(gè)要求不是絕對(duì)的，有些事物的本質(zhì)屬性就是揭示它缺乏某種特性，如斜棱柱的定義：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱。第111頁(yè)/共221頁(yè)二、概念的獲得概念的獲得就是要求學(xué)生掌握一類事物的共同本質(zhì)屬性，并能辨別本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，能列舉出概念的例證和反例。1.概念的形成：是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。如“扇形”、“圓”。以概念形成方式獲得精確概念的心理過程：第112頁(yè)/共221頁(yè)第113頁(yè)/共221頁(yè)第114頁(yè)/共221頁(yè)第115頁(yè)/共221頁(yè)第116頁(yè)/共221頁(yè)2.概念的同化同化是指學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)吸收新的信息，從而使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的過程。概念的同化指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程。同化的結(jié)果不僅使新概念獲得意義，而且擴(kuò)大和深華了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（量的增加）。●概念同化的心理過程：第117頁(yè)/共221頁(yè)概念同化的心理過程包括以下幾個(gè)階段：（1）辨認(rèn)。

辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概念?新舊觀念之間存在什么關(guān)系?新舊之間的聯(lián)系與區(qū)別，辨認(rèn)過程包含了回憶與知識(shí)的重現(xiàn)。例如，學(xué)習(xí)“正方體”概念，在給出正方體的定義后，學(xué)生必須對(duì)“長(zhǎng)方體”、“正四棱柱”、“棱長(zhǎng)都相等”、“高等于底面的邊長(zhǎng)”等已有概念進(jìn)行回憶和辨認(rèn)。第118頁(yè)/共221頁(yè)（2）同化。奧蘇貝爾認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化論的核心就是相互作用觀。

①下位關(guān)系學(xué)習(xí)或類屬學(xué)習(xí)。當(dāng)新知識(shí)從屬于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的、包容范圍較廣的知識(shí)時(shí)，則構(gòu)成下位關(guān)系。這是新知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的一種最為普遍的關(guān)系。例如，“三角形”的概念與等腰三角形、等邊三角形，或者銳角、鈍角、直角三角形的概念時(shí)學(xué)習(xí)。再如，“函數(shù)”與具體的函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的下位關(guān)系學(xué)習(xí)。從中可以看出，這種學(xué)習(xí)一般表現(xiàn)為通過增加條件對(duì)上位概念進(jìn)行限制或補(bǔ)充而形成新的概念。

第119頁(yè)/共221頁(yè)②上位關(guān)系學(xué)習(xí)或總括學(xué)習(xí)。當(dāng)要學(xué)習(xí)的新知識(shí)比已有知識(shí)的概括程度更高、包容范圍更廣，可以把一系列已有知識(shí)包容其中時(shí)，即原有的觀念是從屬觀念，而新學(xué)習(xí)的觀念是總括性觀念。新舊知識(shí)之間便構(gòu)成一種上下位關(guān)系，這時(shí)的學(xué)習(xí)就稱為上位學(xué)習(xí)或總括學(xué)習(xí)。

實(shí)數(shù)概念是對(duì)“有理數(shù)”“無理數(shù)”或“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”“零”概念的發(fā)展。在上位關(guān)系學(xué)習(xí)過程中，關(guān)鍵是從下位概念中歸納概括出它們的共同特征。第120頁(yè)/共221頁(yè)

③并列結(jié)合學(xué)習(xí)。

如果新舊知識(shí)之間既不產(chǎn)生下位關(guān)系，又不產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新的內(nèi)容與學(xué)習(xí)者已有的一些觀念有某種屬性或結(jié)構(gòu)的相似。所以可以通過合理的組織這些潛在的已有的觀念學(xué)習(xí)新知識(shí)，這種學(xué)習(xí)類型就稱為并列結(jié)合學(xué)習(xí)。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，很多新概念的學(xué)習(xí)都屬于這種學(xué)習(xí)。例如，“直線與平面的平行(垂直)”與“直線與直線的平行(或垂直)”的知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)?！柏?fù)數(shù)”與“相反意義的量”的觀念。第121頁(yè)/共221頁(yè)（3）強(qiáng)化。

通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰。概念同化的本質(zhì)是利用已經(jīng)掌握的概念獲取新概念，因此概念同化的學(xué)習(xí)形式必須具備一定條件。從客觀方面看，學(xué)習(xí)的材料必須具有邏輯意義，所學(xué)的新概念應(yīng)與學(xué)生已有的有關(guān)概念建立“非人為”和“實(shí)質(zhì)性”的聯(lián)系。第122頁(yè)/共221頁(yè)3.概念的順應(yīng)順應(yīng)本為生物學(xué)概念，是指有機(jī)體調(diào)節(jié)自己的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以適應(yīng)特定刺激情境的過程。概念的順應(yīng)，是指當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化新概念時(shí)，就要調(diào)整或改變?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便概括新概念。如由算術(shù)數(shù)到正、負(fù)屬概念：（1）通過概念形成的方式幫助學(xué)生建立新觀念：“現(xiàn)實(shí)中存在大量具有相反意義的量”（2）通過問題讓學(xué)生體會(huì)：要表達(dá)這些相反意義的量，原有的算術(shù)數(shù)是不夠的。（3）給出新的表述法或規(guī)定：把其中的一種量規(guī)定為正，則另一種量規(guī)定為負(fù)。第123頁(yè)/共221頁(yè)三、影響概念學(xué)習(xí)的因素1.學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)研究表明：就智力和經(jīng)驗(yàn)對(duì)概念學(xué)習(xí)的影響程度來看，經(jīng)驗(yàn)的作用更大。豐富的經(jīng)驗(yàn)背景是理解概念本質(zhì)的前提，否則將容易導(dǎo)致死記硬背概念的字面定義而不能領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵。經(jīng)驗(yàn)主要來源：學(xué)校學(xué)習(xí)、日常生活。經(jīng)驗(yàn)的影響：積極、消極。第124頁(yè)/共221頁(yè)●防止消極影響辦法：（1）把基本概念放在核心地位，使它成為聯(lián)系相關(guān)知識(shí)的紐帶，突出概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)上狠下功夫。如“集合”、“比例”、“函數(shù)”、“方程”、“距離”、“極限”等。奧蘇貝爾說：“從學(xué)習(xí)最一般的概念然后逐漸分化出較具體的概念，往往是最有效的。”如。第125頁(yè)/共221頁(yè)（2）及時(shí)探究新舊概念之間的異同。如；“平方根”與“算術(shù)平方根”；（3）強(qiáng)調(diào)通過恰當(dāng)?shù)木毩?xí)對(duì)概念進(jìn)行精加工。第126頁(yè)/共221頁(yè)2.概念學(xué)習(xí)素材的性質(zhì)（1）數(shù)量（2）變式：是變更對(duì)象非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物角度和方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。即變式是指事物的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。

第127頁(yè)/共221頁(yè)例子方程方程學(xué)習(xí)要解決兩個(gè)問題：一是平衡思想及其用“=”表示的方法；二是未知數(shù)的含義。鋪墊一：用具體事物表示未知量。通過解決具體問題的過程而熟悉“方程”的含義，形成直觀認(rèn)識(shí)。例如：小明用2元錢去買3塊橡皮，結(jié)果找給他2角。請(qǐng)問這塊橡皮多少錢？形象表示為：2元－■■■=2角，或2元－3■=2角（1）鋪墊二：用簡(jiǎn)寫記號(hào)表示未知量。用x代替“橡皮”，（1）式化為2元－3x=2角（2）統(tǒng)一單位后記為20－3x=2（3）此時(shí)只是一塊橡皮的價(jià)錢。鋪墊三：用數(shù)學(xué)符號(hào)“□”代替物化符號(hào)“x”20－3□=2（4）第128頁(yè)/共221頁(yè)（3）典型性實(shí)踐表明，概念的本質(zhì)特征越明顯，學(xué)習(xí)越容易，非本質(zhì)特征越多、越明顯，學(xué)習(xí)越困難。因此，教師教師對(duì)概念的本質(zhì)特征作恰當(dāng)?shù)臍w類練習(xí)。如“單項(xiàng)式”概念，涉及單項(xiàng)式定義、系數(shù)、次數(shù)等幾個(gè)方面。對(duì)定義，要突出“數(shù)字與字母的乘積”，舉例既有形如，又要分析單獨(dú)一個(gè)數(shù)是否為單項(xiàng)式。對(duì)“系數(shù)”，既要有正系數(shù)，又要有負(fù)系數(shù)，特別指出這樣的數(shù)字單項(xiàng)式的系數(shù)是多少。對(duì)“次數(shù)”，既要有，又要有等，并讓學(xué)生辨別“數(shù)字單項(xiàng)式”的次數(shù)。第129頁(yè)/共221頁(yè)（4）反例反例的恰當(dāng)運(yùn)用有助于學(xué)生對(duì)概念理解更加精確，建立概念間的聯(lián)系，更能排除無關(guān)特征的干擾，預(yù)防和澄清混淆點(diǎn)。如“”當(dāng)然，要注意“反例”運(yùn)用的時(shí)機(jī)：一般不能在學(xué)生剛接觸概念是運(yùn)用反例。第130頁(yè)/共221頁(yè)3.學(xué)生的概括能力概括是形成和掌握概念的直接前提。沒有概括，學(xué)生就不可能掌握概念，進(jìn)而由概念所引深的定義、定理、法則、公式就無法掌握；沒有概括，學(xué)生無法進(jìn)行邏輯推理；沒有概括，就不可能進(jìn)行靈活遷移；沒有概括，就不能實(shí)現(xiàn)思維過程的“縮減”或“濃縮”?！駭?shù)學(xué)概念的概括大約經(jīng)過如下幾個(gè)階段：（1）對(duì)一類事例的各種屬性進(jìn)行分化，再進(jìn)行分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后再概括起來；（2）在進(jìn)行類化，即把概括到的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去。這既是一個(gè)概念的運(yùn)用過程，又是一個(gè)更高意義上的抽象概括過程；（3）把新獲得的概念納入到概念系統(tǒng)中去，即要建立起新概念與已有相關(guān)概念之間的聯(lián)系，這是概括的高級(jí)階段。第131頁(yè)/共221頁(yè)4.數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力語言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過程中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)生能用自己的語言正確敘述概念，解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，這是學(xué)生理解概念的標(biāo)志。第132頁(yè)/共221頁(yè)四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)1.兩種教學(xué)模式模式一：概念形成的教學(xué)模式概念的形成是由特殊到一般，有具體到抽象的過程，因此，對(duì)于那些初次接觸或較難理解的概念，可采用這種方式教學(xué)學(xué)習(xí)。其過程如下：第133頁(yè)/共221頁(yè)●原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對(duì)象的方法來明確?！搬樇獯棠景濉钡暮圹E引入“點(diǎn)”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來引入“直線”的方法是直觀說明法，“1，2，3，···叫做自然數(shù)”是指明對(duì)象法。第134頁(yè)/共221頁(yè)模式二：概念同化的教學(xué)模式其過程如下：第135頁(yè)/共221頁(yè)如“一次函數(shù)”的概念給出名稱、定義、符號(hào)：函數(shù)特例：等把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項(xiàng)式概念等作比較用肯定、否定例證讓學(xué)生辨認(rèn)：第136頁(yè)/共221頁(yè)概念同化方式學(xué)習(xí)新概念必須具備3個(gè)條件：（1）學(xué)習(xí)者必須具備“我要學(xué)”的動(dòng)機(jī)；（2）新概念必須有邏輯意義；（3）學(xué)生的原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具備同化新概念所需要的觀念。這種學(xué)習(xí)的關(guān)鍵：把握新概念與原有概念之間的關(guān)系。第137頁(yè)/共221頁(yè)2.促進(jìn)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的教學(xué)建議數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程大致分為概念的引入、概念的理解和概念的運(yùn)用3個(gè)階段。（一）概念的引入由于概念的形成、概念的同化和概念的順應(yīng)是概念獲得的3種方式，因此，概念的引入可以按這3種方式進(jìn)行。同時(shí)要考慮學(xué)生的心理特點(diǎn)。首先，依據(jù)概念的定義方式來引入（1）概念為“屬加種差”型，按“概念同化”方式引入。此時(shí)，教師關(guān)鍵要講清定義中的屬概念和種差，使學(xué)生明白：新概念既具有屬概念的一般屬性，又具有自身所特有的關(guān)鍵屬性（種差）。但有些“屬加種差”型的概念，其屬概念的內(nèi)涵較少，外延很大，而種差較為抽象，學(xué)生同化較困難，此時(shí)可從概念外延入手，選擇概念形成的方式來引入。如“等比數(shù)列”。第138頁(yè)/共221頁(yè)（2）概念為“發(fā)生式定義”型，按“概念同化”方式引入。此時(shí)，教師講解的重點(diǎn)不只是“種差”，還要通過實(shí)驗(yàn)演示其發(fā)生過程，讓學(xué)生具體操作，體驗(yàn)其形成過程，以幫助學(xué)生把握概念的關(guān)鍵屬性。如角、橢圓等。（3）概念為“關(guān)系、形式定義”型，一般按概念同化方式引入。此時(shí)要抓住定義的模型，任何突破模型的形式都不是定義本身。如，冪函數(shù)的定義：形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)。由此可知，函數(shù)都不是。對(duì)于上述的規(guī)定性定義，要講清兩點(diǎn)：一是規(guī)定的必要性，二是規(guī)定的合理性。如規(guī)定要從冪的運(yùn)算入手講清道理。第139頁(yè)/共221頁(yè)（4）起基礎(chǔ)作用和核心作用的形式定義的數(shù)學(xué)概念，宜采用“概念順應(yīng)”方式引入。

如正、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)等。其次，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)引入學(xué)生認(rèn)知的心理特點(diǎn)：一方面表現(xiàn)為天生就具有的積極向上、探索奧秘的求知欲，另一方面表現(xiàn)為心理平衡傾向。因而，“有趣”、“懸念”、“設(shè)疑”等為常用手段。如“二面角”、“等速螺線”等。第140頁(yè)/共221頁(yè)（二）概念的理解注意和加強(qiáng)以下4個(gè)方面：（1）加強(qiáng)對(duì)概念的解剖分析由于數(shù)學(xué)本身要求的簡(jiǎn)單美，使得概念中的敘述、符號(hào)、式子都十分精煉，含義深刻。如“正弦函數(shù)”，涉及比的意義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識(shí)，其中“比”是本質(zhì)屬性。（2）利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性如“直角三角形”（一個(gè)直角）、“無理數(shù)”（無限不循環(huán)）。（3）注意概念的對(duì)比和直觀化如分?jǐn)?shù)與分式、平面圖形與立體圖形，不等式的解與方程的解，最值與極值等。第141頁(yè)/共221頁(yè)（4）注意概念體系的建構(gòu)（三）在實(shí)踐中運(yùn)用概念第142頁(yè)/共221頁(yè)第三部分：

數(shù)學(xué)原理的有效教學(xué)策略一、數(shù)學(xué)原理的相關(guān)概述二、數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的形式三、促進(jìn)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的教學(xué)建議四、數(shù)學(xué)原理教學(xué)的教學(xué)策略第143頁(yè)/共221頁(yè)案例1：關(guān)于完全平方公式的表征方式

讓學(xué)生利用剛學(xué)過的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算；(符號(hào)表征)

總結(jié)公式的特征：首平方，尾平方，首尾乘積兩倍加在中央；(語言表征)用下圖并要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)大正方形以及四個(gè)小矩形的面積，由此引導(dǎo)他們?nèi)サ玫剿年P(guān)系；（圖形表征）第144頁(yè)/共221頁(yè)讓學(xué)生使用計(jì)算機(jī)程序求當(dāng)（a,b）分別取幾組數(shù)值時(shí)，和的值，然后引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)所求的關(guān)系；（操作表征）讓學(xué)生解決以下的情景問題：有一位老奶奶很喜歡小孩子，每次孩子們到她家，她都會(huì)給他們一些糖，她給自己立了一個(gè)規(guī)定：每次有多少孩子去，就會(huì)給每個(gè)孩子同樣數(shù)目的糖（如有五個(gè)孩子就給每個(gè)孩子五顆糖）?，F(xiàn)在有a個(gè)男孩子和b個(gè)女孩子準(zhǔn)備要去老奶奶家，這些孩子在商量是分開去（a個(gè)男孩子一起和b個(gè)女孩子一起）還是一起去所得的糖會(huì)多一些？多多少？請(qǐng)你幫他們解決這一問題。由此引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)所求的關(guān)系。（情景表征）

第145頁(yè)/共221頁(yè)案例2：案例：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？?。?）問題的提出：在一次聽課中，教師講解直線y=kx+b，有學(xué)生問，為什么一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？（2）分析.在教數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，教師需要注意的是：數(shù)學(xué)不是因?yàn)槿藗兊慕忉尣啪哂羞@樣或那樣的性質(zhì)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是客觀存在的。如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的客觀存在性是關(guān)鍵。這就需要教師具備專業(yè)的MPCK,把數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。具體到這個(gè)案例，要想解決學(xué)生的疑惑，先從三個(gè)方面來剖析。第146頁(yè)/共221頁(yè)MPCK教學(xué)案例：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？！從MK的角度.證明“一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線”可以采用傾斜角法（或斜率法），即在圖像上任取3個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2（x2,y2),P3(x3,y3),說明由點(diǎn)P1,P2確定的直線P1P2與由點(diǎn)P1P3確定的直線P1P3的傾斜角（或斜率）相等。從PK的角度.在組織教學(xué)時(shí)，可以采用先由特例出發(fā)，探索解決疑問的思路，然后再?gòu)囊话阈缘慕嵌燃右苑治雠c證明。從CK的角度.結(jié)合學(xué)生的具體認(rèn)知水平，需要考慮這個(gè)問題可以解決到什么層次，學(xué)生可能理解到什么程度，即實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師教學(xué)策略的選擇。第147頁(yè)/共221頁(yè)MPCK教學(xué)案例：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線？?。?）MPCK的多層呈現(xiàn)：我們可以得出教師的常規(guī)解決該問題的方法.

一般初中教師的MPCK.在初中數(shù)學(xué)教師中常見的回答可能是：首先畫出幾個(gè)特例如（y=2x+1,y=6x+4,y=5x-8)的圖像，表明它們均是直線，然后再畫一些如y=x2+2x-3之類的反例，最后用不完全歸納法給出結(jié)論，并要求學(xué)生記住結(jié)論。顯然，教師的解答并沒有解決學(xué)生的疑問。這里牽涉兩個(gè)層面的問題：（a）數(shù)學(xué)怎么證（知識(shí)的科學(xué)性）？（b）若這個(gè)證明太難，如何給學(xué)生一個(gè)簡(jiǎn)易的（但又蘊(yùn)含數(shù)學(xué)原理）的解答？第148頁(yè)/共221頁(yè)有經(jīng)驗(yàn)的初中教師的MPCK.

先讓初中學(xué)生用多描幾個(gè)點(diǎn)方法感受并猜想一次函數(shù)y=2x+1的圖像可能是直線，然后探索并理解直線由“點(diǎn)和傾斜角”唯一確定，接著看看當(dāng)點(diǎn)P1(1,3)的橫坐標(biāo)變成1+t時(shí)，根據(jù)函數(shù)解析式算得相應(yīng)的縱坐標(biāo)變成2（1+t）+1=3+2t.即當(dāng)1水平方向移動(dòng)t個(gè)單位，3就在垂直方向移動(dòng)2t個(gè)單位，新舊點(diǎn)連線的傾斜角的正切均是2，與t無關(guān)。既然是傾斜角恒不變（在初中教材中，沒有出現(xiàn)斜率的概念），因此y=2x+1的圖像便是直線。當(dāng)然，可以讓學(xué)生嘗試給出一般的一次函數(shù)y=kx+b的圖像是直線的證明。第149頁(yè)/共221頁(yè)一、數(shù)學(xué)原理相關(guān)概述1.數(shù)學(xué)原理內(nèi)涵：數(shù)學(xué)命題（指真命題），主要包括數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則等和數(shù)學(xué)推理與證明。數(shù)學(xué)命題（除公理之外）都必需論證，只有論證之后，才可