動能定理共同專題

第二講動能定理（共同專題）本講學(xué)習(xí)提要理解動能定理的內(nèi)容及其表達式，理解運用動能定理解題的主要步驟，能在簡單的實際問題中應(yīng)用動能定理。本講內(nèi)容是在基礎(chǔ)型課程中學(xué)習(xí)“功是能量變化的量度”的基礎(chǔ)上拓展學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)中要求能運用牛頓定律推導(dǎo)出在恒力作用情況下動能定理的表達式。并通過實驗觀察、分析推理的方法，認識物體在受到多個力不同時做功情況下動能定理的表達式。通過解題分析感悟動能定理在實際生產(chǎn)生活中的重要應(yīng)用價值。A動能定理一、學(xué)習(xí)要求通過本講學(xué)習(xí)，要求在基礎(chǔ)型課程學(xué)習(xí)“功是能量變化的量度”的基礎(chǔ)上理解動能定理，學(xué)會相關(guān)計算，通過對動能定理的推導(dǎo)認識推理或?qū)嶒灥姆椒?，通過動能定理實際應(yīng)用感悟其在體育、交通工具等方面的應(yīng)用價值。二、要點辨析1．加強對動能定理的理解（1）本節(jié)在基礎(chǔ)型課程中關(guān)于外力對物體做功時物體動能發(fā)生變化的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)動能定理這一重要的物理規(guī)律。在課本中雖然是用恒定的作用力做功推導(dǎo)出動能定理的，但通過DIS實驗等表明了動能定理也適用于變力做功，適用于物體做曲線運動的情況，這是運用動能定理解決問題的方便之處。（2）本節(jié)課本中的示例說明了運用動能定理解題的方法，但該題也可用牛頓運動定律來解，關(guān)鍵要從中體會到有時用動能定理解題比用牛頓運動定律更簡便。（3）動能Ek＝EQ\F(1,2)mv2是一個狀態(tài)量，物體動能的變化表示為ΔEk＝Ek2－Ek1。而力所做的功是一個過程量。只有通過做功過程，物體的動能才會變化，功和能都是標量，因此動能定理是一個標量關(guān)系式。2．動能定理應(yīng)當(dāng)怎樣表述？動能定理的一般表達形式是：（1）合力所做的功等于物體動能的增量F合s＝Ek2－Ek1＝EQ\F(1,2)mv22－EQ\F(1,2)mv12（2）外力做功的代數(shù)和等于動能的增量W1＋W2＋…＋Wn＝Ek2－Ek1＝EQ\F(1,2)mv22－EQ\F(1,2)mv12有些不能簡單用牛頓運動定律求解的問題，如變力做功，可考慮用動能定理來解。功是一個過程量，能量是一個狀態(tài)量，一般力學(xué)過程比較復(fù)雜，但只要初狀態(tài)和末狀態(tài)清楚，且在問題中不涉及時間問題的，可用動能定理來求解。三、例題分析【示例1】物體沿傾角為θ的斜面從底端以初速度v0向上滑動，滑至最高點后又返回到底端，已知到底端時的速度是vt，則物體上滑的最大高度為多少？物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ多少h＝EQ\F(vh＝EQ\F(v02＋vt2,4g)μ＝EQ\F(v02－vt2,v02＋vt2)tanθ【解答】物體運動的初態(tài)和末態(tài)清晰，且問題不涉及時間，所以可用動能定理求解。首先作出研究對象上滑和下滑過程中的受力分析圖，分別如下圖所示，設(shè)物體上升的最大高度為h。物體沿斜面上滑過程中重力和摩擦力均對物體做負功，由動能定理得：－mgh－μmgcosθEQ\F(h,sinθ)＝0－EQ\F(1,2)mv02，物體從所達的最高點滑回底端過程中，重力做正功，摩擦力做負功，由動能定理得：mgh－μmgcosθEQ\F(h,sinθ)＝EQ\F(1,2)mvt2－0。由以上兩式得：2mgh＝EQ\F(1,2)（v02＋vt2），解得物體上滑的最大高度h＝EQ\F(v02＋vt2,4g)對物體上升和下降的全過程運用動能定理，即克服摩擦力做的功等于動能的減少，還可得：2μmgcosθEQ\F(h,sinθ)＝EQ\F(1,2)m（v02－vt2），代入h解得動摩擦因數(shù)μ＝EQ\F(v02－vt2,v02＋vt2)tanθ。四、基本訓(xùn)練放在水平面上的物體，在水平方向的一對平衡力的作用下做勻速直線運動，當(dāng)其中一個力被撤去后，若另一個力保持不變，則AB（）AB（A）物體的動能可能增大 （B）物體的動能可能減小（C）物體的動能可能不變 （D）以上三種情況都有可能如圖所示，斜面上的物體從某時刻開始受到沿斜面向下的拉力F，其大小等于摩擦力，以下說法中正確的是D（）D（A）物體的動能保持不變（B）物體的動能一定增加（C）物體的動能一定減?。―）物體的動能一定改變質(zhì)量為m的小車在水平恒力F推動下，從山坡底部A處由靜止開始運動至高為h的坡頂時，獲得速度為v。AB的水平距離為s。下列說法中正確的是ACD（）ACD（A）小車克服重力所做的功是mgh（B）推力做的功是Fs－mgh（C）合力做的功是EQ\F(1,2)mv2（D）小車克服阻力做的功是EQ\F(1,2)mv2＋mgh －Fs一顆子彈質(zhì)量為0.05kg，速度為800m/s，射入墻壁后深入20cm，若子彈克服阻力做的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能，能產(chǎn)生多少內(nèi)能？子彈受到多大的平均阻力1.6×104J1.6×104J，8×104N如圖所示，斜面的傾角θ＝37°，質(zhì)量為1kg的物體在沿斜面向上的恒定推力F＝12N的作用下，以2m/s初速度做勻加速直線運動，經(jīng)2m位移后速度達到4m/s，求物體與斜面間動摩擦因數(shù)0.40。0.40如圖所示是錄自明代《天工開物》中的一幅圖，它描述的是我國古代的一種農(nóng)業(yè)機械，叫做水碾。它是利用水的動能來做功的裝置，當(dāng)水沖擊下部水輪時，轉(zhuǎn)動的輪子會帶動上部的石碾來碾米，水從右邊進入，左邊流出，假若每秒鐘沖擊葉片的水流為10kg，水速從5m/s減小為1m/s，則每秒鐘水流對葉輪做的功為多大120J？120J1980年，某一國家的一架戰(zhàn)斗機在演習(xí)時發(fā)生了墜機事件，原因是飛機在空中與一只質(zhì)量約3kg的禿鷹相撞，設(shè)鳥身長約0.3m，飛機速度為1800km/h，則禿鷹對飛機的平均撞擊力為_________。（可用禿鷹為研究對象，撞擊前禿鷹的速度看作零，撞擊后的速度與飛機相同，且完全被撞扁1.25×1061.25×106N起重機的輸出功率保持為10kW，從地面靜止吊起500kg的貨物，當(dāng)貨物上升到2m高處時速度達到最大值，則此速度v及從靜止到達到速度最大值所花時間t分別是AC（）AC（A）v＝2m/s （B）v＝4m/s （C）t＝1.1s （D）t＝2s一物體以120J的初動能從斜面底端A處沿足夠長的斜面向上做勻變速運動，當(dāng)它經(jīng)過斜面上B點時機械能減少了40J，重力勢能增加了60J，則物體重返斜面底端時的動能為B（）B（A）60J （B）24J （C）48J （D）100J一質(zhì)量為m的物體，以初速v0從傾角為α＝30°的足夠長的斜面底端沿斜面向上滑行，物體重新回到斜面底端時的速度大小為EQ\F(3,4)v0，則物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.16_____。0.16如圖所示，水平傳送帶長為s，以速度v始終保持勻速運動，把質(zhì)量為m的貨物放到A點，貨物與皮帶間的動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)貨物從A點運動到B點的過程中，摩擦力對貨物做的功可能是ACD（）ACD（A）等于EQ\F(1,2)mv2 （B）大于μmgs （C）小于EQ\F(1,2)mv2 （D）小于μmgs如圖所示，質(zhì)量為m的物體從高為h的斜面頂端由靜止開始下滑，最后停在平面上的B點。若該物體從斜面頂端以初速度v0沿斜面下滑，則停在平面上的C點，已知AC＝3AB，則物體在斜面上克服摩擦力所做的功是B（）B（A）mgh－EQ\F(1,2)mv02 （B）mgh－EQ\F(1,4)mv02（C）2mgh－EQ\F(1,4)mv02 （D）mgh－mv02如圖所示，一艘小船上有一個人坐在船的前端，人和船的總質(zhì)量為m，該人手中握住一根繩子，以恒力F拉繩，使船自靜止起向右運動位移為s（阻力不計）。圖（a）情況，繩的另一端固定在岸的木樁上；圖（b）情況，繩的另一端跨過定滑輪固定在船上；圖（c）情況，繩的另一端固定在另一艘質(zhì)量也為m的船上（b）情況船速為EQ\R(2)（b）情況船速為EQ\R(2)v，（c）情況仍為v如果在圖（a）情況下船的末速度為v0，那么其余兩種情況船速為多大？一個盛水的密閉的盒子以初速度v0在粗糙的桌面上滑行，第一次盒內(nèi)盛滿水，第二次盒內(nèi)水不盛滿，如圖所示。觀察發(fā)現(xiàn)后者滑行的距離比前者小，對此現(xiàn)象有三人提出了不同的解釋，請你就此作出評價或提出你自己的看法甲、乙、丙三人說法都不全面，根據(jù)加速度a＝μg甲、乙、丙三人說法都不全面，根據(jù)加速度a＝μg可求出盒子滑動的距離EQ\F(1,2)mv02＝μmgS，S＝EQ\F(v2,2μg)，表明是與質(zhì)量無關(guān)的。所以盒內(nèi)所盛的水只要不發(fā)生晃動，盒子應(yīng)當(dāng)滑得一樣遠。但（b）情況水是晃動的，水克服內(nèi)摩擦做功也會使動能減少，因此（b）情況應(yīng)當(dāng)比（a）滑得近一些。甲認為：盛滿水的盒子的慣性比不盛滿水的盒子大。乙認為：盛滿水的盒子的初動能比不盛滿水的盒子大。丙認為：盛滿水的盒子在運動中受到的阻力可能比不盛滿水的盒子受到的阻力小。B動能定理的應(yīng)用一、學(xué)習(xí)要求通過本節(jié)學(xué)習(xí)，掌握動能定理并能解決簡單的實際問題。在應(yīng)用動能定理時能確定研究對象，能運用受力分析、狀態(tài)分析和過程分析方法。能將功和能的知識、運動學(xué)和動力學(xué)的知識綜合起來加以運用，從而體會動能定理廣泛的應(yīng)用價值。二、要點辨析1．認真領(lǐng)會課本中各示例的作用本節(jié)在學(xué)習(xí)了動能定理的基礎(chǔ)上，對動能定理的應(yīng)用進行了比較深入的討論，從功率保持不變的情況下一輛疾駛的汽車做加速度逐漸減小的變加速運動引入課題，討淪物體做曲線運動、變力做功、以恒定功率做功等實際問題，以及巧用動能定理求解的方法?！笆纠?”是一道曲線運動的問題，且運動過程中加速度是變化的，顯然難以用牛頓運動定律求解，只要分析得出水平拉力F做正功，重力mg做負功，即可根據(jù)動能定理很快求出小球末位置的速度大小?！笆纠?”的已知條件是物體受到的外力與位移的關(guān)系圖，和基礎(chǔ)型課程中學(xué)過的示功圖聯(lián)系了起來，可以根據(jù)示功圖的“面積”表示力做的功，求出三個階段的“面積”的代數(shù)和，再根據(jù)動能定理“外力做功的代數(shù)和等于物體動能的增量”，得出物體的末速度。這里所表述的“外力做功的代數(shù)和”是指正功和負功的代數(shù)和?！笆纠?”是一道變力做功的問題，在功率P不變這種特殊情況下求該力做功，這里必須用公式W＝Pt求解。示例中汽車是在功率恒定的條件下做功，應(yīng)分析它是如何加速的，根據(jù)P＝Fv，因為P不變，v在增大，所以F在減小。但只要牽引力F大于汽車的阻力Ff，汽車還在加速，但其加速度a在減小，直到a減到零，汽車的速度v不再增大，達到了最大值，此時牽引力F也減到最小，等于阻力Ff。所以整個過程中汽車做加速度減小的變加速直線運動，其v-t圖如圖所示。2．在求變力做功時，一般有哪幾種方法？（1）如果物體受到的力和位移成正比，可以先求出過程的平均作用力，再根據(jù)W＝EQ\X\to(F)Fscosθ求該變力做的功。（2）如果已知物體受到的力和位移的函數(shù)圖線，即F-s圖，可以根據(jù)“示功圖”的面積來求功。（3）恒定功率下的牽引力做功可根據(jù)W＝Pt來計算。（4）如果可以直接計算物體運動初、末狀態(tài)的能量，則可以根據(jù)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，通過能量變化來求功。三、例題分析【示例1】面積很大的水池的水面上浮著一正方體木塊，木塊的邊長為a，密度為水的EQ\F(1,2)，質(zhì)量為m。開始時木塊靜止在水面上，現(xiàn)用豎直向下的恒力F將木塊壓入水中，不計木塊相對于水運動而產(chǎn)生的阻力，也不計水的運動，試求木塊恰好完全浸沒水中時的速度vt?！痉治雠c解答】以木塊為研究對象，因其密度為水的EQ\F(1,2)，根據(jù)初中所學(xué)的知識，我們知道木塊有一半露在水面上（如圖）。由題意可知水面很大，當(dāng)木塊壓入水中時，水面的高度可認為不變；同時忽略水的阻力。所以木塊向下運動過程中，恒力F和重力做正功，水對木塊的平均浮力做負功。因為水對木塊的浮力F浮＝ρ水ga2h（h為木塊浸入水中的深度），所以F浮與h成正比，則水的平均浮力EQ\X\to(F)?。紼Q\F(F浮1＋F浮2,2)＝EQ\F(ρ水ga2·EQ\F(a,2)＋ρ水ga3,2)＝EQ\F(3,4)ρ水ga3。又因為木塊密度為水的密度的EQ\F(1,2)，故EQ\X\to(F)?。紼Q\F(3,4)×2ρ水ga3＝EQ\F(3,2)mg。根據(jù)動能定理（F＋mg－EQ\X\to(F)?。〦Q\F(a,2)＝EQ\F(1,2)mvt2，vt＝EQ\R(（\F(F,m)－\F(g,2)）a)。在本題解題過程中用到了初中的浮力知識，并要求浮力的平均值對木塊做的負功，故難度較大，要認真分析，靈活運用?！臼纠?】電動機通過一質(zhì)量不計的繩子吊起質(zhì)量為8kg的物體，繩能承受的最大拉力為120N，電動機的輸出功率可調(diào)整，最大輸出功率為1200W。要使此物體由靜止起能用最快的方式上升90m，且在到達此高度時恰能以最大速度勻速上升，則：（l）物體的上升過程可分為哪幾個階段？（2）所需最短時間為多少？【分析】本題是機器功率應(yīng)用的綜合題型，以物體為研究對象，因繩子最大拉力有限，根據(jù)牛頓第二定律，第一階段應(yīng)是從靜止開始做勻加速直線運動，繩的拉力不變，速度v在不斷增大，則電動機的功率不斷增大，直到其達到最大輸出功率P0。接著，功率P0不變，v在增大，根據(jù)P＝Fv，則F在逐漸減小，即加速度a不斷減小，直至a＝0，此時F減到F＝mg，物體將保持此時的最大速度勻速上升。物體的上升過程可分為勻加速直線運動；加速度減小的變加速直線運動和最終的勻速直線運動這三個階段。【解答】根據(jù)以上的分析，在勻加速上升階段。設(shè)恒定的拉力為Fm，上升加速度為a，運用牛頓第二定律Fm－mg＝ma，a＝EQ\F(Fm－mg,m)＝EQ\F(120－8×10,8)m/s2，得a＝5m/s2。根據(jù)P0＝Fmv1可求出勻加速階段的最大速度v1，v1＝EQ\F(P0,Fm)＝EQ\F(1200,120)m/s＝10m/s。接著，可求出勻加速階段的時間t1和上升的高度h，t1＝EQ\F(v1,a)＝EQ\F(10,5)s＝2s，h＝EQ\F(v12,2a)＝EQ\F(102,2×5)m＝10m。第二階段為變加速運動過程，最終拉力F等于物體重力，根據(jù)P0＝Fv＝mgvm，求出物體最終做勻速運動的最大速度vm＝EQ\F(P0,mg)＝EQ\F(1200,8×10)m/s＝15m/s.設(shè)總位移為H，第二階段所用時間為t2，則第二階段上升的位移是H－h(huán)，由動能定理可得P0t2－mg（H－h(huán)）＝EQ\F(1,2)mvm2－EQ\F(1,2)mv12，t2＝EQ\F(EQ\F(1,2)mvm2－EQ\F(1,2)mv12＋mg（H－h(huán)）,P0)，代入數(shù)據(jù)后可解得第二階段的時間t2＝5.75s。所以電動機做功使物體上升90m，最短的時間為t＝t1＋t2＝7.75s。本題中如果開始階段沒有用最大拉力，后面也小于額定功率，則花費時間將大得多，所以按本題要求操作時間是最短的。四、基本訓(xùn)練行駛中的汽車制動后滑行一段距離，最后停下；流星在夜空中墜落并發(fā)出明亮的光焰；降落傘在空中勻速下降；條形磁鐵在下落過程中穿過閉合線圈，線圈中產(chǎn)生電流。上述不同現(xiàn)象中所包含的相同的物理過程是AD（）AD（A）物體克服阻力做功 （B）物體的動能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量（C）物體的勢能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量 （D）物體的機械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量提高火車運行速度是人們孜孜以求的，人們設(shè)想利用列車上的強磁體和安裝在鐵軌上的超導(dǎo)線圈中感應(yīng)電流之間的磁力使列車懸浮起來運行。假設(shè)列車在抽成真空的地下隧道中行駛，由于阻力極小，車速可高達1000m/s，列車只需在加速過程中做功，而減速過程可以利用特定裝置回收列車釋放的動能，用于產(chǎn)生真空，實現(xiàn)磁懸浮。設(shè)列車的質(zhì)量為5t，則列車每次運行可回收的最大能量為_______J2.5×1092.5×109某地區(qū)強風(fēng)的風(fēng)速約為v＝20m/s，設(shè)空氣密度ρ＝1.3kg/m3。如果把通過橫截面積為S＝20m2的風(fēng)的動能全部轉(zhuǎn)化為電能，則利用上述已知量計算電功率的公式應(yīng)為P＝______，大小約為_______W每秒鐘動能的變化量即電功率，ΔEk每秒鐘動能的變化量即電功率，ΔEk＝EQ\F(1,2)ρSv3＝5200W？在平直的公路上，汽車從靜止開始做勻加速運動，當(dāng)速度達到v時，立即關(guān)閉發(fā)動機，滑行一段距離停下，其v-t圖線如圖所示。設(shè)汽車牽引力大小為F，受到的阻力大小為f，全過程中，牽引力做功W1，克服阻力做功W2，則下列關(guān)系式中正確的是（）BDBD（A）F∶f＝1∶3 （B）F∶f＝3∶1（C）W1∶W2＝1∶3 （D）W1∶W2＝1∶1一塊爆炸物的碎片初速度為v0，它恰能穿透三塊完全相同的木板，設(shè)穿過每一塊木板時受到的阻力相同，那么它穿過第一塊木板后的速度為多大EQ\F(\R(6),3)vEQ\F(\R(6),3)v0某抽水機在抗洪搶險中能將靜止的水以20m/s的速度排出，1min內(nèi)排水300kg。該抽水機的功率為多大？（抽水機的進水口與出水口看作在同一高度，其他損耗不計1000W）1000W【小實驗】如圖所示，在帶滑輪的長板上放置一個質(zhì)量為m1的木塊，已知木塊與長板間動摩擦因數(shù)為μ。用跨過滑輪的細線將m1與另一個木塊m2相連接。開始時m2離地面高度為h（m1離長板右端距離也為h），放開后m2帶動m1做加速運動，當(dāng)m2落地時m1恰好水平拋出，最后m1也落地（m1拋出后在運動過程中，連結(jié)m1與m2的細線始終處于松弛狀態(tài)）。用這種方法可以驗證動能定理初狀態(tài)是動能為零的開始狀態(tài)，末狀態(tài)是m1剛拋出時的狀態(tài)，要測定的物理量是初狀態(tài)是動能為零的開始狀態(tài)，末狀態(tài)是m1剛拋出時的狀態(tài)，要測定的物理量是m1、m2、h、μ、m2及落地時水平位移s和滑輪離地面的高度H，計算式是m2gh－μm1gh＝EQ\F(1,2)（m1＋m2）EQ\F(s2g,2H)，即s＝EQ\R(\F(4hH（m2－μm1）,m1＋m2))試說明在上述過程中研究動能定理所需的初狀態(tài)和末狀態(tài)是什么？要測定哪些物理量？寫出驗證的有關(guān)計算式。最后希望能通過實驗加以驗證。通風(fēng)機通過墻面上的小洞將室內(nèi)的空氣排出去，為使通風(fēng)機在單位時間內(nèi)所排出的空氣質(zhì)量m增加—倍，則通風(fēng)機的功率應(yīng)增大為原來的D（）D（A）2倍 （B）2EQ\R(2)倍（C）4倍 （D）8倍物體靜止在光滑水平面上，先對物體施一水平向右的恒力F1，經(jīng)時間t后撤去F1，立即再對它施一水平向左的恒力F2，又經(jīng)時間t后物體回到原出發(fā)點，在這一過程中，F(xiàn)1、F2分別對物體做的功W1、W2的關(guān)系是C（）C（A）W1＝W2 （B）W2＝2W1（C）W2＝3W1 （D）W2＝5W1跳繩是一種健身運動，設(shè)某運動員的質(zhì)量是50kg，他1min跳繩120次。假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍時間的EQ\F(2,5)，則運動員跳繩時克服重力做功的平均功率為____W112.5。112.5如圖，輕繩的一端系于光滑水平面上的物體m上，另一端通過定滑輪以恒定外力F豎直向下拉繩，設(shè)滑輪質(zhì)量及與輪軸間的摩擦不計。從滑輪上端到物體m的豎直高度為h，當(dāng)物體由圖