初中裂項(xiàng)求和問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)解題研究：裂項(xiàng)求和問(wèn)題（分?jǐn)?shù)類）難道者：四川崇州平生曜曜摘要：本文由淺入深介紹了初中數(shù)學(xué)中一些特殊分?jǐn)?shù)串求和的個(gè)例，由最初的非裂項(xiàng)歸納手段逐漸過(guò)渡到后期的裂項(xiàng)式高效手段，并在本文所議范圍內(nèi)總結(jié)了裂項(xiàng)求和的右腦記憶詩(shī)。文中涉及了數(shù)學(xué)解題的部分規(guī)律，如數(shù)學(xué)思想、思維策略等，還模擬了一場(chǎng)教學(xué)啟發(fā)的理想化進(jìn)程。最后筆者把數(shù)學(xué)母題比作一顆星舍，解題就好比是在房舍里整理物飾，有時(shí)我們會(huì)觸碰到一些窗戶，于里外窺，會(huì)洞見(jiàn)星野，星夜?fàn)N爛，牽引導(dǎo)航。文末的最后一道思考題為筆者偶開(kāi)了一扇視窗，深為動(dòng)情，隨飲醉吟唱，為覓知音，拋磚引玉，不知幾何！關(guān)鍵詞：?jiǎn)为?dú)形式，申述，歸納，轉(zhuǎn)化，舊模式，新環(huán)境，做題不能白做，過(guò)程與結(jié)論，窺望備注：文本中沒(méi)有明顯標(biāo)記行文脈絡(luò)，請(qǐng)留意“問(wèn)題（一）”至“問(wèn)題（七）”的字眼即可！正文“裂項(xiàng)求和”這個(gè)概念所指代的是一種專門(mén)針對(duì)“某類題”的解題方法，自從此法被命名為“裂項(xiàng)求和”而被考生廣而所知以后，他們便開(kāi)始以這種高效而冰冷的手法偶逢時(shí)機(jī)地收割分?jǐn)?shù)。中、高考分?jǐn)?shù)是進(jìn)入名校的敲門(mén)磚，大氣文憑是進(jìn)入理想行業(yè)的敲門(mén)磚，足見(jiàn)提高考分是考生的迫切需要，是家長(zhǎng)的迫切期待。提高考分總是主管部門(mén)難以釋?xiě)训男睦砬殂海沁_(dá)官草民觀想教學(xué)有效性的無(wú)情準(zhǔn)則。面對(duì)數(shù)學(xué)考卷上百分之七十到八十的中、低檔考題，考生若不能快速而準(zhǔn)確地作答，就已經(jīng)在時(shí)間的掌控上淪為弱者，要想在更短的時(shí)間內(nèi)抓獲難題分?jǐn)?shù)，若用癡人說(shuō)夢(mèng)形之有過(guò)，那用力不從心形之可否？裂項(xiàng)求和當(dāng)屬那百分之二十到三十的難題一類，考生在考場(chǎng)若有幸重逢，且能速速斬之，足足可嘆三生有幸。但命題者豈能如此魯莽讓吾等輕易得成？如果裂項(xiàng)求和是初中教材上的基本技能，那么將之設(shè)成中考題的概率極高，但若不是，那么命題者偶卻將之鋪于考卷之上時(shí)，意欲又作何為？是想檢驗(yàn)考生的運(yùn)氣嗎？你看，這個(gè)考生恰好掌握了裂項(xiàng)求和的技能，他一下就把分?jǐn)?shù)抓穩(wěn)當(dāng)了！這能是命題者的意圖嗎？真若如此，把燙手類分?jǐn)?shù)全寄掛在考生的運(yùn)氣上，試問(wèn)這樣的考試何以有公平性可言？所以目前中考若選用裂項(xiàng)求和作為考題，那它一定不會(huì)以如下外貌形式單獨(dú)出現(xiàn)在考生眼前：?jiǎn)为?dú)形式（1）：求的值.單獨(dú)形式（2）：求的值.單獨(dú)形式（3）：求的值.單獨(dú)形式（4）：求的值.單獨(dú)形式（5）：求的值.單獨(dú)形式（6）：求的值.單獨(dú)形式（7）：求的值.以上7個(gè)外貌形式，（1）、（2）當(dāng)屬一類，（3）可勉強(qiáng)自成一類，（4）、（5）、（6）實(shí)屬一類，（7）必單成一類。但這四種類型都指向裂項(xiàng)求和某一具體題型，都有相應(yīng)的技能策略能有效破之。如果這種“非教材基本技能”的試題以“上述外貌之兇相”公諸于考場(chǎng)，那么不免有人運(yùn)氣極佳，當(dāng)然見(jiàn)好就收，隨之感嘆題海游泳真是靠譜；而有人迷霧重重，自然無(wú)能為力，卻要吐槽考試就像打打醬油；但有人迷霧漸散，然則力不從心，必然悲嘆考試時(shí)短無(wú)不痛苦。這公平嗎？個(gè)中理由種種：有的老師講過(guò)，有的老師還未講過(guò)；有的老師粗略講過(guò)，有的老師細(xì)致講過(guò)；有的考生練過(guò)，有的考生還未練過(guò)；有的考生練得一頭霧水，主動(dòng)遺忘；有的考生練得似是而非，難辨真?zhèn)?；有的考生練得洞若觀火，修成條件反射；有的考生練致明心有悟，修成思維之術(shù)。如果考生憑借“條件反射”而抓到分?jǐn)?shù)，那么這是數(shù)學(xué)教學(xué)的成效，讓我們?nèi)秤晤}海吧！如果考生憑借“思維之術(shù)”而掙到分?jǐn)?shù)，那么這是數(shù)學(xué)教育的功效，讓我們?nèi)パ芯拷忸}吧！教學(xué)卓有成效，這是敲門(mén)磚，它能讓人跨進(jìn)長(zhǎng)足發(fā)展的平臺(tái)，教育欲求功效，這不是閉門(mén)羹，這是手拽庭院敲門(mén)磚，腰束廳堂金鑰匙。追尋數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)教育的平衡地帶是筆者呈現(xiàn)弊文之初衷，諸親且容我昏眼欲見(jiàn)明晰，拙手胡作細(xì)微，拋磚引玉一盤(pán)，只期奇文共賞。命題者豈能如此魯莽讓吾等輕易得成？還是回歸這個(gè)問(wèn)題繼續(xù)行文，如果命題者欲命制裂項(xiàng)求和的中考題，那么他必然還要在題干上雕花樹(shù)葉，葉兒易在解題思路上給考生鋪路，花兒能在解題思維上讓考生明悟。說(shuō)白了就是要將裂項(xiàng)求和問(wèn)題以“閱讀理解”的外貌呈現(xiàn)，然后設(shè)立問(wèn)題串，讓考生逐一解答，有難易梯度，層層推進(jìn)。這樣考生即使抓不到滿分，也可以盡量多掙分，命題者意在關(guān)鍵處考查考生識(shí)別變式的能力，觸摸考生的閱讀領(lǐng)悟的能力，以及能否恰逢時(shí)機(jī)地重組與調(diào)配新舊知識(shí)的能力，這明明就是在品酒數(shù)學(xué)教育，翁之意不在布局分?jǐn)?shù)，在乎思維導(dǎo)航引領(lǐng)之間也，足見(jiàn)命題用心可謂良苦。廢話少說(shuō)，上題來(lái)，先踩踏那些單獨(dú)形式，讓我們?nèi)v經(jīng)一個(gè)跌宕起伏的火熱過(guò)程探索，去捕捉一些高效簡(jiǎn)練的冰冷數(shù)學(xué)結(jié)論。請(qǐng)有空閑之讀者徐徐推進(jìn)問(wèn)題（一）至問(wèn)題（七）的探程：?jiǎn)栴}（一）：求的值.〈申述1〉：假設(shè)學(xué)生能識(shí)別出這種裂項(xiàng)題型，并熟練掌握了裂項(xiàng)技能，那么他自然能快速作答.解：原式〈申述2〉：假設(shè)學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)求和的大名，以及對(duì)類似于裂項(xiàng)求和的操作手法，聞所未聞，更假設(shè)這是學(xué)生自己臆造的一道題，那么他自然不會(huì)肯定此題應(yīng)有簡(jiǎn)便方法，甚至他壓根就不會(huì)去探索此題有無(wú)所謂簡(jiǎn)便方法。他充其量大致去觀想一下，哦！原式可化為：，然后利用通分絕對(duì)可以做出來(lái)，接下來(lái)他會(huì)自嘲道：“誰(shuí)會(huì)閑著沒(méi)事去思考這個(gè)毫無(wú)價(jià)值而又不著邊際的問(wèn)題，我承認(rèn)這個(gè)問(wèn)題是有結(jié)果，但這與沒(méi)有結(jié)果難道會(huì)有分別嗎？”〈申述3〉：假設(shè)這是一道考試題，且假設(shè)此考生對(duì)裂項(xiàng)求和聞所未聞，又假設(shè)此考生是一個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋，且又知道“怎樣去動(dòng)腦筋”的人，最后還必須針對(duì)考試策略問(wèn)題補(bǔ)充一個(gè)假設(shè)，即該考生把卷子上的其它題都做好了，他目前正為此題燒腦，有強(qiáng)烈的掙分決心！那么，這個(gè)聰明的娃兒會(huì)怎樣去想呢？或者說(shuō)平時(shí)遇到這道題，他的老師該怎樣引導(dǎo)他去探索呢？對(duì)了！當(dāng)我們?cè)谒伎肌皬?fù)雜的大數(shù)字”問(wèn)題，亦或是“抽象的字母”問(wèn)題時(shí)，如果我們感到一頭霧水，不明就里，那么我們可以先借助一些“具體而簡(jiǎn)單”的數(shù)字來(lái)充當(dāng)我們的“助探”，即所謂投石問(wèn)路。等悟出了個(gè)中玄機(jī)，我們?cè)倩厥滋幹?，才顯游刃有余，此恰迎合見(jiàn)機(jī)行事一說(shuō)，可謂不見(jiàn)玄機(jī)，不去莽撞。站在思維方式策略的角度來(lái)看，這是暫棄“一般性”，先究“特殊性”。〈探索〉：我們暫時(shí)拋棄原題，先來(lái)探究一些簡(jiǎn)單的復(fù)雜“輔助題”：①、求答：；②、求答：；③、求答：；如果還未見(jiàn)個(gè)中玄機(jī)，我們可以再多投幾個(gè)石頭，直到前路明朗?、堋⑶蟠穑?；……當(dāng)序列號(hào)為“n”時(shí)，容易歸納出其中規(guī)律，回歸“一般性”：現(xiàn)在考生可以開(kāi)始解題作答：求的值.解：原式充其量，像這樣來(lái)彌補(bǔ)：解：∵∴筆者按：但如果認(rèn)為“問(wèn)題（一）”到此已宣告解決，那未必然！且繼續(xù)往下看：?jiǎn)栴}（二）：求的值.〈申述1〉：假設(shè)甲考生參與了“問(wèn)題（一）”的聽(tīng)講，并且他“自認(rèn)為記住”了下列結(jié)論：再假設(shè)他還沒(méi)有跨越“簡(jiǎn)單模仿”，不會(huì)順利應(yīng)對(duì)“變式訓(xùn)練”，那么他可能產(chǎn)生以下思維：（錯(cuò)解一）解：原式求的值.（錯(cuò)解二）解：原式〈申述2〉：假設(shè)乙考生同樣經(jīng)歷了“問(wèn)題（一）”之火熱而豐富的思維過(guò)程，并且“安全地記住”了我們歸納出的以下這個(gè)冰冷而美麗的數(shù)學(xué)結(jié)論：那么這個(gè)乙考生自然就會(huì)識(shí)別出“問(wèn)題（一）”與“問(wèn)題（二）”的“起點(diǎn)”是不同的，他知道記憶中的“舊模式”不能照搬運(yùn)用到當(dāng)下遭遇的“新環(huán)境”中。但乙考生在“問(wèn)題（一）”之火熱而豐富的思維過(guò)程中學(xué)到了一些思維的伎倆，即：暫時(shí)放置一般，先去探究特殊，而后再?gòu)奶厥猬F(xiàn)象去歸納一般規(guī)律。于是乙考生先開(kāi)始這樣探索一些輔助題：①、當(dāng)時(shí)，②、當(dāng)時(shí)，；③、當(dāng)時(shí)，④、當(dāng)時(shí)，答案與的取值有怎樣的關(guān)系？回答是：雜亂無(wú)章！再投一個(gè)石頭看看，如果情況不妙，就果斷放棄?、?、當(dāng)時(shí)，果然規(guī)律很不明朗，看來(lái)再投更多的石頭也擊不出“心靈的水花”，算了撤飄走人！筆者按：此情此景，乙考生走得機(jī)智！但如此白忙一場(chǎng)，可惜啊！其中有功有過(guò)，忙這一場(chǎng)是有功，這是他思維開(kāi)始趨向成熟的表現(xiàn)，相比那些根本不知道“還可以像這樣”來(lái)忙一場(chǎng)的解題者來(lái)說(shuō)，乙類考生已經(jīng)勝了一籌，他畢竟道心堅(jiān)毅且有章法；只不過(guò)白忙了一場(chǎng)算是有過(guò)，或者說(shuō)沒(méi)有“更進(jìn)一步”去分析數(shù)據(jù)才是他之過(guò)失。他其實(shí)已經(jīng)離答案不遠(yuǎn)了，只不過(guò)因缺少一些“分析技巧”而顯得無(wú)可奈何罷了。從這個(gè)層面來(lái)講，教師的存在確實(shí)是有必要的！教師需再對(duì)“乙類考生”的思維作引導(dǎo)確實(shí)不是一件可有可無(wú)的事情?，F(xiàn)在讓我們把數(shù)據(jù)湊攏一堆：我們仔細(xì)審視也難以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，但可以適當(dāng)“微調(diào)”上述結(jié)果：把數(shù)據(jù)微調(diào)一下：如此微調(diào)就出現(xiàn)了一個(gè)契機(jī)，規(guī)律在哪兒？分子都是，但分母與取值的聯(lián)系實(shí)屬難以觀察。如果考生已接受過(guò)“函數(shù)思想”的教育，那么讓他憑借“待定系數(shù)法”去“觀想、輪換、驗(yàn)證”分母與之間的函數(shù)關(guān)系，這就不失為尋得了一絲可以滲入內(nèi)里的隙縫，當(dāng)然此路之艱辛也可想而知。在列表（一）中，輔助題答案的分子、分母皆在變化，我們可以通過(guò)微調(diào)手段，先讓這二者中只有一者處于變化狀態(tài)。這正如物理學(xué)研究中的那種慣常的手法，為了搞清一種尚不明晰的函數(shù)關(guān)系，假設(shè)我們已經(jīng)弄清這個(gè)關(guān)系與某個(gè)物理量有關(guān)，但因在探究過(guò)程中這個(gè)物理量的取值都處于變化狀態(tài)，便讓人更難以捉摸這個(gè)“復(fù)雜”的函數(shù)關(guān)系。這時(shí)我們可以先控制住其中的“-1”個(gè)物理量，讓它們乖乖地維持不變狀態(tài)，再任由“第個(gè)”物理量自由變化，那么這個(gè)復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系便會(huì)逐漸明朗起來(lái)，以至最后它會(huì)成為我們探索其它領(lǐng)域的“星艦”，列表（二）便是在這樣的“念頭”下應(yīng)運(yùn)而生的。從另一方面來(lái)說(shuō)，任何人都可以認(rèn)真去回味，在乙考生“通分”探索的過(guò)程中，有一“結(jié)構(gòu)”始終交織在運(yùn)算數(shù)據(jù)中，這種結(jié)構(gòu)就是：，其中的取值當(dāng)然在變，但這種“結(jié)構(gòu)關(guān)系”卻是定格不變的，懂得“通項(xiàng)公式”的考生是極容易嗅出其中氣味的?，F(xiàn)下我們有了一個(gè)好念頭，至于它是否能幫助我們成就大事，搞一下不就知道了！我們借助微調(diào)手段讓“乙考生輔助題”中的每一個(gè)分母都定格為“”形式，那么列表（三）便出現(xiàn)在我們的視野之中：控制變?cè)蟮臄?shù)據(jù)：列表（3）中，分母的規(guī)律當(dāng)然是：，分子的規(guī)律明顯了嗎？如果仍覺(jué)不太明顯，那么我們改變分子的形式，繼續(xù)給出列表（4）：從列表（4）可以歸納出，當(dāng)時(shí)，其中的分子輔助題最終結(jié)果經(jīng)歷了如此坎坷的心路歷程，我們終于可以幫助乙考生完成他的解答：?jiǎn)栴}（二）：求的值解：∵∴〈申述3〉：假設(shè)教師在引導(dǎo)丙類考生解決“問(wèn)題（一）”時(shí)，同樣經(jīng)歷了火熱而細(xì)膩的“歸納”過(guò)程，并且學(xué)生也“準(zhǔn)確地記住”了這個(gè)冰冷而美麗的數(shù)學(xué)結(jié)論：以上假設(shè)決定了，丙考生不會(huì)去犯“甲類考生”的錯(cuò)誤，但他們?cè)诤翢o(wú)辦法的情況下，非常容易去步“乙類考生之高運(yùn)算、高技巧”的后塵。此時(shí)我們?cè)偌僭O(shè)丙類考生比較明智地放棄了乙考生的思路，不愿去歸納如下結(jié)論：那么在教師和丙同學(xué)之間可以有一場(chǎng)“理想化”對(duì)話：?jiǎn)栴}（二）：求的值師：這道題可以直接用“結(jié)論（一）”來(lái)處理，對(duì)吧？生：不對(duì)！好像不可以！師：咦！怎么會(huì)不可以呢？生：在結(jié)論（一）這個(gè)“舊模式”中，分母的起點(diǎn)是“”，但在問(wèn)題（二）這個(gè)“新環(huán)境”中，分母的起點(diǎn)卻是“”，所以不能直接用來(lái)解決此題！師：那，你說(shuō)怎樣去處理呢？生：呃……步乙同學(xué)的后塵！從特殊去歸納一般吧！師：呃……別耍無(wú)賴！我們不是早說(shuō)好的不行乙同學(xué)的無(wú)奈之舉嗎？生：那我不知道咋辦了！師：你記得結(jié)論（一）嗎？生：記得！師：我再問(wèn)，你確定你準(zhǔn)確地記得結(jié)論（一）嗎？生：（笑了），我再答，我確定我準(zhǔn)確地記得！師：看看這道題，你會(huì)做嗎？助探題（Ⅰ）：求的值.生：（一晃眼，便回答），我當(dāng)然會(huì)做，閉上眼睛也會(huì)！這個(gè)題與記憶中的結(jié)論（一）相比，沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別！師：也就是說(shuō)，此妖難逃尊駕法眼？生：嘿嘿！尊駕，過(guò)獎(jiǎng)了！師：看看這道題，你會(huì)做嗎？助探題（Ⅱ）：求的值.生：（細(xì)細(xì)審查一番），我自然同樣不會(huì)！如果此題我會(huì)做，我們還哪用得著如此廢話連篇？師：勞煩閣下再看看這道題，會(huì)做嗎？助探題（Ⅲ）：求的值.生：……（苦笑，但略有思索）師：那么尊駕再欣賞下此題呢？助探題（Ⅳ）：求的值.生：……（眉宇緊鎖，拳頭緊了又松，松了又緊）師：呵呵！讓在下充當(dāng)你的書(shū)童，幫你把草稿收攏一堆，請(qǐng)君過(guò)目：①、求的值.②、求的值③、求的值.④、求的值.⑤、……？？？生：……對(duì)?。∷鼈?cè)絹?lái)越近了！老師！我好像會(huì)做了！……對(duì)了！對(duì)話可以就此結(jié)束。教師此時(shí)有話，也盡量憋著不說(shuō)。等那類丙同學(xué)先去做做問(wèn)題（二），回頭再說(shuō)不遲！問(wèn)題（二）：求的值丙類同學(xué)的書(shū)寫(xiě)：解：∵∴師：你的解法非常干練，真精彩！我忍不住須要采訪你一下！在解法的探索過(guò)程中，你曾自言自語(yǔ)，“對(duì)啊！它們?cè)絹?lái)越近了！”，請(qǐng)問(wèn)“越來(lái)越近”指的是什么意思？生：是指“書(shū)童”整理的草稿中，第②、③、④題離第⑤題越來(lái)越近了！而第⑤題當(dāng)然就是第①題！師：那為什么對(duì)于“問(wèn)題（二）”，你開(kāi)頭不會(huì)做，剎割又會(huì)做了呢？生：因?yàn)槲铱吹搅四欠N“越來(lái)越近”的變化，而這種變化似乎“在冥冥之中”牽引著我把“問(wèn)題（二）”按著“問(wèn)題（一）”的模樣轉(zhuǎn)化！師：好一個(gè)“冥冥之中”！老師采訪你的原因就是要把你腦海中那種“偶發(fā)的念頭”轉(zhuǎn)變成你思維中某一“自覺(jué)的意識(shí)”，這樣才有助于修煉思維，高效解題。師：你把“問(wèn)題（二）”按著“問(wèn)題（一）”的模樣轉(zhuǎn)化！實(shí)際上就是把一道“做不起的題”變成了一道與之相關(guān)的“拿手好戲”對(duì)吧？生：對(duì)！……對(duì)！果然如此！師：實(shí)際上，連你自己都沒(méi)有意識(shí)到，你在不知不覺(jué)中使用了一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，即化歸思想，這當(dāng)然也是一種非常精彩而有效的思維方式策略。化歸，就是轉(zhuǎn)化歸結(jié)的意思，它是我們解決問(wèn)題的“好助探”。師：我們?cè)诮忸}時(shí)，一般總是將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；將難解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解問(wèn)題；將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題?？傊瘹w在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，化歸的基本功能是：遇生疏就往熟悉轉(zhuǎn)化，遇復(fù)雜就往簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，遇抽象就往直觀轉(zhuǎn)化，遇含糊就往明朗轉(zhuǎn)化。師：這不是一朝一夕就可領(lǐng)悟的，必須做“適量”的題，才能觸碰“自發(fā)領(lǐng)悟”的心弦，最后養(yǎng)成“自覺(jué)分析”的習(xí)慣！……言歸正傳，這段“理想”對(duì)話中的乙類學(xué)生，必須是學(xué)習(xí)主動(dòng)性高的優(yōu)生！他們?cè)跉v經(jīng)“高效”解題的過(guò)程中會(huì)不斷提升“高效”探索的思維素養(yǎng)?！绻?，〈申述3〉：假設(shè)在“書(shū)童”所堆積的第“①——⑤”道輔助題中，學(xué)生仍然沒(méi)有參透玄機(jī)，未能覺(jué)察出將問(wèn)題（二）“化歸”為問(wèn)題（一）的趨勢(shì)，那么教師可以怎樣去調(diào)整自己對(duì)學(xué)生的思維引導(dǎo)呢？師：?jiǎn)栴}（二）要得到解決確實(shí)有些困難！現(xiàn)在讓我們暫時(shí)放下個(gè)中糾結(jié)，先來(lái)做一做老師為大家準(zhǔn)備的另一道“可能與問(wèn)題（二）”相關(guān)的題，看誰(shuí)能解決它，請(qǐng)看：助探題（Ⅴ）：已知：，，求：的值.生：（略作思考）……答案是：.生：哦！好主意，我想到怎樣解決問(wèn)題（二）！生：咦！我也有辦法了！（學(xué)生有了一定程度的“自發(fā)領(lǐng)悟”）……接下來(lái)學(xué)生就能比較干練地寫(xiě)出問(wèn)題（二）的解題過(guò)程了！……再接下來(lái)教師可以火上澆油，趁熱打鐵.師：大家不妨再來(lái)看一題：助攻題（Ⅵ）：已知：求：線段的長(zhǎng).生：（通過(guò)簡(jiǎn)單的畫(huà)圖分析）……答案是：.師：此情此景，為什么要出示這樣一道題給大家做？生：因?yàn)樗鼈冇邢嗨浦帲煟浩渲许嵨吨?，異曲同工，看?lái)數(shù)學(xué)中確有東西是可以進(jìn)行類比的，看來(lái)有些問(wèn)題確實(shí)可以通過(guò)類比思維來(lái)探索解法。筆者按：但如果認(rèn)為“問(wèn)題（一）、（二）”到此可宣告解決，那未必然！且繼續(xù)往下看：?jiǎn)栴}（三）：求的值.〈申述1〉：假設(shè)考生一眼就識(shí)別出本題與“記憶中的舊模式”不一樣，即不能直接用下列公式：，因?yàn)楸绢}的“起始項(xiàng)”是，而不是；“終止項(xiàng)”是，而不是，這些特征不是那類未能跨越“簡(jiǎn)單模仿”的“急性子”所能識(shí)破的！固然，待求式但當(dāng)取正偶數(shù)時(shí)，嗎？稍作檢驗(yàn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)異端！那么上式該等于什么？難道“又要”利用輔助題，先來(lái)研究特殊，再去歸納一般嗎？這樣做讓我們覺(jué)得困倦不說(shuō)，關(guān)鍵是作對(duì)了，也是白做！因?yàn)槲覀兓舜罅康臅r(shí)間，只是在實(shí)踐“從特殊歸納一般”這種正確的“過(guò)程方法”，卻沒(méi)有在這一“耗時(shí)、傷神”的過(guò)程之后研發(fā)出一種“高效、易記”的“通用結(jié)論”。不妨這樣來(lái)形容一下，你用對(duì)了“從特殊歸納一般”的思維方法，結(jié)果，你確實(shí)厲害，你今天弄懂了：但我明天再考你：〈申述2〉：假設(shè)有考生在研究他基于“化歸思想”，產(chǎn)生了一個(gè)念頭，他抱著試一試的心態(tài)去搞了一下：又∵∴這一試，果然一下子就試出了結(jié)果！你說(shuō)這個(gè)考生以后對(duì)“化歸思想”的運(yùn)用能不感興趣嗎？接下來(lái)，我們鼓勵(lì)這個(gè)考生去嘗試一下，看是否能將“”成功化歸為他本人的“拿手好戲”。當(dāng)他感到困難重重時(shí)，我們?cè)儆焉频靥嵝?，“〈申?〉”中所提到的探索“通用結(jié)論”的話題是一個(gè)不容回避的“明智之舉”！〈申述3〉：假如我們?cè)敢夤实刂赜危偃缥覀冊(cè)敢鉁毓手?，假如我們?cè)敢馊ヮI(lǐng)略另一番不同的風(fēng)景，那么讓我們脈動(dòng)回去：?jiǎn)栴}（一）：求的值.其實(shí)我們?cè)缫阎溃寒?dāng)然就該知道：尤其還知道：①、②、③、④、對(duì)數(shù)據(jù)加以微調(diào)，我們?nèi)菀字溃孩佟ⅱ?、③、④、而以上特殊事例讓我們“猜測(cè)”：結(jié)論似乎只與“一頭一尾”有關(guān)？？？再看：那么，中間的項(xiàng)到底跑到哪兒去了？？？它們不會(huì)無(wú)緣無(wú)故地消失，只能在運(yùn)算中相互抵消了?。。∧敲?，“中間項(xiàng)”是怎樣相互抵消的？可以觀想一下嗎？①、②、③、④、最后，以上問(wèn)話都容易得到證實(shí)，所以，于是可以理解：?jiǎn)栴}（一）：求的值.解：那么，請(qǐng)看：?jiǎn)栴}（二）：求的值.由于受到“線段和差”手段的影響，學(xué)生可能“稀有”如下解答：解：如果“真正理解”了：，那么完全可以直接裂項(xiàng)求解：解：現(xiàn)在公式（三）的誕生，好似給大家打了一針“雞血”。在興奮之余，讓我們回歸“問(wèn)題（三）”，看看我們能否“變式應(yīng)對(duì)”：?jiǎn)栴}（三）：求的值.〈申述4〉：假設(shè)考生自認(rèn)為“準(zhǔn)確地記住”了“公式（三）”，那么他的興奮會(huì)驅(qū)使他這樣解題：解：〈申述5〉：假設(shè)考生真正“安全地記住”了：，那么他一眼就能識(shí)別出“新環(huán)境”中的：、……這些可惡家伙，不是存在于記憶“舊模式”中的“”，而是新出現(xiàn)的“”.也就是說(shuō)，如果成立，那么“〈申述4〉”中的解法就正確，反之非也！這考生定會(huì)思忖，嗎？？？搞一下不就曉得了?。?！由此：①、，；②、，；③、，；可猜：∴筆者按：這里需呼應(yīng)一下，插入前面一個(gè)問(wèn)題，容易由“”得：〈申述6〉：假設(shè)該考生對(duì)“后續(xù)思維”作了研究，那么他離“真理”將越來(lái)越近：①、已經(jīng)知道：②、已經(jīng)知道：③、還想知道：④、還想知道：……實(shí)際上，③、④都容易得到證明！于是我們可以從以上“特殊性事例”中歸納出“一般性結(jié)論”：筆者按：自此問(wèn)題（一）、（二）、（三）可以宣告解決！剩下的“變式訓(xùn)練”都貌似“小兒科”！？請(qǐng)往下看：?jiǎn)栴}（四）：求的值.〈申述1〉：有一種“魯莽者”經(jīng)常連“蘋(píng)果與石頭”都不去分清楚，他們視覺(jué)明明掃視到的是“3”，結(jié)果在思維里卻偏要當(dāng)作是“1”。究其原由雖可歸結(jié)為沒(méi)有經(jīng)歷適量的“變式訓(xùn)練”，但主觀原因不容忽視，且不能簡(jiǎn)單歸因于“我好晃”，其實(shí)質(zhì)往往是主體沒(méi)有養(yǎng)成“科學(xué)審題”的習(xí)慣，連最起碼的諸如“本題的已知條件是什么？已知條件有什么？本題與以往的類似題真的完全一樣嗎？”像這樣的過(guò)場(chǎng)都不去走走！如此魯莽的錯(cuò)解，我也不作展示罷了?！瓷晔?〉：假設(shè)某考生訓(xùn)練有素，早就深諳“科學(xué)審題”的妙訣。他讀完題后自然就看出“新環(huán)境”與“舊模式”間有所不同，這種不同雖然不是“蘋(píng)果與石頭”之間的大差別，但至少有“蘋(píng)果甲、乙”之間的小差異。接下來(lái)這個(gè)考生開(kāi)始思索如何才能把眼前這道“非常眼熟”的新題“轉(zhuǎn)化”為心中那道“十拿九穩(wěn)”的舊題？一旦他開(kāi)始邁出如此思考的第一步，破題念頭便會(huì)轉(zhuǎn)瞬即拾：求的值.解：?jiǎn)栴}（五）：求的值.〈申述1〉：既然大家能忍耐讀至弊文此處，那若非早已輕車熟路，一定早已鬧心傷神！那咱也啥都不用說(shuō)了！依據(jù)和“化生為熟”的伎倆，可以開(kāi)解：解：〈申述2〉：假如我們時(shí)常愛(ài)引導(dǎo)學(xué)生作“解題反思”，那么隨著解題量的增加，一些朦朧的“新東西”會(huì)不斷地滲入我們的腦海，而我們必須要有意識(shí)地將之清晰化，這是一個(gè)不斷完善和重組自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)的螺旋上升過(guò)程，基于此過(guò)程，我們的智慧得以豐富，而在如此豐富智慧的過(guò)程中，我們的思維之刃也在此類“潤(rùn)濕磨礪”上來(lái)回游舞著，讓人洞察心扉，探觸腦海。所以水既到，渠可成，這個(gè)可以有：筆者按：永遠(yuǎn)不要以為我們已經(jīng)腳踏實(shí)地，手觸天花了，請(qǐng)繼續(xù)往下走幾步：?jiǎn)栴}（六）：求的值.〈申述1〉：前番言及有一種“魯莽者”經(jīng)常不主動(dòng)去分清楚“蘋(píng)果與石頭”，他們遇到外觀似蘋(píng)果，內(nèi)里是石頭的“假蘋(píng)果”，總是放心、果斷地一口“吞下去”，結(jié)果就給考試丟分了！解：貌似一目了然，放心捕食，實(shí)則霧里看花，管中窺豹！我們常常如此這般一不小心，就掉進(jìn)別人設(shè)置的陷阱中！〈申述2〉：假設(shè)你運(yùn)氣不佳，縱然沒(méi)能識(shí)破這個(gè)“假蘋(píng)果”，但你可以先咬它一咬，些許就能發(fā)覺(jué)端疑，隨后再剖查觸碰一番，自然能明了就里，屆時(shí)你就會(huì)在有驚無(wú)險(xiǎn)的感嘆之余，慶幸自己沒(méi)有“魯莽生吞”，結(jié)果就給考試添彩了！解：在這里，我們引入了許多“小括號(hào)”來(lái)充當(dāng)解題者的“助探”，或者充當(dāng)講述者的“助教”。通過(guò)認(rèn)真審查，我們發(fā)現(xiàn)每一個(gè)括號(hào)中有兩個(gè)數(shù)，且每一個(gè)括號(hào)里的第一個(gè)數(shù)總被此括號(hào)前面“跳一個(gè)”括號(hào)里的第二個(gè)數(shù)抵消，每一個(gè)括號(hào)里的第二個(gè)數(shù)總被此括號(hào)后面“跳一個(gè)”括號(hào)里的第一個(gè)數(shù)抵消。如果用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)闡述，我們?nèi)羧我庖?guī)定其中一個(gè)括號(hào)為“數(shù)軸上的原點(diǎn)”，那么這個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)，可分別用“”來(lái)表示，于是這個(gè)括號(hào)的前面第一個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)，可分別用“”來(lái)表示，再往前的括號(hào)里有“”，作為“原點(diǎn)”的那個(gè)括號(hào)，它后面第一個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)可記為“”，再往后又是“”……對(duì)于“問(wèn)題（六）”，最后我們探索出的結(jié)論是：，，這個(gè)結(jié)論的意思當(dāng)然就是“前一段”的文字語(yǔ)言表述。筆者按：當(dāng)我們品味了“問(wèn)題（六）”之后，本文關(guān)于“分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和”的主旨也就得到了一定程度的詮釋，問(wèn)題（六）除了讓我們學(xué)會(huì)解題不要掉以輕心，當(dāng)然也在我們的裂項(xiàng)視野中打開(kāi)了一扇窗口，借著這扇窗口我們可以往外窺視一番：?jiǎn)栴}（七）：求的值.要求：本題同學(xué)自行解答。提示：此題只做到“倒數(shù)第二步”就可以了！提問(wèn)：裂項(xiàng)后，哪些項(xiàng)抵消了？哪些項(xiàng)留下了？項(xiàng)的去留規(guī)律，是否可以用“，”來(lái)表述？請(qǐng)回歸我們的“約定”去加以理解!你有比上述約定“更簡(jiǎn)潔明了、更容易操作”的技巧嗎？筆者按：做題不能白做，做典型“母題”更不可白做！最后收網(wǎng)捕魚(yú)，要注重魚(yú)漁兼收，魚(yú)是以后能高效解答“主觀題”的“常用結(jié)論，”亦或是能高效解答“客觀題”的“有趣結(jié)論”，而漁是以后能“高效”或“有效”解決問(wèn)題的“數(shù)學(xué)思想方法”和“思維方式策略”。魚(yú)之結(jié)論有：漁之手段有：歸納，類比，分類討論，回歸定義、約定學(xué)習(xí)方法：注重結(jié)果，更重過(guò)程！解題習(xí)慣：記準(zhǔn)舊模式，辨清新環(huán)境！以后怎樣做此類“裂項(xiàng)求和”類的題型？答：溫情提示：利用公式（五）裂項(xiàng)，利用結(jié)論（六）留項(xiàng)！右腦記憶：分?jǐn)?shù)串相加，通分若神傷；放心去裂項(xiàng)，內(nèi)差擔(dān)當(dāng)；小心慎留項(xiàng)，外隔看跳消；隔距隱玄機(jī)，首尾皆有章！筆者按：永遠(yuǎn)不要以為我們已經(jīng)腳踏實(shí)地，能夠手觸天花了！腳踏實(shí)地是前提，手觸天花只是我們追逐的夢(mèng)想。任何一道裂項(xiàng)求和的問(wèn)題都能自成一顆星宿，而這一顆星宿恰似一間宿舍，解題者身處此間，透過(guò)四周的窗壁，我們得以洞見(jiàn)窗外星空，那里繁星飛花，引領(lǐng)人之神往，那里無(wú)限深邃，吟唱人之渺小！感嘆腳踏實(shí)地只是處事態(tài)度，仰望星空才是處事章法