【教案】第1課時等差數(shù)列的前n項和公式說課稿-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第1課時等差數(shù)列的前n項和公式說課稿-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊尊敬的各位評委老師，大家好:我今天說課的課題是《等差數(shù)列的前項和公式》。下面我將圍繞本節(jié)課"教什么？"、"怎樣教？"以及"為什么這樣教？"三個問題，從教材內(nèi)容分析、教學(xué)目標(biāo)及重難點、教學(xué)過程等幾個方面逐一加以分析和說明。一、教材內(nèi)容分析《等差數(shù)列的前項和公式》是新人教版A版選擇性必修第二冊教材第四章第二單元的內(nèi)容，本單元內(nèi)容具有承上啟下的作用，不僅是等差數(shù)列的概念和等差數(shù)列的通項公式與性質(zhì)的延續(xù)，也為后面學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項和公式提供類比對象。由于數(shù)列是一種特殊函數(shù)，所以本單元學(xué)習(xí)路徑類比函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，即從概念公式的形成到符號圖形的表達(dá)，再到性質(zhì)的探究，最后到在實際問題中的應(yīng)用。通過對等差數(shù)列前n項和公式的探究與推導(dǎo)，體會和把握等差數(shù)列“等差”的本質(zhì)特征?；谏鲜鰞?nèi)容分析，整理出本節(jié)的知識結(jié)構(gòu)框圖：二、教學(xué)目標(biāo)分析1.學(xué)情分析數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)路徑和函數(shù)有相似之處。對于高二的學(xué)生，從知識結(jié)構(gòu)上來看，在高一時經(jīng)歷了研究函數(shù)的一般路徑，在知識、經(jīng)驗方面有所積累,并且學(xué)生通過前面的的學(xué)習(xí)，對等差數(shù)列的概念、通項公式以及前n項和公式學(xué)生也有了初步的理解,這些都為本課時的應(yīng)用提供了探究方法和理論基礎(chǔ)；在能力水平上方面，學(xué)生已經(jīng)具備一定的抽象、推理、類比等能力，但公式的靈活應(yīng)用能力不足、從實際情境中建立數(shù)學(xué)模型的能力還有待提升.2.課程目標(biāo)本節(jié)課的課程目標(biāo)為：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列通項公式與前n項和公式之間關(guān)系。3.教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點基于課程目標(biāo)，根據(jù)以上對教材的分析以及對學(xué)情的把握，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重、難點：教學(xué)目標(biāo)通過的解法出發(fā)，經(jīng)歷幾種求和方法的比較，從“形”和“數(shù)”兩個角度體會“倒序相加”的求和方法，能推導(dǎo)并掌握等差數(shù)列前n項和公式，說明等差數(shù)列前n項和公式與通項公式之間的關(guān)系，并能從代數(shù)和幾何兩個方面理解等差數(shù)列前n項和公式。體會歷史與現(xiàn)實，簡單到復(fù)雜，特殊到一般，數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想。（2）教學(xué)重、難點:教學(xué)重點是：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)；教學(xué)難點是：倒序相加法的發(fā)現(xiàn)。三、教學(xué)分析1.教學(xué)方法建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論應(yīng)認(rèn)為：把學(xué)習(xí)看成是學(xué)生主動的建構(gòu)活動，學(xué)生應(yīng)與一定的知識背景即情景相聯(lián)系，在實際情景下進(jìn)行學(xué)習(xí),可以使學(xué)生利用已有知識與經(jīng)驗同化和索引出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持,而且易于遷移到陌生的問題情景中。因此，本節(jié)課設(shè)計以該理論指導(dǎo)思想，采用“誘思探究教學(xué)法”，通過啟發(fā)引導(dǎo)--獨立思考--合作探究--交流表達(dá)，同時合理利用信息技術(shù)等教學(xué)手段，使學(xué)生盡可能地參與到課堂中來，教師真正成為課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、組織者和學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者,真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用。同時靈活應(yīng)用多媒體手段，以學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅、互動的課堂環(huán)境，組織學(xué)生自主、合作的探究活動，引導(dǎo)學(xué)生探索新知。2.教學(xué)思路本節(jié)課，我設(shè)置了7個情景活動：（1）創(chuàng)設(shè)情景，引入課題本節(jié)課首先從古希臘畢達(dá)哥斯拉學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他研究圖形，這個古代的數(shù)的例子，使學(xué)生意識到探索新知識的必要性，順利引入本課題。（2）提出問題，抽象概念①由圖提出問題1“如果圖中的石子有100層，那么第1層到第100層一共用了多少粒？”通過將實際問題轉(zhuǎn)為為數(shù)學(xué)問題，學(xué)生體會現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；②然后提出“追問1：高斯采用的是什么算法？數(shù)列1,2,3，…，n，…是什么數(shù)列？高斯在求和過程中利用了數(shù)列1,2,3，…，n，...的什么性質(zhì)？高斯求和法的實質(zhì)是什么？通過將實際問題轉(zhuǎn)為為數(shù)學(xué)問題，學(xué)生體會現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；③對于追問一，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)高斯巧算的“秘密”，發(fā)現(xiàn)其過程就是首尾配對法，即利用性質(zhì)，通過配對湊成相同的數(shù)，變“多步求和”“一步相乘”，實現(xiàn)了“化合為積”并且挖掘它蘊含的等差數(shù)列的對稱性，提煉出將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”本質(zhì)，從而為推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式做準(zhǔn)備。所以重溫了高斯算法后設(shè)計了追問2“如果圖4.2-4中的石子有101層，那么第1層到第101層一共用了多少粒石子？”學(xué)生很自然地將問題先轉(zhuǎn)化為計算.,在過程中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)配對時不夠的問題，這時教師再引導(dǎo)學(xué)生明確求解的關(guān)鍵是將奇數(shù)項求和問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項求和問題，學(xué)生經(jīng)過合作學(xué)習(xí)，相互討論，形成以下兩種求解思路.思路1：先拿一項，再首尾配對，如拿出中間項，即原式；也可以先拿出末項，再首尾配對，即原式思路2：先湊成偶數(shù)項，再配對，如可以在前面補零，湊成偶數(shù)項配對，即原式；也可以通過后面增項減項，湊成偶數(shù)項配對，即原式通過實現(xiàn)“化奇為偶”來實現(xiàn)高斯突破高斯的算法，有助于培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的思想，也為接下來解決更一般的求和問題提供了研究思路.問題2如果圖中的石子有層，那么第1層到第層一共用了多少粒石子？學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為計算，然后再仿照問題1的思路，從奇偶分析法入手探求：當(dāng)為偶數(shù)時，直接運用高斯算法求解；當(dāng)為奇數(shù)時，學(xué)生經(jīng)過小組合作討論，借鑒前面的研究經(jīng)驗，通過不同的配項方式（增項，補項等），得到“化奇為偶”的不同化歸方法學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，能深刻體會類比的數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);問題3畢達(dá)哥斯拉學(xué)派是如何利用直觀圖像來研究“石子堆”的數(shù)量問題的？追問為什么要“倒置”一個全等梯形？梯形面積公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了什么研究策略？能否借助這樣的策略研究“石子堆”的數(shù)量問題？教師引導(dǎo)學(xué)生分析，“倒置”是為了補成平行四邊形，將不規(guī)則或不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則或熟悉的圖形，并引導(dǎo)學(xué)生歸納如圖所示的求解方法：平行四邊形行中的每行石子的粒數(shù)均為，共有粒石子，所以原圖案共有粒石子.從而由教師介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派正是利用這種直觀的拼圖方法，求出了從1開始的連續(xù)個正整數(shù)之和，即通過再現(xiàn)梯形面積公式的推導(dǎo)，借助幾何圖形的直觀性，起到啟迪學(xué)生思維，喚醒學(xué)生重新思考的作用，引發(fā)學(xué)生類比探求新方法的欲望，從而為“倒置”過渡到“倒序”作準(zhǔn)備.也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).（3）內(nèi)涵辨析，探索性質(zhì)為使學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)學(xué)的前n項和公式，本環(huán)節(jié)任以問題和追問題形式引導(dǎo)學(xué)生思考，設(shè)置了如下問題和追問：問題4你能說出圖中隱含的求和思想和運算方法嗎？它對避免分類討論有何幫助？通過學(xué)生探討，先從“形”的角度對進(jìn)行直觀分析，結(jié)合“倒置平移”中所受到的啟發(fā)，得出其實質(zhì)就是“算兩次”的思想方法，即構(gòu)造一個全等的圖形，把不規(guī)則圖形化為規(guī)則圖形，實現(xiàn)化簡求和的目的；再從“數(shù)”的角度對進(jìn)行恒等變形，得到.其本質(zhì)也相當(dāng)于把“加兩次”，即，,再將兩式相加，可得其結(jié)果變成 個相加，由此自然引出了“倒序相加”的求和方法.其次老師總結(jié)，通過類比得到的這種推導(dǎo)方法叫做倒序相加法.倒序相加，將復(fù)雜的求和問題轉(zhuǎn)化為簡單的求和，即把 個數(shù)的平均數(shù)的自然加，從中可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：所求的和可以用首項、末項和項數(shù)來表示：數(shù)列中任意的第項和倒數(shù)第項的和都等于首項和末項的和.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想探索新的解決方法，體現(xiàn)從特殊到一般導(dǎo)出“倒序相加”的過程，符合學(xué)生的認(rèn)知實際.問題5倒序相加法妙在何處？這種方法能推廣到求公差為的等差數(shù)列的前項和嗎？倒序相加的妙處在于：利用上述規(guī)律（2）通過算兩次的思想，將個不同數(shù)求和轉(zhuǎn)化為個相同數(shù)求和.在此基礎(chǔ)上，可以利用等差數(shù)列的對稱性得到：與首末兩項“等距離”的兩項的和都等于首末兩項的和，即，再將轉(zhuǎn)化為個的和，從而運用倒序相加法得到公式.接下來引導(dǎo)學(xué)生通過兩種途徑導(dǎo)出求和公式的其他形式.途徑1：先利用通項公式表示的各項，再化歸為利用求和，即途徑2：直接將通項公式代入，化簡得到整理得到公式學(xué)生從特殊到一般，將幾何圖形中的“倒置平移”與等差數(shù)列在的“倒序相加”對應(yīng)起來，使“倒序相加法”的產(chǎn)生過程不突兀，學(xué)生對倒序相加法帶來的方便會更清晰，理解更深刻，也更容易接觸。問題6根據(jù)等差數(shù)列前項和公式的結(jié)構(gòu)特征，你能分別說明它們的幾何意義嗎？建立公式與平均數(shù)的聯(lián)系，即“等差數(shù)列的前項和等于前項的平均數(shù)的倍”，并發(fā)現(xiàn)“前項的平均數(shù)等于首項與末項的平均數(shù)”的幾何意義如圖1所示，即相對于梯形的中位線.從類比梯形的面積出發(fā)，建立公式與幾何圖形之間的聯(lián)系：公式的幾何意義為如圖2所示的梯形面積，其中，分別表示梯形的上底和下底，表示梯形的高；公式的幾何意義為如圖3所示的梯形的面積，與公式的差別在于該梯形被分割成兩部分面積（一個三角形和一個平行四邊形）.圖SEQ圖\*ARABIC1圖SEQ圖\*ARABIC2圖SEQ圖\*ARABIC3（4）例題練習(xí)，鞏固概念通過以下例題的講練，使學(xué)生能夠在簡單情景和較為復(fù)雜情景中利用對數(shù)的定義解決問題；以追問的方式引導(dǎo)學(xué)生形成解題的方法和規(guī)范的步驟，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，同時進(jìn)一步加深學(xué)生對指數(shù)與對數(shù)的理解。例5已知數(shù)列是等差數(shù)列，例6已知數(shù)列是等差數(shù)列.若若若追問例6的求解過程有什么共同特點？，其中主要運用看什么思想方法？例7已知一個等差數(shù)列前10項和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？追問通過上述兩個例題的求解你認(rèn)為對于等差數(shù)列的幾個相關(guān)量已知幾個量就可以確定其他量？確定一個等差數(shù)列需要幾個條件？（5）歸納小結(jié)，形成結(jié)構(gòu)小結(jié)歸納不僅是對知識的簡單回顧，還要發(fā)揮學(xué)生的主體地位，應(yīng)該讓學(xué)生和教師共同完成。對此，我設(shè)計了兩個問題：推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時，用了哪些方法？等差數(shù)列的前n項和公式有幾種形式？分別具有什么幾何意義？它們與平均數(shù)、等差數(shù)列的通項公式又分別有什么關(guān)系？（3）你能畫出本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)圖嗎？通過課堂小結(jié)，使學(xué)生厘清本節(jié)課的只是發(fā)展脈絡(luò)，加深對等差數(shù)列前n項和公式的理解，提升學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。（6）目標(biāo)檢測、檢驗效果為檢測目標(biāo)達(dá)成情況，設(shè)置了如下兩個練習(xí)：（1）等差數(shù)列的前多少項和為-100；（2）已知函數(shù).（i）若，試求的值；（ii）利用倒序相加法計算的值。學(xué)生通過獨立思考、自主完成、交流展示，能夠極好地反應(yīng)出學(xué)生對等差數(shù)列前n項和公式及倒序相加法的掌握程度；教師通過點評，也起到了查漏補缺、答疑解惑的作用.（7）作業(yè)布置，應(yīng)用遷移本節(jié)課的課后作業(yè)布置如下：作業(yè)1：教材第22-23頁練習(xí)第1,2,3題.作業(yè)2：類比等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系，思考等差數(shù)列前n項和公式與一元二次函數(shù)之間有什么關(guān)系？從函數(shù)的角度可以發(fā)現(xiàn)哪些差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)？作業(yè)1是為了檢測學(xué)生認(rèn)識差數(shù)列前n項和公式掌握程度.作業(yè)2為下一課時學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)、獨立思考的習(xí)慣；3.板書設(shè)計板書要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法，體現(xiàn)課堂進(jìn)程，能簡明扼要反映知識結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系；能指導(dǎo)教師的教學(xué)進(jìn)程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識；對于本節(jié)課，我采用地是關(guān)系式板書設(shè)計。同時可以通過使用幻燈片輔助板書，節(jié)省課堂時間，使課堂進(jìn)程更加連貫。4.教學(xué)效果預(yù)測通過本節(jié)，我預(yù)設(shè)如下教學(xué)效果學(xué)生能掌握等差數(shù)列前n項和的“倒序相加法”與其他推導(dǎo)方法，分析倒序相加法的特點；（2）并能分析等差數(shù)列通項公式與前n項和的關(guān)系，能說明等差數(shù)列前n項和公式的代數(shù)特征與幾何特征；（3）學(xué)生經(jīng)歷一系列以問題為導(dǎo)航的學(xué)習(xí)活動，過程中不斷思考，能夠意識生成數(shù)學(xué)概念的一般路徑；（4）例習(xí)題的訓(xùn)練，學(xué)生能逐漸養(yǎng)成在簡單情景亦或是較為復(fù)雜情景中利用新知解決問題的思維習(xí)慣，使學(xué)生學(xué)有所用；（5）使學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展5.課程資源開發(fā)與利用建議（1）注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣教師可在課前為學(xué)生準(zhǔn)備導(dǎo)學(xué)案，使學(xué)生帶著問題進(jìn)行自主預(yù)習(xí)，逐步形成能學(xué)習(xí)、會學(xué)習(xí)、善學(xué)習(xí)的優(yōu)良態(tài)勢；注重聯(lián)系，突出轉(zhuǎn)化，形成探索發(fā)現(xiàn)及解決問題的一般思路本單元公式較多，運算方法也較多，在教學(xué)中既要注意從在特