專題14平行線分線段成比例

專題14平行線分線段成比率閱讀與思慮平行線分線段成比率定理是證明比率線段的常用依據(jù)之一，是研究比率線段及相似形的最基本、最重要的理論．運用平行線分線段成比率定理解題的要點是搜尋題中的平行線．若無平行線，需作平行線，而作平行線要考慮好過哪一個點作平行線，一般是由成比率的兩條線段啟示而得．其他，還要熟悉并善于從復雜的圖形中分解出以下的基本圖形：例題與求解【例

1】如圖，在梯形

ABCD

中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F(xiàn)分別是

AD，BC的中點，且

AF交BE于

P，CE交

DF

于Q，則

PQ的長為＿＿＿＿．（上海市競賽試題

）解題思路：建立含

PQ

的比率式，為此，應第一判斷

PQ

與

AD（或

BC）的地址關系，要點是從復雜的圖形中分解出基本圖形，并能在多個成比率線段中建立聯(lián)系

．【例2】如圖，在△ABC中，D，E是

BC

的三均分點，

M是

AC的中點，

BM

交

AD，AE于

G，H，則BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1B．4︰2︰1

C．5︰4︰3

D．5︰3︰2（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：因題設條件沒有平行線，故須過

M作

BC

的平行線，構造基本圖形

．【例3】如圖，□ABCD中，P為對角線R，交CD，AD于S，T．求證：PQ?PT＝PR?PS．

BD

上一點，過點

P作素來線分別交

BA，BC

的延長線于

Q，（吉林省中考試題

）解題思路：要證

PQ?PT＝PR?PS，需證

PQ

＝

PR，由于

PQ，PT，PR，PS在同素來線上，故不能夠PS

PT直接應用定理，需觀察分解圖形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．1）如圖1，若是P，E，F(xiàn)分別是BC，AC，BD的中點，求證：AB＝PE＋PF；2）如圖2，若是P是BC上的任意一點（中點除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF這個結論還建立嗎若是建立，請證明；若是不行立，說明原由．上海市閔行區(qū)中考試題）ADADFEFEBPCBPC圖1圖2解題思路：（1）不難證明；對于（2），先假設結論建立，從平行線出發(fā)證明AB＝PE＋PF，即要證明PE＋PF＝1，將線段和差問題的證明轉變成與成比率線段相關問題的證明．ABAB【例5】如圖，已知AB∥CD，AD∥CE，F(xiàn)，G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次交AB，AD，CD，CE于點M，N，P，Q．求證：MN＋PQ＝2PN．解題思路：考慮延長BA，EC構造平行四邊形，再利用平行線想法構造相關的比率式．（浙江省競賽試題）【例6】已知：△ABC是任意三角形．1）如圖1，點M，P，N分別是邊AB，BC，CA的中點，求證：∠MPN＝∠A；2）如圖2，點M，N分別在邊AB，AC上，且AM＝1，AN＝1，點P1，P2是AB3AC3邊BC的三均分點，你認為∠MP1N＋∠MP2N＝∠A可否正確請說明你的原由；3）如圖3，點M，N分別在邊AB，AC上，且P1，P2，，P2009是邊BC的2010均分點，則∠MPN＋∠MPN＋＋∠MPN＝＿＿＿＿．122009（濟南市中考試題）AAMANMNMNBCBCBCP2009PP1P2P1P2ggg圖1圖2圖3解題思路：本題涉及的考點有三角形中位線定理、平行四邊形的判斷、相似三角形的判斷與性質．能力訓練A級1．設K＝abc＝abc＝abc，則K＝＿＿＿＿．cba（鎮(zhèn)江市中考試題）2．如圖，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，則EF＝＿＿＿＿．AADAADNFEFDEGGHBCBMCBFCBEC第2題第3題第4題第5題3．如圖，在△ABC中，AM與BN訂交于D，BM＝3MC，AD＝DM，則BD︰DN＝＿＿＿＿．（杭州市中考試題）4．如圖，ABCD是正方形，E，F(xiàn)是AB，BC的中點，連結EC交DB，交DF于G，H，則EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．（重慶市中考試題）5．如圖，在正△ABC的邊BC，CA上分別有點E，F(xiàn)，且滿足BE＝CF＝a，EC＝FA＝b（a＞b），當BF均分AE時，則a的值為（）b51525152A．B．C．D．22226．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的一點，且AF︰FD＝1︰5，連結CF并延長交AB于E，則AE︰EB等于（）A．1︰10B．1︰9C．1︰8D．1︰7AEAFAQEFBDCBPCBDC第6題第7題第8題7．如圖，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，則PC等于（）A．4B．8C．12D．168．如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，BD＝3BC，則BE︰EA等于（）5A．3︰5B．2︰5C．2︰3D．3︰29．（1）閱讀以下資料，補全證明過程．已知，如圖，矩形ABCD中，AC，BD訂交于點O，OE⊥BC于E，連結DE交OC于點F，作FG⊥BC于G．求證：點G是線段BC的一個三均分點．2）請你依據(jù)上面的畫法，在原圖上畫出BC的一個四均分點．（要求：保留畫圖印跡，不寫畫法及證明過程）山西中考試題）ADADODCEFFOGBCAEBBCEG第9題第10題第11題110．如圖，已知在□ABCD中，E為AB邊的中點，AF＝FD，F(xiàn)E與AC訂交于G．求證：AG＝1AC．511．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD．1）求證：OE＝OF；2）求OE＋OE的值；ADBC3）求證：1＋1＝2．ADBCEF（宿遷市中考試題）12．如圖，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上的一點，CE的延長線與BC的延長線交于點F，過點E作BA的平行線交CD的延長線于點M，MB與AD交于點N．求證：∠AFN＝∠DME．全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）B級1．如圖，工地上直立著兩根電線桿AB，CD，它們相距15cm，分別自兩桿上高出地面4m，6m的A，C處，向兩側地面上的E，D和B，F(xiàn)點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為＿＿＿＿m．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）ADADACOFEBQDFBFBCECE第1題第2題第3題2．如圖，□ABCD的對角線交于O點，過O任作素來線與CD，BC的延長線分別交于F，E點．設BC＝a，CD＝b，CF＝c，則CE＝＿＿＿＿．（黑龍江省中考試題）3．如圖，D，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，AC上的點，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，連結DF交BC邊的延長線于點E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．（“祖沖之杯”邀請賽試題）4．如圖，設AF＝10，F(xiàn)B＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN∥ED，則EF︰FD＝＿＿＿＿．（江蘇省競賽試題）ADFEALMAEMFECBBKCBFCDDN第4題第5題第6題5．如圖，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（）A．10B．12C．16D．18（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）6．如圖，CE，CF分別均分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直線EF分別交AB，AC于點M，N．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c＞a＞b，則EM的長為（）A．caB．a(chǎn)bC．cbD．a(chǎn)bc2222（山東省競賽試題）7．如圖，在□ABCD的邊AD延長線上取一點F，BF分別交AC與CD于E，G．若EF＝32，GF＝24，則BE等于（）A．4B．8C．10D．12E．16（美國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是對角線AC的中點，直線BE交AD于點F，則AF︰FD的值是（）A．2B．5C．3D．132（黃岡市競賽試題）FDDCAEDGFCMNPEEFABCABB第7題第8題第9題9．如圖，P是梯形

ABCD

的中位線

MN

所在直線上的任意一點，

直線

AP，BP分別交直線

CD

于E，F(xiàn)．求證：MN＝1(AEBF)．NP2EPFP（寧波市競賽試題）10．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD訂交于O，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長線分別交于點M，N，R，S和P．求證：PM·PN＝PR·PS．（山東省競賽試題）ABODACECMNPRSlDBF第10題第11題11．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我們能夠證明：11＝1建立（不要求證出）．以下請回答：若將圖中垂直改為AB∥CD∥EF，那么，ABCDEF1）11＝1還建立嗎若是建立，請給出證明；若是不行立，請說明原由．ABCDEF2）請找出S△ABD，S△BED和S△BDC的關系式，并給出證明．黃岡市競賽試題）12．在Rt△ABC中，