結構的位移計算

結構的位移計算第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6-1概述1．結構的位移（1）結構的位移結構在外因的影響下將產生變形，由于變形使結構上各截面的位置將發(fā)生變化，這種位置的變化稱為位移。

（2）位移的分類及表示

位移可分為線位移Δ及角位移f，為計算方便常把線位移分解為水平及豎直兩個方向，分別用ΔCx(或ΔCH)、ΔCy(或ΔCV)表示，如圖6-1所示。角位移用fC(或θC)表示如圖6-2所示。位移的表示符號右下方有兩個腳標，其物理意義為：第一個腳標表示發(fā)生位移的截面，第二個腳標表示位移的方向(或引起位移的原因)。第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日位移又可分為絕對位移（如圖6-1所示）及相對位移，如圖6-2中C、D兩截面的水平線位移ΔCx、ΔDx之和ΔCD=ΔCx+ΔDx表示C、D兩截面在水平方向上的相對線位移，又如

fAB=fA+fB表示A、B兩截面的相對轉角。無論是絕對位移或相對位移，今后統(tǒng)稱為廣義位移，可用Δ表示。圖6-1圖6-2第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

2．計算結構位移的目的（1）驗算結構的剛度結構在外因影響下如果變形太大，同樣會影響結構的正常使用，為此在各種結構的設計規(guī)范中，對結構的剛度都有一定的要求。

（2）結構在施工過程中需要計算位移結構在施工過程中，往往需要預先知道結構的變形情況，而這種變形與結構正常使用時完全不同。如圖6-3為懸臂拼裝架梁的示意圖。在正常使用時，該簡支梁的最大撓度在跨中，而在施工時懸臂端B處的撓度最大，該撓度值也成為在結構設計時的控制因素之一。圖6-3

第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

（3）為超靜定結構的計算打基礎在超靜定結構的計算中，除考慮平衡條件外，還必須考慮變形協(xié)調條件，因此計算結構的位移是解超靜定結構的一個重要手段。

（4）結構的動力計算和穩(wěn)定計算中也需要計算結構的移。

3．計算位移時的有關假定（1）結構的材料服從虎克定理。即應力與應變呈線性關系。（2）結構的變形很小，可以認為結構變形前后的幾何尺寸相同，稱為彈性小變形問題。（3）受彎桿件不考慮軸向變形的影響。上述假定可使位移計算得到簡化，其計算精度可以滿足工程要求。滿足上述假定的體系其位移與荷載呈線性關系，稱為線性變形體。若位移與荷載之間不呈線性關系的體系稱為非線性變形體。本書只考慮線性變形體。

4．引起結構產生位移的原因除荷載外，還有溫度變化、支座移動、制造誤差、混凝土收縮等因素。

第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

1．虛功和虛功原理

（1）虛功力在其位移上做功，當力與位移彼此獨立無關時，這時的功稱為虛功。

（2）剛體的虛功原理理論力學中講過剛體的虛功原理：剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，所有外力所作虛功的總和為零。

（3）變形體的虛功原理對于變形體來講，當給體系一虛位移時，除了外力(荷載、約束反力等)在虛位移上做虛功外，內力在其相應的變形上也要做功，這個功稱為變形虛功。變形體的虛功原理可表述為：變形體處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，外力所做虛功總和等于各微段的內力在其變形上所做的虛功總和?！?-2變形體系的虛功原理

第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

若用W表示外力虛功，WV表示變形虛功，則上述原理可寫為

W=WV(6-1)

由于力與位移的獨立性，為計算方便，常把力狀態(tài)與位移狀態(tài)分開畫，在力狀態(tài)所有的力(荷載與支座反力等)處于平衡狀態(tài)，在位移狀態(tài)中，虛位移可由其它任何原因(如另一組力系、溫度變化、支座移動等)引起，但必須是約束條件所允許的微小位移。

2．變形虛功的計算在力狀態(tài)取微段ds為隔離體，如圖6-4(c)所示，在位移狀態(tài)對應微段的變形為du、ds、df，當略去二階微量時，ds微段的變形虛功為dWV=FNdu+FSγds+Mdf，對于整個結構則為

WV=Σ∫dWV=Σ∫FNdu+Σ∫FSγds+Σ∫Mdf(6-2)第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日故虛功方程為：

W=Σ∫dWV=Σ∫FNdu+Σ∫FSγds+Σ∫Mdf(6-3)圖6-4第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

3.虛功原理的應用

(1)虛位移原理給定力狀態(tài)，虛設位移狀態(tài)，利用虛功方程來求解力狀態(tài)的未知力，稱為虛位移原理。

(2)虛力原理給定位移狀態(tài),虛設力狀態(tài)，利用虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移，稱為虛力原理。本章將根據(jù)這一原理計算位移。第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日在利用虛力原理時，由于力狀態(tài)是虛設的，故將上節(jié)所述力狀態(tài)改稱為“虛擬狀態(tài)”，位移狀態(tài)改稱為“實際狀態(tài)”。為了計算方便，在“虛擬狀態(tài)”沿欲求“實際狀態(tài)”的指定截面位移方向ΔK加一個對應的單位力，如圖6-5所示。根據(jù)(6-1)、(6-3)式可得式中、、為單位力引起的內力(在虛擬狀態(tài))，上式移項后可得

(6-5)§6-3位移計算的一般公式單位荷載法

1.單位荷載法第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日由(6-5)式可以看出，欲求“實際狀態(tài)”的某一位移如ΔK，則必須在“虛擬狀態(tài)”加一個相應的單位力，然后利用虛功原理求出ΔK，故此種計算位移的方法稱為單位荷載法。圖6-5第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日

2.單位力的作法

具體計算中，欲求的位移可能是角位移、相對線位移、相對角位移，則對應的虛擬力應分別為一個單位力偶，一對指向相反的單位力或一對方向相反的力偶(見圖6-6)，在桁架中由于只承受結點集中荷載，當欲求圖中BC桿轉角時，虛擬力則是加在BC桿兩端結點垂直于桿軸線的一對集中力1/lBC，它們組成一個單位力偶m=1/lBC·lBC=1。圖6-6第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算式(6-5)中的du、γds、dφ為“實際狀態(tài)”中ds微段的變形，該變形可以由荷載引起或溫度變化或支座移動等原因引起。本節(jié)先討論荷載的影響，其它因素將在后面各節(jié)分述。當只考慮荷載的影響時，式(6-5)可寫為

(a)由材力可知：

(b)式中FNP、FSP、MP為“實際狀態(tài)”中荷載引起的微段內力，

第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日E為材料的彈性模量，I、A分別為桿件截面的慣性矩和面積，G為剪切彈性模量，k為截面上剪應力分布不均勻系數(shù)，它與截面的形狀有關。如矩形截面k=6/5，圓形截面k=32/27，工字形截面k≈A/Af，Af是腹板的面積。將(b)式代入(a)式得

(6-6)在計算梁和剛架時，因剪切及軸向變形的影響比彎曲變形小得多，可以略去不計，故式(6-6)可簡化為

(6-7)在桁架計算中，因只有軸力一項，且每根桿EA、、、l均為常數(shù)，故式(6-6)可寫為

(6-8)第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日對于組合結構，受彎桿件只計彎曲變形的影響，二力桿只有軸向變形，則式(6-6)可寫為

(6-9)

例6-1

試求簡支梁在荷載作用下跨中C截面的豎向線位移ΔCy。EI=常數(shù)。見圖6-7(a)。解：1.建立“虛擬狀態(tài)”。欲求ΔCy則應在C處加一單位集中力作為虛擬力，見圖6-7(b)。

2.寫出、表達式。設x坐標如圖所示，A為坐標原點。在虛擬狀態(tài)中，由單位力引起的內力、反力均在其相應的表示符號上加一橫線，AC與CB段內力表達式形式不一樣，故“兩種狀態(tài)”中的內力應分兩段寫出

第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日AC段=ql/2·x-qx·x/2(0≤x≤l/2)=x/2(0≤x≤l/2)CB段=ql/2·x-qx·x/2(l/2≤x≤l)=x/2-1·(x-l/2)=l/2-x/2(l/2≤x≤l)圖6-7第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

3.代入式(6-7)計算ΔCy。

計算結果得正值說明ΔCy的方向與虛擬力方向一致，數(shù)據(jù)后面一定要注明所求位移的實際方向。例6-2

求圖6-8(a)所示圓弧曲桿B點的豎向線位ΔBy。EI=常量，不計軸力及曲率的影響。解：1.建立虛擬狀態(tài)如圖6-8(c)所示。

2.寫出、表達式。第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日取分離體分別如圖6-8(b)、(d)所示。

=-FRsinφ=Rsinφ,且ds=Rdφ3.代入式(6-7)計算ΔBy。圖6-8

第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例6-3

計算圖6-9(a)所示桁架下弦C結點的豎向線位移ΔCy、CD及CE兩桿的相對角位移φC。各EA=3×104kN。

解:

由于桁架的桿件較多，一般多采用表格形式進行計算。本題兩種狀態(tài)內力均為正對稱，故表6-1中只列出一半桿件內力。由式(6-8)得

ΔCy==2×(9.43+6.67)×10-4+13.33×10-4=45.53×10-4m=45.53×10-2cm(↓)φC==6.67×10-4rad(下面角度增大)，CD桿與CE桿夾角減小。圖6-9第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日桿件l(m)EAAD3X1040.943X10-49.43X10-400CD3X1040.943X10-4000AC43X1041.333X10-4106.67X10-400DE43X1041.333X10-4-10-113.33X10-46.67X10-4表6-1第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6-5圖乘法

1.引言在梁與剛架的位移計算中，當荷載比較復雜時，積分運算十分繁瑣，但在一定的條件下，可簡化為“圖乘法”進行運算。

2.圖乘法的三個前提條件

(1)該桿段是一直桿，

(2)在桿段內EI為一常數(shù)，

(3)在該桿段中或圖至少有一個是一直線圖形。

3．公式推導設圖為曲線，圖為一直線圖形。

=x·tanα代入積分式

第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日由合力矩定理可得，用yc表示圖形心C所對應的圖上的縱距，則4．乘積正負號的取法當Aω·yc在基線同一側時，Aω·yc取正；二者在基線異側時，Aω·yc取負。整個結構進行圖乘運算時，則式(6-7)就可寫為(6-10)圖6-10第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日例6-4

求圖6-11(a)所示簡支梁A截面的轉角φA。設EI為常量。解：1.假設虛擬狀態(tài)見圖611(b)。

2.繪、圖。

3.由于圖的面積及形心較容易求出，故yc可取自圖，計算如下

(順時針轉動)圖6-11第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

5.常見圖形的面積和形心位置

進行圖乘運算時，經常見到的幾種圖形面積和形心位置如圖6-12所示。其中標準拋物線是指該曲線頂點的切線必須與基線平行。圖6-12第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

6．兩個梯形圖形之間的圖乘在運算時還常遇到兩個梯形圖形進行圖乘，在此推導一個便于記憶的圖乘公式，由圖6-13(a)

當a、b、c、d在基線同側時乘積為正，反之為負。如圖6-13(b)：

第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日圖6-13圖6-14第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例6-5求圖6-14(a)所示懸臂梁B截面豎向線位移ΔBy。解：1.假設虛擬狀態(tài)如圖6-14(b)所示。2.繪、圖。3.計算ΔBy。由于AC與CB段EI值不同，故圖乘時應分段進行圖乘，由第三章可知，AC段的MP圖可看為一個梯形圖形Aω3與一個標準二次拋物線圖形Aω2疊加而成，具體計算如下

第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例6-6

求圖6-15(a)所示組合結構A截面的豎向線位ΔAy。已知E=2.1×104kN/m2，A=12cm2，I=3600cm4。解：1.假設虛擬狀態(tài)如圖6-15(c)所示。

2.繪MP

、圖，計算DE桿FNP

、值，見圖6-15(b)-(d)。

3.計算ΔAy。

第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日圖6-15第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算

靜定結構在溫度變化的影響下，結構各截面均不產生內力，只產生變形。下面將用單位荷載法計算溫度變化影響下的位移。首先推導實際狀態(tài)中任意微段ds的變形dut、dφt、γtds，然后代入式(6-5)即可求得任意K截面的位移即

(6-11)

設α為材料的線膨脹系數(shù)，t1、t2表示結構外、內側溫度改變值(設t2＞t1)。并假定溫度沿截面高h按直線變化。由圖6-16(c)可知

(a)第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日式中為桿軸線處的溫度變化值。若截面對稱于形心軸即h1=h2，則。

(b)式中Δt=t2-t1為桿件兩側之溫差，此外由于溫度變化并不引起截面的剪切變形，故γtds=0。將(a)、(b)式代入式(6-11)得(c)

圖6-16第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日若每根桿件沿其全長溫度的改變相同，且截面高度不變，則(c)式又可寫為

(6-12)式(6-12)即為靜定結構由于溫度變化時位移的計算公式。應注意在總和號“Σ”中每根桿件計算時的正負號，由于αtA及表示內力所做的變形虛功，故當“實際狀態(tài)”由于溫度變化引起的變形與“虛擬狀態(tài)”虛擬力產生的內力方向一致時取正，反之取負，t及Δt在式(6-12)中就只代絕對值。受彎桿件在溫度變化時，不能忽略軸向變形的影響，這是與承受荷載時的不同之處。桁架在溫度改變時，其微段變形僅有dut=αtds項，故式(6-9)可寫為

(6-13)第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日當桁架因制造誤差與設計長度不同時，若各桿長度的誤差為，則位移計算公式為

(6-14)此外，在工程中混凝土收縮與徐變的性質與溫度變化類似，所產生的變形相當于降溫25℃，如果混凝土為分段澆筑，則取值-15℃。例6-7

求圖6-17(a)所示剛架D截面的水平線位移ΔDt。各桿截面為矩形，截面高度h=60cm，剛架內側溫度上升15℃，外側溫度無變化。線膨脹系數(shù)α=0.00001。解：1.假設“虛擬狀態(tài)”如圖6-17(b)所示。

2.繪、圖，如圖6-17(c)、(d)所示。

3.計算ΔDt。Δt=15-0=+15℃，t=(0+15)/2=+7.5℃，t為正號說明桿軸線處溫度是升高7.5℃，變形是沿桿軸伸長，第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日由“實際狀態(tài)”的溫度變化Δt=+15℃可以看出剛架各桿內側纖維伸長，虛擬力的方向可從、圖中看出。利用式(6-12)可得圖6-17

=α(7.5×1×6-7.5×1×6-7.5×1×6)

=α(-45-540/0.6)=-0.00945m=-0.945cm(→)第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6-7靜定結構支座移動時的位移計算

靜定結構在支座發(fā)生移動時，各桿既不變形也無內力，只有剛體位移，位移計算的一般式簡化為

(6-15)式中表示在“虛擬狀態(tài)”中，由虛擬力引起的各支座反力，C為“實際狀態(tài)”中，各支座的移動量。為反力虛功，當虛反力與實際支座移動C方向一致時，其乘積為正，反之為負。總和符號Σ前的負號，是該項移到等號右邊時而得來的，計算時切勿遺漏。第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例6-8

求圖6-18(a)所示剛架在B支座發(fā)生移動時，鉸C兩側截面的相對角位移φC。

解：1.假設“虛擬狀態(tài)”并求虛反力，如圖6-18(b)所示。

2.求。

=-(1/4×0.02)=-0.005rad(下面角度增大)圖6-18第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日§6-8線彈性結構的互等定理

1．功的互等定理設兩組外力分別作用在同一線彈性結構上如圖6-19所示。首先計算“第一狀態(tài)”的外力、內力在“第二狀態(tài)”相應的位移和變形上所做的虛功W12及虛變形能Wi12，并根據(jù)虛功原理W12=Wi12可得

(a)再計算“第二狀態(tài)”的外力、內力在“第一狀態(tài)”相應的位移和變形上所做的虛功W21和虛變形能Wi21，同理可得

(b)比較(a)、(b)兩式，可以看出

F1Δ12=F2Δ21(6-16)第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日式(6-16)表示“第一狀態(tài)”的外力F1在“第二狀態(tài)”相應位移Δ12上所做的虛功等于“第二狀態(tài)”的外力