結(jié)構(gòu)力學(xué)影響線

結(jié)構(gòu)力學(xué)影響線1第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日在移動(dòng)載荷作用下，結(jié)構(gòu)任意截面的內(nèi)力（M

、

FQ

、

FN）和位移（△、θ）及支座反力均隨移動(dòng)荷載在結(jié)構(gòu)上的位置變化而變化。FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q

結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下，主要討論下述問題：

1）對(duì)于給定截面C，其位移或內(nèi)力（例如Mc）當(dāng)給定的移動(dòng)荷載在什么位置時(shí)得到最大值？該問題是求移動(dòng)荷載的最不利位置問題。2第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

2）對(duì)于給定的移動(dòng)荷載組，簡(jiǎn)支梁AB上哪個(gè)截面的彎矩當(dāng)移動(dòng)荷載在什么位置時(shí)取得最大值？該問題是簡(jiǎn)支梁絕對(duì)最大彎矩的求解問題。此外，還要討論簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖的畫法等問題。為求解以上問題，首先要討論結(jié)構(gòu)影響線的求解。實(shí)際移動(dòng)荷載是由若干集中力及均布荷載組成的，而且每個(gè)集中力的大小也不同。但我們首先要討論的是具有共性的問題，即單個(gè)移動(dòng)荷載FP=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移的變化規(guī)律。3第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日FP=1xBAla)FRAyb)xyy1y2FRA影響線1現(xiàn)討論圖a)所示簡(jiǎn)支梁，當(dāng)單個(gè)荷載FP=1在梁上移動(dòng)時(shí)，支座A的反力FRA的變化規(guī)律。4第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日在影響線圖形中，橫坐標(biāo)x表示單位移動(dòng)荷載在梁上的位置；縱坐標(biāo)y表示當(dāng)單位荷載在該位置時(shí)，影響系數(shù)的大小。上式是反力影響系數(shù)與移動(dòng)荷載位置參數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)圖形就稱為反力

FRA的影響線，見上頁(yè)圖b)。

由上式可見，F(xiàn)RA與FP成正比，比例系數(shù)稱為FRA的影響系數(shù)，用表示，即：5第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日BFP1AFP2c)若梁上作用有固定荷載（圖c），則根據(jù)疊加原理，A支座的反力FRA為：

b)xyyy1y2FRA影響線16第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)單位集中移動(dòng)荷載FP=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z變化規(guī)律的曲線，稱為Z的影響線。量值Z可以是截面內(nèi)力或位移，也可以是支座反力。影響系數(shù)是Z與FP的比例系數(shù)，即：二、

影響線定義與Z的量綱不同，它們相差一個(gè)荷載FP的量綱。7第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§5-2靜力法作影響線梁彎矩M的正負(fù)號(hào)：剪力FQ的正負(fù)號(hào)：軸力FN的正負(fù)號(hào)：一、內(nèi)力和支座反力的正負(fù)號(hào)

豎向反力通常以向上為正，向下為負(fù)。8第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日二、簡(jiǎn)支梁的影響線

靜力法作影響線：用靜力平衡方程求出的函數(shù)關(guān)系，然后畫出函數(shù)圖形就求得了影響線。1.支座反力影響線FP=1xBAlabC9第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日FRA影響線FRB影響線2.彎矩和剪力影響線當(dāng)FP=1在AC段，取CB段作隔離體：bBC1110第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)FP=1在CB段，取AC段作隔離體：aCAMc影響線

ab截面C彎矩和剪力影響線如下圖示。11第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日FQC影響線

llal12第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日下面討論影響線與內(nèi)力圖的區(qū)別。xFP=1ACablBACablBFP=1影響線

FQ圖

M圖內(nèi)力圖

FQC影響線

MC影響線

13第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§5-2機(jī)動(dòng)法作影響線

機(jī)動(dòng)法作靜定結(jié)構(gòu)影響線是應(yīng)用虛功原理把求影響線的靜力平衡問題轉(zhuǎn)化為作剛體位移圖的幾何問題。對(duì)于單跨或多跨梁，由于剛體位移圖很容易確定，所以影響線的求解十分簡(jiǎn)捷?，F(xiàn)以下圖所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影響線為例進(jìn)行說(shuō)明。FP=1xl/4l/4lAB14第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1.

撤去與相應(yīng)的約束，代之以反力，原結(jié)構(gòu)變成具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)。

2.

令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使與Z方向一致，則虛功方程為：上式中，恒為正；與FP同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)。乘積的正負(fù)號(hào)由的正負(fù)號(hào)調(diào)整。FP=1xAB15第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日可見，在圖中，令，并將圖反號(hào)，就求得Z的影響線，并且能確定影響線的正負(fù)號(hào)及豎標(biāo)大小。3.

由上式可得:令得到AB1FRB影響線16第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日用機(jī)動(dòng)法求下圖所示伸臂梁MC及FQC的影響線。例5-2-1FP=1ABC2ddddx解：1.

作MC的影響線將C截面變?yōu)殂q接，暴露出彎矩；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角與同向，就得到圖，見下頁(yè)圖。

17第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日虛功方程為:

ABC18第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日令則上式表明，在圖中，令并反號(hào)，就可求得MC影響線。MC影響線2.作FQC的影響線

將C截面改為滑動(dòng)連結(jié)，暴露出剪力；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面位移方向與相同，就得到圖，見下頁(yè)圖。19第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日虛功方程為:

令則ABC20第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日§5-4影響線的應(yīng)用一、求各種固定荷載作用下的影響若已求得指定截面某量值Z的影響線，根據(jù)疊加原理，就可以求得固定荷載作用下該量值Z的大小。梁截面C的彎矩MC的影響線已求得如右圖示，求固定荷載作用下的MC值。0.253m1mA1m1mB0.250.750.750.375Mc影響線C21第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日一組集中荷載：均布荷載：Mc影響線C0.5m2m20kN15kN10kNCBq3m1mA1m1mB0.250.750.750.375C22第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日把單個(gè)集中移動(dòng)荷載放在影響線的最大或最小豎標(biāo)位置，就得到最不利荷載位置，進(jìn)而求得Zmax或Zmin

。二、最不利荷載位置使結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z達(dá)到最大值Zmax或最小值Zmin時(shí)實(shí)際移動(dòng)荷載的位置，稱為最不利荷載位置。1.單個(gè)集中移動(dòng)荷載對(duì)于剪力FQC影響線，將集中力FP放在截面C，見右圖，就得到：ABb/la/lFQC影響線C23第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于伸臂梁的MC影響線（見下圖），將FP分別放在截面C和E，就得到：2.可任意布置的均布活荷載可任意布置的均布活荷載通常指人群荷載。把影響線正號(hào)部分布滿均布活載，可以求得Zmax，把影響線負(fù)號(hào)部分布滿均布活載，可以求得Zmin。ADBymaxyminMc影響線CE24第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日q求(Mc)

max求(Mc)

minqqω1ω3ω2ADBMc影響線CE25第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3.一組移動(dòng)集中荷載一組移動(dòng)集中荷載：各集中力的大小、方向及相互間的距離均保持不變，作為整體在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)。為了確定最不利荷載位置，原則上使排列密集、數(shù)值較大的集中力放在影響線豎標(biāo)較大的部位，而且一定有一個(gè)集中力位于影響線的某個(gè)頂點(diǎn)上。為確定最不利荷載位置，通常分兩步：1）求出使Z達(dá)到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置，而且可能不止一個(gè)。26第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日2）從Z的極大值中選出最大值，從Z的極小值中選出最小值，從而確定最不利荷載位置。下面以多邊形影響線為例，說(shuō)明臨界荷載位置的特點(diǎn)及其判定方法。FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3Δxα1xΔxΔxα2α327第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)槭莤的一次函數(shù)，所以Z也是x的一次函數(shù)。若荷載右移動(dòng)Δx，則豎標(biāo)的增量為：則Z的增量為：在影響線圖中，α1>0，α2>0，α3<0。由上面影響線圖可得出:28第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)閆是x的一次函數(shù)，所以Z-x圖形是折線圖形。于是ΔZ/Δx是折線圖形中各折線段的斜率。對(duì)于折線圖形，極值發(fā)生在使ΔZ/Δx變號(hào)的尖點(diǎn)處。xZ+-+00-極大值點(diǎn)xZ-+-00+極小值點(diǎn)若移動(dòng)荷載組在某位置剛好使Z取得極大值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，。29第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日若移動(dòng)荷載組在某位置剛好使Z取得極小值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，?？傊?，當(dāng)荷載在Z的極值點(diǎn)位置稍向左、右移動(dòng)時(shí)，必須變號(hào)。如何使變號(hào)？是常數(shù)，可以變化的只是FRi。為了使FRi變化，必須有一個(gè)集中力位于影響線的頂點(diǎn)，此荷載記作FPcr，當(dāng)FPcr位于影響線的頂點(diǎn)以左或以右時(shí)，會(huì)引起FRi發(fā)生變化，如下圖示。30第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2當(dāng)移動(dòng)荷載左右移動(dòng)時(shí)，能使改變符號(hào)的荷載FPcr稱為臨界荷載，相應(yīng)的移動(dòng)荷載組的位置稱為臨界位置。31第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日在給定的移動(dòng)荷載組中，能使變號(hào)的臨界荷載可能不止一個(gè)。確定最不利荷載位置的步驟如下：1)

選定一個(gè)集中力作為FPcr，使它位于影響線的一個(gè)頂點(diǎn)上；2）當(dāng)FPcr稍作左右移動(dòng)時(shí)，分別計(jì)算的值。若變號(hào)，則此FPcr即為一臨界荷載，相應(yīng)的荷載位置為臨界位置。用同樣的方法可以確定其它的FPcr及相應(yīng)的荷載臨界位置。3)

對(duì)于每個(gè)荷載臨界位置求出相應(yīng)的Z值，比較各個(gè)Z值，可確定Zmax及Zmin，進(jìn)而確定相應(yīng)的最不利荷載位置。32第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例5-4-1

如下圖多邊形影響線及移動(dòng)荷載組，試求荷載最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影響線6m4m8mα1α310.75α233第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1）將F