福建船政職院航海數(shù)學(xué)講義01函數(shù)、極限與連續(xù)

PAGE航海數(shù)學(xué)講義第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)的概念1.1.1基本初等函數(shù)我們把冪函數(shù)（為實數(shù)），指數(shù)函數(shù)且，對數(shù)函數(shù)且，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).注：作為基本初等函數(shù)的三角函數(shù)僅有六個函數(shù)：；；；；；.反三角函數(shù)僅有四個函數(shù)：；；；.冪、指、對三大函數(shù)的變量只能是，常數(shù)和可以取一切實數(shù)；隨著常數(shù)和取不同的值，對應(yīng)的冪、指、對三大函數(shù)有無窮多個基本初等函數(shù).由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù)．例如和等都是簡單函數(shù)．1.1.2復(fù)合函數(shù)如果是的函數(shù)，而是的函數(shù)，我們稱是的復(fù)合函數(shù)，記作，其中稱為中間變量.注：函數(shù)的值域應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)；若有多個函數(shù)復(fù)合而成，則中間變量可用變量，，，，等表示．例如和是基本初等函數(shù)，和是復(fù)合函數(shù)；而便失去意義.例1指出函數(shù)的復(fù)合過程．解由，，，．1.1.3初等函數(shù)由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或經(jīng)過有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并只用一個解析式子表示的函數(shù)叫做初等函數(shù).例如，，，，，等都是初等函數(shù).1.2.4分段函數(shù)有些函數(shù)雖然也可以用解析式表示，但不能用一個解析式表示，在定義域的不同范圍具有不同的解析式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).例如，等都是分段函數(shù).練習(xí)題1.11．指出下列各函數(shù)的復(fù)合過程：（1）；（2）；（3）；（4）.2．已知，，，試把表示成的函數(shù).3．設(shè)，求，，，.4．設(shè)，求，，.1.2函數(shù)極限1.2.1當(dāng)時的極限圖1.1當(dāng)時的極限：圖1.1如圖1.1所示，考察函數(shù)的圖形，容易發(fā)現(xiàn)不論都有.我們稱該函數(shù)當(dāng)時的極限為0（或收斂于0），記作=0或=0.一般地，當(dāng)無限地增大時，函數(shù)無限地趨近于一個固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時，的極限為（或收斂于），記為.若無限地增大時，函數(shù)無限地趨近于一個固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時，的極限為，記為.若無限地增大時，函數(shù)無限地趨近于一個固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時的極限為，記為.判斷函數(shù)當(dāng)是否有極限，通常用如下的結(jié)論：的充要條件是.例1，其中為常數(shù).例2，其中.例3由于和，所以不存在（或發(fā)散）.例4由于和，所以不存在（或發(fā)散）.例5不存在.例6.1.2.2當(dāng)時的極限一般地，當(dāng)無限地趨近于時，函數(shù)無限地趨近于一個固定的常數(shù)，則稱當(dāng)時，的極限為（或收斂于），記為.若是從左側(cè)無限地趨近于時，函數(shù)無限地趨近于一個固定的常數(shù)，則稱當(dāng)（）時，的左極限為，記為.若是從右側(cè)無限地趨近于時，函數(shù)無限地趨近于一個固定的常數(shù)，則稱當(dāng)（）時的右極限為，記為.判斷函數(shù)在點處是否有極限，通常用如下的結(jié)論：的充要條件是.例7觀察說明.注意到函數(shù)在點處無意義，而當(dāng)時，函數(shù)的值的變化總的趨勢卻是2.即.這說明當(dāng)時，函數(shù)的極限與在點有沒有定義無關(guān)；反之，有定義也未必有極限.如，在有定義，但由于，；即左右極限不相等，所以在點，的極限不存在.例8函數(shù)，判別函數(shù)在，，點極限的存在性，若存在則求之.解在，由于，，所以不存在；在，由于，，所以；而.例9設(shè)，求.解.求．解由于，，所以不存在．注：(1)對于分段函數(shù)求分段點的極限時，若需要用不同的函數(shù)，則要用左右極限求解；（2）若在點求極限所得到的結(jié)果不唯一，則要用左右極限求解．（3）可以用符號表示極限的結(jié)果，但極限不存在不一定是.（4），（為常數(shù)）.練習(xí)題1.21．證明：不存在.2．設(shè)，求當(dāng)時的左、右極限，并說明在點極限是否存在.3．設(shè)，求，，，.4.設(shè)，求.1.3極限的四則運算1.3.1極限的四則運算法則若與都存在（其中表示同時有或），則有①.注：此公式僅適用于有限項，否則不成立.如.②.特殊地有（c為常數(shù)）.③=（）.注:應(yīng)注重法則的前提條件，若前提條件不滿足，則法則失效．如:錯誤解法:；正確解法：.又如：.再如：，是錯誤的寫法，因為.1.3.2極限的計算方法1、直接代入法：即.例1.解原式.以下各例都無法直接應(yīng)用法則，需適當(dāng)?shù)幕喓笤賾?yīng)用（應(yīng)清楚每一步求法的根據(jù)）.2、型：求解的方法是分子和分母同時約去使分母為的式子.常用的方法有：因式分解法；提取公因式法；分子或分母有理化法；（下節(jié)介紹）.例2.解原式.例3.解原式.例4.解原式.3、型：求解的方法是分子和分母同時除以最大項.例5.解原式.例6.解原式.例7.解原式.例8.解原式.例9.解原式.例10.解原式.4、（）型：求解的方法是轉(zhuǎn)化為或.常用的方法有：通分母法和分子有理化法.例11.解原式=.例12.解原式=.5、（）型：求解的方法是轉(zhuǎn)化為或.(略)練習(xí)題1.31.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.2.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.1.4兩個重要極限1.4.1第一個重要極限公式：．推論：．例１．解原式．例２．解原式．例３．解原式．例4.解原式.例5.解原式.注：公式，適用于三角函數(shù)與冪函數(shù)相除的情形，解題的思路是把分母演化出正弦的角度函數(shù)，而后利用公式.1.4.2第二個重要極限公式：．推論:和.例6．解原式．例7．解原式．例8．解原式.例9．解原式.例10．解原式.注：公式適用于類型，解題思路是把指數(shù)演化出分母函數(shù)，而后利用公式.練習(xí)題1.41．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2．求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.1.5無窮小、無窮大1.5.1概念若，則稱為當(dāng)時的無窮小量（簡稱無窮?。?若，則稱為當(dāng)時的無窮大量（簡稱無窮大）.例1由于，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮??；，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮大.例2由于，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮??；，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮大.例3由于，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮??；，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮大；，所以，當(dāng)時，函數(shù)是無窮大.注：1、說某個變量是無窮大或無窮小，一定要指出前提時.2、無窮小、無窮大不是一個數(shù)，而是一個變量.3、0是無窮小.1.5.2性質(zhì)1、有限個無窮小的和仍是無窮??；注：若是無窮多個無窮小則不然，如.2、有界函數(shù)與無窮小之積仍是無窮??；注：這條性質(zhì)在極限的運算中經(jīng)常用到.例4求.由于，而，所以.例5求由于，而是有界函數(shù)，所以.3、有限個無窮小的積仍是無窮小.4、當(dāng)時，無窮小的倒數(shù)是無窮大；反之亦然.例6求.因為，所以.1.5.3無窮小階的比較一般地，設(shè)和是時的兩個無窮小，若（1），則稱當(dāng)時，是比高階無窮?。幢融呌?的“速度”快），記為，（）.（2），則稱當(dāng)時，是比低階的無窮?。幢融呌?的“速度”慢）.（3），則稱當(dāng)時，與同階的無窮小，（即與趨于0的“速度”“幾乎相當(dāng)”）.特殊的，當(dāng)時，則稱與是等價無窮小.記為（其中）.例如：由于，，所以當(dāng)時，與；與是等價無窮小.例13比較時，無窮小與的階.解.所以當(dāng)時，無窮小與是等價無窮小.練習(xí)題1.51．指出下列各題是無窮小量還是無窮大量：（1）；（2）；（3）；（4）.（5）；（6）；2．求下列極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.1.6函數(shù)的連續(xù)性在現(xiàn)實世界中有許多連續(xù)變化著的量，如一天中溫度的變化、海水的漲跌、地球的自轉(zhuǎn)、等等，都是連續(xù)變化著的量，這種現(xiàn)象反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)連續(xù)性.為了刻畫說明函數(shù)的連續(xù)性，我們先引入增量的概念.1.6.1增量1、：稱為從變到的自變量的增量，記為.2、：稱為從變到的函數(shù)的增量，記為.所以，；.1.6.2連續(xù)1、函數(shù)在點處連續(xù)若在點及其近旁有定義，且（或），則稱在點處連續(xù)；否則稱為間斷（不連續(xù)）.當(dāng)（即）時，若(即），通俗地說，即當(dāng)趨于時，的值也“同步平穩(wěn)”地到達，那么從圖象上觀察函數(shù)在點會有什么樣的性態(tài)呢？不難發(fā)現(xiàn)這正好刻畫了在點是連續(xù)的這個事實.2、間斷（1）間斷條件從連續(xù)的定義可看出，函數(shù)間斷必至少具備如下三點之一：①在點無定義.②不存在.③，但.（2）間斷類型①極限存在的間斷，稱為可去間斷點；可通過補充定義或改變函數(shù)在某點的定義使之連續(xù).如，在點無定義，但存在，稱為可去間斷點；令，則函數(shù)是連續(xù)函數(shù).如圖1.6.1.②左右極限都存在但不相等的間斷，稱為跳躍間斷點.如，在點處間斷，為跳躍間斷點.如圖1.6.2.③，稱為無窮間斷點.如，在點處間斷，為無窮間斷點.又如，在點處是可去間斷；令，則函數(shù)是連續(xù)函數(shù).如圖1.6.3.圖象如下：圖1.6.3圖1.6.2圖1.6.1圖1.6.3圖1.6.2圖1.6.1注意到，當(dāng)極限存在時的間斷點的性質(zhì)僅是一點的問題，而當(dāng)極限不存在時的間斷點，其性質(zhì)不同，間斷是由于“斷裂”引起的，是全局的問題，是“不可補救”的.例1求證函數(shù)在點處是連續(xù)的.證明顯然在點及其近旁有定義，且，由于，；故有.所以在點處是連續(xù)的.例2試確定函數(shù)在點處的連續(xù)性.解顯然在點及其近旁有定義，且，.所以在點處是連續(xù)的.思考：判別在某點處的連續(xù)性，是否都需要分左右極限考慮？若不是分段函數(shù)，有沒有必要分左右極限計算？3、函數(shù)的連續(xù)性若在內(nèi)點點連續(xù)，稱在內(nèi)連續(xù).若在內(nèi)連續(xù)，且有（右連續(xù)）和（左連續(xù)），則稱在上連續(xù).一般地，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均是連續(xù)的.即初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間等價于定義區(qū)間.例3求函數(shù)的間斷點和連續(xù)區(qū)間.解令，得，.所以，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是.例4已知函數(shù)，試求的連續(xù)區(qū)間.解由于，；所以不存在.且當(dāng)時，間斷，因此，的連續(xù)區(qū)間是.例5已知函數(shù)=，求的連續(xù)區(qū)間.解在點及其近旁有定義，且，由于.所以，在點處是連續(xù)的，而在和點處是間斷的，因此，連續(xù)區(qū)間是.例6設(shè)函數(shù)，問怎樣選擇，使函數(shù)在點處連續(xù)？解在=0點及其近旁有定義，且，由于，所以，令，則有，函數(shù)在點處連續(xù).1.6.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最值性質(zhì)：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上，至少取得最大值和最小值各一個.（2）介值性質(zhì)：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則對于介于與之間的任意的數(shù)，至少存在一個點，使.特殊地，若有成立，則在內(nèi)至少有一個實根.（零點性質(zhì)）例7證明=在內(nèi)至少有一個實根.證明顯然在上連續(xù)，且，，即.由零點性質(zhì)，在內(nèi)至少有一個實根.練習(xí)題1.61.設(shè)函數(shù)，求適合下列條件的函數(shù)的增量：（1）當(dāng)由1變到2；（2）當(dāng)由2變到1；（3）當(dāng)由1變到；（4）當(dāng)由變到.2.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.3.設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在點的連續(xù)性.4.求下列函數(shù)的間斷點：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.5.設(shè)函數(shù)，問怎樣選擇,使函數(shù)在點處連續(xù)？6.證明方程在1與2之間至少存在一個實根.7.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.復(fù)習(xí)題(一)1.求下列極限：(1)；