計(jì)算機(jī)圖形學(xué)曲線的生成

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)曲線的生成第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.1.1規(guī)則曲線繪制的基本原理對(duì)曲線進(jìn)行離散化處理，把它們分割成很多短的直線段，用這些短的直線段組成的折線來逼近曲線。至于這些短的直線段取多長，則取決于圖形輸出設(shè)備的精度和我們繪制的曲線所要求的精度，但我們所要求達(dá)到的精度不能逾越圖形設(shè)備實(shí)際所具有的精度。第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.1.2規(guī)則曲線繪制的基本方法(1)函數(shù)y=f(x)曲線的生成(2)參數(shù)方程曲線的生成繪制曲線y=f(x)時(shí)，應(yīng)給出自變量x的取值范圍x1和x2，并選取適當(dāng)?shù)膞增量Δx，計(jì)算出曲線上一系列相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，依次用直線連接即可畫出曲線。繪制用參數(shù)方程表示曲線在研究曲線性質(zhì)和用計(jì)算機(jī)繪制曲線時(shí)是很方便的。參數(shù)方程取如下形式：

x=f1(t) y=f2(t)第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日 極坐標(biāo)方程形式是r=P(θ)，式中r為向徑，θ為極角。因繪圖時(shí)使用的是直角坐標(biāo)系，因此在繪制極坐標(biāo)方程曲線時(shí)，需先將點(diǎn)的極坐標(biāo)(r,θ)轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)(x,y)，然后才能畫出這個(gè)點(diǎn)曲線。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：(3)極坐標(biāo)方程曲線的生成參數(shù)在一定取值范圍內(nèi)變動(dòng)即可算出曲線上一系列點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)，從而畫出曲線。

x=rcosθ y=rsinθ第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.2

自由曲線的生成廣義地講，自由曲線是一條無法用標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)方程類描述的曲線。插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i＝0，1，…，n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，搜構(gòu)成的曲線稱為插值曲線。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。光順：指曲線的拐點(diǎn)不能太多，光順的條件是：（1）具有二階幾何連續(xù)；（2）不存在多余的拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；（3）曲率變化較小。擬合：指用插值或逼近方法使生成的曲線、曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求。第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.2.1曲線的表示要求1)唯一性2)幾何不變性3)易于定界4)統(tǒng)一性5)易于實(shí)現(xiàn)光滑連接6)幾何直觀第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.2.2基本定義型值點(diǎn)：是指通過測量或者計(jì)算得到的曲線上少量描述曲線幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。通常是求得一些型值點(diǎn)后，采用一定的數(shù)學(xué)方法，建立曲線的數(shù)學(xué)模型，從而根據(jù)數(shù)學(xué)模型去獲得曲線上每一點(diǎn)的幾何信息?？刂泣c(diǎn)：是指用來控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點(diǎn)，曲線段本身不通過該控制點(diǎn)。第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.2.2基本定義1.參數(shù)連續(xù)性C0連續(xù)：曲線相連。C1連續(xù)：指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)C2連續(xù)：指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)2.幾何連續(xù)性G0連續(xù)：兩個(gè)曲線段在公共點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)值。G1連續(xù)：指兩個(gè)曲線段公共點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比例。G2連續(xù)：指兩個(gè)曲線段公共點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、定義及其數(shù)學(xué)表示式1、定義給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier參數(shù)曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是：7.2.2Bezier曲線其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日2、一次Bezier曲線n=1,有兩個(gè)控制點(diǎn)，則：說明：一次Bezier曲線是連接起點(diǎn)P0和終點(diǎn)P1的直線段。

矩陣表示為：

第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日3、二次Bezier曲線：n=2，有三個(gè)控制點(diǎn)，則：說明：二次Bezier曲線為拋物線。第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日4、三次Bezier曲線：n=3，三次多項(xiàng)式，有四個(gè)控制點(diǎn)，則：其中稱為三次Bezier曲線的調(diào)和函數(shù)。這四條曲線均是三次曲線，形成Bezier曲線的一組基。任何三次Bezier曲線都是這四條曲線的線性組合。第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

二、Bezier曲線的性質(zhì)1、端點(diǎn)及端點(diǎn)切線t=0：t=1：Bezier曲線通過特征多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)。第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日在起始點(diǎn)，t=0，B0,n-1(0)=1,其余項(xiàng)均為0，故有：在終止點(diǎn)，t=1，Bn-1,n-1(1)=1,其余項(xiàng)均為0，故有：對(duì)于三次Bezier曲線，n=3，所以Bezier曲線在始點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向與特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日2、對(duì)稱性。Bezier曲線形狀相同，走向相反。即假如保持n次Bezier曲線諸頂點(diǎn)的位置不變，而把次序顛倒過來，即下標(biāo)為的的點(diǎn)（Pi）改為下標(biāo)為n-i的點(diǎn)（Pn-i），則此時(shí)曲線仍不變，只不過曲線的走向相反而已。3、凸包性。Bezier曲線各點(diǎn)均應(yīng)落在特征多邊形各頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包（包含所有頂點(diǎn)的最小凸多邊形）之中，4、幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。

第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日三．Bezier曲線的拼接為了保證分段參數(shù)曲線從一段到另一段平滑過渡，可以在連接點(diǎn)處要求各種連續(xù)性條件。1、C0連續(xù)，可以簡單的表示曲線相連，即如果兩個(gè)曲線段具有一個(gè)公共的端點(diǎn)，那么這兩個(gè)曲線段是連續(xù)的。

2、C1連續(xù)，如說明代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)。3、二階參數(shù)連續(xù)，記作C2連續(xù)，是指兩個(gè)曲線段在相交點(diǎn)處有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。這樣可從一個(gè)曲線平滑地過渡到另一個(gè)曲線段。

第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日三．Bezier曲線的拼接設(shè)有兩條Bezier曲線Q1(t)和Q2(t)，其控制頂點(diǎn)分別為：Ｐ0,Ｐ1,Ｐ2,Ｐ3及R0

,R1,R2,R3

如何把它們按照一定的連續(xù)條件連接起來？（1）Q1(t)的終點(diǎn)P3和Q2(t)的始點(diǎn)R0重合，即達(dá)到C0連續(xù)。（2）要使它們達(dá)到C1連續(xù)的充要條件是，P2，P3=R0，R1三點(diǎn)共線,且。P2，R1應(yīng)在P3=R0的兩側(cè)（3）要使它們達(dá)到C2連續(xù)的充要條件是要在C1連續(xù)的前提下再增加兩個(gè)條件，即：密切平面重合,副法線矢量同向。曲率相等。第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日7.2.3B樣條曲線的定義1、B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式（1）一般形式若給定N＝m+n＋1個(gè)頂點(diǎn)（m為最大段號(hào)，n為階次），則第i段（i＝0，1,…,m）、n次等距分割的B樣條曲線函數(shù)可表示為：其中，基底函數(shù)：為定義第i段曲線特征多邊形的n＋1個(gè)頂點(diǎn)第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日（2）三次（四階）B樣條曲線由于n=3，所以l＝0，1，2，3，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的基底函數(shù)分別為：第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日則第i段、三次B樣條曲線的矩陣形式可表示為：第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日2、B樣條曲線的性質(zhì)（1）端點(diǎn)性質(zhì)及連續(xù)性第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日（2）局部性每一段三次B樣條曲線由4個(gè)控制點(diǎn)的位置向量來決定。改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，最多影響四個(gè)曲線段。（3）擴(kuò)展性如果增加一個(gè)控制點(diǎn)，就相應(yīng)地增加了一段B樣條曲線。且原有B樣條曲線不受影響，而且新增地曲線段與與原曲線地連接處具有一階、二階連續(xù)的特性。第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日3、三次B樣條曲線的